CC BY
355
Раздел 6
Вычислительные комплексы нового поколения и нейрокомпьютеры
УДК 519.68
АЛ. Стахов
КОМПЬЮТЕРЫ ФИБОНАЧЧИ И НОВАЯ ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ: ИСТОРИЯ, ТЕОРИЯ, ПЕРСПЕКТИВЫ
1. Числа Фибоначчи и «золотое сечение». В начале 70-х годов прошлого века в период работы в Таганрогском радиотехническом инстите (1971-1977) втором был предложен проект «Компьютера Фибоначчи». Истории этого научного направления и перспективам его развития посвящена настоящая статья.
Под числами Фибоначчи понимается числовая последовательность, открытая в 13 в. знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Последовательность имеет вид [1,2]:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, .... (1)
Если i-t число в последовательности (1) обозначить через F, тогда закон
(1)
:
Fi = F-1 + Fi-2. (2)
(1) , -
:
F1 = F2 = 1. (3)
Если взять отношение соседних чисел Фибоначчи, т.е. построить числовой ряд: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, ... (который выражает ботанический «закона ») , -дем к знаменитому иррациональному числу т = 1 + ^ ~ 1,618, названному «золо-
2
» « » . « »
« », «
». , -
:
х2 = х + 1, (4)
положительный корень которого и равен золотой пропорции. Заметим, что (4) .
(4) :
тп = т”-1 + тп-2, (5)
где п =0, ±1, ±2, ±3, ... .
2. Алгоримическая теория измерения, обобщенные числа Фибоначчи
и обобщенные золотые сечения. Моей первой мате матической теорией, изложенной в моей докторской диссертации в 1972г., была так называемая «адгорит-мическая теория измерения» [5,6]. Одним из ее неожиданных математических результатов, стали так называемые «фибоначчиевые» алгоритмы измерения, основанные на обобщенных числах Фибоначчи или р-числах Фибоначчи. Для задания этих числовых последовательностей зададимся целым неотрицательным числом р (р=0, 1, 2, 3, ... ), обозначим п-^р-число Фибоначчи через Fp(n) и будем его вычислять согласно следующей рекуррентной формуле:
Рр(п) = Рр(п-1) + Рр(п-р-1) (6)
при следующих начальных условиях:
Рр(1) = Рр(2) = ... = Рр(р+1) = 1. (7)
, (6) (7) -
ретически бесконечное количество новых числовых рядов, так как каждому р соответствует своя числовая последовательность. Рассмотрим частные случаи чи, (6), (7). =0. ,
(6), (7) « » :
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...., (8)
=1 « » (1).
Если теперь взять отношение соседних р-чисел Фибоначчи Рр(п)/Рр(п-1) и устремить значение п к бесконечности, то в результате мы прийдем к следующему алгебраическому уравнению
Х+1 = хр + 1, (9)
положительный корень которого тр при заданном р и соответствует иско-
- . , (9)
(4),
при значении р=1. Именно на этом основании числа тр были названы обобщенными золотыми пропорциями иди золотыми ^-пропорциями [5]. при р=0 золотая /^-пропорция тр = 2, а при р^<*> тр ^ 1; это означает, что уравнение (9) задает бесконечное число математических констант тр (золотых р), 2 1.
3. Системы счисления с ирра циональными основаниями.
.
1939 . ,
, , « Цекендорфа». Под «представлением Цекендорфа», называемым также «кодом Фибоначчи», понимается следующий позиционный способ представления чисел
[2]:
N = йп Р п + Яп-\ Р п-1 + ... + й Рг + ... + (10)
где йЕ {0, 1} - двоичная цифра /'-го разряда представления; п - разрядность представления; Рг - число Фибоначчи (вес разряда), задаваемое с помощью рекуррентного соотношения (2), (3).
Уже в моей докторской диссертации (1972 г.) были введены в рассмотрение так называемые /ькоды Фибоначчи, под которым понимался следующий способ позиционного представления натуральных чисел:
N = йпРр(п) + йп-1рр(п-1) + ... + йрр(/) + ... + й]Рр(1), (11)
где {0, 1} - двоичная цифра /-го разряда позиционного представления
(11); п - число двоичных разрядов; ¥г(г) - вес /-го раз ряда, то есть р-число Ф ибо, (6), (7).
Заметим, что представление (11) задает теоретически бесконечное число «двоичных» представлений, так как каждому р соответствует свое представление. Любопытно, что при р=0 представление (11) сводится к классическому двоичному представлению для целых чисел, пр и р=1 - к «представлению Цекендорфа» (10), а при р=<*> - к так называемому «унитарному» коду, то есть представлению натурального числа в виде суммы единиц. Таким образом, введенные мною /ькоды Фибоначчи являются весьма широким обобщением классического двоичного кода и «унитарного» кода, которые являются краийними частными случаями кода (11).
Коды золотой пропорции.
,
систем счисления по праву можно считать систему счисления с иррациональным основанием, предложенную в 1957г. американским математиком Джорджем Бергманом [3] и назвнную им «Тау-системой»:
A = X, (12)
i
где А - произвольное действительное число, ai - двоичные цифры, 0 или 1, i = 0, ±1, ±2, ±3 ..., Т - вес i-й цифры в представлении (12), т - основание системы счисления. Любопытно отметить, что свою необычную систему счисления Джордж Бергман разработал в возрасте 12 лет! Несмотря на молодость, его статья по новой системе счисления [3] была опубликована в весьма престижном матема-, -нал “Times” даже взял интервью у юного математического гения Америки. Любопытно, что сам Бергман не понял революционного значения своего математического открытия для развития компьютерной науки.
, « » (12) -бой ничего особенного по сравнению с традиционным позиционным представлением, но это только на первый взгляд. Вся суть состоит именно в том, что основанием системы счисления является золотая пропорция т = 1 + ^, обладающая ма-
2
(5).
Свое дальнейшее развитие система счисления Бергмана получила в моих работах [6-8, 11]. В книге [6] была исследованы системы счисления следующего :
A = Х а/р , (13)
A - , т -
(13), а,е{0, 1}, i = 0, ±1, ±2, ±3, ... .
, (13) -
ставлений действительных чисел, так как каждому р соответствует свое двоичное представление. В частности, при р=0 представление (13) сводится к классическому двоичному представлению, лежащему в основе современных компьютеров, а при р=2 - к системе счисления Бергмана (12). Заметим также, что, за исключением случая р=0 (классическая двоичная система счисления), все остальные системы счисления (13) являются системами счисления с иррациональными основаниями. Это факт переворачивает наши традиционные представления о позиционных сис-, - -
нальными и иррациональными. В «кодах золотой пропорции» основанием, т.е. началом счисления, являются некоторые иррациональные числа (типа «золото й р-
пропорции» т). С помощью таких представлений, частным случаем которых явля-
(2), , -, .
Коды Фибоначчи (11) и коды з олотой /^-пропорции (13) можно рассматривать как некоторое обобщение классической двоичной системы счисления, лежащей в основе современных компьютеров. Для представления чисел они используют те же двоичные символы 0 и 1 и по форме представления совпадают с двоич-.
. , 1001101
представляет число 45 = 26 + 23 + 22 + 20 в классической двоичной системе счисления, число 19 = 13 + 3 + 2 + 1 в коде Цекендорфа-Фибоначчи (10) и число А = т6 +
т3 + т2 + т0 - (12). ,
случае является иррациональным числом! А это означает, что в системе счисления Бергмана мы можем представлять некоторые иррациональные числа в виде конечной совокупности битов, что принципиально невозможно в классических позиционных системах счисления! В этом и состоит второй неожиданный результат, вытекающий из теории кодов золотой пропорции [3,6].
Если теперь представить некоторое натуральное число N в системе счисления (10) и затем все степени Т заменить на соответствующие числа Фибоначчи Fi , расширенные в сторону отрицательных значений индексов i (i = 0, ±1, ±2, ±3, ...),
то возникающая при этом сумма X a^F: тождественно равна нулю независимо от
i 1 '
N. ,
названное Z-свойством (от слова “zero”), было открыто совсем недавно [8].
4. Перспективы развития «фибоначчиевого» направления в современной компьютерной науке.
Новые результаты в фибоначчиевом направлении.
Несмотря на прекращение государственного финансирование исследований « » , этом направлении не прекращались. В последние десятилетия автор значительную часть своего времени провел в африканских университетах (Университет Аль Фатех, Ливия, Триполи, 1995-1997 и Университет Эдуардо Мондлане, Мозамбик, , 1998-2000). -
ных результатов в развитии «фибоначчиевой» информатики и математики: (1) разработана троичная зеркально-симметричная арифметика [8,18,19]; (2) развита теория матриц Фибоначчи и на этой основе разработана новая теория кодирования [8, 15-17]; (3) выдвинута концепция новой математики, «Математики Гармонии», основанной на «золотом сечении» [9,10].
- .
Рассмотрим следующий способ троичного представления натуральных чи:
N = сТ , (15)
i=-^
где с - троичные цифры 1, 0, 1; т2' - вес i-ro разряда позиционного пред-(15).
(15) ,
(15) является иррациональное число т2 = 3 + ^ =2,618.
, -
(15) :
натуральных чисел являются «зеркально-симметричными» относительно нулевого .
операций. А это означает, что найден новый универсальный способ контроля всех арифметических операций в компьютере, который основан на свойстве «зеркаль-».
Создание "троичной зеркально-симметричной арифметики" [8,18,19], разработка которой была завершена мною в период работы на кафедре вычислительной техники Ливийского университета Аль-Фатех (1995-1997), я считаю своим высшим достижением в области теории систем счисления. Эта система счисления возникла как результат моих многолетних поисков более эффективных путей построения компьютеров. Новая система счисления основана на "троичном" представлении и сохраняет все основные преимущества классической "троичной" симметричной системы счисления, использованной Н.П. Брусенцовым при создании компьютера "Сетунь". Но ее основным достоинством по сравнению с классической симметричной системой счисления является уникальный способ контроля всех основных преобразований информации в компьютере. Поэтому я считаю вопрос разработки "зеркально-симметричного Фибоначчи-компьютера" в развитие " " -.
В начале 2002г. известный международный журнал «The Computer Journal”, официальный орган Британского компьютерного общества, опубликовал мою большую статью «Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic” [19]. И первым ученым, кто откликнулся на
, ,
« ».
. , , , -мерен включить ссылку на эту статью в новое издание его знаменитой книги «Ис».
высшей наградой за разработку новой системы счисления.
Цифровая обработка сигналов.
Из последних приложений кодов Фибоначчи следует упомянуть такую важ-
« ». науке идеи использования чисел Фибоначчи для создания сверхбыстрых алгоритмов цифровой обработки активно развивает доктор физико-математических наук профессор Чернов Владимир Михайлович (Самара, Институт обработки изображений РАН). Благодаря его инициативе и были опубликованы статьи [17,18]. Исследования по «фибоначчиевой» цифровой обработке проводятся в Финляндии (Tampere International Center for Signal Processing). В книге [28] широко используются так называемые обобщенные числа Фибоначчи (или р-числа Фибоначчи),
70- . « » -
вания могут быть реализованы только над числовыми данными, представленными
- . , требуется создание специализированных процессоров Фибоначчи!
Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования.
В последние десятилетия теория чисел Фибоначчи дополнилась теорией матрицы специального типа, названной Q-мampщeй [2]. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2x2 следующего вида:
Q=11
(16)
Заметим, что детерминант ^-матрицы равен -1.
Но какое отношение имеет ^-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно возвести ^-матрицу в п-ю сте пень. Тогда мы получим:
Qn =
К
п+1
¥п
¥п К
п-1
(17)
где Рп_1 , Рп, Р+ числа Фибоначчи.
Если теперь вычислить детерминант матрицы (17), то мы неожиданно придем к следующему замечательному тождеству, связывающем соседние числа Фи:
К - Р.-1 ^+1 = (-1)п+1. С18)
Можно использовать идею «фибоначчиевой» 2^^^^ицы для получения обобщенных «фибоначчиевых» матриц, основанных на р-числах Фибоначчи (6),
(7). Введем следующее определение для 2р-матрицы:
Qv =
110 0 0 0 10 0 0 0 1
0 0 00 00
V
0000 0000 10 0 0
10
01
00
(19)
/
где индекс р принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ... .
Заметим, что 0р-матрица представляет собой квадратную (р+1)х(р+1)-матрицу. Она содержит единичную (рхр)-матрицу, ограниченную последней строкой, состоящей из нулей, и первым столбцом, который состоит из нулей, ограниченных единицами. Для сл у чаев р = 0, 1, 2, 3, 4 2р-матрицы имеют следующий вид :
Qo = (1) ;
Ґ1 Л (1 1 0
Ql = V1 = Q; Q2 = 0 0 V1 0 1 0
1 0 (1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0
; ^ = 0 0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
11 0 0 0 0
Qз =
Заметим, что для случая р=1 2р-матрица (23) сводится к классической Q-матрице (20). Все матрицы Qp связаны друг с другом следующими удивительными
соотношениями. Если в матрице Q4 вычеркнуть последний столбец и предпоследнюю строку, то она вырождается в матрицу Q3 . Вычеркнув теперь последний столбец и предпоследнюю строку в матрице Q3 , мы получим матрицу и т.д. Таким образом, каждая матрица Qp, с одной стороны, содержит в себе все предыдущие матрицы и, с другой стороны, входит во все последующие.
Для степеней матрицы Qp в [16] доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Для заданного целого р (р = 1, 2, 3, ...) и заданного целого п (п = 0, ±1, ±2, ±3, ...) имеет место следующее выражение для п-й степени матрицы Qp :
QnP =
Рр (п +1)
Рр (п)
Рр(п - р +1) Рр(п - р)
Рр(п - р + 2) Рр (п - 2 р + 2)
Рр (п - р + 1)
Рр (п - 2 р + 1)
Рр (п -1) Рр (п)
Рр (п - 2) Рр (п -1)
Рр (п - р)
Рр (п - р + 1)
Теорема 2. Для заданных р = 0, 1, 2, 3, ... ; п = 0, ±1, ±2, ±3 следующее выражение для детерминанта матрицы (20):
Рр(п - р -1) Рр(п - р)
(20)
имеет место
Бег QP = (-1)рп,
(21)
Одно из возможных приложений новых матриц Фибоначчи в современной информатике - их использование в теории кодирования [15]. Рассмотрим следующий способ кодирования (декодирования) информации, представленный в табли-.
Таблица
Кодирование Декодировпание
Мх Qnp = Е Ех Qpn = М
Как следует из таблицы, первый шаг кодирования состоит в представлении исходного сообщения в виде квадратной матрицы размером (р +1)* (р +1), где р=\,
2, 3, .
Фибоначчи Qp. Декодирование состоит в умножении кодовой матрицы Е на декодирующую матрицу Фибоначчи Q—n .
Поскольку число кодирующих и декодирующих матриц Фибоначчи теоретически неограниченно ф=0, 1, 2, 3, ...п = 0, ±1, ±2, ±3, ...), то можно говорить о некоторой новой теории кодировании, основанной на использовании матриц Фи.
Благодаря уникальным математическим свойствам матриц Фибоначчи, между элементами исходной матрицы М и кодовой матрицы Е устанавливаются строгие математические соотношения, которые могут быть использованы для обнаружения и исправления ошибок. Одно из таких свойств непосредственно вытекает из Теоремы 2. Если вычислить детерминант кодовой матрицы Е, то из способа ее образования вытекает следующее:
Бй Е = Бй (Мх QP) = Бй М х Бй QP = Бег Мх(-1)рп.
А это означает, что детерминант кодовой матрицы с точностью до знака совпадает с детерминантом исходной матрицы. Если теперь мы будем всегда вычислять детерминант Бег М и использовать его в «канале связи» в качестве «контрольного сообщения», то это позволит нам весьма эффективно использовать это
свойство для обнаружения и исправления ошибок [15]. Заметим, в отличие от классической теории кодирования, где объектами обнаружения и исправления являются «биты» и их совокупности, в предлагаемом способе кодирования объектами обнаружения и исправления являются элементы кодовой матрицы, которые могут быть целыми числами теоретически неограниченной длины!
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Общие публикации по числам Фибоначчи:
1. Воробьев НМ. Числа Фибоначчи. - М.: Наука, 1978.
2. Hoggat Verner E. Fibonacci and Lucas Numbers, Houghton-Mifflin, Palo Alto, California (1969).
3. Bergman G. "A number system with an irrational base". Mathematics Magazine, 1957, No.31.
Важнейшие публикации автора по теории чисел Фибоначчи, золотого сечения и их приложениям:
4. Стахов AM. «Избыточные двоичные позиционные системы счисления». В сборнике « », - -рогского радиотехнического института, 1974, Вып.2.
5. . . . - : . ,
1977.
6. Cm ахов AM. Коды золотой пропорции. - Москва: Радио и Связь, 1984.
7. « : », - : ,
« », .6, 1989. (
- « »).
8. Stakhov A.P. Computer Arithmetic based on Fibonacci Numbers and Golden Section: New Information and Arithmetic Computer Foundations, Toronto, “SKILLSET-Training”, 1997.
9. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics // Applications of Fibonacci Numbers, v.7, 1998.
10. Stakhov A.P. Mathematics of Harmony and Harmony of Mathematics // Proceedings of Third Interdisciplinary Symmetry Congress, 1995.
11. . . :
систем счисления и компьютерной арифметике. Журнал «Управляющие машины и системы», 1994, № 4-5.
12. Стах ов AM., Ткаченко КС. Гиперболическая три тонометрия Фибоначчи. Журнал «Доклады Академии Наук Украины», 1993, т. 208, № 7.
13. , “
України”. 1991, № 12.
14. The Golden Section in the Measurement Theory // Computers & Mathematics with Applications, 1989, v.17, № 4-5.
15. Stakhov A.P., Sluchenkova A.A., Massingue V. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography, Харьков, Изд-во «Основа» Харьковского университета, 1999 г.
16. Stakhov A.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украи-
, No 9, 1999.
17. Stakhov A.P. “Matrix Arithmetic based on Fibonacci Matrices”. Сборник статей «Компью-
», . 21, ,
2001.
18. Stakhov A.P. “Ternary Mirror-Symmetrical Arithmetic and its Applications to Digital Signal Processing”. Сборник статей «Компьютерная оптика», вып. 21, Институт обработки изображений Российской Академии наук, 2001.
19. Stakhov A.P. “Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-Symmetrical Arithmetic”. The Computer Journal (British Computer Society), v.45, №2, 2002.
20. Stakhov A.P., Sluchenkova A.A. WEB site “Museum of Harmony and Golden Section”, 2001 (http://www.goldenmuseum.zibys.com/).
21. Стахов А.П. Под знаком «Золотого Сечения»: исповедь сына студбатовца. Винница: Изд-во “ITI”, 2003.
22. Стахов AM. Новый тип элементарной математики и компьютерной науки, основанных на золотом сечении 2003. (рукопись).
Зарубежные публикации по кодам и компьютерам Фибоначчи:
23. Newcom R.. “Fibonacci Numbers as a Computer Base”. Conference Proceedings of the Second Interamerican Conference on Systems and Informatics, Mexico City, November , 1974.
24. Monteir P., Newcomb R. “Minimal and maximal Fibonacci Representations: Boolean Generation”. The Fibonacci Quarterly, 1976, v.14, № 1.
25. Ligomenides P., Newcomb R. “Equivalence of some Binary, Ternary, and Quaternary Fibonacci Computers”. Proceeding of the Eleventh International Symposium on Muliple-Valued Logic, Norman, Oklahoma, May, 1981.
26. Ligomenides P., Newcomb R. “Complement Representations in the Fibonacci Computer”, Proceedings of the Fifth Symposium on Computer Arithmetic, Ann Arbor, Michigan, May 1981.
27. Hoang V.D. A Class of Arithmetic Burst-Error-Correcting Codes for the Fibonacci Computer. PhD Dissertation, University Maryland, December, 1979.
28. Stankovic R.S., Stankovi M., Astola J.T., Egizarian K. Fibonacci Decision Diagram, Tampere International Center for Signal Processing, 2000.
УДК 621.396.664
А.В. Маргелов, А.А. Борисов (ст.), А.А. Керсаков, А.А. Борисов (мл.)
УСТРОЙСТВО УПРАВЛЕНИЯ, КОНТРОЛЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ СОВРЕМЕННОЙ СТАНЦИИ РАДИОКОНТРОЛЯ
Современная станция радиоконтроля (СРК) представляет собой комплекс , -
ской обстановки - обнаружения работы радиолокационных, связных и дальномер-ных радиотехнических средств.
Размещаются СРК на надводных и подводных кораблях, летательных аппаратах, а также на наземных подвижных и неподвижных носителях. СРК, предна-, , ( -
), -
канальную как по частоте, так и по направлению радиотехническую систему [1,2]. Важной задачей является оперативное управление СРК, контроль ее работоспособности с целью обеспечения успешного функционирования, высоких уровней надежности и готовности. Ввиду того, что контроль СРК в большинстве случаев является централизованным, согласно классификации, приведенной в работе [3], то функции управления и контроля СРК могут быть совмещены в одном устройстве. Автоматизация работы предполагает выработку решений о переключении режимов работы СРК и проведения сеансов контроля в зависимости от информации,
поступающей непосредственно от аппаратуры обнаружения радиосигналов, поэтому в устройстве управления может быть предусмотрен канал приема данных об
. -
тического переключения в режим контроля:
г = 0, + АТ) п, (1)
ДТ
