CC BY
85ЭЛЕКТРОННЫЕ УЧЕБНЫЕ РЕСУРСЫ И МЕТОДИКА V ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ
УДК 004.9
Д. В. Баяндин, Н. Н. Медведева, Н. К. Ханнанов
КОМПЬЮТЕРНЫЙ МОДЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Изложены идеи применения и методики использования технологии компьютерного моделирования при изучении школьного курса физики. К наиболее сложным его вопросам относятся закономерности теплового движения в неравновесных и равновесных системах. В связи с этим предлагаются возможные подходы к формированию у учащихся представлений о тепловом равновесии и беспорядке в системах многих частиц, о самопроизвольном возникновении хаоса из первоначально упорядоченного состояния. Рассматриваются приемы, способствующие уяснению смысла и усвоению связей микроскопических и макроскопических характеристик состояния. Обсуждается опыт использования изложенного подхода на уроках в средней школе. Статья ориентирована на практикующих учителей и методистов, а также на разработчиков электронных образовательных изданий. Для первых и вторых интерес может представлять обсуждение методики использования готовых моделей, для последних - соображения, касающиеся создания новых методически обоснованных моделей.
Ключевые слова : математическое и компьютерное моделирование, виртуальный эксперимент, обучение физике, порядок и хаос в системах многих частиц.
На сегодняшний день в научно-методической периодике представлено большое число работ, посвященных использованию компьютерного модельного эксперимента при обучении физике, в том числе в сочетании с реальным экспериментом (см., например, работы [1, 2, 7-10, 12-13, 15-16, 20]), роль которого для физики как экспериментальной науки нельзя переоценить. Среди публикаций такого рода значительная часть касается высшего образования. Многие статьи связаны с использованием компьютерных технологий для создания имитаций реальных лабораторных стендов. Зачастую акцент делается не на методических аспектах использования моделирующих систем, а на их технических особенностях и характеристиках. При этом мало внимания уделяется обсуждению проблемы ограниченных возможностей использования в школе математического аппарата, необходимого для описания сложных физических явлений, и положительной роли, которую в решении этой проблемы могут сыграть методы компьютерного моделирования. Между тем недостаточное знание математики ощутимо тормозит освоение учащимися идей современной физики и техники, препятствует формированию представлений о
© Баяндин Д.В., Медведева Н.Н., Ханнанов Н.К., 2015
мироустройстве и уяснению описывающих его законов. В полной мере сказанное относится к формированию статистических представлений и уяснению сути статистических закономерностей, важность которых уже обсуждалась нами в статье [4].
При изучении молекулярно-кинетической теории (МКТ) газа важно донести до школьников представления о хаотическом движении его молекул и существовании статистических законов. Идеи хаоса и порядка, энтропии и информации являются предметом современного естествознания. В то же время ученикам десятого класса, воспитанным на классической механике, трудно воспринять сочетание противоречивых понятий беспорядка и закона.
В школьном курсе рассматривается понятие «средняя квадратичная скорость», выводится основное уравнение МКТ газов, обсуждается связь средней энергии хаотического движения молекул и температуры идеального газа. Результатом является заключение, что при тепловом равновесии двух тел равны средние энергии движения их молекул. Этот вывод возникает в ходе аналитических выкладок, основанных:
■ на свойствах молекул в модели идеального газа (молекулы - хаотически движущиеся материальные точки, которые только при соприкосновении взаимодействуют между собой, причем только отталкиваются);
■ законах классической механики (для описания удара молекул о стенки используется закон сохранения импульса и второй закон Ньютона);
■ процедуре вычисления среднего в рядах с большим числом слагаемых.
Развитые ученики физико-математических классов, склонные к абстрактному мышлению, способны понять логику этих преобразований. Однако действительное понимание физики явления демонстрируется выпускниками средней школы нечасто.
У школьника со средней математической подготовкой или просто с более конкретным мышлением трудности возникают уже на уровне восприятия модели идеального газа: молекулы не имеют размера, но сталкиваются. Многим трудно дается понимание перехода от среднего квадрата проекции скорости молекул на одну ось к средней квадратичной скорости
—2 —2 —2 1 —2
V = V = V =— V ,
х кв у кв гкв ^ кв >
который обоснован равномерным распределением векторов скорости по направлениям (изотропности). Эти трудности связаны прежде всего с непривычностью математической процедуры усреднения величин, ведь в школьный курс математики элементы статистики только начинают проникать. В данном же случае этот математический навык необходимо сочетать с пространственным воображением, переходом от рассмотрения одной частицы (второй закон Ньютона) ко многим частицам (число ударов о стенку).
Альтернативой может быть использование моделирующих компьютерных сред («Живая физика», «Открытая физика», «1С: Школа. Физика, 10-11 класс. Подготовка к ЕГЭ» [17] и другие), которые позволяют рассчитывать конфигурации систем, состоящих из десятков частиц, самосогласованно движущихся в соответствии с принципом выбора состояния с минимальной энергией. Воспользуемся для анализа поведения молекул газа моделями, входящими в состав одной из таких компьютерных сред, «Интер@ктивная физика» [3, 6], разработанной Институтом инновационных технологий, г. Пермь (рис. 1).
Молекулярно-кинетическая теория газов
Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости (старт от стенки)
Рис. 1. Интерфейс модели «Распределение Максвелла» из состава обучающей среды «Интер@ктивная физика»
(Институт инновационных технологий, г. Пермь) [6]
Будем считать частицы упругими шарами конечного размера, при столкновениях которых выполняются законы сохранения импульса и энергии. Среда позволяет отобразить на экране движущиеся частицы с векторами их скоростей в каждый момент времени, гистограммы распределения молекул по скоростям, значения средней арифметической и средней квадратичной скоростей движения.
Как будет видно из дальнейшего, замена молекул-точек на молекулы-шарики в модели идеального газа позволяет не только прояснить взаимосвязь между микро- и макропараметрами газа, но и наглядно проследить за процессом возникновения хаоса в системе, которая в МКТ закладывается как аксиома.
При работе с компьютерной моделью школьник должен понимать: он управляет компьютером. Человек может предсказать результаты расчета и лишь перекладывает на машину решение тяжелых рутинных задач. Компьютер быстро и точно считает, поэтому целесообразно доверить ему эту работу. При этом учащийся должен быть уверен в достоверности результатов расчета, в том, что компьютер «не обманывает» его, не имитирует результат. Иначе говоря, возникает вопрос об установлении адекватности заложенной в программную среду математической модели изучаемого явления и реализующей ее компьютерной модели путем тестирования. Для обсуждаемой системы тестами могут служить соответствующие задачи механики (см., например, рис. 2). Разумеется, возвращаться к ним в ходе изучения молекулярной физики нерационально. Однако в этом нет нужды, если компьютерная среда используется на занятиях систематически, и при изучении механических явлений такие задачи рассматривались.
Итак, на предварительном этапе следует найти ответ на вопрос: насколько хорошо компьютерная модель упругих шаров согласуется с физическим экспериментом и, соответственно,
будучи положенной в основу модели идеального газа, позволяет изучать закономерности теплового движения в рамках численного эксперимента?
Рис. 2. Лабораторная работа «Соударение шаров»
Рассмотрим в качестве примера обсуждения ряд возможных тестовых задач.
Тест 1. Упругий центральный удар двух одинаковых шаров. Эта задача имеет непосредственное отношение к МКТ идеального газа. Попробуем понять поведение системы в опыте, получить аналитическое решение и сопоставить с этой достоверной информацией прогноз компьютерной модели.
Хорошо известен эксперимент с двумя стальными шариками на бифилярных подвесах (рис. 2). Один шарик отклоняем от вертикали и отпускаем. При ударе по шарику той же массы первый останавливается, второй приходит в движение. Скорость второго шара после удара приблизительно равна скорости первого перед ударом. Об этом свидетельствует высота, на которую поднимается второй шарик. Это позволяет сделать вывод, что удар упругий, так что выполняется закон сохранения энергии. Поскольку в момент удара проекции на горизонтальное направление всех сил, действующих на тела, равны нулю, то должен выполняться и закон сохранения импульса:
2 2 2 2 miVL+ m2°2 = , m2u2
2 2 2 2 '
mv\+mvi= mu+m2u2. (2)
Для рассматриваемого случая m1 = m2, а v2 = 0, поэтому
2 2 2 mv, mu mun
—L = —L + —- , (3)
2 2 2
mvx = mu + mu2 . (4)
Решение этой системы уравнений дает ищ2 = 0, что возможно либо когда и2 = 0, что означало бы, что первый шар пролетел сквозь покоящийся второй, либо щ = 0, что приводит к и2 = Ц. Этот результат согласуется с натурным экспериментом.
Другой случай, который легко реализовать в опытах со стальными шарами на подвесах и рассчитать аналитически из системы уравнений (1)-(2), тоже достаточно прост: два одинаковых шара сталкиваются с одинаковыми по модулю и противоположно направленными скоростями и отскакивают друг от друга с теми же скоростями.
Третье частное решение можно получить, рассмотрев отскок легкого шарика от покоящегося тяжелого, полагая в (3)-(4) а = ш\1ш2 << 1. Для этого уравнения
тЦ тЩ тЩ
2 2 2 т ц = тщ + т2и2
поделим на т и в ходе алгебраических преобразований пренебрежем членами уравнения, содержащими сомножитель а2. Это дает
щ « - ——а)ц' « -ц , и2 « —2а<1 « -2аи1 « 0, 1 + а 1 - а
то есть легкий шар отлетает от тяжелого примерно с такой же скоростью, с какой налетел, а тяжелый шар остается на месте.
Все три рассмотренные задачи успешно решаются на компьютерной модели.
Можно ли решить аналитически задачи о столкновении шаров разной массы? Конечно, если не бояться громоздких алгебраических преобразований или подставить в уравнения конкретное соотношение масс тяжелого и легкого шаров (например, тг = 10т ). Но если компьютерная модель показала свою работоспособность для частного случая равных масс, есть надежда, что и более сложная ситуация рассчитывается правильно, и рассмотрение таких задач возможно в виде исследования на модели.
Тест 2. Центральное соударение шаров различной массы. Рассмотрим совместное падение на стол с высоты 1 м целлулоидного и резинового шаров, причем резиновый шар падает непосредственно под целлулоидным (рис. 3). При ударе о стол тяжелый резиновый шар поменяет направление скорости на противоположное и столкнется с легким целлулоидным, движущимся с той же скоростью вниз. Зная скорость целлулоидного шарика после удара с резиновым, можно оценить высоту его подъема или, наоборот, измерив высоту в эксперименте, можно оценить скорость после столкновения.
Ученики, плохо владеющие алгеброй, обычно начинают отгадывать, на какую высоту поднимется легкий шарик. Чаще всего предполагают, что оба шарика подскочат на ту же высоту 1 м или, с учетом того, что нижний шарик отскочит и «поддаст» верхнему энергии, - на высоту 2 м. Эксперимент опровергает все предположения. Целлулоидный шарик так бьется в потолок, что, кажется, он улетел бы вверх на пару этажей.
Проще всего подтвердить это, определив массы на весах и смоделировав процесс на компьютере (предпочитающие решение систем уравнений на листе бумаги и квадратных урав-
нений с помощью калькулятора могут сделать это и без компьютера). Пусть Ш\ = 1 ед., т2=10 ед., и перед ударом о стол V1= V2=5 ед., уо = У02. Расчет показывает (см. рис. 3), что после удара скорость тяжелого шарика несколько уменьшилась щ = 3,18 ед., а скорость легкого существенно возросла: п\ = 13,18 ед. « 2,636 V1. Поскольку высота подъема шарика может быть рассчитана по формуле
//_и12 _(2,636^)2_6,95 ■ _6 д ^ то для выбранных условий ее значение составит около 7 м.
Рис. 3. Падение на стол легкого (белого) и тяжелого (красного) упругих шаров
Тест 3. Центральное абсолютно упругое соударение шара с неподвижным осциллятором. Эта довольно сложная задача представлена, например, в известном образовательном продукте «Физика в анимациях» [18], скриншот из которого дан на рис. 4.
Рис. 4. Задача о соударениях в продукте «Физика в анимациях» [18]
В зависимости от положения правого шара возможны различные исходы соударений. Особым является случай (он и иллюстрируется программой), когда центр масс осциллятора после соударений сначала с левым, а затем с правым шаром возвращается в состояние покоя. «Физика в анимациях» отображает эту ситуацию неверно: осциллятор колеблется (не перемещаясь, как целое) в нарушение законов сохранения. В самом деле, если удар упругий, то полная энергия сохраняется; поскольку часть энергии остается у колеблющегося осциллятора, то правый шар должен двигаться с меньшей скоростью, чем была у левого шара до удара; но в таком случае не сохраняется импульс системы (импульс осциллятора равен нулю). Если же правый шар движется с той же скоростью, с какой налетал левый (выполняется закон сохранения импульса), то энергия системы загадочным образом увеличивается
На самом деле центр масс осциллятора после соударений может (при довольно прихотливом соотношении параметров задачи) покоиться, но колебания при этом не происходят. При произвольных параметрах (массе шаров, упругости пружины, скорости налетающего шара и положении правого шара) колеблющийся осциллятор движется как целое (и обладает импульсом). Отметим, что при реализации этой задачи на основе модельного конструктора среды «Ин-тер@ктивная физика» она решается правильно.
Тест 4. Нецентральное соударение шаров различной массы. Сама по себе задача не является чрезмерно сложной, но также требует значительного времени для рассмотрения множества представляющих интерес вариантов. Использование компьютера позволяет сэкономить это время. Можно убедиться в правильности модельного описания на тестовой задаче, например, о столкновении шаров равной массы, один из которых первоначально покоился. Угол разлета шаров в модельном эксперименте оказывается в полном согласии с теорией равным 90° при любом прицельном расстоянии и любой скорости налетающего шара. После этого теста можно, уже доверившись компьютеру, изучить с помощью модели перераспределение энергии и импульса между шарами в зависимости от соотношения масс, решить другие задачи, важные для понимания закономерностей теплового движения молекул.
В среде [6] представлены сценарии, успешно реализующие все упомянутые задачи. Удостоверившись в корректности модели столкновений в механике, перейдем к рассмотрению вопросов, относящихся непосредственно к молекулярной физике, а именно:
1. Как наступает хаос в первоначально упорядоченной системе из многих шаров, которые упруго взаимодействуют со стенками и между собой?
2. Что представляет собой в системе многих частиц состояние «теплового равновесия», которое устанавливается в системе самопроизвольно и которое с течением времени сохраняется? От каких начальных условий это состояние зависит, а от каких нет? Как в этом состоянии скорости частиц распределены по величине и направлению?
3. Как меняется с течением времени скорость каждой молекулы по величине и направлению? Существуют ли параметры системы, которые сохраняются в состоянии теплового равновесия?
Наступление хаоса в системе многих частиц
Увеличение числа частиц, возможность их столкновения со стенками еще более усложняют задачу и делают ее все более привлекательной для компьютерного расчета.
Расположим 60 частиц у одной стенки сосуда (ящика), зададим всем им одинаковый модуль скорости, равный 16 единицам, и направим векторы скорости к противоположной стенке сосуда (рис. 5, а). Первые 14 единиц времени частицы движутся к противоположной стенке, практически не задевая друг друга (рис. 5, б). Затем в течение короткого промежутка времени происходят столкновения частиц, уже отразившихся от стенки, и частиц, продолжающих двигаться к ней. В результате происходит увеличение скорости одних и остановка других частиц. Почти у всех частиц изменяется направление вектора скорости. Начинается возникновение «хаоса» как в направлении движения частиц, так и в величине модуля их скоростей (рис. 5, в).
Рис. 5. Образование хаоса (а-е) при одновременном старте от стенки
На рис.5 представлены распределения частиц по модулям скорости. Компьютер рассчитывает число частиц со скоростями из интервала от (у-Ау) до (у+Ау) и выводит на экран отно-
а
г
б
д
в
е
шение числа таких частиц АМ к общему числу частиц N в виде вертикальной линии пропорциональной высоты. Такой графический способ представления информации называется гистограммой.
Гистограммы для начального момента времени и для момента I = 14 ед. показывает, что все 100 % частиц имеют одинаковый модуль скорости. Через 20 единиц времени 80 % частиц все еще имеет модуль скорости в пределах 16 ± 1 ед. скорости, однако появились частицы и со скоростями 6 ± 1 ед., и со скоростями 20 ± 1 ед. (рис. 5, в). Большинство из них движется пока к стенке, от которой они стартовали. Последующие соударения частиц со стенками и друг с другом приводят к дальнейшему изменению распределения молекул по направлениям движения и по модулю скорости (см. рис. 5, г-д, и 6). Через продолжительное время (-2000 единиц) устанавливается практически не меняющееся в дальнейшем распределение молекул по скоростям с явно выраженным максимумом. Наибольшее число частиц имеет скорость 13 ± 1 ед. скорости (рис. 5, е).
Хаотичность теплового движения Средний вектор скорости для ансамбля частиц Равновероятность движений вдоль координатных осей
Рис. 6. Изотропность вектора скорости частиц в состоянии хаоса
В первоначально упорядоченной системе, где частицы взаимодействуют по законам упругих ударов, наступил хаос. «Собрав» все частицы в одну точку (рис. 6), легко убедиться, что распределение их скоростей по направлению носит случайный характер. Говорят, что оно изотропно: число векторов, попадающих в сектор 0-30° относительно оси ОХ, равно числу векторов, в секторе 30-60° и т.д. Это означает, что средняя скорость частиц практически равна нулю. Вычисление средних значений компонент скорости выявляет тенденцию к равномерному распределению энергии движения ансамбля частиц по степеням свободы: зеленый крестик на графике рис. 6 «притягивается» к биссектрисе прямого угла. Кроме того, рис. 5, д и е позволяют утверждать, что частицы распределились приблизительно равномерно в пространстве.
Мы наблюдаем, как «порядок» самопроизвольно уступает место «хаосу».
Хаос обладает особенностью: еще в древности люди понимали, что хаотическая система не
помнит о своем прошлом. Если «Иваны не помнят своего родства», значит, в государстве - хаос. Как эта особенность хаотического состояния проявляется в нашей системе?
Расположим те же 60 частиц в начальный момент времени не вдоль одной стенки, а равномерно по «объему сосуда». Пусть скорости частиц по модулю равны начальной скорости в предыдущем эксперименте, но направлены случайным образом (заданы генератором случайных чисел) (рис. 7, а).
Уже через 1000 единиц времени в системе наступает состояние, сходное с конечным в предыдущем эксперименте: приблизительно сохраняется равномерное распределение частиц по объему сосуда и изотропное распределение векторов скоростей по направлениям. Распределения частиц по модулям скоростей в обоих экспериментах (гистограммы на рис. 5, е и 7, г) практически совпадают.
Рис. 7. Образование хаоса (а-г) из состояния с одинаковыми по модулю скоростями
а
в
б
г
Таким образом, состояние системы по прошествии длительного времени не зависит от начального положения и направления скоростей частиц; при дальнейшем расчете оно не изменяется.
Системы, состоящие из большого числа частиц, называют макросистемами. Состояние, к которому они самопроизвольно приходят, будучи изолированными от других систем, называют состоянием термодинамического равновесия. Характерная особенность этого состояния, в котором система может находиться сколь угодно долго, - хаос. Постоянство во времени полу-
ченного в нашем компьютерном эксперименте распределения молекул по скоростям и сам характер этого распределения - это лишь некоторые из закономерностей хаоса.
Неизменность распределения по скоростям с течением времени означает, что хотя в установившемся состоянии компоненты скорости каждой отдельной частицы меняются со временем, существуют параметры, характеризующие систему в целом, - так называемые макропараметры, которые остаются со временем постоянными.
Аналогично в модельном эксперименте можно показать, что характер распределения по скоростям не зависит от числа частиц в системе (если только это последнее не слишком мало). С уменьшением числа частиц распределение лишь дольше устанавливается и может быть не таким гладким.
Измерение параметров макросистемы (концентрации, температуры, давления) в состоянии термодинамического равновесия показывает, что они одинаковы по всему объему и остаются со временем неизменными. Проиллюстрировать и понять причины этого позволяет ряд компьютерных экспериментов, которые описываются ниже.
Характеристики термодинамического равновесия
Рассмотрим для начала макропараметр, называемый концентрацией (имеют смысл числа молекул в единице объема).
Изучим при помощи компьютерной модели движение частиц, которые в начальный момент времени были распределены по объему сосуда равномерно. Мысленно разделим сосуд на две равные части - левую и правую. Начальное число частиц в половинках одинаково. Модельный эксперимент показывает, что при движении молекул равновесие (равенство числа частиц слева и справа) постоянно нарушается: частиц больше 50 % то слева, то справа (рис. 8). Однако нарушения эти происходят практически симметрично, так что в среднем число частиц слева и справа одинаково и равно 50 %. Отклонения от этого среднего значения называются флуктуа-циями, они хорошо видны на графике зависимости числа частиц от времени.
Рис. 8. Динамика распределения частиц при равновесном начальном состоянии
Флуктуации подчиняются и другому закону случайных чисел (первый - симметричность отклонений от среднего): большие флуктуации возникают реже малых.
Теперь пусть в начальный момент времени все частицы находятся в левой половинке сосуда (рис. 9,а). Рис. 9,б, демонстрирует, что и в этом случае система приходит в равновесие: по прошествии непродолжительного времени устанавливается приблизительное равенство числа частиц слева и справа от воображаемой границы.
Объем сосуда можно разбить не только на половинки, но и на любые другие элементы, в том числе единичные. Состояние термодинамического равновесия характерно тем, что при любом разбиении в одинаковых объемах находится в среднем одинаковое число частиц. Равенство числа частиц в единичных объемах и означает однородность распределения частиц по объему или равенство концентраций частиц в разных частях сосуда. Такая картина распределения частиц при отсутствии внешних воздействий сохраняется сколь угодно долго.
Другим параметром, который в состоянии равновесия однороден по объему и постоянен во времени, является средняя кинетическая энергия частиц и полученное в описанных выше расчетах установившееся распределение молекул по скоростям АММ(у).
б
а
Рис. 9. Установление равновесия (а, б) в распределении частиц по половинкам сосуда
Это объясняется сохранением полной энергии замкнутой системы Е (закон сохранения энергии при ударах частиц о стенки и между собой заложен в основу расчетов, число частиц не меняется). Способ вычисления средней кинетической энергии частиц:
2 2 2 тцх тЦ2 тцм
- = £ = ++•••+~2~ = т. ц2 + Ц2 + ••• +
к N N 2 N
позволяет ввести для данного сорта частиц среднюю квадратичную скорость
2 2 2 _ 2 = Ц + Ц + ••• + VN
кв N '
а их среднюю энергию записывать в виде
г —
Ьк —
2
Ясно, что если система представляет собой смесь частиц разной массы (смесь газов), то полная энергия по-прежнему будет сохраняться. А вот что произойдет со средней кинетической энергией и средней квадратичной скоростью каждой группы частиц неочевидно. Ответ на этот вопрос дают следующие два модельных эксперимента.
На рис. 10, показаны исходное состояние и результаты расчета процесса перемешивания двух сортов частиц с вдвое отличающимися массами, изначально обладавшими одинаковой энергией.
а б
Рис. 10. Перемешивание частиц двух сортов (а, б) при равной начальной средней энергии
а б
Рис. 11. Перемешивание частиц двух сортов (а, б) при равной начальной средней скорости
А на рис. 11, изображен тот же процесс, но для частиц с одинаковыми начальными скоростями. Из графиков зависимости от времени и числовых данных видно, что у обеих групп частиц выравниваются средние кинетические энергии, но не средние квадратичные скорости. Таким образом, средняя кинетическая энергия частиц в состоянии термодинамического равно-
весия равна для всех частиц смеси независимо от их массы. Именно этот параметр выравнивается, если смешиваются две порции частиц с разной средней энергией в расчете на одну частицу.
Обнаруженное равенство средних энергий частиц, как и равенство концентраций, не является точным, а проявляется как тенденция. Это видно из графиков на рис. 10 и 11: энергии частиц каждого сорта флуктуируют вокруг общего среднего значения, поэтому мгновенные значения средних энергий равны лишь приблизительно. Относительная величина флуктуаций при небольшом количестве частиц оказывается велика (в наших экспериментах - до 20 %). Однако при помощи модельного эксперимента можно показать, что с ростом числа частиц эта величина уменьшается.
Отметим, что существует два способа вычисления средних значений в макросистемах. Понятие средней энергии частицы было введено нами, как обычно, с помощью усреднения по ансамблю частиц: в каждый момент времени рассчитывается среднее арифметическое значение энергии. Однако значительные флуктуации в модели, использующей лишь несколько десятков частиц, интуитивно подводят к потребности усреднять параметры системы и по времени. Для равновесных систем усреднение по ансамблю и по времени обычно приводит к одинаковому результату (эргодическая гипотеза).
Проследим в ходе компьютерного эксперимента за изменением с течением времени энергии одной частицы равновесной системы. При каждом столкновении с другой частицей энергия ее будет меняться от в1 до в2 , и если она двигалась с энергией в1 от предыдущего удара до данного время , а обладая энергией в2, до следующего удара двигалась время ¿2, то средней энергией за промежуток (¿+2) назовем энергию вср=(в1^1+в2^2)/(^1+^2). График зависимости вср от времени на рис. 12 показывает, что такое усреднение при достаточном времени наблюдения соответствует среднему по ансамблю ёк, отмеченному штриховой линией: отклонения от него со временем уменьшаются.
Рис. 12. Изменение средней по времени энергии одной частицы и ее приближение к средней по ансамблю
Сказанное выше позволяет естественно перейти к третьему параметру равновесного состояния - давлению.
В данном случае статистика накапливается не благодаря большому количеству частиц (как в реальных системах), а в ходе продолжительного наблюдения. Такой способ усреднения мы уже использовали выше (см. рис. 8 и 9), говоря о среднем числе частиц в половинках сосуда. Важнее, однако, что такое же по сути усреднение используется при классическом способе вычисления давления в выводе основного уравнения МКТ газов: давление определяется через средний за время Дt импульс силы, полученный стенкой. Усреднение по ансамблю также ведется, поскольку рассматривается участок стенки площадью ДО. Это дает основание для того, чтобы в компьютерной модели также понимать под давлением величину, усредненную и по частицам, и по времени.
Вернемся для простоты к рассмотрению одинаковых молекул и проследим за тем, как меняется средняя сила ^ср воздействия всех частиц на одну из стенок, например, на правую (см. рис. 12). Определим эту величину как отношение суммы изменений нормальных составляющих импульсов всех молекул при их ударах о стенку к времени наблюдения Дt. То есть усреднение проводится как по времени, так и по ансамблю. График зависимости ^ср от времени на рис. 12 ярко иллюстрирует статистический характер давления: при каждом новом ударе о стенку ^ср увеличивается скачком (поскольку время удара мало), затем монотонно уменьшается вплоть до следующего удара (поскольку растет Дt при неизменном суммарном импульсе). В результате значение средней силы удара меняется вблизи некоторого среднего значения, к которому и стремится при увеличении Дt. Давление газа, как указывалось выше, пропорционально ^ср.
Компьютерная модель позволяет выяснить, как средняя сила удара зависит от концентрации частиц (общего числа в области) и от средней энергии частиц. Обобщения двух серий таких экспериментов даны на рис. 13.
Рис. 13. Зависимость средней силы удара от концентрации и от средней энергии частиц
Видно, что средняя сила удара, а значит, и давление на стенку оказывается пропорциональной как концентрации, так и средней энергии одной частицы. Поскольку отношение средней силы давления ^ср к площади стенки ДО и есть среднее давление, то полученный результат можно сформулировать как
p - nsK или p = хтк,
где х - коэффициент пропорциональности. Фактически это соотношение отражает качественные соображения о том, что средняя сила удара молекул о стенку должна зависеть от массы молекул (поскольку от нее зависит сила каждого удара), концентрации частиц (от нее зависит количество ударов за единицу времени) и скорости молекул (от нее зависят и сила ударов, и их частота при движении молекул между стенками).
Итак, давление (или средняя сила ударов молекул о стенку) в состоянии термодинамического равновесия - как и концентрация и средняя энергия молекул - не зависит от времени, то есть, как говорят, является параметром состояния системы.
Отметим, однако, что достоверные результаты «измерения» в модельном эксперименте средних значений концентрации, энергии, давления получаются при наблюдении, предоставляющем представительную статистику. Для модели с относительно небольшим количеством частиц это означает достаточную продолжительность наблюдения.
Температура и ее взаимосвязь с энергией молекул
Давление в сосуде с газом может быть измерено с помощью манометра. Температура газа - с помощью термометра. Однако следует обсудить, что характеризуют показания термометра. Опыт показывает, что перепад температур тел определяет направление теплообмена, а выравнивание температур свидетельствует, что такой теплообмен закончился. То есть термометр фиксирует факт, что какой-то параметр системы перестал меняться во времени. Если все остальные параметры тоже не меняются, то говорят, что наступило состояние термодинамического равновесия. Таким образом, термометр - прибор, фиксирующий состояние равновесия. Сначала мы приводим в состояние равновесия термометр и тело, температуру которого измеряем. Затем это тело приводим в контакт со вторым телом. Показания термометра опять начинают меняться, но через некоторое время изменения прекращаются, и теперь показания термометра характеризуют состояние равновесия двух тел и термометра.
В 1742 г. для количественного измерения температуры и изготовления термометров была введена шкала Цельсия. Исследования газов с использованием таких термометров показали, что давление p, объем V, температура f и число молекул газа в сосуде N связаны уравнением состояния газа, или уравнением Менделеева-Клапейрона:
p = kN (to + 273,15) .
После замены n = N/V (определение концентрации) и T = t° + 273,15 (определение температуры по шкале Кельвина, 1848 г.) получим
p = nkT .
Здесь к - коэффициент пропорциональности между экспериментально измеряемыми величинами. Сравнивая с полученным в модельном эксперименте, приходим к
nkT = %nsK или sK = (k/ x)T.
Таким образом, средняя энергия пропорциональна температуре по шкале Кельвина. Иначе: температура - мера средней энергии движения молекул в газе, молекулы которого представляют собой упругие шары. Коэффициент к - экспериментально измеряемая константа Больцма-на, коэффициент х = 2/3 можно получить, более детально изучив, как связаны между собой средняя энергия молекул и средняя энергия удара молекул при их движении в трехмерном ящике. Таким образом, средняя энергия поступательного движения молекул газа может быть рассчитана по известной температуре газа
3
ёК = - кТ .
2
Поскольку температура характеризует состояние термодинамического равновесия, в котором, как мы видели, сохраняется распределение молекул по скоростям, выясним, как это распределение зависит от средней энергии молекул или, что то же, от температуры (распределения на рисунках 5 и 7 соответствуют 7=300 единиц). Результаты модельного эксперимента - начальные и конечные картины распределения молекул газа для скоростей, соответствующих трехкратному отличию средних энергий молекул (температур системы) - изображены на рисунке 14.
Рис. 14. Распределение частиц по скоростям при различных температурах
Видно, что при увеличении температуры (средней скорости молекул) максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а само распределение становится более размытым.
Строгое обоснование этой закономерности было получено Максвеллом. Выражение для функции распределения молекул массой т по скоростям в газе с температурой Т имеет вид:
/ (V ) = 4 п
т
2пкТ
3/2 Г 2 ~
2 I mv
v 6x1 г тт
где к - постоянная Больцмана.
График этой функции, как и график любой другой математической функции, может быть построен с помощью компьютера (рис. 15).
Как видим, полученное в компьютерном эксперименте распределение частиц по скоростям и характер его изменения с температурой (рис. 14) хорошо согласуются с распределением Максвелла.
Рис. 15. Распределение Максвелла при двух разных температурах
Заметим, наконец, что компьютерная модель позволяет в некоторой степени обозначить границы применимости модели идеального газа. До сих пор речь шла об ансамбле частиц, собственный объем которых мал по сравнению с объемом ящика, а взаимодействие на расстоянии отсутствует. При увеличении размеров частиц зависимость давления от концентрации теряет в модельном описании линейный характер: сравните соответствующие графики на рис. 13 и 16. Это дает возможность обсудить поправку Ван-дер-Ваальса на собственный объем молекул реального газа.
Особенности индивидуальной работы учащихся с компьютерными моделями
В ряде школ г. Перми уроки с использованием интерактивных моделей и заданий из состава активной обучающей среды «Интер@ктивная физика» проводятся в течение пяти лет и более. Возможности моделей для иллюстрации учителем нового материала по разделу молекулярной физики видны из вышеизложенного. Остановимся еще на некоторых моментах, относящихся к методике проведения уроков модельного практикума.
Одна из его работ основана на обсуждавшейся выше модели «Давление идеального газа», в которой исследуется зависимость давления от концентрации частиц и их средней энергии. В первой части работы ученики, выбрав конкретные значения «температуры» (средней энергии молекул), наблюдают за поведением частиц в компьютерной модели и изменением характеристик системы (числовая информация, графики). В ходе компьютерного эксперимента фиксируется меняющееся во времени значение давления, по окончании каждого эксперимента регистрируется рассчитанное компьютером среднее за период наблюдения давление. По результатам серии экспериментов в тетради строится график зависимости давления от температуры (аналогичный изображенному на рис. 13) и формулируется вывод о характере зависимости. С этим заданием обычно справляются практически все учащиеся.
Рис. 16. Зависимость давления от концентрации при увеличенных размерах частиц
Во второй части работы исследуется зависимость давления от концентрации. Ученики имеют возможность выбора тактики проведения эксперимента, поэтому у разных рабочих групп (2-3 человека) возникают неодинаковые проблемы.
При изменении величины концентрации от больших значений к меньшим обычно получают разумный график зависимости p(n). При малых концентрациях (и прежнем времени наблюдения) результаты эксперимента могут вызывать недоумение, однако ученики легко мирятся с этим, поскольку характер зависимости уже ясен.
При изменении же величины концентрации от меньших значений к большим учащиеся, как правило, оказываются в затруднении на начальном этапе работы. Их смущает, что «среднее» давление «прыгает», то есть в повторных экспериментах при той же концентрации получаются другие значения. При выборе небольшого шага изменения концентрации прямая пропорциональная зависимость вообще может не получиться. Только после оказания учителем помощи - указания на роль времени наблюдения - школьникам удается справиться с заданием.
Методика проведения всех работ компьютерного практикума предполагает - в нашей версии - этап коллективного обсуждения результатов модельного эксперимента. Именно в процессе совместного анализа возникших проблем удается раскрыть в полной мере смысл таких понятий как «статистический параметр», «границы применимости статистических законов». Отсутствие такого обсуждения отличия данных численного эксперимента от теории школьники склонны объяснять недостатками компьютерной модели. Лишь немногие понимают, что проблема интерпретации результатов может быть связана с выходом за рамки действия статистических законов.
Отметим еще, что на этапе модельного практикума, а возможно, и раньше - при объяснении теоретического материала с использованием обсуждавшихся выше моделей, необходимо обратить внимание учащихся на то, что реальные системы содержат число молекул в невообразимое - с повседневной, бытовой точки зрения - число раз большее, чем можно рассчитать с помощью любой компьютерной программы. Учащиеся, как правило, плохо чувствуют масштабы числовых значений величин, которыми оперирует молекулярная физика. Слова «много мо-
лекул» ассоциируются у них со словами «миллиард» или около того. На самом же деле газ с концентрацией частиц 1010 м-3 представляет собой глубокий вакуум.
Важность формирования представлений школьников о статистическом характере многих физических законов, способы формирования этих представлений неоднократно обсуждались в педагогической литературе (см., например, [5, 11, 14]). Опыт показывает, что большинство старшеклассников психологически не готовы анализировать границы применимости статистических законов, чего требует современный стандарт физического образования. Об этом же свидетельствует анализ результатов Всероссийского тестирования. Школьники крайне плохо справляются с заданиями, в которых требуется анализировать границы применимости статистических законов (основное уравнение МКТ, второе начало термодинамики, закон радиоактивного распада). Компьютер дает инструмент доступного объяснения наличия ограничений для статистических законов.
При традиционной методике преподавания ученики обычно не могут на основе своего чувственного опыта уяснить суть статистического подхода, понять статистический характер параметров состояния и основного уравнения МКТ газов. В обсуждаемом случае модельный компьютерный эксперимент позволяет в сжатые сроки получить интересный фактический материал для проблемного рассмотрения физического явления. Использование компьютерного эксперимента формирует наглядные представления об основных величинах, носящих статистический характер (концентрация, давление в газах), о процессах, описываемых молекулярно-кинетической теорией идеального газа (установление теплового равновесия и так далее), о статистических закономерностях и законах. В ходе занятий у учащихся складывается понимание того, что основное уравнение МКТ является следствием законов классической механики для системы многих частиц. Компьютерное моделирование позволяет осознать, что границы применимости некоторых законов связаны именно с тем, что они являются статистическими, то есть проявляются при использовании большого числа частиц или длительном наблюдении, иначе говоря - в условиях, когда возможно осуществить процедуру усреднения той или иной величины с достаточной степенью точности. В целом, по нашим наблюдениям, у большинства учащихся удается сформировать представление о характере и границах применимости статистических законов. Таким образом, при описанном подходе компьютер используется не только для повышения мотивации при обучении физике, но и способствует более глубокому пониманию физических законов.
Понятие компьютерного эксперимента, широко используемое в современной науке и технике, постепенно проникает и в школьный учебник. Описанный здесь подход к изложению молекулярно-кинетической теории газов с использованием компьютерного моделирования реализован одним из авторов статьи при написании учебника для классов с углубленным изучением физики [19].
Список литературы
1. Абутин М.В., Колинько К.П., Чирцов А.С. Концепция и опыт использования в реальном учебном процессе электронных мультимедийных сборников по физике // Компьютерные инструменты в образовании. - 2004. - № 5. - С. 3-18.
2. Баяндин Д.В. Дидактические аспекты применения интерактивных компьютерных технологий в лабораторном практикуме // Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society). - 2015. - Т. 18, № 3. - С. 511-533. - URL: http://ifets.ieee.org/russian/de-pository/v18_i3/ pdf/13.pdf (дата обращения: 15.07.2015)
3. Баяндин Д.В. Реализация концепции полнофункциональной предметно-ориентированной среды обучения // Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society). - 2015. - Т. 18, № 4. С. 574-601. - URL: http://ifets.ieee.org/russian/de-pository/v18_i4/ pdf/4.pdf (дата обращения: 15.07.2015)
4. Баяндин Д.В., Медведева Н.Н., Ханнанов Н.К. Закономерности хаоса (об использовании компьютерных модельных экспериментов) // Физика. - М.: ИД «1 сентября», - 2004. -№ 32. - С. 7-15.
5. Бергер Н.М. Развитие статистических представлений в молекулярной физике // Физика в школе. - 1993. - № 5.
6. Интер@ктивная физика. Система активных обучающих сред для средней и высшей школы: учеб. пособие [Электронный ресурс] / Д.В. Баяндин, Н.Н. Медведева, О.И. Мухин [и др.]. - ООО ИИТ. - Электрон. дан. (7,3Гб, 7,9 ГБ). - Пермь: ООО ИИТ, 2012. - 2 электрон. опт. диск (DVD-ROM). Систем. требования: Pentium 1.8 ГГц, HDD 8 Гб; RAM 2 Гб, операционная система: Windows 2000/XP/Vista/7/8.
7. Кавтрев А.Ф. Урок физики с использованием Интернет-технологий. Компьютерная лабораторная работа в режиме online // Компьютерные инструменты в образовании. - 2005. - № 3. - С. 45-50.
8. Казакова Е.Л., Назаров А.И. Методические аспекты использования компьютерных технологий в лабораторном физическом практикуме // Физическое образование в вузах. - 2009.
- Т. 15, № 3. - С. 86-94.
9. Кондратьев А.С., Ляпцев А.В., Никольский А.С. Качественный анализ картины явления при его математическом моделировании // Компьютерные инструменты в образовании. 2014. № 2. С. 46-52.
10. Марек В.П., Чирцов А.С. Использование компьютерных технологий и моделирования для приближения лабораторных работ к научным // Компьютерные инструменты в образовании.
- 2014. - № 1. - С. 44-59.
11. Мякишев Г.Я. Динамические и статистические закономерности в физике. - М.: Наука, - 1973. - 272 с.
12. Никифоров В.Ю. Использование компьютерных технологий в ходе лабораторного практикума при изучении распределения молекул идеального газа по скоростям // Физическое
образование в вузах. - 2003. -Т. 9, № 4. - С. 116-128.
13. Стародубцев В.А. Компьютерные и мультимедийные технологии в естественнонаучном образовании: монография. - Томск: Дельтаплан. - 2002. -224 с.
14. Пинский А.В., Шурыгина Л.С. Модельный эксперимент по молекулярной физике // Физика в школе. - 1977. - № 5.
15. Толстик А.М. Роль компьютерного эксперимента в физическом образовании // Физическое образование в вузах. - 2002. Т. 8. - № 2. С. 94-102.
16. Толстик А.М. Некоторые методические вопросы применения компьютерного эксперимента в физическом образовании // Физическое образование в вузах. - 2006. - Т. 12, № 2. - С. 76-84.
17. Физика, 10-11 кл. Подготовка к ЕГЭ: учеб. пособие [Электронный ресурс] / Федер. агентство по образованию, ГУ РЦ ЭМТО, ЗАО «1С»; под ред. Н.К. Ханнанова. - Электрон. дан. (445Мб, 500 МБ). - М.: ЗАО «1C», ООО «1С-Паблишинг», Изд-во «Просвещение», 2004. - 2 электрон. опт. диска (CD-ROM). - Загл. с экрана. - Систем. требования: Pentium III 700МГц; HDD 170 Мб; RAM 128 Мб; 800х600;Windows 98SE/Me/2000/XP. - (Серия «1С: Школа»).
18. Физика в анимациях. - URL: http://physics.nad.ru/Physics (дата обращения: 15.07.2015)
19. Чижов Г. А., Ханнанов Н. К. Физика, 10 класс: Учебник для классов с углубленным изучением физики. - М.: Дрофа, 2003. - 480 с.
20. Чирцов А.С., Абутин М.В., Марек В.П., Микушев С.В. Новые варианты использования информационных и мультимедийных технологий для реализации непрерывного высшего профессионального образования // Физическое образование в вузах. - 2012. - Т.18, № 1. - С. 109-125.
