CC BY
96
УДК 621.314.21
А. Я. Якушев, А. Г. Середа КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЯГОВОГО ТРАНСФОРМАТОРА С СЕКЦИОНИРОВАННЫМИ ВТОРИЧНЫМИ ОБМОТКАМИ
Дата поступления: 22.12.2015 Решение о публикации: 28.02.2016
Цель: Адекватно воспроизвести переходные процессы в силовых цепях электроподвижного состава (ЭПС) при компьютерном моделировании рабочих режимов ЭПС переменного тока. Методы: Рассмотрен способ компьютерного моделирования тягового трансформатора с секционированными вторичными обмотками, в котором применена форма записи дифференциальных уравнений в пространстве состояний. Использована методика расчета индуктивностей рассеяния обмоток тягового трансформатора, основанная на теории многообмоточных трансформаторов. Результаты: Получена компьютерная модель тягового трансформатора, учитывающая изменение магнитного поля рассеяния при дискретном переключении нагрузки секций тяговых обмоток. Подтверждены выражения для расчета индуктивности рассеяния обмоток трансформатора и взаимной индуктивности, учитывающей изменение магнитного поля рассеяния обмоток при дискретном переключении нагрузки секций тяговых обмоток. Практическая значимость: Моделирование электромагнитных процессов в силовых цепях ЭПС позволяет воспроизводить переходные процессы в силовых цепях ЭПС, экспериментальное исследование которых требует применения дорогостоящих измерительных комплексов или же экспериментальные исследования работы ЭПС невыполнимы в реальных условиях. Тяговый трансформатор важнейший компонент электрооборудования ЭПС переменного тока, от параметров которого существенно зависят режимы работы тяговых преобразователей и их энергетические характеристики.
Тяговый трансформатор, многообмоточный трансформатор, индуктивность рассеяния, пространство состояний, уравнение состояния.
Aleksey Ya. Yakushev, Cand. Sci. (Eng.), associate professor, professor, el_tyaga@mail.ru; *Aleksandr G. Sereda, postgraduate student, ag-sereda@mail.ru (Petersburg State Transport University) COMPUTER SIMULATION OF A TRACTION TRANSFORMER WITH TAPPED SECONDARY COIL
Objective: To reproduce adequately transient processes in power circuits of an electrically propelled vehicle in computer simulation of operating modes of alternating-current electrically propelled vehicles. Methods: A method for computer simulation of a traction transformer with tapped secondary coils in which recording format of differential equations into state space is considered. Applied was a method for calculating scattered inductions of traction transformer coils, based on multi-circuit-transformer theory. Results: A computer simulation of a traction transformer was obtained, taking into account changes to the stray magnetic field in case of discrete switching of loading of traction coils. Equations were confirmed for calculation of scattered induction of transformer coils and of mutual induction, which take into account changes to stray magnetic field of coils in case of discrete switching of loading of traction coils. Practical importance: Simulation of electromagnetic processes in electrically propelled vehicles' power circuits allows reproduction of transient processes in electrically propelled vehicles' power circuits, experimental study of which requires application of expensive measurement systems, or experimental study of electrically propelled vehicle operation is impossible in real conditions. A traction transformer is a crucial
component of an electric system of an alternating-current electrically propelled vehicle, and its parameters significantly influence operating regimes of traction transformers and their power characteristics.
Traction transformer, multi-circuit transformer, stray inductance, state space, state equation.
Статья описывает практическую реализацию теоретических положений, отображающих физические свойства многообмоточного трансформатора с одной сетевой обмоткой, рассмотренных в [8]. В качестве моделируемой системы выбран тяговый трансформатора ОНДЦЭ-5700/25-У2, применяемый на электровозах ВЛ65 и ЭП1. Для этого типа трансформатора напряжения короткого замыкания (табл. 1) [2] представлены в источниках наиболее полно. Предлагаемый способ компьютерного моделирования тягового трансформатора и методика определения параметров его обмоток применимы для других типов тяговых трансформаторов.
В основе компьютерной модели тягового трансформатора лежит его математическая модель в пространстве состояний (уравнения состояния и выхода, записанные в матричной форме) [4, 5]. Уравнения состояния и выхода являются результатом разрешения относительно производных системы дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей работу и-обмоточного трансформатора [1, 3]. При переходе от собственной и взаимной индуктивности обмоток к индуктивности рас-
сеяния необходимо учесть их изменение при дискретном переключении нагрузки секций тяговых обмоток. Это изменение учитывается взаимной индуктивностью пары обмоток относительно индуктивности рассеяния обмоток, определенных для семи (по количеству моделируемых обмоток) опытов короткого замыкания трансформатора.
Математическая модель тягового трансформатора с секционированными вторичными обмотками в пространстве состояний
Обозначим сетевую обмотку А-Х символом 1, секцию вторичной обмотки а1-1 символом 2, секцию вторичной обмотки 1-2 символом 3 и т. д (рис. 1).
Составим систему уравнений для шести опытов короткого замыкания пар обмоток (сетевой и одной из шести секций тяговых обмоток) и одного опыта короткого замыкания всех секций тяговых обмоток, соединенных последовательно, используя выражение (4) из [8]:
2 п f
W LKls = W La1 + Z WpLap ;
P=2
v/Zm - (ri'+ ^
\/ZH3 - (r'+r')
^ Zk14 - (ri'+r4)
^Zk15 - (r'+r5)
JZL - (r1+r6)
\lZk17 - (r'+r7)
V
642 Z,
¿12-7
■ (64r1 + r2 + r3 + 4r4 + r5 + r6 + 4r7)2
64
i 0 0 0 0 0 " " L'ai "
0 1 0 0 0 0 L.2
0 0 1 0 0 0 La3
0 0 0 1 0 0 La4
0 0 0 0 1 0 La 5
0 0 0 0 0 1 La6
1 1 4 1 1 4 _ La7 _
(1)
1
ТАБЛИЦА 1. Технические характеристики тягового трансформатора
ОНДЦЭ-5700/25-У2
Номинальная мощность трансформатора, кВА 5682,9
Номинальная частота питающей сети, Гц 50
Ток холостого хода, % 0,53
Потери холостого хода, кВт 7,5
Потери короткого замыкания, кВт 59
Сетевая обмотка
Номинальная мощность, кВА 5682,9
Номинальный ток, А 227,3
Номинальное напряжение, В 25000
Тяговые обмотки (Т01, Т02)
Номинальная мощность, кВА 2x2482,2
Номинальное напряжение, В, на зажимах
а1-х1, а2-х2 1260
а1-2, 2-х1, а2-4, 4-х2 630
а1-1, 1-2, а2-3, 3-4 315
Номинальный ток обмотки и ее частей, А 1970
Количество тяговых обмоток 2
Напряжение короткого замыкания, % СО (А-Х) - ТО [(а1-х1) + (а2-х2)] СО (А-Х) - ТО [(а1-1) + (а2-3)] СО (А-Х) - ТО [(1-2) + (3-4)] СО (А-Х) - ТО [(1-х1) + (3-х2)] СО (А-Х) - ТО [(а 1-2) + (а2-4)] СО (А-Х) - ТО [(2-х1) + (4-х2)] СО (А-Х) - ТО (а1-х1) СО (А-Х) - ТО (а1-1) СО (А-Х) - ТО (1-2) СО (А-Х) - ТО (а 1-2) СО (А-Х) - ТО (2-х1) СО (А-Х) - ТО (1-х1) СО (А-Х) - ТО (а2-х2) СО (А-Х) - ТО (а2-3) СО (А-Х) - ТО (3-4) СО (А-Х) - ТО (а2-4) СО (А-Х) - ТО (4-х2) СО (А-Х) - ТО (3-х2) 7,4 4,88 5,4 6,02 7,4 7,4 4.0 2,48 3,4 3.73 3.74 3.1 4.0 2,48 3,4 3.75 3,74 3.1
Сопротивление обмоток постоянному току, Ом СО (А-Х) ТО (а1-х1) 0,429 0,00278
A
X
а1 1 2 х1 а2 3 4 х2
Рис. 1. Схема выводов тягового трансформатора ОНДЦЭ-5700/25-У2
ТАБЛИЦА 2. Индуктивность рассеяния сетевой обмотки и секций тяговых обмоток, определенная для семи опытов короткого замыкания трансформатора
L л, мГн ei' L'„, мГн L'„, мГн LG4, МГН L' „ мГн К« мГн мГн
19,9836 59,4919 88,9950 39,8867 59,4919 88,9950 39,8867
где Ь'ар- индуктивность рассеянияр-й обмотки (р = 1, 2, ..., п - номер обмотки), приведенная к числу витков сетевой обмотки;
п
м = X wp - суммарное число витков вторич-
Р=2
ных обмоток; гр' - сопротивление р-й обмотки трансформатора постоянному току, приведенное к числу витков сетевой обмотки; ¿к1р -полное сопротивление короткого замыкания трансформатора со стороны зажимов 1-1 при закороченной р-й секции тяговой обмотки
(например: 2Со(А_Х) - то(а1-1) соответствует ^к12);
X - полное сопротивление короткого замыкания трансформатора со стороны зажимов 1-1, при закороченном последовательном соединении всех секций тяговых обмоток
(¿СО (А-Х) - ТО [(а1-х1) + (а2-х2)] соответствует ¿к12-7)'
Для опытов короткого замыкания трансформатора, когда 5 < п - 1, р-я обмотка не закорочена, мр, Г , Ь' равны нулю.
Отсутствие второй системы уравнений, составленной по выражению (5) из [8], обусловлено тем, что в [2] приводятся активные потери для опыта полного короткого замыкания трансформатора, поэтому учитываются
только активные потери в обмотках тягового трансформатора, что отраженно в левой части системы уравнений (1).
Решением системы уравнений (1) являются значения индуктивности рассеяния сетевой обмотки и секций тяговых обмоток (табл. 2).
Для адекватного воспроизведения работы тягового трансформатора с секционированными вторичными обмотками в режимах коммутации тиристорных плеч выпрямительно-инверторного преобразователя (ВИП) недостаточно опытов короткого замыкания, приведенных в табл. 1: (п ■ (п - 1)/2) [8]. Однако при типовом способе управления ВИП и одинаковом времени включения (выключения) тиристоров можно сделать допущение: Ь'26 = = Ь'53, Ь'21 = Ь', Ь'31= Ь' (Г =Г - взаим-
о537 о27 о547 о37 а64 4 ард адр
ная индуктивность, учитывающая изменение индуктивности рассеяния обмоток при дискретном переключении нагрузки секций тяговых обмоток [8], приведенная к числу витков сетевой обмотки). Тогда определим взаимную индуктивность Ь'ард, решив матричное уравнение, составленное по выражению (6) из [8]:
w2 L , — w2 L , — V w2 L = — 2 w V w L , + V V w w L
k1s a1 Z_j ,rp ap Z_j p a1p Z_j Z_j a p <
P=2
P=2
a=2 p=2,
p* a
p apg'
Современные технологии трансг
-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0" Lci2
0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lci3
0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lci4
-4 -4 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LC23
0 -6 -i2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LC24
-8 -8 -i6 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LC34
0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Li5
0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lci6
0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lci7
0 0 0 0 0 0 -4 -4 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 LC56
0 0 0 0 0 0 0 -6 -i2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 LC57
0 0 0 0 0 0 -8 -8 -i6 2 4 4 0 0 0 0 0 0 LC67
-i6 -i6 -32 2 4 4 -i6 -i6 -32 2 4 4 2 2 4 2 4 8 LC25
-4 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 LC26
0 -4 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 LC27
0 0 -i6 0 0 0 0 0 -i6 0 0 0 0 0 0 0 0 8 Lc36
-8 -8 0 2 0 0 -8 -8 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 2 LC37
0 -i2 -24 0 0 4 0 -i2 -24 0 0 4 0 0 0 2 4 8 _ Lc47 _
LJ =
где
LJ =-
2 nf
4Zlu - Й + ^
- (г' + Г3)2
Vzk14 - (r'+r4)2
л/42 Zt2123 - (4r + r2 + r3)2 л/92 Zki34 - (9 r + r3+ 4 r4)2
V16' Zkl234 - (i6 Г + Г + r3+ 4 Г4)2
Л^ -(rl + r5)2 fe - (rl + r6)2 ^ - (Г'+Г;)2
T4IZ
Ш6 - (4r'+ r5+ Гб)2
д/92 Z2i67 -(9ri'+ r6 + 4r7)2 V'62 Z^i567 - (16 г' + r5+ r6 + 4 r7)2
л/642 Zki2
2 7 -(64ri + r2 + r3' + 4r4 + r5' + + 4r7)2
л/42 Zk2i25 - (4r + r2 + Г5')2
л/42 Zki36 -(4ri' + r6 + r7)2
Vi62 Z^; - (i6 ri+4(r;+r^))2
Zii2356 - (i6 ri + r2 + r3 + r5 + r6f
л/362 Zk2i3467 - (36ri + Г + 4+ r6 + 4r7)2
i i i 4 9
i6 i
i 0
0 i 0 0 i i 0 i
0 0 0 0 i 0 0 0
i
0 0
i i i 4 9
i6 0 0
4 4 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 i 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 i
64 i i
i 0
0 i 0 0
i6 0 0 i6 i i 36 0 i
0 0 i 0
0 4
1 0 i4
-V7.
i
Система уравнений, описывающая работу семиобмоточного трансформатора, с учетом магнитного потока, все силовые линии которого полностью замыкаются по сердечнику переменными Ь = 64,0078 Гн и г = 5167,9 Ом
1 т 7 т 7
(определены из опыта холостого хода трансформатора) примет следующий вид:
м1 Гт + Га1 • r m h
= +
-и7 r т •• Гт + Г^7 _ 1p _
Lm + Lal
Lm + L
Ы7
Lm + La71 "" Lm + La7
h
d
dt
h_
(2)
где м - вектор размера (7 х 1), компонентами которого являются напряжения на обмотках трансформатора, приведенные к числу витков сетевой обмотки; I - вектор размера (7 х 1), компонентами которого являются токи, протекающие по обмоткам трансформатора, приведенные к числу витков сетевой обмотки;
R =
5168,2875 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859
5167,859 5167,9958 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859
5167,859 5167,859 5167,9958 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859
5167,859 5167,859 5167,859 5168,1326 5167,859 5167,859 5167,859
5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,9958 5167,859 5167,859
5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,9958 5167,859
5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5167,859 5168,1326
L =
64,0078 64,0078 64,0078 64,0078 64,0078 64,0078 64,0078
64,0078 64,0673 64,0131 64,0089 64,0647 64,0346 63,9839
64,0078 64,0131 64,0968 63,9751 64,0346 64,0519 63,9833
64,0078 64,0089 63,9751 64,0477 63,9839 63,9833 64,0465
64,0078 64,0647 64,0346 63,9839 64,0673 64,0138 64,0086
64,0078 64,0346 64,0519 63,9833 64,0138 64,0968 63,9751
64,0078 63,9839 63,9833 64,0465 64,0086 63,9751 64,0477
Зная коэффициенты при токах, их производных и напряжениях обмоток трансформатора системы уравнений (2), вычислим элементы матриц уравнений динамики и выхода по алгоритму, описанному в [8]:
A =
-40,0616 -24,9550 -24,6055 -22,9332 -24,9513 -24,6110 -22,9506
-3,4386 -5,2878 -5,0587 -10,9949 -5,2010 -3,8120 2,0982
-6,4664 -9,1813 -11,4527 -12,5459 -7,9377 -7,1766 -5,4990
-10,4759 -17,4205 -16,1347 -17,7894 -10,8734 -12,6250 -13,1646
-3,4710 -5,2451 -3,8592 2,0553 -5,3429 -5,0946 -11,0361
-6,4184 -7,8694 -7,1113 -5,4612 -9,1079 -11,3880 -12,4632
-10,4002 -10,7710 -12,5082 -13,0616 -17,3161 -16,0230 -17,7155
B = -
C =
-34,3280 -2,9020 2,9020 4,4275
5,4572 8,8409 2,9293 5,4167 8,7770 1 0 0 25000
0 0 0 0 0
2,7523 23,0729 3,7926 -6,3604 -24,7819 0 0
25000,
0 0 0 0
-5,4572
2,7523
19,3563
13,6737
-6,3384
-11,9023
-12,0827
315
315
-8,8409 23,0729 13,6737 12,8846 -24,7864 -11,9821 -4,0189 0 0
0
25000/
0 0 0
630
-2,9293 3,7926 -6,3384 -24,7864 4,5074 2,6928 23,0622 0
0 0 0
25000
0 0
315
-5,4167 -6,3604 -11,9023 -11,9821 2,6928 19,3605 13,6100 0 0
0
0
0
25000/
315
0
-8,7770 -24,7819 -12,0827 -4,0189 23,0622 13,6100 12,9910 0 0
0
0
0
0
25000/ 630
• C ;
ТАБЛИЦА 3. Взаимные индуктивности, учитывающие изменение индуктивностей рассеяния обмоток при дискретном переключении нагрузки секций тяговых обмоток
L1V мГн ^ мГн мГн ^ мГн А^ МГН LG34, МГН
0 0 0 5,3162 1,1393 -32,7306
мГн l:16, мГн Ai^ МГН LG56, МГН LG57, МГН ^ мГн
0 0 0 5,9577 0,8186 -32,7306
мГн ^ мГн L(;27, мГн А^ МГН А^ мГн А^ мГн
56,9486 26,8048 -23,8963 44,1204 -24,5214 38,6811
Реализация предложенной математической модели тягового трансформатора с секционированными вторичными обмотками в среде MATLAB Simulink
Модель трансформатора реализована в среде МАТЬАБ ЗтиНпк на базе источника тока и параллельно подключенного измерителя напряжения [7]. Между выходами измерителей напряжения и входами источников тока
включен блок модели динамического объекта State-Space [6], в который занесены элементы матриц A, B, C, D = Z(7x7). Схема компьютерной модели тягового трансформатора представлена на рис. 2.
Адекватность предложенной математической модели тягового трансформатора ОНДЦЭ-5700/25-У2 оценивалась по сопоставлению токов короткого замыкания, полученных из натурных опытов короткого замыкания и путем моделирования. В табл. 4 представле-
Рис. 2. Компьютерная модель тягового трансформатора
ны результаты моделирования, полученные на математической модели трансформатора statespace model и типовом блоке модели многообмоточного трансформатора multi-winding transformer из библиотеки MATLAB Simulink.
Как видно из табл. 4, типовой блок multi-winding transformer адекватно воспроизводит работу тягового трансформатора в семи опытах короткого замыкания, характеризующихся семью полями рассеяния обмоток, для которых по системе уравнений (1) определена индуктивность рассеяния обмоток L' , введенная в типовой блок модели многообмоточного трансформатора. В оставшихся опытах короткого замыкания трансформатора расхождение результатов моделирования блока
модели многообмоточного трансформатора с расчетными значениями объясняется тем, что секционированные вторичные обмотки тягового трансформатора в компьютерной модели воспроизводятся только последовательным соединением нескольких отдельных обмоток, при этом индуктивность рассеяния секционированных вторичных обмоток будет равна сумме индуктивности рассеяния отдельных обмоток, что не соответствует действительности.
Заключение
Результаты моделирования опытов короткого замыкания полностью подтверждают
ТАБЛИЦА 4. Результаты моделирования блока multi-winding transformer
и state-space model
Опыт короткого замыкания тягового трансформатора Действующее значение тока сетевой обмотки трансформатора, А Относительная погрешность, %
Расчетное значение Блок multi-winding transformer State-space model Блок multi-winding transformer State-space model
(A-X) - ТО («1-1) 24,822 24,839 24,842 0,069 0,079
(A-X) - ТО (a2-3) 24,822 24,839 24,842 0,069 0,080
(A-X) - ТО (1-2) 24,822 24,849 24,851 0,107 0,116
(A-X) - ТО (3-4) 24,822 24,849 24,850 0,107 0,115
(A-X) - ТО (2-x1) 49,644 49,665 49,696 0,042 0,105
(A-X) - ТО (4-x2) 49,644 49,665 49,697 0,042 0,106
(A-X) - ТО (a 1-2) 49,644 51,972 49,669 4,689 0,050
(A-X) - ТО (a2-4) 49,644 52,251 49,669 5,250 0,050
(A-X) - ТО (1-x1) 74,466 49,661 74,531 33,310 0,088
(A-X) - ТО (3-x2) 74,466 49,661 74,531 33,310 0,088
(A-X) - ТО (a1-x1) 99,288 81,045 99,342 18,374 0,054
(A-X) - ТО (a2-x2) 99,288 81,045 99,341 18,374 0,054
(A-X) - ТО [(a1-1) + (a2-3)] 49,644 78,062 49,679 57,243 0,070
(A-X) - ТО [(1-2) + (3-4)] 49,644 66,647 49,685 34,250 0,082
(A-X) - ТО [(2-x1) + (4-x2)] 99,288 147,282 99,352 48,338 0,064
(A-X) - ТО [(a 1-2) + (a2-x4)] 99,288 152,672 99,331 53,767 0,044
(A-X) - ТО [(1-x1) + (3-x2)] 148,932 141,582 148,995 4,935 0,042
(A-X) - ТО [(a1-x1) + (a2-x2)] 198,576 198,590 198,633 0,007 0,029
адекватность полученных выражений для расчета индуктивности рассеяния обмоток трансформатора и взаимной индуктивности, учитывающей изменение магнитного поля рассеяния обмоток при дискретном переключении нагрузки секций тяговых обмоток.
Если не учитывать изменения индуктивности рассеяния обмоток при дискретном переключении токовой нагрузки на смежные секции тяговых обмоток в типовой компьютерной модели multi-winding transformer, то адекватно воспроизвести переходные процессы в силовых цепях ЭПС можно только для
контуров токовой нагрузки, соответствующим п опытам короткого замыкания трансформатора из п (п+1)/2 возможных.
Библиографический список
1. Васютинский С. В. Вопросы теории и расчета трансформаторов / С. В. Васютинский. - Л. : Энергия, 1970. - 432 с.
2. Власьевский С. В. Повышение эффективности работы выпрямительно-инверторных преобразователей электровозов однофазно-постоянного
тока с рекуперативным торможением : дис. ... д-ра техн. наук / С. В. Власьевский. - М., 2001. -396 с.
3. Лейтес Л. В. Схемы замещения многообмоточных трансформаторов / Л. В. Лейтес, А. М. Пин-цов. - М. : Энергия, 1974. - 192 с.
4. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / В. Стрейц ; пер. с англ. ; под ред. Я. З. Цыпки-на. - М. : Наука. Физматлит, 1985. - 296 с.
5. Филлипс Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филлипс, Р. Харбор ; пер. с англ. Б. И. Копылова. - М. : Лаборатория базовых знаний, 2001. - 616 с.
6. Черных И. В. Simulink: Инструмент моделирования динамических систем / И. В. Черных. - URL : http://matlab.exponenta.ru/simulink/book1/index.php (дата обращения 06.07.2015).
7. Черных И. В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystems и Simulink. - СПб. : Питер, 2008. - 288 с.
8. Якушев А. Я. Математическая модель тягового трансформатора с секционированными вторичными обмотками в пространстве состояний / А. Я. Якушев, А. Г. Середа // Изв. ПГУПС. - 2015. - Вып. 4 (45). -С. 78-84.
References
1. Vasyutinskiy S. V. Voprosy teorii i rascheta trans-formatorov [Issues of Transformer Theory and Calculations]. Leningrad, Energiya, 1970. 432 p.
2. Vlasyevskiy S. V. Povysheniye effektivnosti raboty vypryamitelno-invertornykh preobrazovateley elektrovozov odnofazno-postoyannogo toka s reku-perativnym tozmozheniyem [Improving Efficiency of Operation of Reversible Convertors of Single-Phase Direct Current Electric Locomotives with Regenerative Braking: A Dissertation for Doctorate in Engineering]. Moscow, 2001. 396 p.
3. Leytes L. V. & Pintsov A. M. Skhemy zamesh-cheniya mnogoobmotochnykh transformatorov [MultiCircuit Transformer Equivalent Circuits]. Moscow, Energiya, 1974. 192 p.
4. Streyts V. Metod prostranstva sostoyaniy v teorii diskretnykh lineynykh sistem upravleniya [State Space Method in the Theory of Discrete Linear Control Systems]; ed. Ya. Z. Tsypkin. Moscow, Nauka, Fizmatlit, 1985. 296 p.
5. Fillips Ch. & Kharbor R. Sistemy upravleniya s obratnoy svyazyu [Feedback Control Systems]. Moscow, Laboratoriya bazovykh znaniy, 2001. 616 p.
6. Chernykh I. V. Simulink: Instrument modeliro-vaniya dinamicheskikh sistem (Simulink: An Instrument for Simulation of Dynamic Systems). MATLAB, Exponenta, available at: http://matlab.exponenta. ru/simulink/book1/index.php.
7. Chernykh I. V. Modelirovaniye elektrotekh-nicheskikh ustroystv v MATLAB, SimPowerSystems and Simulink [Simulation of Electrical Devices in MATLAB, SimPowerSystems and Simulink]. St. Petersburg, Piter, 2008. 288 p.
8. Yakushev A.Ya. & Sereda A. G. Izvestiya PGUPS - Proc. Petersburg Transp. Univ., 2015, Is. 4 (45), pp. 78-84.
ЯКУШЕВ Алексей Яковлевич - канд. техн. наук, доцент, профессор, el_tyaga@mail.ru; *СЕРЕДА Александр Геннадьевич - аспирант, ag-sereda@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).
