Компьютерное моделирование напряженного состояния листовых рессор Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009

Математика. Механика. Информатика

Вып.з(29)

УДК 534.870

Компьютерное моделирование напряженного состояния листовых рессор

1 12 В.М. Пестренин , И.В. Пестренина , Н.Ф.Таланцев

1Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

2ОАО "Чусовской металлургический завод", 618200, г. Чусовой, ул. Трудовая,13

Проводится анализ существующих методик исследования многолистовых рессор. Показывается, что такие методики содержат допущения, влияющие на достоверность получаемых решений. Предлагается конечно-элементный подход, учитывающий нелинейный характер деформирования листов рессоры, контактное взаимодействие между ними и снимающий все допущения, используемые в известных методиках. Проводится сравнение напряженного состояния в листах рессоры, полученного различными методами.

Современное состояние компьютерного моделирования машиностроительных конструкций позволяет достоверно определять их напряженное состояние. Это касается, в частности, элементов подвески транспортных машин - листовых рессор. Напряженное состояние листовых рессор, прежде всего, определяет их прочностные свойства. Кроме того, в связи с постоянным ростом цен на металл все более актуальной становится проблема ме-таллосбережения при проектировании листовых рессор. Решение этой задачи базируется на знании напряженного состояния конструкции. Наконец, применяемые в настоящее время методы определения напряженного состояния листовых рессор используют упрощающие допущения, на основе которых определяется искаженное, нереальное распределение напряжений в конструкции. Поэтому актуальной является оценка возможностей существующих упрощенных подходов для определения достоверного напряженного состояния в листах рессоры. В настоящей работе для нахождения напряженного состояния листовой рессоры предлагается конечноэлементный подход на основе ее геометрически нелинейной упругой модели с контактным взаимодействием между листами.

Допущения, используемые в практических расчетах листовых рессор

Существующие методы вычисления напряженного состояния листовых рессор основываются на гипотезах сопротивления материалов, в частности, считается справедливой гипотеза плоских сечений Бернулли-Эйлера. Задача о расчете напряжений в листах рессоры разбивается на две независимые: задачу о сборочных напряжениях и задачу о напряжениях от внешней нагрузки. Действительные напряжения получаются суммированием сборочных напряжений и напряжений от внешней нагрузки. В практике применяется метод расчета на основе гипотезы концевых сил, модификация этого метода Н.Ф.Таланцевым, метод расчета на основе гипотезы равной кривизны и различные комбинации таких подходов [1, 2].

В методе расчета напряжений в листах рессоры на основе гипотезы концевых сил каждый лист рессоры рассматривается как прямолинейная балка, жестко заделанная одним концом и нагруженная двумя силами -силой взаимодействия с вышележащим листом и силой взаимодействия с нижележащим листом. Вследствие принятых допущений в данном методе не выполняются граничные ус-

© В.М.Пестренин, И.В.Пестренина, Н.Ф.Таланцев, 2009

ловия в заделке, так как там возникает поперечная сила (равная разности приложенных к листу концевых сил), которой нет в реальной конструкции. Кроме того, игнорируются возможные контактные взаимодействия между листами. Для устранения последнего Н.Ф.Таланцев. предлагает модифицировать этот метод. Он допускает, что силы взаимодействия между листами рессоры возникают не только по их концам, но и в точках поверхностей листов рессоры, находящихся на вертикали, проходящей через их концы. Тем самым возможные распределенные усилия между листами заменяются сосредоточенными силами. В случае отсутствия контактного взаимодействия такие силы обращаются в нуль.

При расчете напряжений в листах рессоры на основе гипотезы равной кривизны полагается, что рессора представляет собой прямолинейную жестко закрепленную балку переменного сечения, момент инерции которой в каждом сечении равен сумме моментов инерции листов. Напряжения в каждом из листов вычисляются из допущения, что изгибающий момент в сечении делится между листами рессоры пропорционально их моментам инерции. По мнению авторов [1], метод, базирующийся на гипотезе о передаче усилий от одного листа рессоры к другому по концам, приводит к более точным результатам. Итак, применяемые в практике методы расчета напряженного состояния листовых рессор

• базируются на гипотезе плоских сечений Бернулли-Эйлера;

• приводят к невыполнению реальных граничных условий в центральном сечении в листах рессоры (здесь появляются несуществующие поперечные силы);

• не учитывают влияния на напряженное состояние распределенных по контактным поверхностям листов усилий; при этом не выполняются граничные условия в центральном сечении;

• не принимают во внимание относительное смещение листов при нагрузке.

Конечно-элементный расчет листовых рессор

Расчет напряжений в четвертной листовой рессоре проводится методом конечных элементов на основе ее геометрически нелинейной упругой модели. Напряженное состояние считается плоским.

Рис. 1. Расчетная схема многолистовой

рессоры

Между смежными листами допускается контактное взаимодействие.

Силы трения считаются пренебрежимо малыми. Листы рессоры последовательно разбиваются на конечные элементы. Узловые точки левых торцевых сечений листов опираются на каток по плоскости, нормаль к которой совпадает с направлением оси х (рис. 1). Нижняя угловая точка первого листа закреплена шарнирно. В ненапряженном состоянии листы имеют заданную кривизну и своей нижней точкой правого торцевого сечения опираются на нижний смежный лист. Конечно-элементный расчет состоит из двух последовательных этапов: расчет сборочных напряжений, расчет напряжений под действием контрольной нагрузки.

1). Расчет сборочных напряжений. Под сборочными понимаются напряжения в листах рессоры, возникающие вследствие стягивания их в центральном сечении. Вычисление этих напряжений производится в следующей последовательности. Сначала лист 2 стягивается с листом 1. При этом с целью закрепить лист 2 как абсолютно твердое тело шарнирно закрепляется верхний узел его левого торцевого сечения. Шаг стягивания представляет собой кинематическое сближение левых торцевых сечений листов 1 и 2. На каждом таком шаге решается контактная задача теории упругости. Далее к уже собранной группе листов 1 и 2 аналогичным образом притягивается лист 3, затем лист 4 и т.д.

Таблица 1. Геометрические характеристики рессоры

№ листа В, мм *л, мм ¿0 , мм ¿01 , мм А, мм А,, мм А , г 2 , мм

1 90,0 3031,26 1550,0 775,0 1400,0 700,0 700,0

2 90,0 3031,26 1550,0 775,0 1400,0 700,0 700,0

3 90,0 3031,26 1550,0 775,0 1400,0 700,0 700,0

4 90,0 2581,84 1250,0 625,0 1250,0 625,0 625,0

5 90,0 2357,18 1130,0 565,0 1130,0 565,0 565,0

6 90,0 2332,48 1030,0 515,0 1030,0 515,0 515,0

7 90,0 2307,83 930,0 465,0 930,0 465,0 465,0

8 90,0 2270,96 845,0 422,5 845,0 422,5 422,5

9 90,0 2209,76 760,0 380,0 760,0 380,0 380,0

10 90,0 2148,88 675,0 337,5 675,0 337,5 337,5

11 90,0 2088,32 590,0 295,0 591 0,0 295,0 295,0

12 90,0 2028,07 505,0 252,5 505,0 252,5 252,5

13 90,0 1968,13 420,0 210,0 420,0 210,0 210,0

14 90,0 1908,51 350,0 175,0 350,0 175,0 175,0

15 90,0 1849,19 280,0 140,0 280,0 140,0 140,0

Таблица 2. Значения поперечных сил, полученные в решении методом на основе гипотезы концевых сил

№ листа Поперечная сила, Н № листа Поперечная сила, Н № листа Поперечная сила, Н

1 -413,6 6 -418,1 11 -401,8

2 -409,9 7 -408,8 12 -262,4

3 -897,4 8 -449,8 13 -368,8

4 -555,0 9 -447,0 14 1310,0

5 -357,7 10 -430,4 15 3776,3

После стягивания всех листов рессоры в узлах, где были установлены шарнирные закрепления, т.е. в верхних узлах левых торцевых сечений листов, возникают вертикальные реактивные усилия. Эти усилия устраняются посредством последовательного движения левых торцевых сечений листов в направлении, противоположном направлению силы реакции. Усилие затяжки в расчете на единицу ширины листа оказывается равным вертикальным реакциям в нижнем узле левого торцевого сечения первого листа или верхней точке левого торцевого сечения верхнего листа.

Для примера рассматривается полуэл-липтическая 15-листовая рессора, геометрические характеристики которой с листами прямоугольного профиля приведены в табл. 1. В табл. 1 приняты обозначения:

В, Н - соответственно ширина и толщина листов рессоры, Ь0, Ь01, Ьг, Ьг1, Ьг2 -длина развертки (0) и рабочая (г) длина соответственно всего листа, переднего (1) и зад-

него (2) плеча листа. Модуль упругости листов рессоры в расчетах принимался равным

Е = 2 • \0ППа, коэффициент Пуассона - 0,3.

При численном расчете граничные условия в центральном сечении удается привести в соответствие с необходимыми реальными условиями. На рис. 2 приводится распределение контактных усилий в окрестности центрального сечения. Усилие стягивания равно 5243,6# (расчетное значение). Это усилие отвечает стягиванию листов рессоры таким образом, чтобы расстояние между нижней поверхностью первого листа и верхней поверхностью пятнадцатого листа было равно суммарной высоте поперечных сечений всех листов рессоры в ненагруженном состоянии.

Упругое взаимодействие листов реализуется в том, что некоторые листы вминаются друг в друга, между ними возникают распределенные усилия (пары листов 1-2, 2-3 и т.д.). Между другими парами листов возникают не-выбранные зазоры (пары листов 12-13).

Рис. 2. Контактные усилия между листами рессоры

В соответствии с принципом Сен-Венана замена распределенных контактных усилий, приложенных к листу рессоры в окрестности центрального сечения, сосредоточенной силой, приложенной в центральном сечении, сказывается на картине распределения напряжений в листе рессоры на длине характерного линейного размера. В рассматриваемом случае интерес представляют максимальные напряжения, которые для многих листов реализуются именно в центральном сечении. Проведена оценка различия напряжений в окрестности рассматриваемого сечения для случаев, когда поперечные силы в этих сечениях приложены и когда они устранены.

МПа

300

250 і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—гтт—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—г

0

а

5

10

х, мм

Рис. 3. Напряжения в окрестности центрального сечения: а) в первом листе; б) в пятнадцатом

Оказалось, что такое изменение во всех 15 листах рессоры колеблется от 0,3 до 51,4%. На рис. 3 приводятся результаты вычислений нормальных напряжений на нижней стороне первого и пятнадцатого листов. Светлая линия отвечает значению напряжений в листах рессоры без устранения вертикальных реакций в центральном сечении. Темная - случаю, когда вертикальные реакции отсутствуют. Разница составляет для первого листа 30,2%, для пятнадцатого - 0,6%.

Сравнение результатов расчета сборочных напряжений на нижней стороне листов рессоры по длине листов представлено на рис.4, 5.

На рис. 4 сплошная линия отвечает численному расчету, пунктирная - решению по гипотезе концевых сил.

На рис. 5 сплошная линия отвечает численному расчету, пунктирная - решению по Н.Ф.Таланцеву. Максимальные нормальные напряжения в листах приводятся в табл. 3, где погрешность в процентах указывается по отношению к численному расчету. Из приведенных данных видим, что допущения, используемые в аналитических методах расчета листовых рессор, приводят к значительным расхождениям с численным решением в определении мест реализации максимальных сборочных напряжений и определении их численных значений.

2). Расчет на внешнюю нагрузку.

При сборке рессоры и дальнейшем внешнем нагружении перемещения ее листов превышают линейный характерный размер, поэтому при численном расчете используется геометрически нелинейный конечный элемент. Из этого вытекает, что принцип суперпозиции для вычисления суммарных напряжений, обусловленных и затяжкой, и внешним нагружением, оказывается неприменим. Вследствие этого расчет на внешнюю нагрузку рассматривается как следующий шаг нагружения рессоры.

Рис. 4. Сборочные напряжения на нижней стороне листов

Рис. 5. Сборочные напряжения на нижней стороне листов

Таблица 3. Максимальные сборочные напряжения на нижних поверхностях листов рессоры, МПа

№ листа Г ипотеза концевых сил По Н.Ф. Таланцеву МКЭ

Напряжение % погрешности Напряжение % погрешности Напряжение

1 -149,48 34,37 -99,73 56,21 -227,75

2 -147,07 12,51 -97,25 42,14 -168,09

3 -202,28 25,84 -94,78 41,04 -160,75

4 -97,30 13,46 -21,36 75,09 -85,76

5 52,75 1,64 26,68 50,25 53,63

6 61,03 1,46 34,63 42,43 60,15

7 60,11 0,17 42,66 29,15 60,21

8 68,15 0,89 53,70 20,50 67,55

9 77,00 0,10 71,10 7,76 77,08

10 85,80 0,35 89,25 3,66 86,10

11 95,37 0,78 108,22 14,36 94,63

12 100,97 0,70 128,06 25,94 101,68

13 118,27 0,59 148,86 26,60 117,58

14 167,33 2,83 170,70 4,90 162,72

15 244,76 4,04 193,20 17,88 235,26

Предварительно нагруженная сборочными напряжениями, принявшая форму рабочей конструкции, рессора кинематически нагружается в точке опоры С (см. рис. 1) до состояния, отвечающего контрольной нагрузке Рк . Верхняя точка верхнего листа и нижняя точка нижнего листа в левом торцевом сечении шарнирно закреплены. Перемещения точек центрального сечения рессоры в горизонтальном направлении равны нулю. Допускается контактное взаимодействие между листами рессоры. С целью закрепить внутренние листы рессоры как абсолютно твердое тело шарнирно закрепляются верхние узлы левых торцевых сечений листов. При нагрузке в этих узлах возникают вертикальные реактивные усилия, которых нет в реальности. Поэтому эти усилия устраняются посредством перемещений торцевых сечений листов. Расстояние между верхней точкой верхнего листа и нижней точкой нижнего листа в центральном сечении рессоры остается неизменным.

В результате численного анализа поведения листовой рессоры под нагрузкой установлено следующее. В процессе нагружения рессоры изменяется усилие стягивания. В рассматриваемом примере усилие стягивания до приложения контрольной нагрузки Рк =23814Н было равно 5240Н. После приложения нагрузки оно упало до значения 2950Н.

Рис. 6. Контактные взаимодействия

между листами рессоры

Таким образом, за счет перераспределения усилий взаимодействия между листами усилие стягивания уменьшилось на 44,3%. В нагруженной рессоре передача усилий между

смежными листами происходит как по концам, так и по контактным поверхностям. На рис.6 изображены контактные взаимодействия для первых четырех листов рессоры вблизи ее правого конца.

Видно, что взаимодействие между первыми тремя листами осуществляется посредством распределенных усилий по контактным поверхностям, а взаимодействие между третьим и четвертым листами - практически посредством сосредоточенной силы на конце четвертого листа. Эти факты свидетельствуют о том, что в данном случае не выполняются допущения, на которых построены аналитические методы расчета листовых рессор.

В рассматриваемом случае, т.е. при нагружении рессоры нагрузкой Рк , обнуление вертикальных реакций в листах в центральном сечении (т.е. переход от жесткой заделки к шарнирно-подвижному закреплению) незначительно влияет на величину нормальных напряжений. Максимальное изменение напряжений происходит в первом листе рессоры и составляет 3,7% (рис. 7).

На рис. 7 светлая линия отвечает значению напряжений в листах рессоры без устранения вертикальных реакций в центральном сечении. Темная - случаю, когда вертикальные реакции отсутствуют. Сравнение напряженного состояния в листах рессоры, вычисленного по различным методикам, иллюстрируется на рис. 8, 9, а максимальные значения напряжений приводятся в табл. 4.

Рис. 7. Нормальные напряжения на нижней поверхности первого листа рессоры

МПа

1500

1000

500

0

-500

-1000

МПа

600

500 ■

400 ■

300 ■

200 ■

100 ■

0

-100 ■

200

400

600

Рис. 8. Нормальные напряжения в листах рессоры

а

б

Рис. 9. Нормальные напряжения в листах рессоры

На рис. 8 сплошная линия отвечает численному расчету, пунктирная - решению по гипотезе концевых сил.

На рис. 9 сплошная линия отвечает численному расчету, пунктирная - расчету по

Н.Ф.Таланцеву.

В табл. 4 погрешность в процентах указывается по отношению к численному расчету. Приведенные в таблице данные отчетливо показывают, что расчет по гипотезе концевых сил в первых трех листах дает неприемлемо завышенные значения напряжений. Расчет по

Н.Ф.Таланцеву, напротив, достаточно хорошо согласуется с численным расчетом.

Таблица 4. Максимальные сборочные напряжения на нижних поверхностях листов рессоры, МПа_______________________________________________________

№ листа Метод концевых сил По Н.Ф.Таланцеву МКЭ

Напряжение Погрешность Напряжение Погрешность Напряжение

1 1010,04 150,19 403,70 6,34 379,63

2 731,48 80,70 404,80 6,43 380,34

3 1156,64 183,28 408,30 7,39 380,19

4 569,66 27,84 445,60 8,06 484,69

5 485,98 3,46 503,40 2,44 516,00

6 489,20 10,32 545,50 0,53 542,62

7 426,70 22,88 553,30 10,97 498,62

8 432,82 23,18 563,40 11,58 504,91

9 445,66 22,22 573,00 11,78 512,62

10 453,59 22,90 588,30 13,46 518,52

11 462,35 25,22 618,30 14,07 542,04

12 485,25 24,94 646,50 11,07 582,07

13 553,28 19,62 688,30 0,63 684,00

14 623,87 9,33 688,10 12,98 790,72

15 762,32 20,59 960,00 3,87 998,60

Выводы

1. Методики расчета напряженного состояния листовых рессор, основанные на принципах сопротивления материалов, принимающие в качестве граничного условия в центральном сечении жесткую заделку и гипотезы о передаче усилий между листами посредством сосредоточенных сил, неадекватно отражают напряженное состояние конструкции.

В частности, в жесткой заделке возникают поперечные силы, которых нет в действительности.

Этот факт может приводить к значительным ошибкам при определении напряженного состояния в окрестности центрального сечения.

2. Передача усилий между смежными листами рессоры происходит не только посредством сосредоточенных сил, но и посредством распределенных по поверхностям листов контактных сил.

3. Усилия стягивания листов рессоры меняются в процессе ее нагружения. Величина оптимального усилия стягивания требует дополнительного изучения.

4. Хорошее совпадение с численным расчетом напряженного состояния нагружаемой рессоры дал подход Н.Ф.Таланцева. Для того чтобы сделать вывод об универсальности его использования, требуется провести дополнительные исследования по расчету напряжений в листах рессор других конструкций и при большем разнообразии нагрузок

Список литературы

1. Пономарев С.Д. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д.Пономарев и др. М., 1956. Т.1, гл. XIV. С.836 -868.

2. Детали машин. Расчет и конструирование. Справочник / под ред. Н.С.Ачеркана. М., 1968. Т.2. С.97-117.

The computer simulation of laminated springs stress

V.M. Pestrenin1, I.V. Pestrenina1, N.F. Talancev2

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

2

Chusovskoj metallurgicheskij zavod, OAO, Permskaja provinces, 618200, Chusovoy st. Trudovaya, 13

Existing methods of multi-leaf spring analysis are being analyzed. It is shown, that these methods take assumptions that affect solution’s reliability. Casting away these assumptions, a finite-element model with nonlinear leaf deformation and contact interaction is constructed. Various methods multi-leaf spring stress results are compared.