Компьютерное моделирование и экспериментирование − современный подход к обучению вероятностно-статистическим дисциплинам в техническом вузе Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК372.851 Гефан Григорий Давыдович,

к. ф.-м. н., доцент, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952) 638-354

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТИРОВАНИЕ - СОВРЕМЕННЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ

G.D. Gefan

COMPUTER SIMULATION AND EXPERIMENTATION -MODERN APPROACH TO TRAINING PROBABILISTIC AND STATISTICAL DISCIPLINES IN TECHNICAL COLLEGES

Аннотация. Рассмотрены подходы к применению компьютерного моделирования при обучении вероятностно-статистическим дисциплинам. Наряду с аналитическими, численными и ана-литико-статистическими моделями очень эффективным является использование в учебных целях имитации случайных событий и величин по методу Монте-Карло, что быстро наполняет понятие вероятности наглядным содержанием. В связи с этим целесообразно организовать проведение практикумов, включающих в себя компьютерное моделирование и численное экспериментирование. Такие практикумы хорошо вписываются в концепцию активного и интерактивного обучения и способствуют появлению навыков самостоятельного научного исследования.

Ключевые слова: теория вероятностей, математическая статистика, теория игр, эконометрика, компьютерное моделирование, закон больших чисел, метод статистических испытаний, компьютерные практикумы.

Abstract. Approaches to the use of computer simulation for learning probabilistic and statistical disciplines are examined. Along with the analytical, numerical and analytical-statistical models, imitation of random events and random variables by the Monte Carlo method is very effective for educational purposes, because the concept of probability is quickly filled with visual content. In this regard, it is desirable to organize workshops to computer modeling and numerical experiments. Such workshops fit well with the concept of active and interactive learning. They contribute to the emergence of skills of independent scientific research.

Keywords: probability theory, mathematical statistics, game theory, econometrics, computer modeling, the law of large numbers, the Monte Carlo method, computer practicums.

Введение

Преподавание стохастических разделов математики, а также самостоятельных дисциплин вероятностно-статистического цикла (теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных процессов и систем массового обслуживания, теория игр, эконометрика) в технических вузах представляет собой важную часть математической и профессиональной подготовки будущих специалистов. Бурное развитие технологий, связанных с персональными компьютерами, которое продолжается уже более двух десятилетий, существенно влияет на требования, предъявляемые к преподаванию названных дисциплин. С одной стороны, компетентность и конкурентоспособность выпускников вузов на рынке труда зависят от того, насколько они сумеют овладеть практическими умениями и навыками математического и компьютерного моделирования. Обучение дисциплинам вероятностно-статистического цикла представляет для этого прекрасные возможности. С другой стороны, применение информационных и компьютерных технологий способно кардинальным образом обогатить сам учебный процесс, так как оно:

1) способствует формированию и развитию алгоритмической культуры студентов;

2) освобождает от рутинных статистических вычислений, позволяя сосредоточиться на сути вещей;

3) даёт отличные возможности для визуализации учебного материала;

4) позволяет проводить численные эксперименты на моделях, легко варьируя их параметры;

5) пробуждает познавательный интерес, формирует навыки исследовательской деятельности.

Состояние вопроса

Рассмотрим различные аспекты компьютеризации преподавания вероятностных и статистических дисциплин. Наиболее очевидное и традиционное направление работы — обучение стати-

ш

стическим расчётам с использованием пакетов прикладных программ. Так, в известной книге Ю.Н. Тюрина и А.А. Макарова [1] излагаются методы статистического анализа данных и демонстрируется решение задач с помощью популярных статистических пакетов SPSS, STADIA и др. Однако, хотя пособия, подобные [1], могут использоваться в учебном процессе, всё же они в большей степени адресованы специалистам, аспирантам или студентам старших курсов. Использование статистических пакетов, на наш взгляд, является оптимальным вариантом для тех, кто уже в той или иной степени освоил вероятностно-статистическую теорию и методологию, либо для тех, кто постигает её «в рабочем порядке», через решение прикладных задач. Студенты младших курсов технических и экономических направлений подготовки, которые лишь начинают знакомиться с теорией вероятностей и математической статистикой, нуждаются, может быть, в не столь совершенных, но более простых и доступных инструментах.

Существенное влияние на компьютеризацию вероятностно-статистических курсов в вузах оказало, как это ни покажется странным, введение элементов стохастики в средней школе. В связи с этим новшеством требуется качественно изменить подготовку будущего учителя математики, дать ему полноценное представление о стохастическом подходе, которое на современном этапе общественного и научного развития трудно представить без использования компьютера. Эта задача обсуждается в работах [2-4]. С другой стороны, компьютеризация математической подготовки (включая, разумеется, и вероятностно-статистические дисциплины) удачно сочетается с требованием усиления межпредметных связей как в вузе, так и в средней школе (имеются в виду такие предметы, как теория вероятностей и математическая статистика, информатика, компьютерное моделирование). Этому аспекту посвящены работы [5-8].

Наиболее сложным и неочевидным выглядит привлечение компьютерных технологий к изучению классических разделов теории вероятностей (случайные события, случайные величины). Собственно, таких попыток в отечественном образовании до недавнего времени почти не было. Едва ли не единственным исключением является учебник А.М. Андронова, Е.А. Копытова и Л.Я. Гринглаза [9], где представлено компьютерное сопровождение положений теории вероятностей с помощью программ для пакета Mathcad. В работах компьютерного практикума приводятся тексты программ, содержащие необходимые разъяснения, либо читателю предлагается составить программу самому. Анализ книги приводит к выводу, что она ориентирована на определённый

и относительно небольшой, хотя и очень важный сегмент направлений подготовки: математика и компьютерные науки, информатика и вычислительная техника, математическое обеспечение информационных систем и т. п. (собственно, об этом пишут сами авторы во введении). Вполне можно допустить, что будущий инженер или экономист, изучающий теорию вероятностей, способен освоить предлагаемую технологию программирования в Mathcad, но при имеющемся количестве часов, отводимых на изучение теории вероятностей, это будет нелегко совместить с освоением основного материала.

Таким образом, можно выделить два подхода к использованию компьютера при решении вероятностно-статистических задач. Первый подход состоит в применении готовых пакетов прикладных программ, второй — в использовании программирования (заметим, что возможно и совмещение этих подходов). На наш взгляд, эти подходы больше соответствуют запросам и интересам специалистов-практиков, чем студентов, осваивающих азы теории вероятностей и математической статистики.

Пожалуй, наиболее сбалансированной работой, решающей задачу обучения теории вероятностей и математической статистике с параллельным освоением соответствующих вычислительных инструментов, является учебник В.Н. Калининой [10]. В нём достаточно подробно демонстрируется реализация различных законов распределения вероятностей в Excel как с помощью специально предназначенных для этого функций, так и с помощью метода статистических испытаний. Весьма полно раскрыты возможности Excel в области обработки данных наблюдений. К сожалению, раздел «Закон больших чисел и центральная предельная теорема», который, по сути, является «мостиком» между теорией вероятностей и математической статистикой, лишён компьютерного сопровождения, которое было бы, на наш взгляд, очень уместно и способствовало бы лучшему пониманию материала.

Методические замечания о преподавании теории вероятностей и математической статистики

Попытаемся чётче сформулировать основной побудительный мотив применения компьютеров в учебном процессе, что должно подсказать оптимальные, на наш взгляд, пути реализации этого намерения. Истина о том, что «лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать» (а ещё лучше — сделать самому!), имеет самое прямое отношение к процессу обучения (в особенности — в техническом вузе). Очень часто студенту приходится принимать научные положения на веру или же довольствоваться сложными доказательствами и умозаключениями, которые он понимает далеко

иркутским государственный университет путей сообщения

не в полной мере. В естествознании на помощь приходит опыт, эксперимент: например, ничто так не укрепляет знания в области электричества, как собранная своими руками правильно работающая электрическая схема. Разумеется, важности теоретических знаний никто не отменял. Речь не о том, чтобы заменить изучение теории «голым эмпиризмом», а о том, чтобы попытаться зримо дополнить, проиллюстрировать теорию подтверждающими её примерами и реальными действиями, что, безусловно, помогало бы более глубокому пониманию материала.

В преподавании математических дисциплин решить эту проблему далеко не просто, однако к этому необходимо стремиться. Конечно, в любой аудитории найдутся 1-2 человека с прекрасным абстрактным мышлением, которые, возможно, не очень-то нуждаются в «иллюстрациях». Они готовы воспринимать истины, полученные «на кончике пера», и сами склонны к деятельности, основанной на теоретических умозаключениях. Однако для основной массы студентов технического вуза необходимы «подпорки» в виде практических примеров и иллюстраций.

Теория вероятностей многим даётся с большим трудом не из-за сложного математического аппарата, а лишь потому, что выглядит слишком абстрактной. Между тем само понятие вероятности является достаточно конкретным: интуитивно каждый понимает, что событие имеет высокую вероятность, если при повторении опыта в одних и тех же условиях оно будет наступать достаточно часто. Таким образом, по сути своей теория вероятностей пропитана духом статистического опыта, и такой подход к понятию вероятности (его называют статистическим определением) может облегчить понимание этой науки, сделать её более доступной.

Однако сложилось так, что теория вероятностей в вузах изучается до математической статистики (в чём, конечно, есть своя логика) и в определённом отрыве от неё. На первых занятиях студент погружается в абстрактные схемы: комбинаторные расчёты числа возможных и благоприятных исходов, алгебру событий, теоремы о вероятности и т. д. Получаемые при этом результаты могут быть статистически обоснованы, если параллельно с изучением классического определения вероятности и основных теорем о вероятности, а не в конце курса, как это принято, познакомить студентов с простейшей формой закона больших чисел и постараться придать понятию вероятности события наглядное статистическое содержание. Математикам ХУИ-Х1Х вв. для этой цели пришлось бы использовать игральные кости или рулетку, но в наше время существуют несравнимо большие возможности. Идея, разумеется, состоит в том, чтобы применить компьютер для моделиро-

вания случайных событий и случайных величин методом Монте-Карло.

Компьютерные практикумы

Реализовать описанную выше методику преподавания теории вероятностей и математической статистики можно за счёт введения в учебный процесс лабораторного компьютерного практикума. Рассмотрим его примерное содержание.

Работа 1. Статистическое моделирование случайных событий на основе представлений об элементарных исходах.

Основное содержание этой работы — статистическая проверка классического определения вероятности. Последовательно имитируется бросание одной, двух, трёх, четырёх и пяти игральных костей. Событием, вероятность которого рассчитывается, является появление определённой суммы очков. Для обеспечения высокой точности статистической оценки вероятности число реализаций задаётся равным 10000. Студенты должны сопоставить результаты применения классического и статистического определения вероятности. Для случаев четырёх, и тем более пяти, костей классическое определение становится слишком громоздким, что говорит об ограниченности этого подхода по сравнению со статистическим.

Работа 2. Метод Монте-Карло: виды единичного жребия и их реализация. Статистическая проверка основных теорем о вероятности. Моделирование случайной величины с произвольным законом распределения.

Рассматриваются различные задачи на вычисление вероятности.

Работа 3. Нормальное распределение. Предельные теоремы. Число наступлений события в серии однородных независимых опытов: различные подходы.

В этой работе рассматривается следующая случайная величина: число «шестёрок», выпавших при бросании 600 игральных костей. Она имеет биномиальное распределение. Студенты могут убедиться, что формула Пуассона в этом случае является лишь грубым приближением, т. к. условия её применимости не совсем выполнены (вероятность появления «шестёрки» при бросании одной кости не является малой величиной). Зато прекрасно «работает» локальная теорема Лапласа. В силу действия центральной предельной теоремы распределение случайной величины является близким к нормальному и может быть смоделировано различными способами, в том числе и с помощью метода Монте-Карло.

Работа 4. Статистическое моделирование систем дискретных случайных величин. Теория корреляции.

ш

Работа 5. Случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем. Моделирование переходов в цепи Маркова.

Работа 6. Случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Численное моделирование динамики распределения вероятностей состояний.

Работа 7. Статистическое распределение количественного признака. Точечное и интервальное оценивание генеральных характеристик по выборочным данным.

Работа 8. Выравнивание статистического ряда. Проверка гипотезы о типе распределения.

Работа 9. Парный корреляционный и регрессионный анализ.

Отметим, что работы 1-4 посвящены классическим разделам теории вероятностей, но в них (в силу применения метода Монте-Карло) широко используется статистическая терминология. Это делается намеренно с целью преодоления разрыва между вероятностными и статистическими понятиями.

Компьютерное моделирование случайных процессов (работы 5-6) может выполняться с использованием ещё более широкого спектра методов. При аналитическом моделировании изучаются математические модели процессов в виде алгебраических и дифференциальных уравнений. При этом осуществляется однозначная вычислительная процедура, приводящая к их точному решению методами классической математики. Например, при изучении цепей Маркова по известному начальному распределению вероятностей состояний и матрице переходных вероятностей рассчитывается распределение вероятностей состояний через определённое число шагов (процесс с дискретным временем).

При численном моделировании некоторого процесса решение уравнений, составляющих его математическую модель, достигается с помощью специальных вычислительных алгоритмов. Общим для численных методов является сведение исходной математической задачи к конечномерной путём дискретизации исходной задачи, т. е. перехода от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента [11]. Например, система дифференциальных уравнений Колмогорова, описывающая динамику распределения вероятностей по состояниям в случайном процессе с непрерывным временем, с помощью дискретизации времени может быть сведена к системе разностных уравнений. В задачах такого рода полученное решение является приближённым, а погрешность зависит от параметров вычислительной схемы.

При имитационном моделировании случайного процесса методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) создаётся алгоритм, позволяющий при большом числе случайных реали-

заций приближённо оценить вероятностные характеристики процесса. Численная и имитационная разновидности моделирования осуществимы только при активном использовании компьютера.

Завершающие работы практикума (7-9) посвящены вопросам математической статистики. В них применяются модели, которые могут быть названы аналитико-статистическими: модели точечного и интервального оценивания, основанные на методе моментов, модели выравнивания распределений на основе статистических гипотез о виде распределений в генеральной совокупности, модель линейной регрессии, основанная на методе наименьших квадратов, и т. д.

Однако и при изучении математической статистики не стоит забывать о стохастической природе изучаемых явлений и процессов. Важно не только освоить методологию обработки и анализа статистических данных, но и правильно понять один из самых важных вопросов математической статистики — вопрос о свойствах оценок: несмещённости, состоятельности, эффективности. Приведём пример. Для оценивания дисперсии количественного признака в генеральной совокупности используются выборочная дисперсия

Б=1 -х)2 и 9 П

исправленная дисперсия

s =-

п -1

Б, причём вторая оценка, в отличие от

первой, является несмещённой. Теоретическое доказательство этого факта в принципе не сложно, но достаточно трудоёмко, и данное положение воспринимается студентами на веру, то есть поверхностно. Большинство студентов просто считают первую оценку «не совсем точной», а вторую — «более точной». На самом деле мы никогда не знаем, насколько точна та или иная оценка, полученная по конкретной выборке, ибо значение генеральной характеристики нам неизвестно. Однако в рамках численного эксперимента мы можем смоделировать поведение случайной величины с известным законом распределения. В качестве примера приведём одно из заданий описанного выше практикума.

Задание (работа 7). Проведите следующий опыт. Сгенерируйте 100 выборок (объёма п = 5 каждая) случайных чисел, равномерно распределённых в интервале (0,1). Вычислите выборочную дисперсию Б и исправленную дисперсию £2 и сравните эти оценки с известной генеральной дисперсией равномерного распределения, которая в данном случае равна 1/12 . Какая из двух оценок

(Б или £2) оказывается для большинства выборок ближе к значению генеральной дисперсии?

Результаты описанного эксперимента могут

показаться неожиданными: в 40 % случаев смещённая оценка D оказывается более точной оценкой, чем исправленная дисперсия s2. Однако если усреднить значения оценок по всем проведённым опытам, то именно несмещённая оценка практически совпадёт с генеральной дисперсией (как и должно быть по закону больших чисел). Отметим, что постановка такого эксперимента осуществляется в считанные минуты, а для его повторения требуется одно нажатие клавиши.

Возвращаясь к вопросу об инструментах реализации компьютерных практикумов по вероятностно-статистическим и, говоря шире, математическим дисциплинам, отметим, что, рассмотрев возможность применения разных пакетов прикладных программ, мы остановили свой выбор на Microsoft Office Excel. Табличный процессор Excel, не являясь профессиональным математическим пакетом, хорош для учебных целей тем, что это офисная, абсолютно доступная программа, знакомая студентам по курсу информатики. Эта программа может использоваться в разных режимах - от элементарных табличных вычислений до применения сложных функций и надстроек. Работа в Excel не обесценивает математических знаний, а наоборот, помогает их укрепить, освобождая лишь от рутинных вычислений. Для студента, изучающего математику, Excel подходит лучше, чем узкоспециализированные вычислительные пакеты, так же как для ребёнка конструктор полезнее, чем готовый совершенный прибор.

Теория игр, ныне являющаяся одним из важных разделов теории исследования операций, тесно связана как с оптимизационными, так и с вероятностно-статистическими понятиями и категориями. Лабораторный практикум по теории игр в Excel может включать в себя следующие работы.

Работа 1. Задачи линейного программирования. Знакомство с надстройкой «Поиск решения» Excel. Двойственность в линейном программировании.

Работа 2. Решение матричных игр. Сведение матричной игры к симметричной паре двойственных задач линейного программирования и решение их в Excel.

Работа 3. Игры с природой. Анализ различных критериев принятия решений.

Работа 4. Решение и исследование игр с ненулевой суммой. Простейшие биматричные игры. Понятие о коалиционных играх и многокри-териальности.

Курс эконометрики опирается на предшествующие ему вероятностно-статистические дисциплины и может включать в себя следующие работы лабораторного компьютерного практикума.

Работа 1. Парный корреляционный и регрессионный анализ.

Работа представляет собой повторение соот-

ветствующих разделов математической статистики с многочисленными задачами экономического содержания.

Работа 2. Стандартные отклонения коэффициентов регрессии, t-тесты. Качество регрессии. Анализ вариации по уравнению регрессии, коэффициент детерминации, ^-тесты.

Работа 3. Множественный корреляционно-регрессионный анализ. Коэффициенты интеркорреляции. Мультиколлинеарность. Определение значимости факторов, включённых в модель.

Работа 4. Регрессионный анализ нелинейных зависимостей. Случаи нелинейности по переменным и по параметрам.

Работа 5. Гетероскедастичность ошибок регрессии. Обобщённый метод наименьших квадратов.

Работа 6. Автокорреляционная функция временного ряда. Трендовые модели.

Работа 7. Моделирование циклической составляющей временного ряда. Метод фиктивных переменных, метод скользящей средней.

Работа 8. Системы одновременных уравнений. Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Курс эконометрики содержит достаточно много положений, касающихся применимости обычного метода наименьших квадратов (МНК) для построения регрессионных моделей. Проблемы, возникающие из-за таких явлений, как гетеро-скедастичность и автокоррелированность остатков регрессии, а также из-за наличия систем одновременных уравнений, преодолеваются за счёт определённых модификаций МНК — таких, например, как обобщённый, косвенный и двухшаговый методы. При этом никаких свидетельств того, что оценки параметров регрессии этими методами имеют преимущества (несмещённость, состоятельность, эффективность) перед обычными МНК-оценками, студенты обычно не получают, довольствуясь простыми утверждениями, что упомянутые модифицированные методы «лучше» обычного МНК. Однако эти преимущества могут быть наглядно выявлены в ходе экспериментов по методу Монте-Карло, и этот подход активнейшим образом используется в известном учебнике К. Доугерти [12]. Мы считаем весьма полезным введение таких экспериментальных обоснований в компьютерный практикум по эконометрике [13, 14].

Приведём следующий пример. Одним из условий применимости обычного МНК является постоянство дисперсии случайного члена

D(s;) = const, i = 1, n,

называемое гомоскедастичностью. Если это свойство не выполняется, то оценки по МНК будут неэффективными. Предположим, что в линейной

ш

модели регрессии случайный член прямо пропорционален значению объясняющей переменной, т. е.

y = axi + b + xt si, D(s;) = const, i = 1, n.

Таким образом, D(xtst) = xfD(ej), т. е. дисперсия случайного члена прямо пропорциональна квадрату объясняющей переменной. Поделив каждое уравнение на x и введя обозначения

U = VX, V = У lx , получим новую модель

V = but + a + st, в которой случайный член гомоскедастичен, а коэффициенты a и b как бы поменялись ролями. Применяя к этой модели обычный МНК, находим

оценки a , b , которые одновременно являются эффективными оценками коэффициентов исходной модели, полученными обобщённым МНК.

Задание (из работы 5). Теоретически известно, что при наличии гетероскедастичности оценки по обобщённому МНК оказываются эффективными, в отличие от оценок по обычному МНК. Докажите это статистически методом Монте-Карло. Для этого смоделируйте случайную величину Y как

y = ax + b + Xj s , i = 1, n, где X принимает целые значения от 1 до 10, а величина Si определяется как случайное число с нулевым математическим ожиданием. Значения a и b задайте самостоятельно. (Фактически необходимо убедиться, что оценки по обобщённому МНК имеют значительно меньший разброс относительно точных значений коэффициентов, которые в данном случае известны.)

Заключение

Практикумы, включающие в себя численное экспериментирование, прекрасно вписываются в концепцию активного и интерактивного обучения, сопровождаются продуктивными дискуссиями и взаимодействием. Они воспринимаются студентами с большим интересом и освобождают их от некоторых шаблонных умозрительных представлений.

Если говорить о вероятностно-статистических дисциплинах, то при их изучении можно активно использовать следующие разновидности моделирования: аналитическое, численное, имитационное, аналитико-статистическое. Особенно полезным, на наш взгляд, является применение в учебном процессе метода статистических испытаний. Это помогает быстро преодолеть разрыв между вероятностными и статистическими понятиями, способствует более глубокому пониманию закона больших чисел, пробуждает познавательный интерес и формирует навыки самостоятельной исследовательской деятельности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Тюрин Ю. А., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. М. : ИНФРА-М. 2002. 528 с.

2. Ванюрин А. В. Методическая система стохастической подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий : дис. ... канд. пед. наук. Красноярск, 2003. 152 с.

3. Суворова М. А. Формирование познавательного интереса студентов в процессе обучения теории вероятностей с использованием компьютерных технологий : дис. ... канд. пед. наук : Ярославль, 2006. 213 с.

4. Высоцкий И., Макаров А., Тюрин Ю. Методические подходы к преподаванию теории вероятностей и статистики [Электронный ресурс] // Математика. 2010. № 10. С. 8-10. Электрон. версия печат. публ. URL: http://mat.1septem-ber.ru/view_article.php?ID=201001002. (Дата обращения 15.08.2013).

5. Самсонова С. А. Методическая система использования информационных технологий при обучении стохастике. Архангельск : Поморск. гос. ун-т, 2004. 240 с.

6. Далингер В. А. Информационные технологии в обучении учащихся теории вероятностей и математической статистике : электрон. журнал // Современные проблемы науки и образования. 2012. № 4. URL: www.science-education.ru/104-6574 (Дата обращения 20.09.2013).

7. Бычкова Д. Д. Методическая система обучения математике и информатике в условиях реализации межпредметных связей в педагогическом вузе (на примере дисциплин «Элементы теории вероятностей и статистики» и «Компьютерное моделирование») : дис. ... канд. пед. наук. М., 2010. 226 с.

8. Гефан Г. Д. Роль лабораторных компьютерных практикумов в преподавании математических дисциплин студентам технических и экономических направлений подготовки // Теоретические и методологические проблемы современного образования : материалы XII междунар. науч.-практ. конф. М. : Спецкнига, 2013. С. 70-72.

9. Андронов А. М., Копытов Е. А., Гринглаз Л. Я. Теория вероятностей и математическая стати-стика.СПб : Питер, 2004. 461 с.

10. Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Дрофа, 2008. 473 с.

11. Самарский А. А. Введение в численные методы. М. : Наука, 1982. 272 с.

12. Доугерти К. Введение в эконометрику. М. : ИНФРА-М, 2001. 404 с.

13. Гефан Г.Д. Эконометрика. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2005. 84 с.

14. Гефан Г.Д. Эконометрика : лаб. практикум. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2008. 40 с.