CC BY
7
15. Пукач П.Я. Змшана задача в необмеженш област для слабко нелiнiйного гшербо-лiчного рiвняння 3i зростаючими коефщентами // Математичнi методи та фiзико-механiчнi поля : наук. журнал. - Львiв : Вид-во 1ППММ. - 2004. - Вип. 47. - № 4. - С. 149-154.
16. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионе. -М. : Изд-во "Эдиториал" УРСС, 2002. - 587 с.
17. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. - М. : Изд-во иностр. лит., 1958. - 475 с.
Пукач П.Я. Качественные методы исследования корректности решения в математической модели нелинейных колебаний полуограниченных упругих тел
Изложена методика качественного исследования решения математической модели колебаний полунеограниченных упругих тел. Рассмотренная система обобщает систему нелинейных волновых уравнений, изучаемую в теории упругости. Получены классы корректности обобщенного решения - весовые соболевские простанства функций с качественным поведением на бесконечности.
Ключевые слова: нелинейные колебания, нелинейная краевая задача, метод Га-леркина, метод монотонности, неограниченная область.
Pukach P.Ya. Qualitative research methods of investigation of solution correctness in the mathematical model of nonlinear oscillations of semi-infinite elastic bodies
The technique of qualitative research solution mathematical model of vibrations of semi-infinite elastic bodies is given. The system generalizes the system of nonlinear wave equations, which is studied in the theory of elasticity. Correctness classes of a solution -weighted Sobolev spaces of functions with qualitative behavior at infinity are obtained.
Keywords: nonlinear vibrations, nonlinear boundary value problem, Galerkin method, method of monotony, unbounded domain.
УДК 634.0.377 Викл. 1.В. Бичинюк -Львшський ДУВС
КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА АНАЛ1З НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ Г-ПОД1БНО1 ПРОМ1ЖНО1 ОПОРИ КАНАТНО1 Л1СОТРАНСПОРТНО1 УСТАНОВКИ
Розроблено програму математичного моделювання просторово! конструкцп промiжноi опори на базi системи MSC/NASTRAN для Windows. Оцшено напружено-деформований стан Г-ждабно! промiжноi опори просторово! конструкцп. Представлений аналiз дав змогу встановити небезпечш перерiзи та вузли опори. Визначено внугршш зусилля, яга виникають в елементах опори, та наведено рекомендаци для вибору розмiрiв !х поперечних перерiзiв.
Ключовг слова: комп'ютерне моделювання; напружено-деформований стан; просторова конструкщя; Г-подiбна опора; основш елементи; геометричш параметри.
Канатш люотранспортш установки е основним засобом мехашзацп первинного транспортування деревини в прських умовах [1, 2], а для умов украшських Карпат це багатопрогшш канатш установки. Багатопрогшш канатш люотранспортш установки оснащують пром1жними опорами, яю, зазви-чай, виготовляють з використанням ростучих дерев [1-3]. Однак тд час дог-лядових рубаннях та i у стиглих деревостанах не завжди вдаеться на трас установки знайти ростучi дерева, яю за мщшстю, висотою та дiаметром стовбу-
ра вщповщали б вимогам до таких опор. О^м цього, трудомiсткiсть мон-тажних робгг таких канатних установок становить близько 30 % робочого часу i е вищою, порiвняно з будiвництвом тракторного волока, а частка мехаш-зовано! працi шд час монтажу не перевищуе 15 %.
1стотно пiдвищити ефективнiсть канатних люотранспортних установок можна, використавши штучнi промiжнi опори, якi розробив автор [4, 5]. Бшьш простими в монтажi та надiйними в робот е Г-подiбнi опори. Схему тако! опри подано на рис. 1.
Рис. 1. Розрахункова схема Г-подiбноí опори
Зусилля ^, що дiе на опору, залежить вщ параметрiв сумiсних прого-нiв установки. Воно буде максимальним, коли вантаж знаходиться на башмаку. При цьому максимальний монтажний натяг становитиме Т0 = 0,8Ттах, [2], тобто можна записати:
F = QI 1 + а
l■cos y
(1)
4 f ■ cosa
де: Q - вага вантажу i каретки; l - довжина бшьшого прогону, який прими-кае до промiжноl опори; f - стршка провисання канату; a - кут ухилу хорди прогону до горизонту; у - кут перелому несучого канату на опор1 Якщо
прииняти
1
'20
формулу (1) можна подати в такому виглядг
F = Q11 + 0,01 ■ l
cos y
(2)
Вираз у дужках назвемо коефщентом перевантаження опори, тобто:
kn = 1 + 0,01-l-C0SsY. (3)
cosa
Тод F = kn ■ Q. (4)
Для визначення F величину kn можна отримати, скориставшись гра-фiками рис. 2, побудованими для у = 50.
Рис. 2. Графжи для вибору коефЩента перевантаження опори залежно вiд величини прогону установки: 1) а = 200; 2) а = 250; 3) а = 300
Для визначення зусиль, як дiють на щоглу, розглянуто рiвняння рiв-новаги статики. Для симетрично! системи, що оснащена трьома розтяжками, вони набудуть такого вигляду:
RA — F + Tр ■ соъв + 2Tр ■ соБ2в — F + Tp ■ со8в(1 + 2со8в)
HA — Tр ■ зшв + 2Tр ■ ът2в = Tр ■ sЮ(l + 2зшв); \, (5)
MA — F ■ a - H ■ h — 0.
де: RA; HA; MA - опорш реакцп стояка опори; Tp - натяг, який виникае в розтяжках; F - вертикальне зусилля, яке дiе на башмак опори; в - кут нахи-лу розтяжок до горизонту; h - висота опори; а - довжина поперечини опори. 1з третього рiвняння системи (5) отримаемо:
F ■ а
Н — -
або
ностi:
тр =
h
F ■ а
h ■ зшв-(1 + 2зшв)' (6)
Тодi зусилля, що дiе на стояк щогли Fсm — RA, можна знайти з залеж-
„ _ „ , F ■ а■ со8в^(1 + 2со8в) { а ■ + 2со8в) гст — RA — F +--—*--—- = F 1 +---—1----
h ■ зшв-(1 + 2зшв) ^ h ■( + 2зшв) Якщо прийняти в — 450, формула (7) набуде такого вигляду:
Fст — F
1+а h
(7)
(8)
тодi зусилля для визначення натягу в розтяжках можна визначити з залежностг
F ■ а
тр =
1,71 ■ h
Введемо поняття коефiцiента змiни натягу розтяжок кр, який дорiвнюе:
а
(9)
кр —■ , р 1,71 ■ ^
(10)
та коефiцiент змiни зусилля в стояку, кс
Тодi, вщповщно
С - 1 + -
&ст — 1 ^ - •
Fcm — 1
a ~h
■ F ;
Tp — kp ■ F .
Для визначення вщповщних коефiцieнтiв побудуемо кст — f (a) та kp — f (a) для pi3H^ значень висоти стояка (рис. 3).
(11)
(12) (13)
граф^
Рис. 3. Графши змши коефцент1в зусиль залежно eid довжини поперечини опори: 1) h — 3 м; 2) h — 5 м; 3) h —10 м; 4) h — 20м. а) kp — f (a); б) кст — f (a)
Внутршт зусилля, з врахуванням динамiчних навантажень, як вини-кають в елементах опор, можна визначити за рахунок проведення анатзу мiцностi 1х просторових структур, визначення запасу мщност каркасу опор та оптимiзацil за рiвномiцнiстю при зменшент маси окремих елеменпв, шляхом щцбору р1зних профтв та альтернативних сполучень ix у вузли.
Для проведення матема-тичного моделювання використа-но систему MSC/NASTRAN for Windows [6]. Для прикладу, роз-глянемо розрахунок просторово1 конструкцн промiжноl опори (рис. 4).
Просторова конструкщя опори складаеться з вертикально! щогли висотою 10 м; консольного кронштейна довжиною 1,7 м з модулем канатно! тдвюки ванта-жу; трьох натяжних канаив-роз-тяжок, розташованих у планi пiд кутом 45° одна вщносно iншоl (рис. 4). До кшця консольного кронштейна прикладаеться верти-кальне навантаження 15кН з ко-ефiцiентом динамiчностi кд — 2,0.
Отже, активне навантаження ста- рис. 4. Схема Г-тнПбшн опори капатши новить F =30кН. л^отранспортноК установки
Для компенсацп ди моменту згину, що виникае в щоглi вiд активного навантаження, до кожно! з трьох розтяжок прикладений попереднiй натяг 10000 Н. Таке ршення дае змогу покращити прямолiнiйнiсть щогли, частко-во розвантажити консольний кронштейн, а також зменшити провисання самих розтяжок. У рамках цього мщшсного анатзу щогли люотранспортно! установки розрахункову модель (рис. 4) представлено у виглядi стрижнево! конструкцп. Механiчнi характеристики матерiалiв елементiв опори прийнято згiдно з рекомендащями, наведеними в роботi [7]. Для використання методу кшцевих елеменпв проведено нумерацiю стрижнiв та вузлiв опори.
Рiшення нелшшно! задачi не може бути отримане з однократного ви-рiшення матричного рiвняння кшцевих елементав Кх = /, оскшьки тепер мат-риця жорсткост залежить вiд перемiщень. З умови рiвностi зовшшньо! i внутршньо! робгг виходить нелiнiйне матричне рiвняння, яке може бути ви-рiшене ггерацшним методом Ньютона-Рафсона. До складу рiвняння входить матриця початкового напруження або геометрична матриця, яку використо-вують у розрахунку на початкову стшюсть, i матриця великих перемщень.
Кiлькiсть iтерацiй пiд час розрахунку дослщжувано! моделi щогли ль сотранспортно! установки становила 4, що забезпечило точнють оцiнних по-казниюв до 0,0001. Ключовою умовою виконання вимог щодо статичного навантаження дослщжувано! конструкцп е поглинання необхщних навантажень з врахуванням коефiцiента динамiчностi кд = 2,0 та забезпечення запасу мщ-ностi за межею текучостi матерiалу виготовлення (сталь 10): рiвень зафжсова-них внаслiдок експерименту напружень не повинен перевищувати 205 МПа.
Рис. 5. Напружено-деформований стан каркасу щогли тсотранспортноИ установки: стрижневе представлення модел1 (на картг видтено область максимальных напружень)
Аналiз напружено-деформованого стану щогли люотранспортно! установки методом кшцевих елементiв дав змогу виявити максимальне напру-ження на рiвнi 191,1МПа. Це значення зафжсоване в усiченiй пiрамiдi зву-ження щогли в 11 верхнш частит (рис. 5). На рис. 5 наведено напружено-де-формований стан каркасу щогли.
Враховуючи той факт, що межа текучост матерiалу виготовлення щогли люотранспортно! установки (сталь 10) становить 205 МПа, а максимальне зафжсоване значення напружень - 191,1 МПа, можемо стверджувати про достатнш запас мщност конструкцп в цш стрижневiй конфкурацп. Рь вень напружень основи щогли знаходиться в межах 30x25 МПа; центрально! частини 35^85 МПа; верхньо! частини разом з консольним кронштейном -85x191,1 МПа. Аналiзуючи окремо розподш напружень за довжиною консольного кронштейна (рис. 5), необхщно зауважити, що завдяки застосовано-му потужному сортаменту (60x3 мм) значення напружень залишились в межах 67,1 МПа (рис. 6).
I ^ЫОУГ^Лпа И Р11Л1ПП, №11«
Рис. 6. Графт розподту напружень по довжит стрижтв консольного кронштейна: а) стрижш № 1, 2; б) стрижш № 3, 4
На основi представленого на рис. 6 графЫв розподшу напружень по довжиш вщповщних стрижшв консольного кронштейна приходимо до вис-новку про рiвномiцнiсть конструкцп. Враховуючи зафiксоване максимальне значення у 67,1 МПа, дослщжуваний кронштейн характеризуемся фактично потрiйним запасом мщносп вiдносно межi текучостi матерiалу виготовлення (сталь 10), що дае шдставу стверджувати про допустимють експлуатацп кронштейна в умовах прикладання навантажень з коефщентом динамiчностi кд (початково в кражга умови розрахунку було закладено значення кд = 2,0). Значення осьово! сили (режим розтягу) центрального канату становило 6286 Н, а крайшх канапв - 8482 Н. Як бачимо, отримаш значення е меншими за початково закладений попереднш натяг (10000 Н). Це свщчить про те, що, володiючи власною жорсткiстю та пiддаючись активному навантаженню (Р=30000 Н), щогла поглинула частину осьових зусиль вiд канатiв, частково розвантаживши 1х.
Значення реакцiй та моменпв згину в опорах (в'язях консольного типу) канатно! люотранспортно! установки дае змогу в разi необхщносп про-довжити розрахунки в напрямку несно! здатностi Грунту. Моделювання робо-ти опор дало змогу не тшьки визначити внутрiшнi силовi фактори, що вини-кають в перерiзах елементiв, а оцiнити !х напружений стан залежно вiд розмь
piB та форм поперечного nepepi3y. Це дасть змогу вибрати рацiональнi опори канатних установок залежно вщ схем навiшyвання несучого канату.
Л1тература
1. Ширя Т.М. Технологiя i машини люоачних pобiт / Т.М. Шкipя. - Л^в : Вид-во УкрДЛТУ, "Тpiада плюс", 2003. - 352 с.
2. Маpтинцiв М.П. Розрахунок основних елементiв пiдвiсних канатних люотранспор-тних установок / М.П. Маpтинцiв. - К. : Вид-во "Ясмина", 1996. - 175 с.
3. Адамовський М.Г. Пщвгсш канатнi лiсотpанспоpтнi системи / М.Г. Адамовсь-кий, М.П. Мартинщв, Й.С. Бадера. - К. : Вид-во 1ЗМН, 1997. - 156 с.
4. Патент на корисну модель UA 24654 U, МПК В61В 7/00. Пpомiжна щогла багаторазо-вого використання для канатно! люотранспортно! установки / М.П. Мартинщв, Б.В. Сологуб, 1.В. Бичинюк; заявник i власник патенту Нацюнальний лiсотехнiчний yнiвеpситет Укра!ни, № u200701770. - Заявл. 20.02.2007. - Опубл. 10.07.2007. - Бюл. № 10. - 6 с.
5. Патент на корисну модель UA 48067 U, МПК В61В 7/00. Пpомiжна щогла шдвюно! канатно! установки / М.П. Мартинщв, 1.В. Бичинюк, Б.В. Сологуб; заявник i власник патенту Нацюнальний люотехшчний ушверситет Укра!ни, № u200907889. - Заявл. 27.07.2009. -Опубл. 10.03.2010. - Бюл. № 5. - 4 с.
6. Шимкович Д.Г. Расчёт конструкций в MSC/NASTRAN for Windows / Д.Г. Шимкович. - М. : Вид-во ДМК Пресс, 2001. - 448 с.
7. Павлище В.Т. Основи конструювання та розрахунок деталей машин / В.Т. Павлище. -Львiв : Вид-во "Афша", 2003. - 558 с.
Бичинюк И.В. Компьютерное моделирование и анализ напряженно-деформированного состояния г-образной промежуточной опоры канатной лесотранспортной установки
Разработана программа математического моделирования пространственной конструкции промежуточной опоры на базе системы MSC / NASTRAN for Windows. Оценено напряженно-деформированное состояние Г-образной промежуточной опоры пространственной конструкции. Представленный анализ позволил установить опасные сечения и узлы опоры. Определены внутренние усилия, возникающие в элементах опоры, и приведены рекомендации для выбора размеров их поперечных сечений.
Ключевые слова: компьютерное моделирование; напряженно-деформированное состояние; пространственная конструкция; Г-образная опора, основные элементы; геометрические параметры.
Bychynyuk I. V. Computer simulation and analysis stress-strain state of L-shaped intermediate support rope logging setup
A program of mathematical modelling the spatial structure of the intermediate support on the basis of MSC / NASTRAN for Windows. By the stress-strain state of L-shaped intermediate support spatial design. The analysis revealed dangerous sections and components support. Defined internal forces arising in cell towers and provides recommendations for selecting the size of their cross sections.
Keywords: computer modeling of the stress-strain state; dimensional structure, L-shaped support; basic elements, geometrical parameters.
УДК 330.131.7:658 (07) Проф. О.Б. Жихор, д-р екон. наук; магистрант
С.С. Пивоваров -Хартвський тститут банмвськог справи УБСНБУ
ЕКОНОМ1КО-МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЗАПОБ1ГАННЯ Ф1НАНСОВОМУ РИЗИКУ НА П1ДПРИЕМСТВ1
Узагальнено практичш шдходи щодо ощнювання фшансових ризигав на шд-приемств1. Запропоновано економжо-математичний шдхщ, який полягае у визначен-
