Компьютерная программа автоматического построения полиномных степенных трендов с самоопределяющимися показателями степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

----------------------------------- © В.А. Антонов, М.В. Яковлев,

2009

УДК 004.42

В.А. Антонов, М.В. Яковлев

КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ ПОЛИНОМНЫХ СТЕПЕННЫХ ТРЕНДОВ С САМООПРЕДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПОКАЗАТЕЛЯМИ СТЕПЕНИ

Дано описание компьютерной программы для ЭВМ, проводящей построение по данным горного производства достоверных полиномных степенных трендов. Главная особенность трендов заключается в том, что показатели степени в них рассчитываются в области рациональных чисел самой программой. Приведены примеры практического применения программы.

Ключевые слова: программа для ЭВМ, интерфейс, файл, исходные данные, регрессия, тренд, показатели степени.

Я а горных предприятиях решение многих задач планирования, прогнозирования и моделирования геотехнологи-ческих процессов проводят на основе регрессионного анализа экономических показателей, результатов геологического опробования, технологического контроля, маркшейдерских и геофизических измерений. Наиболее сложные регрессионные закономерности (тренды) изменения таких данных представляют математически в виде степенных полиномов. Для построения трендов применяют известные отечественные и зарубежные статистические компьютерные программы для ЭВМ, например, Stadia, Excel, Statgraphics , SPSS, Statistica. В этих программах показатели степени трендовых полиномов задаются пользователем. Поскольку чаще всего показатели степени, соответствующие искомым закономерностям, заранее неизвестны, то их значения подбирают из ряда целых чисел и получают полиномы, содержащие члены: линейный, квадратный, кубический и т. д. Однако, природные, технологические и экономические закономерности редко совпадают с такими трендами. В широких интервалах интерполяции и, особенно, в интервалах экстраполяции достоверность трендов весьма низкая. По этой причине, решение регрессионных задач в указанных интервалах с применением известных программ становится невозможным.

Для решения указанной проблемы в Институте горного дела УрО РАН разработана компьютерная программа для ЭВМ, имею-

щая название «Полиномные степенные тренды с самоопределяющимися показателями степени (тренды ПС СПС)». Ее главное отличие от известных программ состоит в том, что показатели степени в трендах не задаются априори пользователем, а объективно рассчитываются как оптимальные в области рациональных чисел (дробных, положительных и отрицательных) самой программой. Критерием оптимизации является достижение наибольшего коэффициента детерминации трендов. Поскольку показатели степени самоопределяются, исходя из особенностей распределения исходных данных, то установленные с их применением тренды распространяются в широких интервалах интерполяции и экстраполяции со значительно большей достоверностью по сравнению с традиционными трендами.

Математическая формализация тренда, реализованная программой, состоит в том, что наличие каждого интервала аргумента X, в пределах которого величина тренда УТ изменяется непрерывно и монотонно, т. е. возрастает или убывает, обусловлено объективно существующим закономерным влиянием и отображается в математической формуле трендового полинома соответствующим степенным членом вида ЛХ“, где /л- показатель степени. Количество степенных членов равно сумме, состоящей из количества экстремумов тренда Vj и единицы +1). Математическая формула тренда ПС СПС представлена суммой постоянной составляющей и степенных членов, образованных с учетом всех интервалов монотонности тренда вдоль аргумента X. Формула имеет вид

^ +1 ..

УТ = В + I Л .. X ц 1,

1=1

где j - номер интервала монотонности тренда.

Коэффициенты и показатели степени, входящие в математическую формулу тренда, определяются по критерию максимума коэффициента его детерминации Я2 совместным применением метода наименьших квадратов (МНК) и специально разработанного в Институте горного дела УрО РАН нового численного метода оптимизации - метода приближений параболической вершины (МППВ). Суть МППВ (метода В.А. Антонова) состоит в многократно повторяющейся и уточняющейся в приближениях аппроксимации экстремальной области т-мер-ной функции Я2(ит) = Я2(и 1, л2, Из •••Лт) также т-мерной параболической функцией, которая имеет единст-

венный максимум, условно названный вершиной. В ^-приближении параболическая функция Рк(ыт) представляется в виде

Рк = с к + I с п к ц, + с j 2 к ц2,) ,

1=1

где Ск, Сдк, С,2к - коэффициенты. Аппроксимацию проводят по опорным точкам, принадлежащим функции Я2(ыт), для которых выполняются неравенства коэффициентов С,2к< 0. В процессе приближений опорные точки, имеющие наименьшее значение Я2(ыт), заменяются с учетом необходимой коррекции Ск<0 вновь образованными опорными точками, в которых показатели степени р1вк, Ц2вк, ■ ■■ ^твк рассчитываются по вершине параболической функции. В результате аппроксимации осуществляется последовательное приближение вершинной точки параболической функции к точке максимума коэффициента детерминации тренда. Таким образом, рассчитывается с заданной сколь угодно малой погрешностью совокупность показателей степени тренда Ль Л2, Л3 ■■■Лт, при которой коэффициент его детерминации Я2 наибольший из всех возможных, оцениваемых МНК.

В соответствии с принятой концепцией построения тренды ПС СПС классифицированы с разделением на типы по признаку количества трендовых экстремумов. Тип тренда представляется перечнем его аргументов с указанием в скобках после каждого из них vг■+1 обозначений показателей степени, соответствующих количеству интервалов монотонности тренда вдоль данного аргумента. Типы трендов ПС СПС, проводимые данной программой, приведены в таблице.

Достоверность интерполяции в широких интервалах и экстраполяции трендами ПС СПС значительно выше по сравнению с трендами, где показатели степени априори заданы целыми числами. Тем не менее, тип тренда ПС СПС может быть выбран однозначно лишь по заранее известным особенностям и свойствам искомой трендовой зависимости. Часто таких сведений нет, но вводятся имеющиеся данные об относительной погрешности тех средств или методов, с применением которых Типы и соответствующие формулы трендов ПС СПС

Количество

Тип тренда Формула тренда

0 Х($ А^ + В

1 Х(М1, М2) A^1 + А2Х^2 + B

2 Х(М1, М2, Мз) A^ + A2x^2 + АзХцз + B

получены (косвенно рассчитаны или непосредственно измерены) исходные значения зависимой величины. Тогда программой определяется тип ориентированного на указанную погрешность тренда. В опции типов тренда «ПС СПС ориентированный» по введенной погрешности Syi рассчитывается коэффициент заданной детерминации R32

1 = n

2 (5 „• Y ,• )2

R 2 = 1 - T=nt--------------=—

2 (Y • - Y )2

i = 1

и программой выбирается, как наиболее достоверный, такой тип тренда ПС СПС, при котором абсолютная разность между коэффициентами Rз и R2 минимальная.

Программа строит линейный тренд, а также тренды ПС СПС в режиме одного из выбранных типов Х(м), Х(мь м2), Х(мь м2, м3), либо в режиме ориентирования, когда тип тренда выбирается автоматически. Относительная погрешность расчета показателей степени изменяется от 0,1 до 0,0001. Число десятичных знаков после запятой в формуле тренда выбирается от 0 до 15. Знак аргумента Х положительный. Знак исходных значений зависимой величины Y, тренда Yx положительный и отрицательный. Количество пар исходных значений Х и Y задается от 3 до 1000. Тренд представляется в виде математической текстовой и (или) графической формулы, а также в виде графика.

Набор интерфейсных элементов, расположенных на главной странице программы, изображен на рис. 1. Интерфейс содержит следующие элементы: кнопки часто используемых функций - 1; панель просмотра исходных значений Х и Y, выбора типа тренда и управления навигацией по страницам построенных трендов - 2; панель режимов ввода исходных значений Х и Y с помощью мыши, а также обмена данными и построенными трендами с листом Excel -3; панель настройки отображения трендов - 4; поля для настройки шкал осей Х и Y - 5;

Файл Параметры / Справка

J А --\ 2* J U

36.2 30.5 44 68.9 67 31.8 80.8

27.3 25.01 29,85 32.83 32.19 25.81132.62

Координаты

(5 ю с* X

1 В зять данные из рабочего листа Excel | [ I ередать тренд в I

рабочий лист Excel |

Представление р< зцльтатов

Исходные данные

Линейный тренд ПС СПС типа Х(ц)

ПС СПС типа Х(р1 ,»А\ LsJ ПС СПС типа Х(ц1 j»2.p3) Э

(10 Q Осн. і <10 Ц Доп.

*1U Д Осн. I «10 Р Доп.

Y = 34,320015 - 7113,042934 1X'1-941147

Y = - 219,429714 - 9313,293823 1 х0-294191 + 9473,994742 - Х 0,291982

R =0,993870 R2 = 0,998589

50

40

30

20

10

0

-10 -

Y

Y = 34,320015 - 7113,042934 * X - 1,941147 R2 = 0,993870 6

Y = - 219,429714 - 9313,293823 * X 0,294191 + 9473,994742 * X 0,291982 R2

—А ПГ^СОГі

80

120

160

200

4

3

5

панель математических формул трендов - 6; поле графического отображения исходных значений Х и Y (точек) и графиков полученных трендов - 7.

В окне «Файл» есть возможность вставить в программу тренда исходные значения Х и Y из текстового файла, из файла Microsoft Excel или из буфера обмена. Здесь же предусмотрено сохранение-запись исходных значений Х и Y в текстовый файл, в файл Microsoft Excel или в буфер обмена. Можно сохранить график тренда в отдельности или вместе с его формулой в bmp-файл, экспортировать исходные значения Х и Y, формулу тренда и его график в новый лист Excel или вывести их на печать. В окне «Параметры» устанавливаются режимы программы по допустимой погрешности расчетов, приемлемой форме представления тренда, оформления его названия, обозначения осей координат и других надписей на поле, где отображаются графики трендов.

Программа применяется в регрессионном анализе зависимой величины в случаях возможного математического выражения искомого уравнения регрессии степенными полиномами. Кроме области горного дела, ее можно применять в других областях промышленности, науки и техники, где в качестве зависимой величины могут рассматриваться величины математические и физические, или разные параметры и показатели, например, социологические, технические, экономические. Эффективность применения программы покажем на следующих практических примерах.

Пример 1. На горнодобывающем предприятии за последние 7 лет зафиксирована среднегодовая мощность М добычи руды. Полагая, что в ближайшем будущем технико-экономи-ческие условия работы предприятия не изменятся, требуется дать прогноз распределения по времени Т среднегодовой мощности добычи руды на последующий период до 5 лет. Исходные значения величины М по мере роста времени монотонно увеличиваются, и есть основания считать, что в прогнозируемой области подобное увеличение сохранится. Поэтому, вставив в программу исходные значения Т и М, выберем в качестве прогнозного тренд ПС СПС типа Х(м). Зададим погрешность расчета 0,001 и количество десятичных знаков 4 в формуле тренда. На рис. 2 показаны окна программы, отображающие исходные значения Т и М и конкретный вид тренда,

У = 72,4854 + 2,9714 1 X 1>3142

М, тыс. т. 200

150

100

50

График прогноза среднегодовой мощности добываемой руды

М = 72,4854 + 2,9714 * Т R2 = 0,9787

1,3142

10

12

Т,

14

год

0

2

4

6

8

полученного после запуска расчетов. Его математическая формула содержит показатель степени 1,3142. График тренда изображается кривой линией, показывающей более высокий прогнозный рост мощности добычи руды по сравнению с прямолинейной зависимостью.

Пример 2. В некоторых точках профиля, пересекающего пласт медной руды, произведено геологическое опробование на содержание ССи в руде меди. Точки опробования расположены на интервале с координатой X от 40 до 81 м в средней части профиля и характеризуются относительной погрешностью 0,018 полученных содержаний меди. Из дополнительных геологических данных известно, что минерализация горных пород на профиле развита непрерывно, тектонические нарушения отсутствуют, а в зонах контакта рудного пласта со вмещающими горными породами содержания меди плавно снижается от уровней рудной кондиции до пустой породы. Требуется, на основе регрессионного анализа построить тренд распределения содержания меди в руде и, насколько возможно, оценить по графику тренда протяженность рудного пласта. Строим искомый тренд. Сначала вставим в программу исходные значения X и ССи, зададим погрешность расчета показателей степени 0,001, количество десятичных знаков 4 в формуле тренда и выберем режим его построения «ПС СПС ориентированный». В этом режиме зададим одинаковую для всех точек относительную погрешность 0,018 исходных содержаний меди. При этом программой определяется заданный коэффициент детерминации Rз2 =0,6616. После запуска программа автоматически определяет тип искомого тренда Х(ыь Л2). На рис. 3 приведены окна программы, отображающие выбранный режим построения тренда, исходные значения X и ССи по данным геологического опробования и введенную его погрешность, а также формулу и график полученного тренда. Формула тренда содержит два показателя степени: ц\= 8,0587 и ц2= -5,7951. Коэффициент детерминации тренда R2 =0,9697 выше заданного. График тренда в средней части профиля имеет широкий экстремум в виде максимума, показывает в начале профиля плавное увеличение, а в его конце - плавное уменьшение содержания меди, соответствующее геологическим представлениям о характере контактных зон пласта. Задав критерий рудоносности пласта, например, ССи >0,5 %, оценим по графику тренда его протяженность на профиле от 28 до 105 м.

Ввод исходных данных

Кол-во точек Т нп тренда

Задать относительную погрешн. исх. данных

ПС СПС ориентированный

Т очка 1 2 3 4 5 Б 7

X 40 43 49 63 74 78 81

У 1,77 1,86 1,9 1,95 1,89 1,83 1,8

Щ

Относительная погрешность исходных данных

Одинаковая относительная погрешность для всех тачек

ВО

Заданный коэффициент детерминации Н = 0,8Б1Е76

Т очка 1 2 3 А 5 С 7

X 40 43 49 83 74 78 81

У 1,77 1,8Б 1,9 1,Э5 1,89 1,83 1,8 — 1

Отн.погр 0,0)8 0,018 0,018 8,018 0Г018 0,01 Э 0,018 ^1

У = 1,9812 - 7,659Е-17 1 X 8-0587 - 394143527,9385 - X ' 5,7951

И = 0,9697

Сси ,% 3

2.5 2

1.5 1

0,5

0 20

Тренд содержания меди в руде вдоль профиля, пересекающего рудный пласт

Сси = 1,9812 - 7,6589 *10 -17 *Х 8,0587 - 394143527,9385*Х -5,7951

2

R2 = 0,9697

30

40

50

60

70

80

90

100 110 X, м

Рис. 3. Фрагменты окон программы при построении тренда распределения содержания меди в рудном пласте Ввод исходных данных

Кол-во точек

Т нп тренда

ПС СПС типа Х(ц1,ц2,цЗ)

Т очка

1

X

8,1 10,2 19,9 30,3 38,1 42,8

П2= 1,000000

У = 1,705697 - 9,84166Е-52 -X31'559223 + 5396,292806 1 X '3'711935 + 0,010130 1 X 1-50132

4

3

2

1

Е,

кДж/кг

ВЫХОД ЛЕТУЧИХ ВЕЩЕСТВ V, %

0 10 20 30 40 50

Рис. 4. Фрагменты окон программы при построении тренда в экспериментальных исследованиях газоОинамическои ак тивности угольных пластов

Пример 3. В процессе исследований газодинамической активности угольных пластов проведена экспериментальная оценка энергии релаксации E смены стабильных состояний, происходящих в системе уголь-метан, при некоторых заданных значениях относительного выхода v летучих веществ. Оценка проведена с высокой точностью. Требуется, в заданной по эксперименту области определить функциональную зависимость энергии релаксации от выхода летучих веществ. Судя по характеру распределения экспериментальных оценок, искомая зависимость может быть выражена функцией степенных полиномов, имеющей два экстремума. Поэтому, после ввода в программу исходных значений v и E, установки погрешности расчетов 0,0001 и количества десятичных знаков 6, зададим тип искомого тренда ПС СПС Х(ыь Л2, Л3). На рис. 4 представлены окна программы, отображающие исходные значения v и E и конкретный вид тренда, полученного после ее запуска. Формула тренда содержит три показателя степени: /л\= 31,559223; ^2= -3,711935; /л3 =1,501320. Равенство коэффициента детерминации тренда единице означает, что график тренда проходит через все исходные точки, а его математическая формула выражает функциональную искомую зависимость.

В заключение отметим, что программа может применяться самостоятельно или в качестве приложения к известным программам, работающим в среде Windows. Ее объем занимает приближенно 2 МБ. Продолжительность расчетов и построения программой тренда ПС СПС в подавляющем большинстве случаев не превышает одну секунду. ШИН

V.A. Antonov, M. V. Yakovlev

THE COMPUTER SOFTWARE FOR THE AUTOMATIVE DESIGNING OF THE POLYNOMINAL STAID TRADES WITH THE SELF-DETECTING POWER EXPONENT

The description of the computer program spending construction according to mountain manufacture authentic polynomial of sedate trends is given. The main feature of trends consists that exponents in them pay off in the field of rational numbers the program. Examples of practical application of the program are resulted.

Key words: software, interface, file, initial data, regression, trend, power exponents.

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------

Антонов В.А. - ведущий научный сотрудник, доктор технических наук,

Институт горного дела УрО РАН, аntonov@igd.uran.ru

Яковлев М.В. - научный сотрудник, Институт горного дела УрО РАН,

mik@igd.uran.ru