CC BY
57
4
КОМПЬЮТЕРНАЯ ФОТОНИКА
КОМПЬЮТЕРНАЯ ОБРАБОТКА ИНТЕРФЕРОГРАММ МЕТОДОМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ А.В. Беляков, И.П. Гуров
Рассмотрены свойства двумерного вейвлет-преобразования применительно к задаче обработки интерференционных картин. Показана взаимосвязь между линиями экстремумов в трехмерной вейалет-карте. полученной с использованием симметричного вейвлета, и линиями экстремумов интерференционные картин. Выделенные линии экстремумов используются для восстановления формы рельефа исследуемой повнрхкости.
Введение
Бесконтактные методы исследования объектов широко используются в научных исследованиях и высоких технологиях. Интерференционные картины, получаемые при отражении когерентного излучения от поверхности исследуемого объекта методами классической, муаровой и спекл-интерферометрии, содержат информацию о рельефе поверхности. Для извлечения полезной информации, характеризующей объект, используются различные методы обработки картин полос, наиболее распространенными из которых являются методы, основанные на преобразовании Фурье (см., например, [1], [2]). Такие методы имеют ряд недостатков, в частности, сложность локализации особенностей картин полос в области независимой переменной. Это обстоятельство ведет к необходимости разработки методов, подобных «оконному» преобразованию Фурье, которое позволяет локализовывать особенности картин полос. Основное ограничение подобных методов заключается в низком пространственно-частотном разрешении, обусловленном ограниченной протяженностью локализуемой области.
Вейвлет-преобразование позволяет устранить указанные выше ограничения. В последнее время методы, основанные на вейвлет-преобразовании, активно используются для решения многих задач, в том числе и в интерферометрии [3-10], Восстановленные с использованием вейвлет-преобразования линии экстремумов интерференционных полос (или линии равных фаз с шагом 2л) содержат информацию, достаточную для восстановления рельефа поверхности, поскольку изменению фазы полос на 2л соответствует отклонение рельефа на 7J2, где X - длина волны излучения.
В данной работе показана взаимосвязь между линиями экстремумов интерференционных картин полос и линиями экстремумов трехмерной вейвлет-карты, полученной из исходной картины полос с помощью двумерных симметричных вейвлетов. Такое соответствие объясняется свойствами интерференционных картин, отличающих данный класс изображений.
В большинстве работ используется одномерный или квазидвумерный подход. Данная работа направлена на исследование возможностей использования двумерного непрерывного вейвлет-преобразования для обработки интерференционных картин.
Двумерное вейвлет-преобразование
Непрерывное вейвлет-преобразование (Continuous Wavelet Transform, CWT) функции/(х) определяется следующим образом [8]:
Ш(а,Ъ) = а-иГ\Пх) (1)
где ту (х) - одномерная вей влет-функция, Ь - параметр сдвига, а - параметр масштаба вей влет-функции, х - независимая переменная, Получаемый в (1) набор вейвлет-коэффициентов Ща, Ь) часто называют вейвлет-картой.
При вейвлет-преобразова нии с помощью изменения масштаба можно исследовать свойства различных сигналов, в широком диапазоне частот. Сдвиг позволяет локализо-вывать особенности сигнала в области независимой переменной.
Для восстановления с игнала используется обратное преобразование:
/(*) 4 (2)
« \ а ) а
00 2 ,
где константа С= I——-¿и является нормирующим коэффициентом, 0<С<оо, о "
В случае анализа двумерной функции преобразование (1) принимает вид
+0О+ОО
а~и2 \ ¡/(х,у)м{(х-^а,{у-П)1о)с1хау, (3)
— СО—00
где £и т/представляют сдвиги по двум координатам. Двумерное преобразование (3) может быть пр едставлено в дискретной форме:
N-1 М-1
ЩаЛА 1;А) = А2а-,/;г2^/(«А,тД)и<(«-0Д/а,(т-у)А/£г), (4)
я=0 т-0
где N и М определяют размер матрицы отсчетов изображения, А - шаг дискретизации по прострглиственным переменным (для простоты полагаем шаг равным для обеих переменных.). В соответствии с (4), для каждого масштаба а создается матрица вейвлет-коэффиц иентов размерности N у. М. Трехмерная матрица, получаемая в результате масштаб,ирования по переменному параметру а, представляет трехмерную вейвлет-карту.
Для того, чтобы некоторая функция могла быть отнесена к классу вейвлет-фун.кции, она должна обладать двумя свойствами: во-первых, такая функция должна обладать нулевой площадью, во-вторых, ее амплитуда должна быстро убывать к нулю. Г1ервое свойство обеспечивает возможность обратного преобразования, а второе - хорошую локализацию деталей в области независимой переменной.
Наглядным примером вейвлет-функции является вейвлет Морле (см. рис. 1, а), определяемый как
и<х) = ехр(~х2 / 2) ехрО'сох), (5)
где ш - частотный параметр. Вращением действительной части вейвлета Морле (рис. I, а) вокруг вертикальной оси можно получить двумерный симметричный вейвлет
(рис. 1, б):
М.Х* у) = ехр[-<х2 +у2)/ 2] со5[со(х2 + у2 у2]. (6)
Аналогичным образом возможно сформировать двумерный вейвлет из мнимой части одномерного вейвлета (рис. 1, а). Как показано далее, двумерный вейвлет Морле (6) удобно использовать для анализа картин интерференционных полос.
Ща,Ь) = а-ш (1)
—оэ \ /
где н> (х) - одномерная вейвлет-фу нкция, Ъ - параметр сдвига, а - параметр масштаба вей влет-функции, х - независимая переменная. Получаемый в (1) набор вей влет-коэффициентов Ща, Ь) часто называют вейвлет-картой.
При вей влет-преобразова нии с помощью изменения масштаба можно исследовать свойства различных сигналов, в широком диапазоне частот. Сдвиг позволяет локализо-вывать особенности сигнала в области независимой переменной.
Для восстановления с игнала используется обратное преобразование:
п^Тк^^М—^' <2>
с -=о-ш \ а ) а
00 2 , ^ ¡•И» (и)
где константа С = I — —'-¿и является нормирующим коэффициентом, 0<С <со. | и
В случае анализа двумерной функции преобразование (1) принимает вид
-ня-юо
где £и г]представляют сдвиги по двум координатам. Двумерное преобразование (3) может быть пр едставлено в дискретной форме:
\-\M-1
Ща,1А , jA) = А2а~и2 £ ^/(«А, тД)и<(л - /)Д / д, (м - /)Д/ а), (4)
я=0 л<=0
где N и М определяют размер матрицы отсчетов изображения, Д- шаг дискретизации по простргшственным переменньш (для простоты полагаем шаг равным для обеих переменных.). В соответствии с (4), для каждого масштаба а создается матрица вейвлет-коэффиц иентов размерности Л" х М. Трехмерная матрица, получаемая в результате масштабирования по переменному параметру а, представляет трехмерную вей влет-карту.
Для того, чтобы некоторая функция могла быть отнесена к классу вей влет-функций, она должна обладать двумя свойствами: во-первых, такая функция должна обладать нулевой площадью, во-вторых, ее амплитуда должна быстро убывать к нулю. Г1ервое свойство обеспечивает возможность обратного преобразования, а второе - хорошую локализацию деталей в области независимой переменной.
Наглядным примером вейвлет-функции является вейвлет Морле (см. рис. 1, а), определяемый как
и<*) = ехр(-л2 /2)ехрО'сох), (5)
где со - частотный параметр. Вращением действительной части вейвлета Морле (рис. 1, а) вокруг вертикальной оси можно получить двумерный симметричный вейвлет
(рис. 1, б):
™(х,уУ = ехр[—(х2 +у2)/2]со5[оз(х2 +/)1/2]. (6)
Аналогичным образом возможно сформировать двумерный вейвлет из мнимой части одномерного вейвлета (рис. 1, а). Как показано далее, двумерный вейвлет Морле (6) удобно использовать для анализа картин интерференционных полос.
Из (3) следует, что чем ближе частота вейвлета к частоте полос, тем больше по абсолютному значению оказывается соответствующий коэффициент вей в лет-карты. Это свойство помогает понять, что происходит со срезами карты по осям, параллельным осям исходой интерферограммы (см. рис. 3).
При использовании симметричных вейвлетов большие коэффициенты располагаются вдоль линий исходной картины. С изменением ширины полос коэффициенты растут в направлении масштаба, который наиболее соответствует локальному шагу полос. Коэффициенты не успевают существенно измениться при небольшом пере масштабировании вейвлета или при небольшом смещении, поэтому их изменение происходит плавно. При увеличении шага полос коэффициенты возрастают в сторону увеличения масштаба. Если шаг полос является постоянным, то соответствующий масштабный коэффициент является неизменным. Таким образом, в трехмерной вейвлет-карте формируются линии коэффициентов с экстремальными значениями, которые следуют вдоль полос интерферограммы.
Рис. 3. Срезы вейвлет-карты по горизонтали (слева) и вертикали (справа)
На рис. 4 показана сложная интерферограмма с изменяющимся шагом, неравномерной фоновой составляющей и малой видностью полос на локальных участках, на которой показаны линии экстремумов, полученные проецированием коэффициентов трехмерной вейвлет-карты.
Рис. 4. Исходная интерферограмма с выделенными линиями экстремумов (слева) и развернутая фаза полос по линиям экстремумов (справа)
Из рисунка видно, что восстановленные линии экстремумов полностью соответствуют исходной картине полос. Различимы отдельные короткие отрезки линий, отме-
чающие наличие локальных особенностей и влияние шумов. Для целей дальнейшей обработки необходимо выделить только те линии, которые представляют полезную информацию. В данном случае естественным критерием является селекция по величине длины линий.
После объединения и сглаживания выделенных линий экстремумов возможно восстановление развернутой фазы картины полос, значения которой представлены картиной полутонов на рис. 4.
Картина развернутой фазы полос характеризует рельеф поверхности (см. рис. 5) с точностью до знака изменения фазы.
Рис 5. Представление восстановленного рельефа исследуемой поверхности значениями развернутой фазы полос (в радианах)
Заключение
В работе продемонстрирована применимость двумерного непрерывного вейвлет-преобразования к задачам обработки картин интерференционных полос. Показано, что линии экстремумов, образующиеся в трехмерной карте вейвлет-коэффициентов, соответствуют линиям экстремумов исходной картины полос, что в результате позволяет восстановить рельеф исследуемого объекта с интерферометри ческой точностью.
Автоматическое выделение линий экстремумов трехмерной карты вейвлет-коэффициентов, соответствующих полосам в исходной картине, осложняется наличием локальных дефектов картины полос. Для повышения помехоустойчивости метода следует учитывать наличие соседних линий экстремумов на расстоянии, согласующемся по масштабу.
Дополнительные возможности метода могут быть реализованы при использовании двумерного комплексного вейвлета, мнимая часть которого формируется из мнимой части одномерного вейвлета. При этом возможно вычисление локальных значений фазы картин полос без выделения линий экстремумов, что представляет предмет дальнейших исследований.
Литература
]. Takeda М, Ina Н., Kabayashi S. Fourier - transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry //.I. Opt. Soc. Amer. 1982. V. 72. No.l. P. 156-160.
2. Васильев В.П., Гуров И.11. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометр ическим системам. СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 1998.
3. Angrisani L., Daponte P., D'Apuzzo M. A method for the automatic detection and measurement of transients. //Measurement. 1999. V. 25. P. 19-40.
4. Maass P., Ende M., Kayser D., Osten W., Teschke G, Continuous wavelet methods in signal processing. In: Proc. 4-th International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns, W. Osten, and W. Jiiptner, eds. Paris: Eisevier Verlag, 2001.
5. Cherbuliez M., Jacquot P. Phase computation through wavelet analysis: yesterday and nowadays. In: Proc. 4-th International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns, Paris: Elsevier Verlag, 2001.
6. Cherbuliez M., Jacquot P., and de Lega X. Wavelet processing of interferometric signals and fringe patterns//Proc. SPIE. 1999. V. 3813. P. 692-702.
7. Liu H., Cartwright A., Basaran C. Sensitivity improvement in phase-shifted moire' interferometry u sing 1-D continuous wavelet transform image processing //Opt. Eng. 2003, V. 42 P. 2646-2652.
8. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
9. Беляков A.B., Гуров И.П. Улучшение интерферограмм методом вейвлет-преобразования //Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2002. Вып. 6. С. 148-152.
10. Беляков A.B., Гуров И.П. Анализ интерференционных полос методом «волновых всплесков» //Оптический журнал. 2003. №1. С. 18-23.
