Компьютерная модель прорыва Волжской плотины Текст научной статьи по специальности «Математика»

© М.А. Еремин, А.В. Хоперсков, 2006

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 553 + 519.6

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ПРОРЫВА ВОЛЖСКОЙ ПЛОТИНЫ *

М.А. Еремин, А.В. Хоперсков

На основе уравнений мелкой воды изучена динамика затопления в результате значительного разрушения плотины Волжской ГЭС. Динамика поверхностных вод рассмотрена на фоне реального рельефа местности, передающего все характерные особенности местности южнее Волжской плотины на территории площадью 1426 км2. Сделаны предварительные выводы о характере наводнения для Волго-Ахтубинской поймы и г. Волгограда. Характерное время затопления зависит от темпа сброса воды и может быть меньше одного часа.

Введение

Сложные технические сооружения должны проходить всесторонние экспертные испытания, к числу которых в первую очередь следует отнести расчеты последствий их аварийной работы, включая их полное разрушение. О важности построения таких моделей говорят истории Чернобыльской АЭС, Аральского моря и др. К числу таких объектов относятся и крупнейшие гидроэлектростанции на Волге и, в частности, Волжская ГЭС.

Отметим, что в последнее время в научных и общественных кругах начинает обсуждаться вопрос: «Что нам делать с волжскими водохранилищами?» В основе проблемы лежат острейшие экологические проблемы Волги. В последние годы возникла новая опасность из-за террористических угроз. Учитывая значительную степень изношенности плотин, вопрос о возможных последствиях аварийных ситуаций на крупных гидросооружениях следует считать актуальным. В работе приведены результаты моделирования процесса затопления после быстрого и полного разрушения плотины Волжской ГЭС.

Модель

Будем считать, что динамика поверхностного потока воды описывается системой уравнений Сен-Венана [1]:

* Работа выполнена в рамках гранта ВолГУ (№ 34-2007-а/ВолГУ).

д £ д (Ни) д (Нч) л

—- + —-—- +— = 0

д t д х д у ’

(1)

д (Ни) + д (Ни2) + а (Н V и) + н д^ = 0

д і д х д у д х ,

(2)

д (Нч) д (Нчи) д (Нч2) д Ъ .

—----+ —------+ —------+ %Н— = 0

д і д х д у д у

(3)

где и(х, у, 0 и V (х, у, 0 - горизонтальные компоненты вектора скорости соответственно

вдоль осей х и у;

Н = Е, + h, Е(х, у, 0 - возмущение свободной поверхности воды; h(x, у) - уровень дна водоема;

g - ускорение свободного падения.

Функция ^х, у), определяющая рельеф, задана в виде сеточной функции на сетке с числом узлов 1550 х 2326 « 3,6 • 106 (рис. 1).

Ахтуба

Рис. 1. Рельеф, используемый в модели прорыва плотины

В основе численного интегрирования системы уравнений (1)-(3) лежит конечно-объемная схема на равномерной декартовой сетке, основанная на методе Годунова [2] второго порядка точности по времени и пространству Особенностью используемого алгоритма является согласование между дискритизацией источниковых слагаемых и дискритизацией потоков таким образом, чтобы выполнялось условие гидростатического баланса [3, 4]. Такие численные схемы называют хорошо сбалансированными. Построенная модель прошла тестирование на ряде классических задач и показала высокую эффективность.

Результаты моделирования

На рис. 2 (см. с. 142) изображены распределения уровня воды в различные моменты времени t с момента разрушения плотины. Время, за которое волна затопления достигает южной части города, может быть меньше 1 часа. Вся территория левобережья подвергается полному затоплению. В случае полного разрушения плотины за характерные времена, не превышающие 30 мин, возможно сильное затопление южной части г. Волгограда, начиная с Волго-Донского канала.

Summary

COMPUTER MODEL OF VOLZJSKAY DAM-BREAK M.A. Eremin, A. V Khoperskov

The dynamics of flooding in consequence of the Volzjskii hydroelectric plant dam break is modeled in the frame of the shallow water theory. Submersion wave propagation is considered over a real domain of 1426 km2 in size on the Volga river valley down Volzski barrage including Volgograd. The characteristic time of flooding depends on flood rates and may be less than an hour.

1. Семенов А.Ю. Применение метода Годунова к уравнениям теории мелкой воды с учетом рельефа дна. М., 1983.

2. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

3. Noelle S., Pankratz N., Puppo G., Natvig J.R. Well-balanced finite volume schemes of arbitrary order of accuracy for shallow water flows // J. Comput. Phys. 2006. V. 213. P. 474-499.

4. Audusse E., Bouchut F., Bristeau M.-O., Klein R., Perthame B. A fast and stable well-balanced schemes with hydrostatic reconstruction for shallow water flows // SIAM J. Sci. Comp. 2004. V. 25. P. 2050-2065.

14 1

Рис. 2. Динамика затопления