Компьютерная модель фазированной антенной решётки Текст научной статьи по специальности «Математика»

 ■hi

C/Csr tin

I1

м

till

i/Hj

ill 1

/ '/ /

ш '<7

/

у// /

ш/ / /

/ /

/

ХЛо

— ' -

0,00 0,10 020 0,30 0,40 0,50 O.GO 0.70 0,00 0.00 1,00

Рисунок 2 - Предельное распределение примеси после зонной очистки материала для коэффициента сегрегации, меньшего единицы

Эффективность первого прохода зоны также зависит от коэффициента сегрегации и относительной ширины расплавленной зоны. С удалением коэффициента сегрегации от единицы, степень очистки в первом проходе возрастает, так же она ведёт себя и при уменьшении относительной длины расплавленной зоны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрен график предельного распределения примесей при зонной очистке. Показано, что предельное распределение описывается тремя функциями. Установлено число проходов зоны для достижения распределения, практически не отличающегося от предельного.

Список литературы

1 Бочегов В.И., Парахин А.С. Расчёт распределения приме-

сей после нескольких проходов зоны // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Есте-ствееные науки». 2012. Выпуск 5. С.83-88.

2 URL: htp://infima.kgsu.ru/

index.php?option=com_content&view=article&id=102:2013-07-26-06-19-29&catid=34:2013-07-26-05-54-26&Itemid=38

3 Пфан В. Зонная плавка. М: Мир, 1970. 367 с.

4 Cheung T., Cheung N., Tobar C. M. T., Caram R. and Garcia A.

Application of a Genetic Algorithm to Optimize in the Zone Refining Process Purification // Materials and Manufacturing Processes. 2011. № 26. P. 493-500.

5 CheunG Thais, Cheung Noe, and Garcia Amaurl. Application of

an Artificial Intelligence Technique to Improve // Journal of Electronic Materials. 2010. Vol. 39. No. 1. P. 49-55.

6 Mimura Kouji, Sato Takanori, Isshiki Minoru. Purification of

lanthanum and cerium by plasma arc zone melting. // J Mater Sci. 2008. № 43. P. 2721-2730.

7 Коровкин П.П. Математический анализ. М.: Просвещение,

1974. 463 с.

8 Парахин А.С. Решение физических задач на ЭВМ: учебное

пособие. Курган, 2000. 71 с.

УДК 538.9

А.С. Парахин, Л.В. Крайнюченко Курганский государственный университет

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ФАЗИРОВАННОЙ АНТЕННОЙ РЕШЁТКИ

Аннотация. В работе построена модель фазированной антенной решётки. Показано, что путём изменения сдвига фаз излучения вдоль линии расположения излучателей можно менять направление главного максимума излучения и тем самым сканировать пространство на предмет обнаружения воздушных целей.

Ключевые слова: фазированная антенная решётка, модель, сдвиг фаз, главный максимум.

A.S. Parakhin, L.V. Krainyuchenko Kurgan State University

COMPUTER MODEL OF THE PHASED ARRAY ANTENNA

Abstract. The model of a phased array antenna is designed. It is shown that by switching radiation phase along the line of transmitter layout, it is possible to change the direction of the primary maximum of radiation and by that to scan the space for the purpose of air target detection.

Index terms: phased array antenna, model, phase shift, primary maximum.

ВВЕДЕНИЕ

Для обнаружения воздушных целей используются устройства, называемые радарами. Суть работы этих устройств состоит в том, что в направлении цели испускается электромагнитный импульс и фиксируется время его испускания. После некоторого времени принимается отражённый луч, и снова фиксируется время. На этот раз время прихода отражённого луча. Зная скорость распространения электромагнитного импульса и измерив время его прохождения расстояния туда и обратно до цели, можно найти расстояние до цели. Однако прежде чем измерять расстояние до цели, нужно обнаружить её в пространстве. Для этого устройство, излучающее электромагнитный импульс, поворачивают вокруг своей оси, чтобы электромагнитный импульс испускался в разных направлениях. Поскольку это устройство является механической антенной больших размеров, на её поворот требуется значительное время. Поэтому во многих случаях механическую антенну радаров стараются заменить электронной антенной, у которой направление испускание электромагнитного импульса меняется с помощью электронных устройств, сдвигающих фазу излучения соседних излучателей антенны. Такие антенны и называются фазированными антенными решётками (ФАР).

Изучение ФАР вызывает весьма значительные трудности у студентов, поэтому построение компьютерной демонстрационной модели является весьма ак-

63

туальным для повышения наглядности в преподавании этого вопроса в вузе.

1 Линейная ФАР

Пусть излучатели в фазированной антенной решётке расположены по отрезку прямой и расстояние

между соседними излучателями равно й. Пронумеруем излучатели слева направо (0,1,...,п-1) . Каждый излучатель излучает электромагнитные волны равномерно во все стороны.

Тогда фаза электромагнитной волны, пришедшей в точку сканирования от нулевого излучателя, будет определяться по формуле:

<(0) = - к-г , (1)

где со - частота излучателей; к - волновое число излучателей; X - длина волны; г - расстояние от нулевого излучателя до точки наблюдения.

Для того чтобы определить фазы электромагнитных волн от других излучателей, нужно учесть, во-первых, аппаратный сдвиг фаз (в нашем случае сдвиг фаз соседних излучателей одинаковый для всех пар соседних излучателей); во-вторых, сдвиг фаз, обусловленный разностью хода волн от источников до точки сканирования по отношению к нулевому излучателю.

Обозначим А< - разность фаз между двумя соседними излучателями, и тогда фаза электромагнитной волны от излучателя с номером у , учитывающая только аппаратный сдвиг фаз, будет равна: <( у) = а-1 - к-г - у- А(р . (2)

Считаем, что фаза излучателей уменьшается с ростом их номера. Найдём теперь дополнительный сдвиг фазы электромагнитной волны от излучателя с номером у . Расстояние от нулевого излучателя до

излучателя с номером у равно:

I = й-у . (3)

Обозначим треугольник, образованный частью фазированной решётки, перпендикуляром, опущенным из излучателя у на направление до цели, и отрезком между основанием этого перпендикуляра и нулевым излучателем как треугольник (АВС)(рисунок 1).

А

' "О О О О О"

Рисунок 1 - Схема линейной ФАР

Отрезок АС есть то лишнее расстояние, которое прошёл луч, испущенный нулевым излучателем, по сравнению с лучом, идущим от излучателя с номером у . Это означает, что луч, идущий от излучателя с номером у , будет опережать по фазе луч, идущий

от нулевого излучателя. Дополнительное опережение по фазе равно:

А(доп = — • tdon , (4)

где tdon - время, которое требуется лучу, чтобы пройти расстояние AC.

= AC

tdon = , (5)

С

где c - скорость света.

Отрезок AC найдём из треугольника ABC, треугольник ABC прямоугольный по построению, отрезок AC в нём есть катет, а угол ABC равен углу в, углу между нормалью к оси антенной решётки и направлением на цель. Расстояние AC равно:

\AC\ = \AB[sine

\AB\ = j •d (6)

APdon = — • j^d^ine. (7)

c

Тогда с учётом дополнительного сдвига фаза электромагнитной волны, пришедшей к цели от излучателя с номером j , будет определяться следующим образом согласно (2):

р( j) = — •t - k •r - j • Ap + — • j •d • sin в . (8) Зная фазу волны, можно записать её уравнение:

E( j) = Eg ■ cos( — •t - k^r - j • Ap + — • j •d •sin в), (9)

c

где E0 - амплитудное значение напряжённости электрического поля. Так как

—

k = —

(10)

то

E( j) = Eg •cos( — •t - k^r - j • Ap + k • j •d •sin в). (11) Чтобы найти результирующее значение напряжённости электромагнитного поля, нужно просуммировать все электромагнитные волны, пришедшие от разных излучателей в соответствии с принципом суперпозиции электромагнитных полей:

n-1

E = X E( j)

j=g

(12)

Подставив (11) в (12), найдём выражение для результирующей электромагнитной волны:

n-1

E = XEg • cos( — •t -k •r - j • Ap + k • j •d •sine) j =0

. (13)

E0 выносим за знак суммы, косинус под знаком

суммы распишем по формуле Эйлера:

cosa =

id -id e + e

2

(14)

где i - мнимая единица. В результате получим

формулу:

c

E = Eg• X j=0

n-1 i(—t - k •r - j • Ap+k • j • d • sine ) + e~i(—t - k •r - j • Ap+k • j • d • sine)

Разобьём эту сумму на две суммы, а дробь ^ вынесем за знак суммы:

77 n-1

Eg 2

ti(—t - k •r - j • Ap+k • j • d • sine )

E = ^0~( X e j=0

Раскроем в показателях экспонент скобки:

n-1

+ X e j =0

-i(—t-k • r - j • Ap+k • j • d • sine)

)

n-1

Е _ Е0 ( ^ со4 - к-г )-1( у - А<-к - у - й -sinв ) + ^ а>4-к-г )+1( у - А<-к - у - й^пб) )

2 у_0 у_0

Экспоненту под знаком суммы представим в виде произведения двух экспонент:

n-1

E = E0 _ ( x ei(—t-k•r) • e-i( jAp-k• j• d• sine)

n-1

+ X<

,-i(—t-k •r ) i( j • Ap-k • j • d • sine )

(16)

(17)

(18)

у_0 у_0

Под знаками сумм первые сомножители от индекса у не зависят. Это значит, их можно вынести за знаки сумм:

E = .ei(—t-k •r ) 2 '

n-1 n-1

-i(j• Ap-k• j• d•sine) + E0 -i(—t-k•r) _ ^ ei(j• Ap-k•jd•sine)

2 ' '

X

j=0

Xe

j=0

(19)

Найдём первую сумму отдельно, для этого в показателе экспоненты j вынесем за скобку как общий множитель:

n-1 n-1

Z—i(j• Ap-k• j• d• sine) _ "V j• i(Ap-k• d• sine)

e = X e .(20)

j=0 j=0

Всё, что в скобках, обозначим S :

8 = Ap- k-d-sine. (21)

Тогда сумму можно представить следующим об-

разом:

n-1 n-1

X e-jiS = X (e~ ))

(22)

у_о у_о

В этом виде наша сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем:

q = e

-iS

(23)

По формуле суммы первых членов геометричес-

кой прогрессии находим:

=

1 - q

m+1

1-q

(24)

n-1

X

j=0

(e~iS )j = ^

-iS-n

1 - e

-iS

(25)

n-1

X

j=0

jiS = 1 - e

iS-n

e=

1-e

iS

(26)

Подставим найденную сумму в общее выражение для напряжённости электрического поля в точке, где находится цель:

Е,

E = ■

2

0 ei(—t-k• r)

1 - e

-iS-n

+

E0 -i(—t-k• r) 1 - e

--e --

1-e

iS n

-iS

- +

(27)

1-e

iS

Преобразуем полученное выражение. Из числи-

iS■ n

теля первой дроби вынесем

e

2

, а из знаменате-

iS

ля -

e

iS n

, аналогично из числителя второй дроби -

iS

9 , а из знаменателя - :

e 2 e 2

Воспользуемся второй формулой Эйлера:

i d -i d e - e

sin a =

2i

(28)

Тогда формулу (22) можно преобразовать следующим образом:

В формуле (27) заменим в числителе и знаменателе выражения с экспонентами через синус:

S • n

sin

По аналогии находим вторую сумму, но здесь вместо - § будет стоять § :

E = e

E0 -i(—t-br-S(nz1)) + •e 2

• +

sin

sin

S • n

(29)

2

sin

2

1

2

2

2

2

В результате мы получаем два слагаемых, в которых вторые сомножители одинаковые, выносим их за скобку:

5ч

sin

E = E,

0~5

sin—

i( co-t-к ■ r-5 ( n 1) -i( co-t-k • r-5 (n 1)

2 + e

(30)

2

В получившемся выражении воспользуемся формулой Эйлера для косинуса:

id - id e + e

cosa

2

(31)

В результате выражение для результирующей волны будет иметь вид:

5 ■n

sin-

E = En ■-

^■coS(c ^ - ^. (32)

sin— 2

Отсюда видно, что электромагнитное излучение в точке цели представляет собой также электромагнитную волну с той же самой частотой, но только со сдвигом фаз по отношению к излучению от нулевого излучателя. Кроме того, амплитуда электромагнитной волны отличается от амплитуды волны вблизи излучателя.

Амплитудное значение напряжённости электрического поля результирующей электромагнитной волны с учётом (21) определяется формулой:

Ea = E0

sin [ 1 ■ (Л( - k ■ d ■ sind) ■ n]

1 . (33)

sin ■ [— ■ (Л( - к ■d ■ sind)]

Рисунок 2 - График зависимости интенсивности излучения ФАР от угла в

Из формулы (33) можно заключить, что амплитудное значение электромагнитной волны в точке нахож-

дения цели зависит от угла (в), под которым видна цель по отношению к нормали решётки, и от сдвига фаз между соседними излучателями (Л(). Это означает, что в одном направлении амплитуда результирующей волны будет одна, а в другом совсем иная. В связи с этим будет меняться и интенсивность волны, которая пропорциональна квадрату амплитуды:

1 ~ E02. (34)

Интенсивность результирующей волны можно представить по формуле:

2 1

sin [— ■ (Л( - к ■ d ■ sine) ■ n]

I = V

2 1 , (35)

sin [— ■ (Л( - к ■d ■ sine)]

где 10 - интенсивность излучения одного излучателя в точке обнаружения цели.

График этой функции в полярной системе координат показан на рисунке 2, на котором вдоль координатной линии г откладывается интенсивность результирующей электромагнитной волны. Вдоль координатной линии р откладывается в. Из рисунка 2 видно, что интенсивность излучения зависит от угла в немонотонно. Наблюдаются несколько максимумов и минимумов интенсивности. При этом число максимумов зависит от соотношения между длиной волны и расстоянием между соседними излучателями. Если это расстояние будет меньше длины волны, то интенсивность излучения будет иметь только один максимум. График интенсивности в этом случае показан на рисунке 3. Разность фаз между соседними излучателями для графика на этом рисунке равна нулю. Поэтому направление на максимум строго перпендикулярно оси решётки.

Если менять разность фаз между соседними излучателями, то направление на максимум интенсивности будет меняться. Так, на рисунке 4 показан график интенсивности для отрицательного сдвига фаз, а на рисунке 5 - для положительного.

Рисунок 3 - График интенсивности излучения ФАР в случае, когда длина волны излучения больше расстояния между соседними излучателями

2

Рисунок 4 - Направление максимума интенсивности излучения для отрицательного сдвига фаз между соседними излучателями

внутри некоторого плоского прямоугольника и сосредоточены в узлах равномерной прямоугольной сетки. Расстояние между излучателями вдоль по оси х обозначим йх, вдоль по оси у обозначим йу .

Рисунок 6 - Диаграмма направленности излучения линейной ФАР

Рисунок 5 - Направление максимума интенсивности излучения для положительного сдвига фаз между соседними излучателями

Таким образом, если сдвиг фаз между соседними излучателями сделать функцией времени, луч электромагнитного излучения, соответствующий максимуму интенсивности, будет перемещаться в пространстве, осуществляя его сканирование.

1.2 Двумерная фазированная антенная

решётка

Линейная фазированная решётка позволяет локализовать цели на некотором расстоянии, но с её помощью можно определить только один угол - угол между направлением на цель и перпендикуляром к оси решётки. Этого недостаточно, чтобы точно локализовать цель в пространстве. Поскольку сканирующая электромагнитная волна представляет собой конусообразную поверхность (рисунок 6), то сигнал, пришедший после определения цели, может прийти от любой точки поверхности конуса, и по этой причине определить точное расположение цели нельзя.

Для того чтобы определить положение цели однозначно, необходимо вместо одномерной ФАР использовать двумерную ФАР

Будем полагать, что излучатели располагаются

Найдём результирующую электромагнитную волну которую излучает решётка в некотором направлении, определяемом углами Q и р - углами сферической системы координат. Полярная ось этой системы направлена по нормали к плоскости решётки. Обозначим т - номер линии, а j - номер столбца, в которых находится данный излучатель.

Тогда фаза его излучения будет равна фазе источника, расположенного в начале координат с добавлением смещения фаз по линиям и столбцам.

(ij = (00 -ЛРх-т - Лру • j , (36)

где Лрх -разность фаз между соседними линиями излучателей;

Лру - разность фаз между соседними столбцами излучателей.

Кроме этого сдвига фаз, волна, испущенная излучателем с номером т, j, будет иметь дополнительный сдвиг фаз, обусловленный наклоном излучения по отношению к полярной оси.

Рисунок 7 - Двумерная фазированная антенная решётка

Для отыскания дополнительного сдвига фаз рассмотрим рисунок 7. На нём изображены два луча, один из которых идёт от излучателя, расположенного в начале координат. Второй луч идёт от излучателя с но-

мерами ш,] параллельно первому. Проведём из источника с номерами ш,] перпендикуляр АВ на первый луч. В результате будет построен треугольник ОАВ. Этот треугольник прямоугольный, катет ОА в нём представляет собой разность хода двух лучей. Для отыскания дополнительной разности фаз между этими лучами нужно найти длину этого катета. Обозначим длину этого катета d . Тогда координаты точки А можно определить по формулам:

Раскроем скобки и приведём подобные:

d • sin в• cosp-m-dX - d2 •sin2 в-cos2 p + + d-sine• sinp- j-d -d2 • sin2 в• sin2 p)--d2 • cos2 в = 0 ^ d-sine• cosp•m-dx + = d-sine• sinp• j-d -d2 = 0 .

(37)

xa = d • sin в • cos p, y A = d • sin в • sin p za = d •cosв. Координаты точки B можно найти по формулам: xb = m-dx,yB = j-dy,zB = 0. (38)

По построению угол OAB прямой, так что вектор OA перпендикулярен вектору aB , и, значит, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

d • sin в •cosp( m-dx - d- sinв• cosp) + d•sinв• sinp( j • dy - d•sinв• sinp) -

Из последнего уравнения находим: d = sin в • cos p- m-dx + sin в- sin p- j-dy . (41) Это и есть разность хода двух лучей, идущих в одном направлении, один из которых испускается источником, расположенным в начале координат, другой - источником, расположенном в точке с координатами: (m-dx, j-dy ,0). Зная разность хода лучей, найдём их дополнительную разность фаз:

Ap = — — = — (sin в • cosp• m •dx + sin в • sinp• j •dy ) . (42) c c

Дополнив выражение (36), получим выражение для полного сдвига фаз между лучами из начала координат и из точки с координатами (m • dx, j -dy ,0) :

- d2-cos2в = 0

(39)

pmj =p00-Apx-m - Apy •j +

+ — • (sin в • cos p •m-dx + sin в- sin p- j-d ). c

(43)

Это позволяет записать уравнение электромагнитной волны, испущенной источником с координатами

(m • dx,j • dy,0) :

Emj = E0 cos{p00 - Apx -m -Apy- j + — • (sin в • cos p- m- dx + sin в • sin p- j-dy,) j . (44)

Чтобы найти полную электромагнитную волну от всех источников, нужно просуммировать по всем источникам:

"х -1"у 1 "х 'У ' г и

Е = £ £Еш] == Ед £ £cos[рoo-Лрх-ш-Л(у-] +—/ с■^тв■cosр■ ш^х + 5тв-si"р■ )] (45) ш=д ]=д ш=д ]=д

где "х - количество излучателей вдоль по оси ох; "у - количество излучателей вдоль по оси оу.

Преобразуем это выражение следующим образом:

nx -n -1

nx -1ny -1

E = E0 X X cos

m=0 j=0

p00 - Apx ■ m + — • sin в • cos p • m • dX-Apy ■ j + — - sin в • sin p- j-d cc

y

(46)

И воспользуемся снова формулой Эйлера (14):

e=X X в

nX -1ny-1 i\ p00-ApX■ m+---sin^cospm-dX-Apy-j +---sinв-sinp j • dy

--c y c y

2

+

m=0 j=0

-1ny-1 -if p00-ApX-m+—sin^cospm • dX-Apy• j+—sinв-sinp j • d

+Ед- £ £ *

2 ш=д ] =д

Пользуясь свойствами показательных функций, это выражение можно преобразовать так:

Е "х 1"у-1 -ц Лрx^ш-—^smв^cosрш■ dx\ -пЛру-] ——• 8тв-8тр-]■ dy\

Е =Ед.е1рдд . £ £ * I с ) * У У с У)

2 ш=д ]=д

(47)

+

En

nX-1ny-1 i| ApX-m-—sinocospm•dX I i\ Apy-j-—sin^sinpj•d

+E0-e~ip00 • X X в ^ c J -в ^ y c '

2 m=0 j=0

(48)

Распределив слагаемые по индексам, от которых они зависят, найдём:

E = eipoo . £ е 2 m=0

nx-1 -i\ Apx-m-—-sinO-cosp-m•dx\ "y-1 -i\Apv-j——• sinO-sinp-j• dv\

V e У c ) • £ e У c )

j=0

nx-1 i\ Apx-m-—-sin O-cosp-mdx I ny-1 i\ Apv-j-—-sin O-sin p-j•dv I i(ooo £ e У c )• £ e У c y)

j=0

+ Eo_ e~ipoo £ e 2 m=0

Введём обозначения:

—

Sx = Apx---sin O • cos p • dx,8y =

—

= Apy---sin O • sin p • d

y

Тогда (49) перепишется в виде:

n,-1

E = EL. eipoo . £ e"

2 „

m=o

iS„ m

ny-1

ъ

j=o

~iSvJ

+

E "x-! "y-! s

o „-iPnn jSxm X1 JOyj

2

,е-<00- ^ ¿§хт- ^ е

т_0 }_0

Подобные суммы мы уже находили (25). Так что (51) будет иметь вид:

E 1 - e~iS*nx l - e~iSy'ny

E = EeiPooL e 1 e

2

1 - e

-iSx

1 - e ~iSy

+

E 1 - eiSx• "x 1 - eiSy'ny

+ e -iPoo 1 e 1 e

(52)

Ж

1 - e'Sy

2 1 - ei

Снова вынесем из числителя первой дроби

-i

Sx"x 2

а из знаменателя:

-i

Аналогично поступим со всеми дробями, получим:

(50)

E = ^ e 2

.Eo. 2

Poo -Sx

( "x -1) s ( ny-1)

Sy • "у

Poo

( nx-1) s ( nv -1)

sin——— sin

22

Sx nx Sy ny sin——— sin ——— 22

(55)

Наконец, вынеся за скобки общий множитель и (51) снова воспользовавшись формулой Эйлера, найдём:

Sx -nx Sy•"у

sin——— sin—-—

E = Eo

cos| Poo -Sx

("x -1)("У -1)\

2

2

>■ (56)

2 2

Из этой формулы видно, что результирующая волна снова той же частоты, но другой фазы и амплитуды. А именно:

■ Sx-nx . Sy•"y sin——- sin———

E,

= En ампл ^o

2

2

sin

Sx . Sy - sin

(57)

22

Зная амплитуду, можно найти интенсивность вол-

(53)

(54)

ны:

sin

x "x ,2 Sy'"y

x x sin —--

2 Sx n

I = In

sin

2 Sx

■ 2 Sy sin

(58)

c

y

2

2

+

2

2

y

2

2

2

2

e

2

e

2

2

Вернёмся к прежним обозначениям:

(Apx - — • sinO • cosp • dx)• nx (Apy - — • sin O • sin p • dy )• "y sin 2-c-sin2-c-

I = Io--^--^- ■

Apx---sinO •cosp• dx Apy---sinO • sinp• dy (59)

sin 2-c- sin 2-c-

2 2

Таким образом, интенсивность результирующей волны зависит от двух углов: полярного и азимутального. График этой зависимости в 3-d формате показан на рисунке 8.

Рисунок 8 - График зависимости интенсивности излучения двумерной ФАР

Как видно из этого рисунка, график представляет собой совокупность лучей, направленных под разными углами. Как и в одномерной ФАР, чтобы остался только один луч, нужно выполнить условие: длина волны излучения должна быть больше расстояния между излучателями. Такой график показан на рисунке 9. Разность фаз между соседними излучателями для этого рисунка была выбрана нулевой, поэтому луч направлен строго по нормали к плоскости решётки. Если разность фаз будет отлична от нуля, луч будет наклонён в ту или иную сторону, как показано на рисунке 10.

Рисунок 9 - График зависимости интенсивности излучения от углов при выполнении условия - длина волны больше расстояний между соседними излучателями

Рисунок 10 - Наклон луча сканирования при разности фаз между излучателями, отличной от нуля

Таким образом, если разность фаз между излучателями сделать переменной величиной, луч будет поворачиваться в пространстве, выполняя его сканирование.

Если разность фаз сделать функцией времени, луч электромагнитной волны будет поворачиваться, сканируя пространство.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная в работе программа позволяет смоделировать достаточно сложный процесс интерференции излучения, испускаемого разными излучателями решётки и наглядно показать формирование луча, сканирующего пространство. Программа может быть использована в качестве наглядного пособия в лекционном курсе.

Список литературы

1 Коровкин П.П. Математический анализ. М.: Просвещение,

1974. 463 с.

2 Парахин А.С. Решение физических задач на ЭВМ: учебное

пособие. Курган: Издательство Курганского государственного университета, 2000. 71 с.

3 Парахин А.С. ЭВМ в лабораторном практикуме: учебное

пособие. Курган: Издательство Курганского государственного университета, 2000. 109 с.

4 Ландсберг Г. С. Оптика: учебное пособие для вузов. 6-е

издание, стереотипное. М.: ФИЗМАЛИТ, 2003. 848 с.

5 URL: http://radiosounding.ru/fazirovannaya-antennaya-

reshyotka. html

6 URL:http://epizodsspace.airbase.ru/bibl/n-i-ch/1968/orbita.html

УДК 546.28 (519.6) Б.С. Воронцов

Курганский государственный университет

УЧЕТ РАСТВОРИТЕЛЯ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ МОДИФИКАЦИИ КРЕМНЕЗЕМОВ

Аннотация. Приведены примеры учета растворителя в квантовохимических расчетах моделей поверхностных комплексов кремнезема.

Ключевые слова: модифицированные кремнеземы, молекулярное моделирование, контикуальные модели растворителя.

B.S. Vorontsov Kurgan State University

SOLVENT ACCOUNTING IN MODELING SILICA MODIFICATION PROCESSES

Abstract. The article gives examples of accounting the solvent in quantum chemical computation for models of silica surface complexes.

Index terms: modified silica, molecular simulation, continual solvation models.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из направлений работы вузовско-академи-ческой лаборатории «Физическая химия гетерогенных систем» КГУ является синтез и исследование моди-