Компьютерная алгебра в задачах распространения тепла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА

© В. И. Дождиков

Ключевые слова: компьютерная алгебра, аналитические методы, распространение тепла.

Аннотация: Рассматривается применение средств компьютерной алгебры для решения задач распространения тепла.

Процесс распространения тепла в твердом теле без источников и стоков тепла описывается дифференциальным уравнением теплопроводности вида

dU _ / dU c>U cPV_\

dt a \ dx2 + dy2 + dz2 J ’

где U-температура в точке с координатами x,y,z в момент времени t, а=к/ср - коэффициент температуропроводности, который определяется плотностью твердого тела р, коэффициентом теплопроводности к и теплоемкостью с.

Для получения описания температурного поля в рассматриваемом конкретном случае теплопроводности в твердом теле необходимо задание теплофизических свойств этого тела, начальных и граничных условий с последующим интегрированием этого дифференциального уравнения.

Традиционно для решения такого рода дифференциальных уравнений в связи со значительными вычислительными трудностями применяют численные методы интегрирования. В настоящее время существует большое число прикладных пакетов программ, предназначенных для получения численного решения инженерных задач для определения теплового состояния твердых тел.

Однако современные вычислительные средства позволяют проводить более точное и глубокое исследование процесса распространения тепла с помощью средств и систем компьютерной алгебры, предназначенных для решения сложных задач математической физики в аналитическом виде [1,2]. Это такие пакеты программ, как Mathematica компании Wolfram Reseach, MAPLE, Magma, MAXYMA, AXIOM, REDUCE, CoCoA, Macaulay, SINGULAR и др. Они позволяют получить общее решение задачи распространения тепла в функциональном виде. При этом в решении могут сохраняться свободные параметры. Поэтому вместо того, чтобы для каждого нового набора значений параметров производить пересчет всей задачи, как приходится делать при использовании пакетов программ на основе численных методов, в системах компьютерной алгебры достаточно изменить значения параметров в полученном аналитическом решении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малашопок Г.И., Ушакова Е.В. Эффективная математика: задачи распространения тепла. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2001.

2. Малашопок Г. И. Об одном подходе к построению параллельной системы компьютерной алгебры / / Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры. Сб. научн. статей международной конф. (Брест, 5-8 септ. 2005 г.). 4.1. Минск: Изд-во Б ГПУ, 2005. С. 306-307.

Abstract: The computer algebra methods are considered for solving of heat spreading problems.

Key words: computer algebra, analytical methods, spread of heat.

Дождиков Владимир Иванович д. т. н., профессор Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: vladivado@yandex.ru

Vladimir Dogdikov

doctor of technical sciences, professor

Lipeck State Technical University

Russia, Lipeck

e-mail: vladivado@yandex.ru

УДК 517.51

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

© В. И. Дождиков, С. В. Порядин, К. В. Дождиков

Ключевые слова: оптимизация, управление, теплопроводность, компьютерная алгебра.

Аннотация: Рассматривается методика оптимизации управления процессом теплопроводности в твердом теле.

В некоторых задачах математической физики параметры теплового состояния твердого тела, например, в виде пластины, значимые для оценки качества процесса его нагрева или охлаждения, можно получить, решив задачу нестационарной теплопроводности с граничными условиями первого рода [1]. При этом часто необходимо определить в каком-то смысле наилучшую функцию изменения температуры на границе тела.

Введем в рассмотрение функционал Р, характеризующий рассматриваемую функцию (в виде подынтегрального выражения) с точки зрения интенсивности теплового воздействия на тело за время тк-

Т

[ т +1

Р = АВ — В (1 - а )-+— йт,

о

где А, В - постоянные коэффициенты; п, т, —переменные параметры, х - координата по толщине т

С другой стороны, для оценки качества теплового процесса можно использовать функционалы, характеризующие нестационарное температурное поле тела в течение Тк и построенные на основе градиентов температуры, например, в виде:

Тк I

р = — 1\1 ттйхйт, т^ и дх

оо

где I толщина пластины

Таким образом, можно получить функцию связи между критерием Р, характеризующим управление тепловым процессом, и критерием качества самого процесса в виде