КОМПЬЮТЕР КАК НОВАЯ РЕАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИКИ. IV. ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Компьютерные инструменты в образовании, 2021

№ 4: 5-71

УДК: 511.3

http://cte.eltech.ru

с1о1:10.32603/2071-2340-2021-4-5-71

КОМПЬЮТЕР КАК НОВАЯ РЕАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИКИ. IV. ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА *

Вавилов Н. А., доктор физико-математических наук, профессор, ИЗ nikolai-vavilov@yanCex.ru

1 Санкт-Петербургский государственный университет, 14-я линия Васильевского острова, д. 29,199178, Санкт-Петербург, Россия

Аннотация

В этой части я продолжаю обсуждать роль компьютера в современных исследованиях по аддитивной теории чисел. Здесь будет рассказано об окончательном решении тернарной = нечетной проблемы Гольбаха не в асимптотических переформулировках XX века, а в исходной формулировке XVIII века. Речь идет об утверждении, что каждое нечетное натуральное число п > 5 можно представить как сумму п = р\ + р2 + р3 трех натуральных простых. Решение этой проблемы было завершено только Харальдом Хельфготтом в 2013-2014 годах и не могло бы быть получено без использования компьютеров. В настоящей статье задокументирована история этой классической задачи и ее решения, в частности, указывается на огромное количество имеющихся в литературе исторических ошибок. Кроме того, обсуждаются статус бинарной = четной проблемы Гольдбаха, частичные результаты в направлении ее решения и некоторые близкие задачи.

Ключевые слова: проблема Гольдбаха, метод Бруна—Шнирельмана, константа Шни-рельмана, метод Харди—Литтлвуда—Виноградова.

Цитирование: Вавилов Н. А. Компьютер как новая реальность математики. IV. Проблема Гольдбаха // Компьютерные инструменты в образовании. 2021. № 4. С. 5-71. Со1: 10.32603/2071-2340-2021-4-5-71

1. ВВЕДЕНИЕ

Замечательная книга Хуа Локена «Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел» открывается следующей фразой: «История аддитивной теории чисел начинается с двух высказываний, которые в дальнейшем стали называться проблемами Гольдбаха и Варинга» [105].

В маргиналии к адресованному Леонарду Эйлеру письму 1742 года [188], которое в 1843 году опубликовал правнук Эйлера Павел Николаевич фон Фусс [187], Христиан Гольдбах высказал предположение, ставшее впоследствии знаменитым как гипотеза

* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-29-14141: изучение взаимосвязи концептуальных математических понятий, их цифровых представлений и смыслов, как основы трансформации школьного математического образования.

Гольдбаха — хотя, как выяснилось в 1908 году, часть этого утверждения, относящуюся к нечетным числам, сформулировал Рене Декарт ровно за век до Гольдбаха1.

• Нечетная проблема Гольдбаха. Каждое нечетное натуральное число n > 5 можно представить как сумму трех натуральных простых.

На это Эйлер [182] почти сразу ответил, что он ничуть не сомневается в справедливости даже следующего гораздо более сильного утверждения, хотя у него и не получилось пока его строго доказать.

• Четная проблема Гольдбаха. Каждое четное натуральное число n > 2 можно представить как сумму двух натуральных простых.

Сформулированные Декартом и Эйлером нечетная и четная проблемы Гольдбаха также часто называются тернарной проблемой Гольдбаха и бинарной проблемой Гольдбаха, соответственно.

Одним из самых замечательных достижений математики предшествующего десятилетия было полное решение Харальдом Хельфготтом в 2013-2014 годах [213-217] нечетной проблемы Гольдбаха в исходной формулировке — а не в какой-то из асимптотических переформулировок XIX-XX веков, о которых пойдет речь ниже. Иными словами, он доказал, что абсолютная константа Шнирельмана s не превосходит 4 и равна 3 для нечетных чисел, то есть каждое нечетное число n > 5 действительно является суммой [не более/ровно] трех простых. К успеху здесь привело сочетание двух факторов.

• С одной стороны, Хельфготт пересчитал from scratch и с явными константами все асимпотики в методе Харди—Литтлвуда—Виноградова, фактически перезапустил огромный фрагмент аналитической теории чисел2.

• С другой стороны, как и в случае остальных классических проблем аддитивной теории чисел, это решение не могло бы быть получено без самого существенного использования компьютеров.

В то же время, четная проблема Гольдбаха — как и остальные проблемы Ландау — все еще не решена не только в исходном смысле s = 2 для четных чисел, но даже в строго понимаемом асимптотическом смысле S = 2 для четных чисел — всех, начиная с некоторого места. В исходной же абсолютной формулировке она представляет собой широко открытую проблему.

Очевидное, хотя и редко упоминаемое в этом контексте отличие проблемы Гольдбаха от проблемы Варинга состоит в том, что простых чисел очень много. Гораздо больше, чем квадратов натуральных чисел, не говоря уже про высшие степени. Поэтому, казалось бы, проблема Гольдбаха должна быть проще проблемы Варинга — проще даже, чем выражение чисел суммами квадратов.

В проблеме Варинга приходится тщательно различать константы g(k), G(k), G+(k). Однако два или три слагаемых — это очень мало слагаемых. Это значит, что все три гипотетических аромата константы Шнирельмана s, S и S + должны совпадать, что не дает возможности поджимать s снизу посредством S, как это делалось в проблеме Варинга. Кроме того, простые числа распределены гораздо менее регулярно, и интервалы между

1 Или даже всю гипотезу? Вот какую запись Шарль Адам и Поль Таннери обнаружили в его бумагах: "sed & omnis numerus par fit ex uno vel duobus, vel tribus primis" [164, p. 298].

2 Мы перечисляем некоторые замечательные новые идеи его подхода в § 8. Однако для любого более детального понимания их контекста и того, за счет чего удалось улучшить предыдущие результаты на многие сотни порядков, необходимо читать тексты самого Харальда [215, 218] и, в особенности, его книгу [217] и последующие версии, выложенные на https://webusers.imj-prg.fr/~llharald.helfgott/anglais/book.html

двумя соседними простыми могут быть сколь угодно велики. Дополнительная алгебраическая структура, которой обладают степени, и их предсказуемое распределение делают проблему Варинга несколько проще, чем она должна была бы быть априори.

В настоящей работе рассказано об историческом, культурном и математическом контексте проблем Гольдбаха, основных результатах, полученных в направлении их решения с помощью различных методов — методов решета, аддитивной комбинаторики, кругового метода, метода тригонометрических сумм и т. д. Мы обсуждаем основные моменты решения Хельфготтом нечетной проблемы Гольдбаха и, в соответствии с общим замыслом этой серии статей, особенно детально именно роль компьютерных вычислений в этом решении.

Я не верю, что нечетная проблема Гольдбаха могла бы быть решена без использования компьютеров. Дело в том, что как метод Бруна—Шнирельмана, так и метод Харди— Литтлвуда—Виноградова носят асимптотический характер, с помощью них можно доказать представимость в виде ограниченного количества простых слагаемых достаточно больших натуральных чисел. Для маленьких чисел необходима непосредственная проверка case by case. Разумеется, для фактического решения проблемы полезно, чтобы эти маленькие числа действительно были доступны нашим сегодняшним инструментам, то есть не < 1010 или даже < 10600, а хотя бы < 1030, как у Хельфготта.

Замечу, что лишь один из небольших3 вычислительных фрагментов решения — после всех замечательных улучшений асимптотической теории, полученных Хельфготтом! — даже в самом простейшем варианте требовал построения цепочки из нескольких миллиардов простых чисел с последовательными разностями < 4 • 1018. Даже если эта часть и могла бы чисто теоретически быть проведена вручную, уже она потребовала бы согласованных усилий нескольких сотен квалифицированных вычислителей в течение десятков лет. Ясно, что никто не стал бы даже рассматривать возможность вложения такого рода ресурса — не говоря уже о предыдущем шаге, проверке вручную четной гипотезы Гольдбаха до 4 • 1018.

Разумеется, прелесть математики в том и состоит, что нам обычно удается найти такой способ рассуждений, при котором результат, исходно требовавший значительных усилий, становится очевидным. Совершенно нельзя исключать, что завтра, или через 20 лет, или через 100 лет, или через 500 лет такого рода могущественные простые идеи будут предложены и в аддитивной теории чисел. Но сегодня мы не имеем никакого понятия, как такие идеи могли бы выглядеть и как в такого рода задачах обойтись без массивных вычислений.

Я начал работать над этой статьей в августе 2020, одновременно с [12]. Но систематически разобраться в литературе по проблеме Гольдбаха оказалось гораздо более трудным делом, чем сделать то же самое для проблемы Варинга. Все исторические сведения здесь оказались еще более подвержены деформациям, связанным с исторической конъюнктурой, недомолвкам, искажениям, передергиваниям и прямым мистификациям.

С тем, решил ли Иван Матвеевич Виноградов в 1937 году проблему Гольдбаха и кто какими словами при какой оказии высказывался по этому поводу, как раз все понятно. Этот аспект подробно обсуждает Владимир Андреевич Успенский [93]. С тем, когда, кто и с какими оценками эффективизировал доказательство Виноградова, разобраться труд-

3 Как замечает сам Харальд, сегодня компьютерную проверку до < 1027, то есть до того места, начиная с которого работают его асимптотические методы, можно провести на бытовом компьютере за уикенд. Но, разумеется, по модулю результатов работы [272], которую на бытовом компьютере за уикенд повторить не удастся. Подробнее см. § 8.

нее (и, чтобы восстановить какие-то нюансы, заведомо нужен доступ к архивам), но тоже возможно. И там и там речь идет о сознательных экзажерациях и умолчаниях, предпринятых с абсолютно прозрачными целями4.

Гораздо опаснее систематические делюзии и мифы, источники и причины которых трудно отследить. Например, с детства все мы слышали, будто Лев Генохович Шнирель-ман доказал в 1930 году, что абсолютная константа Шнирельмана х не превосходит 800000. Эта байка сообщается в Большой Советской Энциклопедии, в Большой Советской Википедии, в книге Куранта и Роббинса «Что такое математика?» [57] и т. д. Вплоть до — хотя и в чуть более аккуратной форме — книги Гельфонда и Линника [29].

На самом деле не только сам Шнирельман, но и кто-либо другой в те годы не доказывал и не мог, видимо, доказать ничего подобного. Более того, сам Шнирельман не публиковал даже никаких оценок асимптотической константы Шнирельмана Б, хотя это он как раз сделать мог бы. Первая попытка оценить константу Шнирельмана была предпринята Николаем Павловичем Романовым в 1935 году, а первая правильная опубликованная оценка асимптотической константы Шнирельмана Б < 71 была получена Хей-льбронном, Ландау и Шерком [211]. Ну, а первые оценки абсолютной константы Шнирельмана были получены только в середине 1960-х годов, и они были гораздо хуже, чем х < 800000.

Собственно, сама оценка Б < 800000 возникла в результате опечатки. Вместо того, чтобы разделить 400000 из работы Романова [84] на 2, Любельский в своем реферате в 7еп&а1Ь1айумножил5 400000 на 2. Я пришел в ужас, когда осознал, что вся история математики примерно так и написана — не в духе настоящей истории, а в духе героического эпоса — и что исправить это, очевидно, невозможно. Сколько бы раз ни повторить, что Шнирельман ничего такого не доказывал, в том числе и в примечаниях к [57], всегда найдется кто-то, кто сошлется на какое-то старое издание, откуда это попадет в очередное переиздание Википедии.

Как и в [12, 13], мой основной фокус состоит в том, чтобы объяснить — насколько это возможно в популярном тексте общего характера — принципиальную математическую сторону дела: почему я считаю, что окончательные результаты не могли бы быть получены без помощи компьютеров и почему я уверен в том, что этот материал нужно использовать в преподавании математики на всех уровнях. Но, в силу необходимости (ненадежность, прямые ошибки и вранье во всех имеющихся источниках), здесь я вынужден уделить гораздо больше внимания собственно историческим аспектам. Некоторые вещи хороши для какой-то цели, другие сами по себе, но истина хороша тем, что она делает нас свободными (Ин. 2:32).

В некотором смысле я оказался здесь в привилегированном положении. Дело в том, что, начиная со школьных лет, я близко общался с одним из абсолютно центральных протагонистов всей этой эпопеи Николаем Григорьевичем Чудаковым и слышал от него много обстоятельств и оценок, которые теперь, вместе с прочитанным, сложились для меня в некоторую психологически цельную картину. Так что мне оставалось только правдиво,

4 Более того, у меня нет большого желания как-то морализировать по этому поводу. Примерно до 1990-го года все равно не было надежды решить проблему Гольдбаха в каком-либо ином смысле, чем это сделал в 1937 году Виноградов. Хотя, конечно, корректнее было бы не подменять исходную формулировку, а честно признавать, что решить проблему Гольдбаха мы пока не можем.

5 Впрочем, сам Романов проделывает примерно такое же упражнение с 200000. Из его статьи непонятно, считает ли он, что Шнирельман мог бы при желании получить своим методом оценку Б < 100000, как он пишет вначале, или Б < 400000, как можно заключить из последующего текста. В любом случае и то и другое — чисто фигуры речи.

в меру сил, в соответствии с тем, как я их помню и понимаю, записать эта вещи: «описывай, не мудрствуя лукаво, все то, чему свидетель в жизни будешь».

Я начинал с тех же общих источников, которые указаны в других частях, но именно здесь обнаружил, что даже основные классические тексты содержат серьезные ошибки и упрощения. Если говорить о доклассическом периоде, я в основном опирался на книги Леонарда Диксона [171] и Владыслава Наркевича [265, 266]6 (хотя основные тексты, разумеется, прочел сам). Если говорить о классическом периоде, то это оригиналы статей авторов того времени, в первую очередь Харди, Литтлвуда, Шнирельмана, Ландау, Виноградова и Чудакова. В том, что касается собственно современного развития, в первую очередь тексты самого Харальда Хельфготта [213-217]. Отмечу также чрезвычайно интересный историко-философский текст Хавье Эчеверриа [175], где собрано большое количество материала по ранней истории и экспериментальному подтверждению гипотезы.

2. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМ ГОЛЬДБАХА

В этом параграфе я приведу отрывки из писем Гольдбаха и Эйлера, в которых сформулированы исходные гипотезы, и намечу некоторые моменты дальнейшей жизни этих гипотез после Ландау и Гильберта.

2.1. Исходная формулировка проблемы Гольдбаха

Нечетная и четная проблема Гольдбаха были до некоторой степени сформулированы в июне 1742 года, в письме Гольдбаха и в ответе Эйлера. Контекст и текст этих писем настолько интересны для истории России и истории математики, что я рекомендую прочесть их полностью — причем не в издании Фусса, на которое я здесь ссылаюсь, где сохранена только математическая составляющая, а все даже очень осторожные упоминания об окружающих обстоятельствах опущены.

Безмерно интересен и сам язык этих писем, который представляет собой идиосинкратический немецко-латинский пиджин, где все значащие слова латинские, а все служебные — немецкие: "ein aggregatum trium numerorum primorum sey". При этом поразительным образом этот несуществующий язык полностью, до слова, понятен — даже понятнее той латыни с немецкой грамматикой, на которой они писали свои статьи. Читая эти письма, я живо представил, что они вот так и разговаривали между собой в Петербургской Академии Наук, вставляя иногда русские слова для большей выразительности.

Вот совсем коротко непосредственный контекст этих писем. В годы, предшествующие воцарению Елизаветы, Эйлер и Гольдбах внезапно почувствовали себя в Петербурге крайне неуютно. В результате за год до этих писем, в июне 1741 года, Леонард Эйлер, Kind und Kegel7, оставил Россию и переехал в Берлин. Христиан Гольдбах в марте 1742 года так и вовсе переехал в Москву начальником Черного Кабинета8 в Коллегию иностранных

6 Книги Наркевича являются ближайшей современной аппроксимацией к книгам Диксона. Вот что пишет Ангел Кумчев в рецензии на [266]: "While it is unlikely that we will ever see version 2.0 of L. E. Dickson's classic "History of the theory of numbers", the present volume comes close if one restricts one's attention to certain parts of number theory. Про Диксона и Наркевича я уверен, что они сами читали все, что цитируют — как и про Чудакова. Про более поздних авторов — далеко не всегда.

7 Старшему из пятерых сопровождавших его в этом экзодусе детей Иоганну Альбрехту было на тот момент 6,5 лет.

8 Schwarzes Cabinet или Cabinet noir, служба перлюстрации и дешифровки корреспонденции, примерно то же, что Black Chamber, https://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber/chamberguide.html, не путать с camera

дел Российской Империи. Чтобы поставить эту переписку в более широкий шпенгле-ровский контекст, можно вспомнить, что именно в 1741 году Иоганн Себастиан Бах опубликовал часть своего Clavier-Übung, известную как Goldberg-Variationen (BWV 988), что, конечно, дало потом возможность острословам компонировать Goldbach-Variatio-nen9.

То, что потом было истолковано как проблема Гольдбаха, содержится в письме Гольдбаха Эйлеру [188] (Москва, 7 июня 1742 года), в маргиналии на с. 127. Однако и сам окружающий текст настолько интересен, что я вопроизведу его здесь.

Начинается эта страница со следующего наблюдения общего характера [почти] на немецком: "Ich halte es nicht fUr undientlich, dass man auch diejenigen propositiones anmerke, welche sehr probabiles sind, ohngeachtet es an einer wirklichen Demonstration fehlet, denn wenn sie auch nachmals falsch befunden werden, so können sie doch zu Entdeckung einer neuen Wahrheit Gelegenheit geben."10

В качестве такого примера Гольдбах упоминает гипотезу о простых числах Ферма, опровергнутую Эйлером. После этого он формулирует свою гипотезу: "Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardieren: dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum; zum Exempel"11

4 = 1 + 3 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1, 5 = 2 + 3 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

6 = 1 + 5 = 1 + 2 + 3 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, etc.

Теперь, когда мы знаем настоящую гипотезу Гольдбаха, можно взглянуть на левое поле письма12, где дописана следующая маргиналия: "Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstrieren lasset in casu n + 1, si successerit in casu n, et n + 1 dividi possit in duos numeros primos. Die Demonstration ist sehr leicht. Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grosser ist als 113, ein aggregatum trium numerorum primorum sey."14

oscura или black room.

9 https://maikhester.net/index.php/musiker/kompositionen/50-goldbach-variationen-fuer-kam\protect\ discretionary{\char\hyphenchar\font}{}{}mer\protect\discretionary{\char\hyphenchar\font}{}{}orchester.

10 «Мне не кажется бесполезным записывать даже те предложения, которые весьма вероятны, независимо от того, что у них нет настоящего доказательства, потому что, даже если потом выяснится, что сами они ошибочны, они, тем не менее, могут дать повод к открытию новой истины».

11 «Таким же образом я тоже рискну высказать гипотезу: каждое число, которое составлено из двух простых, будет суммой произвольного числа простых чисел (включая сюда единицу), до тех пор, пока не останутся только единицы, например ...»

12 Целиком эта страница письма воспроизведена, например, в книге Юшкевича и Копелевич [110, с. 171], а также в https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Letter_Goldbach-Euler.jpg, в итальянском переводе романа Доксиадиса [172, с. 96], и во многих других источниках.

13 Именно так в издании 1843 года, подготовленном правнуком Эйлера Павлом Николаевичем фон Фуссом [187]! В книге Дирка Хоффманна [224, p. 123] после слов "Seine These verbirgt sich in einer hastig formuleirter Randnotiz" воспроизведена в более крупном разрешении собственно маргиналия Гольдбаха, где хорошо видно, что слова "die grösser ist als 1" дописаны вообще без пробелов под строкой, потом 1 там заменена на 2, а потом снова на 1.

14 «После того, как я это снова перечитал, я заметил, что эту гипотезу можно строго доказать для n + 1, если она справедлива для n, и n +1 можно разбить на два простых. Доказательство очень просто. По крайней мере, казалось бы, что каждое число большее 1 должно быть суммой трех простых чисел». По поводу перевода последней фразы замечу, что я не знаю, различал ли сам Гольдбах формы "es scheint" и "es scheinet". Сегодня "es scheinet" не является нормативным немецким, но в разговоре обе формы возможны, и различие между ними очевидно любому носителю языка: es scheint = кажется, es scheinet = казалось бы.

На самом деле, как уже упоминалось во введении, это последнее предположение было сформулировано Декартом за век до того. Не менее знаменателен и ответ Эйлера [182] (Берлин, 30 июня 1742 года), середина страницы 135: "Dass eine jegliche Zahl, welche in zwey numéros primos resolubilis ist, zugleich in quot, quis voluerit, numeros primos zertheilt werden könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine summa duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n - 2 auch eine summa duorum numerorum primorum, so ist n auch eine summa trium numerorum primorum, und auch quatuor u.s.f. Ist aber n ein numerus impar, so das ist derselbe gewiss eine summa trium numerorum primorum, weil n -1 eine summa duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Das aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich fur ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann."15

Больше всего этот язык напомнил мне мумбайский пиджин, который позволяет свободно общаться местным жителям (говорящим на маратхи) с гостями города (говорящими на хинди). Он устроен следующим образом. Слова общие между хинди и маратхи сохраняются как есть. Различающиеся слова заменяются на английские. Вот как звучит типичная фраза на этом языке: "ek foreigner, do Indians". Вот именно на таком языке Гольдбах и Эйлер между собой и общались!

Самое забавное состоит в следующем. В книге Варинга "Meditationes Algebraicae" как в издании 1770 года, так и в издании 1782 года содержится следующая формулировка четной и нечетной проблем Гольдбаха: "Omnis par numerus constat e duobus primis numeris, & omnis impar numerus vel est primus numerus, vel constat e tribus primis numeris, & c." [362, p. 379]. Как видно из следующей формулы, Варинг считает 1 простым числом, поэтому никакой ошибки здесь нет, все значит все! Но вот что значит его "и так далее"?

Исходя из этого, не только Олри Теркем16, и Эжен Каталан в 1855 году, но и Эдуар Люка чуть ли не до 1896 года приписывали формулировку проблемы Гольдбаха Варингу! Чрезвычайно интересен контекст, в котором проблема Гольдбаха попадает в фокус внимания. В 1855 году Олри Теркем и Камилль-Кристоф Жероно публикуют в "Nouvelles Annales de Mathématiques" список из четырех нерешенных математических проблем:

• "Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers;

• "Tout nombre pair est la différence de deux nombres premiers";

• "Tout nombre est la somme de neuf cubes entiers positifs au plus";

• "Tout nombre est la somme de dix-neuf bicarrés entiers positifs au plus";

15 «То, что любое число, которое можно представить как сумму двух простых чисел, можно разбить и на любое желаемое количество простых чисел, можно вывести из того наблюдения, которое Вы мне только что сообщили, а именно, что каждое четное число есть сумма двух простых чисел. В самом деле, если предложенное число n четное, то оно является суммой двух простых чисел, но тогда и n - 2 является суммой двух простых чисел, так что n является также суммой трех простых чисел, а также четырех и т.д. Если же n нечетное, то оно само несомненно является суммой трех простых чисел, в то время как n -1 является суммой двух, и, следовательно, его тоже можно разложить в любое их количество. То же, что любое четное число должно быть суммой двух простых, я рассматриваю как совершенно несомненную теорему, несмотря на то, что у меня не получается ее доказать».

16 Разумеется, здесь имеется в виду знаменитый полимат Олри Теркем (1782-1862), основатель первого журнала по истории математики "Bulletin de Bibliographie, d'Histoire et de Biographie de Mathématiques", а не его племянник палеонтолог Реусс Олри Теркем (1797-1886). Впрочем, еще больше Теркем знаменит своими "modest proposals" на тему реформы иудаизма: перевод богослужения на французский, перенос субботы на воскресенье, полный запрет обрезания и т. д.

то, что сегодня известно как [четная] проблема Гольдбаха, проблема Полиньяка и проблемы Варинга для кубов и биквадратов, соответственно.

При этом они прямо указывают на связь этих задач с постулатом Бертрана, асимптотическим законом распределения простых и работами Чебышева! Хавье Эчеверрия [175] отмечает чисто шпенглеровское совпадение, работы Каталана и Дебова появляются в том же 1855 году. Следующий такой узловой для проблемы Гольдбаха год — 1896.

2.2. Дальнейшая история проблемы Гольдбаха

На ICM 19QQ в Париже Гильберт [223] сформулировал 23 проблемы (и не сформулировал еще одну, 24-ю проблему). Наряду с гипотезой Римана, четная гипотеза Гольдбаха и проблема близнецов — а в действительности более общая гипотеза, которую мы сейчас напомним—являются частью восьмой проблемы Гильберта. При этом в качестве своих источников по проблеме Гольдбаха Гильберт ссылается на работу Штэкеля 1896 года [321] и работу Ландау 19QQ года [234].

В действительности, Гильберт [223] высказал даже следующую гораздо более общую гипотезу, которая утверждает, что диофантово уравнение ax+by+c = Ö, где a, b, c попарно взаимно простые, всегда имеет решение в простых числах17. В отличие от большинства остальных проблем Гильберта, на сегодня (2Q21 год) ни одна из частей восьмой проблемы Гильберта не решена.

На ICM 1912 в Кембридже Эдмунд Ландау [235] сформулировал четыре относящиеся к простым числам проблемы, которые он охарактеризовал как "beim gegenwartigen Stande der Wissensehaft unangreifbar". Эти четыре проблемы часто упоминаются как проблемы Ландау:

• Четная гипотеза Гольдбаха.

• Гипотеза близнецов.

• Гипотеза Лежандра: верно ли, что между n2 и (n + l)2 всегда лежит простое число?

• Бесконечно ли количество простых вида n2 + l?

Сегодняшний статус проблем Ландау описан в статье Пинца [28Q].

Четная гипотеза Гольдбаха, в силу простоты и доступности своей формулировки, имеет все шансы занять место теоремы Ферма в популярной культуре — у гипотезы Римана таких шансов гораздо меньше!

Про проблему Гольдбаха, как и про теорему Ферма, уже пишутся романы и снимаются фильмы. В романе Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха» [36] эта задача упомянута прямо в названии. Отдельно доставляет написание фамилии Гольдбаха по-новогречески, TKÔÀvr^nax. Впрочем, в 1998 году сам автор перевел роман на английский, и все переводы на дальнейшие языки осуществлялись уже с этого текста, а не с греческого оригинала 1992 года.

По-английски роман Доксиадиса завершается эпитафией: "Every even number greater than 2 is the sum of two primes"18. В качестве рекламной акции англоязычные издатели

17 Так в тексте!! Гильберт не упоминает очевидное необходимое условие a+b+c = G (mod 2). Но там и все вокруг написано в таком же сугубо разговорном жанре, например, сама проблема Гольдбаха звучит так: ". . . ob jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist."

18 Михаил Левин https://fantlab.ru/translator16 перевел этот фрагмент так: «Каждое натуральное число, большее 2, представляется в виде суммы двух простых чисел». Из чистого любопытства я посмотрел, как это передано на других языках. "Ogni numero pari maggiore di 2 e la somma di due numeri primi", "Todo entero par mayor que 2 es igual a la suma de dos primos" — везде верно. Впрочем, в русском переводе все прекрасно, вплоть до

(Bloomsbury USA в США и Faber and Faber в Британии) предложили награду в один миллион долларов любому, кто сумеет доказать гипотезу Гольдбаха в течение двух лет после издания книги 2000 года "до полуночи" 15 марта 2002 года и опубликовать это решение в уважаемом математическом журнале "до полуночи" 15 марта 2004 года.19

Следующая симпатичная задача — подразумевавшееся жюри решение которой опиралось на справедливость гипотезы Гольдбаха! — предложена Сергеем Волчёнковым [79].

Задача. Разбейте натуральные числа от 1 до n на минимальное количество групп, сумма каждой из которых является простым числом.

Еще один забавный контекст, где возникает проблема Гольдбаха, — кристаллографическое условие, то есть порядки поворотных осей кристаллов в различных размерностях, см., например [113].

2.3. Верить в наше время нельзя никому

В процессе подготовки настоящей статьи я посмотрел формулировки проблемы Гольдбаха в нескольких десятках математических и историко-математических текстов. Ни в одном из них приведенный выше фрагмент не воспроизводится полностью без грубых искажений.

В тексте Юшкевича и Копелевич [110, с. 170-171], имеет место если не прямой подлог, то серьезное передергивание. Там этот фрагмент цитируется следующим образом: «Таким образом, я хочу решиться высказать предположение... каждое число, большее, чем 2, есть сумма трех простых чисел». Между тем, как мы видели, в тексте в этом месте высказывается совершенно другое предположение. А собственно гипотеза про сумму трех простых высказана на полях и предваряется фразой: "es scheinet wenigstens" = "по крайней, мере казалось бы".

Но это историки! Можно представить себе, что творится в текстах, написанных математиками! Вот с чего начинается классическая статья Харди—Литтлвуда: "It was asserted by Goldbach, in a letter to Euler dated 7 June, 1742, that every even number 2m is the sum of two odd primes, and this proposition has generally been described as 'Goldbach's Theorem' ", [201, c. 1]. А вот что пишет Хуа Локен: «Проблема Гольдбаха была впервые сформулирована в 1742 г. в письме Гольдбаха к Эйлеру. В этом письме Гольдбах высказал две гипотезы относительно представления целых чисел в виде суммы простых» [105]. Опять же, это великие классики! Можно представить себе, что творится в текстах, написанных просто классиками!

В предисловии к книге Михаэля Рассиаса [294], специально посвященной проблеме Гольдбаха, Йорг Брюдерн и Преда Михайлеску пишут: "Goldbach, a school teacher in Konigsberg20, had formulated the question in a letter to Euler dated 1742". Если Гольдбах

благодарности «Кену Райбету и Кейт Конрад» на последней странице — так переданы имена Ken Ribet и Keith Conrad.

19 В занятной рецензии [230] Аллин Джексон дает ссылку на правила этого конкурса. Ссылка, конечно, давно утратила актуальность, но об этом можно прочитать чуть подробнее в [111]. Там много забавного: и условие, что в конкурсе могут участвовать только резиденты Великобритании и США, и обсуждение того, что рецензент математического журнала может потребовать "to cut the prize money", чтобы вовремя послать отзыв (русское слово "откат" в смысле "доля" происходит именно отсюда, это калька американского "to cut the money"). На это Алан Бейкер философски замечает: "I don't think the money makes much difference. If people do it, they will do it for the challenge."

20 В статье Игоря Алексеевича Кириллова [44] утверждается, что род Гольдбахов "восходит" к Верховным Магистрам Тевтонского ордена (Ordo fratrum domus hospitalis Sanctae Mariae Teutonicorum in Jerusalem). Мне не совсем понятно, что в контексте католического монашеского ордена могло бы значить слово "вос-

и был чшм-т^кол^шм учителем, то, боюсь, только российского императора Петра II в 1727-1729 годах. А весной 1742 года переехал, как мы знаем, в Москву начальником Черного Кабинета Коллегии иностранных дел.

Я не знаю, кто впервые неправильно интерпретировал слово "vormals" в письме Эйлера Гольдбаху как указание на наличие некогда21 какого-то предыдущего письма, где уже обсуждалась гипотеза Гольдбаха. Естественно предположить, что это был англофон, который истолковал "vormals" как "formerly". Не исключено, что это мог быть сам Диксон, который пишет "L. Euler remarked that the first conjecture can be confirmed from an observation previously communicated to him by Goldbach, that every even number is a sum of two primes" [171, p. 421]. Будучи однажды высказанными, особенно в столь авторитетных источниках, подобные мемы далее воспроизводятся сами по себе.

В своей замечательной22 книге [344] Роберт Вон так описывает историю проблем Гольдбаха: "In two letters to Euler in 1742, Goldbach conjectured that every even number is a sum of two primes and every number greater than 2 is a sum of three primes. He included 1 as a prime number, and so in modern times Goldbach's conjectures have become the assertions that every even number greater than 2 is a sum of two primes and every odd number greater than 5 is a sum of three primes."

Опасность такого рода заявлений состоит в том, что, поскольку большинство математиков не интересуется историей своей науки, подобные мемы начинают бесконтрольно реплицироваться, и сам факт их появления в надежной ссылке является для большинства пользователей вполне убедительным пруфом. Вот, например, с чего начинается книга Михаэля Рассиаса [294]: "In 1742 C. Goldbach, in two letters sent to L. Euler, formulated two conjectures. The first conjecture stated that every even integer can be represented as the sum of two prime numbers and the second one, that every integer greater than 2 can be represented as the sum of three prime numbers." Ясно, что это не мог написать человек, в данном случае имела место вирусная репликация.

Если так выглядят серьезные тексты, то можно себе представить, что творится в большинстве обычных источников учебного и научно-популярного характера! Должен признаться, что мысль о том, что история математики в изложении профессиональных математиков чуть более, чем вся, выглядит хуже, чем Wikipedia, была для меня совершенно новой.

3. РАННИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ПРОБЛЕМЕ ГОЛЬДБАХА

Владыслав Наркевич [266] пишет, что на протяжении более века по проблеме Гольдбаха не было никаких продвижений. Это неудивительно с учетом того, что в книге Варинга

ходит". Список всех Верховных Магистров [des Deutschen Ordens] ab ordine condita (= от основания орды) до наших дней вместе с портретами можно посмотреть, например, в https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_ Hochmeister_des_Deutschen_Ordens. Фон Гольдбахов там нет, как и среди других высших руководителей (= Grofigebietiger) ордена на федеральном уровне. Действительно, некий Хельвиг фон Гольдбах примерно около года в 1300-1302 годах был ландмайстером ордена в Пруссии. Поскольку дело происходило в Кенингсбер-ге, логично предположить, что он действительно приходился каким-то дальним родственником Христиану фон Гольдбаху.

21 Сам по себе текст письма не дает никаких оснований читать "vormals" как "einst", "erst", "eher" или "fruher". Скорее, как "vormal" или "vorig" — в непосредственно предшествующем письме. Разумеется, чтобы утверждать это определенно, нужно провести лингвистический анализ всех текстов Эйлера, чего я, естественно, не делал.

22 No joke! Именно из этой книги я впервые понял многие основные идеи, которые в других местах не проговариваются.

проблема вскользь упомянута ближе к концу, а ста переписка Эйлера и Гольдбаха была опубликована только в 1843 году. Так что фактически первые работы по проблеме Гольдбаха были выполнены только в 1855 году.

3.1. Ранние экспериментальные данные

Большинство результатов до 1919-1920 годов носили экспериментальный характер. Так, в 1855 году Адольф Дебов [163] проверил четную гипотезу Гольдбаха для всех n < 104. При этом он делает следующее характерное замечание: "Tout nombre pair, excepte 2, est la somme de deux nombres premiers au moins de deux manieres, et lorsque Ie nombre pair est double d'un nombre impair, il est toujours simultanement la somme de deux nombres premiers de la forme 4n + 1 et la somme de deux nombres premiers de la forme 4n - 1."

И действительно, большинство авторов конца XIX и начала XX веков не столько устанавливали возможность представления числа как суммы двух простых, как пытались собрать экспериментальные данные, чтобы угадать асимптотику для количества таких представлений. Все они исходили из справедливости, как они говорили, "эмпирической теоремы" Гольдбаха. Единственным известным мне исключением является работа Эжена Лионне23 1879 года [249], где он приводит теоретико-вероятностные соображения в пользу того, что четная гипотеза Гольдбаха неверна: "...en general les geometres qui s'en sont occupes, et particulierement Euler, regardent l'affirmative comme triés probable. Nous allons demontrer quelques propositions qui nous semblent plutôt etablir la probabilité contraire."

Среди тех, кто этим занимался, были и довольно неожиданные люди, основные интересы которых, казалось бы, довольно далеки от теории чисел. В том числе Джеймс Джозеф Сильвестр [329, 330], 1872 и 1896, и Георг Кантор [134], 1894-1896. В действительности, Сильвестр серьезно интересовался неприступными проблемами теории чисел, в частности, в [13] мы уже упоминали его работу по нечетным совершенным числам.

Кантор тоже интересовался теорией чисел — ив особенности «весьма элементарной теоремой Гольдбаха» — более чем серьезно, чрезвычайно интересные документы, относящиеся к этой не слишком известной стороне его деятельности, собраны в книге (книгах?) Анн-Мари Декайо [161, 162]24. В частности, там воспроизводится факсимиле знаменитого доклада Кантора на Конгрессе AFAS 1894 года в Кайене: "II y a environ dix ans, j'ai fait calculer pour tous les nombres pairs de 2 a 1000, une table qui contient toutes les partitions de ceux nombres en deux nombres premiers." Совершенно изумительна первая реакция Анри Пуанкаре — «А где вообще Гольдбах опубликовал свою знаменитую эмпирическую теорему? И есть ли какие-то свидетельства в ее пользу?»

Критически важными для привлечения внимания к этой задаче были работы Пауля Штэкеля [321], 1896 и Роберта Хаусснера [203, 204], 1897-189925. Кумулятивно, они затабу-лировали все представления четных n в виде n = p1 + p2, до n = 3000 и количество таких

23 Как Адольф Дебов, 1818-1888, так и Эжен Лионне, 1805-1884, были школьными учителями в Париже, первый в Lycee Condorcet, второй в Lycee Louis-Le-Grand. Эжена Лионне сегодня вспоминают и в других контекстах, в связи с задачей о 8 ферзях, основанной им Филотехнической Ассоциацией (https://fr.wikipedia.org/wiki/Asso\protect\discretionary{\char\hyphenchar\font}{}{}cia\protect\discretionary{\char\ hyphenchar\font}{}{}tion_philotechnique) и т.д.

24 Обратите внимание, что по-французски и по-немецки эта книга называется совершенно по-разному, даже если проигнорировать подзаголовок: "Cantor et la France" vs "Cantor und die Franzosen" — ну да, "die Mathematiker sind eine Art Franzosen".

25 Интересно, что оба они возвращались к этой теме спустя 20+ лет [205, 206, 322].

представлений до n < 5000, при этом выяснилось, что количество тагах представлений максимально для n, делящихся на 3, а относительные максимумы достигаются для n, делящихся на 5, 7 и т. д.

Самая простая гипотетическая асимптотика n(n)2/^(n) была предложена Штэкелем [321]. В 1900 году ее опроверг Эдмунд Ландау [234], что и послужило непосредственным основанием для упоминания Гильбертом проблемы Гольдбаха в качестве части его восьмой проблемы. Все остальные предсказания, сделанные по этому поводу Сильвестром, Бруном [126] в 1915 году, Штэкелем [322] в 1916 году, Шахом и Уилсоном [311,312] в 1919 году опровергли Харди и Литтлвуд [201, 202].

Наркевич [265, с. 334], пишет, что в 1903 году Риперт проверил гипотезу до n < 50816, но я сам его работы не видел, а работы Пиппинга [283-287], в которых вычисления доведены до n < 100000, публиковались еще вплоть до 1940 года. Справедливость гипотезы для нескольких серий больших четных чисел, таких как 2n и, более общо, 2nm, где m — маленькое нечетное, проверил в 1906 году Каннингем [159].

Сегодня все эти экспериментальные данные чрезвычайно легко сгенерировать на компьютере буквально за секунды. На сайте Imaginary26 можно найти галлерею Жана-Франсуа Колонна Pictures of Number Theory, где, в частности, есть картинка Goldbach comet или Goldbach rainbow, изображающая количество представлений четного числа n = p1 + p2, для всех n < 411678.

3.2. Результаты, полученные методом решета

Первый принципиальный прорыв в направлении решения проблемы Гольдбаха принадлежит Вигго Бруну [126-130]27. Он теснейшим образом связан с прогрессом в направлении проблемы близнецов.

Мелвин Натансон объясняет связь этих задач следующим образом: "There is a structural similarity between the twin prime conjecture and the Goldbach conjecture. The twin prime conjecture states that there exist infinitely many prime numbers p such that p + 2 is also a prime number or, equivalently, there exist infinitely many integers k such that k(k + 2) has exactly two prime factors. The Goldbach conjecture states that every even integer n > 4 can be written as the sum of two primes or, equivalently, there exists an integer k such that 1 < k < n -1 and k(n - k) has exactly two prime factors" [267].

В самом первом приближении метод решета состоит в следующем. Берется какая-то арифметическая прогрессия, и из нее выбрасываются (= "отсеиваются") элементы каких-то других арифметических прогрессий, обычно по простым модулям. Для приложений важно уметь получать хорошие верхние и нижние оценки на количество остающихся членов как функций от длины последовательности N и других параметров. В философском смысле это асимптотическая версия метода включения-исключения, в которой получаются не точные значения, а оценки сверху и снизу.

• В простейшем известном всем с детства варианте — решете Эратосфена — в качестве исходной прогрессии берется начальный интервал натурального ряда от 1 до N, и из него отсеиваются все числа, делящиеся на простые от 2 до %/N. Остаются простые числа

26 https://imaginary.org/gallery/jean-francois-colonna-number-theory

27 Во многих местах я видел ссылки на оригинальный шведский текст работы [126] и оригинальный норвежский текст работы [130]. Но сам я эти брошюры не нашел и не знаю, отличаются ли они от немецкого и французского переводов.

от \/N до N, и их количество оценивается какими-то вариантами асимптотического закона распределения простых.

• В более общем решете Бруна исходная прогрессия произвольная, из нее отсеиваются прогрессии, состоящие из чисел с фиксированным вычетом по простым модулям. Причем, вообще говоря, отсеиваются несколько прогрессий по данному модулю.

Вот, что пишет по этому поводу Наркевич: "The first attempt to apply the Eratosthenian sieve to the problem of Goldbach was made by J. Merlin [258], who also considered the problem of twin primes, i.e. prime pairs differing by 2. His paper contained only the statements of his assertions and arguments leading to them were published by J. Hadamard [196], since Merlin was killed at the beginning of the First World War28, but the reasoning presented here is only heuristical. A fewyears later the paper of Viggo Brun [128] (see [127]) appeared, in which Merlin's idea obtained the correct form" [265].

Этим методом Брун, Радемахер и Эстерман доказали, что каждое достаточно большое четное число представляется как сумма двух слагаемых, каждое из которых является произведением не более M сомножителей, где

• M < 9, Вигго Брун, [127,128], 1919-1920.

• M < 7, Ханс Радемахер, [290], 1923.

• M < 6, Теодор Эстерман, [178], 1932.

Подчеркнем, что все эти результаты, как и дальнейшие упоминаемые нами результаты, полученные методом решета, являются асимптотическими.

Метод Бруна излагается во многих местах. Одно из лучших введений для начинающего и неспециалиста содержится в докладе Бернара Тессье [334]. В нем нет размаха и разлета его последующих геометрических обзоров, но зато аккуратно объяснена основная идея в простейшей ситуации29. Большинство последующих изложений методов решета для неспециалистов, например миниобзор Ричарда Моллина [261] фокусируются не на самом методе Бруна, а на более поздних достижениях (большое решето Линника, решето Сельберга, вариации Бомбьери и Аскольда Виноградова и т. д.)

3.3. Результат Шнирельмана

Следующим принципиальным продвижением была работа Шнирельмана 1930 года. Вот что писал в 1920 году Харди: "Goldbach's assertion remains unproved; it has not even been proved that every number n is the sum of 10 primes, or of 100, or of any number independent of n" [199].

28 Жан Мерлен, 1876-1914, работал в обсерватории Лиона, его биографию можно найти на сайте этой обсерватории http://selene-projet.fr/Jean_{}Merlin/Jean_{}Merlin.html, но серьезно увлекался математикой. Нет никакого сомнения, что Брун самым внимательным образом изучал его работу. Мерлен погиб 27 августа 1914 года — «От важных государственных причин скончалось много молодых мужчин». Как хорошо известно, безумный эгалитаризм III Республики и связанный с ним l'impot du sang на французских ученых оказали огромное влияние на последующее развитие математики во Франции, например, привели к появлению Бур-баки [38].

29 Как видно из списка на странице https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/, это вообще первая опубликованная работа Тессье — на момент ее написания автору было 20 лет—и единственная его работа по теории чисел. Как очередной триумф наукометрии, стоит упомянуть, что этот текст вообще не отражен в MathSciNet! А ведь это даже не 1866 год, а 1966. Если это относится к профессиональной базе данных, то что же говорить про коммерческие, которые априори задуманы как fake news.

Пусть X с N — какое-то множество натуральных чисел, X(п) = X п п — его пересечение с множеством п = {1,2,...,п} первых п натуральных чисел. Плотностью Шнирель-мана множества X называется

(Х) • ^ IX(п)1 a(X) = 1пг-.

пеЫ п

Таким образом, по определению IX(п)| > а^)п для всех п е N. Ясно, что 0 < а(X) < 1, причем a(X) < 1 для всех X Ф N.

Поучительно сравнить это определение с обычным понятием натуральной плотно-

30

ста 30

d (X) = limX (n)l

n—n

которая является предельным значением вероятности встретить элемент множества X среди первых n натуральных чисел при n стремящемся к бесконечности.

С одной стороны, интуитивно d(X) является гораздо более естественной мерой величины множества X, не зависящей от случайных обстоятельств, связанных с маленькими значениями n. В свою очередь, a(X) чрезвычайно чувствительна именно по отношению к начальным значениям. Например, плотность Шнирельмана любого множества X, не содержащего 1, равна 0, плотность Шнирельмана любого множества X, не содержащего 2, не превосходит 1/2, плотность Шнирельмана любого множества X, не содержащего 3, не превосходит 2/3, и т.д. Поэтому плотность Шнирельмана множества 2N - 1 нечетных чисел равна 1/2, as expected, в то время как плотность Шнирельмана множества 2N четных чисел равна 0. Это абсолютно контринтуитивно, так как вероятность встретить четные и нечетные числа одинакова, d(2N - 1) = d(2N) = 1/2. С другой стороны, в отличие от плотности Шнирельмана, натуральная плотность существует далеко не для всех множеств натуральных чисел.

Определим теперь сумму Шнирельмана двух подмножеств X, Y я N как

X + Y = X и Y и (X + Y), где X + Y = {m + n | m e X, n e Y}

есть обычная сумма Минковского X и Y. Иными словами,

X + Y = ((X и {0}) + (Y и {0})) п N.

Ясно, что эта операция ассоциативна и, таким образом, по индукции можно определить сумму Шнирельмана Xi + ... + Xs любого конечного семейства подмножеств Xi,...,Xs. В частности, для подмножества X я N и натурального числа s e N можно рассмотреть сумму Шнирельмана sX = X +... + X копий этого подмножества в количестве s штук.

Шнирельман сделал два следующих очевидных, но чрезвычайно глубоких и важных наблюдения:

• Для любых двух подмножеств X, Y я N выполняется неравенство

a(X + Y) > a(X) + a(Y) - a(X)a(Y).

• Для двух подмножеств X, Y я N из неравенства a(X) + а( Y) > 1 следует, что X + Y = N.

Отсюда по индукции легко вывести, что для любого подмножества X я N положительной плотности Шнирельмана a(X) > 0 существует такое s, что sX = N.

30 Для й(X) используются также другие названия, естественная плотность, асимптотическая плотность

и т. д.

На самом деле, конечно, оба эта наблюдения сразу вытекают из следующей более общей теоремы, доказанной в 1942 году Манном.

• Для любых двух подмножеств X, Y я N выполняется неравенство

a(X + Y) > min(a(X) + a(Y),1).

Но это гораздо более трудный результат, который не нужен для доказательства сформулированной выше основной теоремы Шнирельмана, утверждающей, что sX = N для любого множества положительной плотности. Проблема, однако, состоит в том, что множество простых чисел P не содержит 1, так что его плотность равна 0. Ясно, что и множество простых чисел Гольдбаха P и {1} тоже имеет плотность 0. Еще одно ключевое наблюдение Шнирельмана состояло в следующем.

• Множество

X = {1} и (P + P) = {1} и {p + q | p, q e P}, состоящее из 1 и сумм двух простых, имеет положительную плотность Шнирельмана.

В самом деле, обозначим через r2(n) количество представлений n как суммы n = p + q двух простых. Тогда из неравенства Коши вытекает, что

|X(n)| ^ 1 (I Г2(щ))2 n n T.r2(m)2

где обе суммы берутся по 1 < m < n. Оценивая снизу числитель второй дроби в правой части при n ^ те по теореме Чебышева, мы видим, что для больших n он не меньше cin4/ln(n)4, для какой-то положительной константы c1. С другой стороны, ее знаменатель легко оценить сверху методом решета Бруна и получить что — снова асимптотически — он не больше c2n3/ln(n)4 для какой-то положительной константы c2. Это значит, что существует N такое, что для любого n > N выполняется неравенство |X(n) | / n > c1c-1 > 0. С другой стороны, так как 1 e X, то |X(n)|/n > 1/N для любого 1 < n < N.

Лучшее резюме работы Шнирельмана дал Александр Осипович Гельфонд: «Доказав, с помощью некоторых результатов В. Бруна, что последовательность парных сумм простых чисел имеет, в несколько обобщённом смысле, конечную плотность, Л. Г. Шнирельман впервые в 1930 г. решил знаменитую проблему Гольдбаха в ослабленной постановке. Он показал, что всякое целое число есть сумма ограниченного числа простых чисел. Единица при этом считается простым числом» [28, с. 57]. Здесь, кстати, все правильно, и все существенное упомянуто. И то, что ключевой шаг в доказательстве второй теоремы Шнирельмана проистекает из метода решета, и то, что 1 простое число, и то, что никакой оценки при этом не получено.

3.4. Доказательство Ландау

То, чего не упоминает Гельфонд, это что в работе самого Шнирельмана 1930 года нет не только никакой оценки, но и полного доказательства. Там просто констатируется, что такое доказательство могло бы быть получено методом Бруна. Первое доказательство теоремы Шнирельмана опубликовал в том же 1930 году Эдмунд Ландау [238]. Это по существу то доказательство, которое воспроизведено потом в [240] и перекочевало оттуда под именем доказательства Шнирельмана во все современные учебники.

Работа Ландау [238], как и остальные его работы, это schier Genuss для любого ценителя острого немецкого слова. Она начинается буквально так: "Die Arbeit von Herrn

L. Schnirelmann Ob additiwnich swoistwach tschisel (Über additive Eigenschaften von Zahlen) enthalt einen der größten Fortschritte der Zahlentheorie, die ich erlebt habe." — «величайшее продвижение в теории чисел, случившееся на моей жизни».

Но следующие абзацы заставляют вспомнить оценки Ландау работ Виноградова: "Den Beweis des entscheidenden Hauptsatzes (seines Lemma 3) überlaßt er allerdings dem Leser als völlig analog dem Beweis von Herrn Brun für einen anderen Satz (über Primzahlzwillinge)" — «доказательство ключевой леммы в любом случае отсутствует/ оставлено читателю».

Ну, и в качестве coup de grâce: "Und Herrn Schnirelmanns restliche 6 Seiten lassen sich auf eine Seite abkUrzen" — «ну, а остальные 6 страниц доказательства Шнирельмана легко сократить до одной страницы». Но там вокруг все столь же прекрасно: "...denn selbst ich hatte mich bisher nie die Mühe unterzogen, Herrn Bruns Originalarbeit ...genau durchzulesen"31, "...bitte ich 100001 statt 100000 zu lesen", "Meine ganze ...Arbeit hätte vor 100 Jahren geschrieben werden konnen", usw.

В любом случае, своими словами мораль такова: Шнирельман, Ландау и Зигель действительно доказали теорему Шнирельмана в 1930 году. Но я представляю, как должен был страдать такой перфекционист, как Ландау, читая русские работы того времени! И как он должен был радоваться, когда ему удавалось придать содержащимся в них идеям ту классическую форму, которую мы знаем сегодня.

4. КОНСТАНТА ШНИРЕЛЬМАНА

В сотнях текстов, как учебного, научно-популярного и исторического характера, так и вполне себе серьезных, под именем константы Шнирельмана происходит смешение двух совершенно разных понятий, асимптотической константы Шнирельмана S и абсолютной константы Шнирельмана s — раньше они обозначались K и к, соответственно.

4.1. Асимптотическая и абсолютная константы Шнирельмана

Напомним, прежде всего, как эти термины понимались в 1930-е годы.

• Асимптотической константой Шнирельмана называется наименьшее S, для которого существует N такое, что все натуральные числа n > N являются суммами не более, чем S простых, n = p1 +... + pm, m < S.

• Абсолютной константой Шнирельмана называется наименьшее s такое, что все натуральные числа n > 2 являются суммами не более, чем s простых, n = p1 + ... + pm, m < s.

Как мы помним, для проблемы Варинга конечность g (к) вытекает из конечности G (к), но для получения оценки для g (к) оценка G (к) сама по себе совершенно недостаточна, нужно знать еще то место N, начиная с которого каждое натуральное число является суммой G (к) неотрицательных к-х степеней.

Точно так же, конечность S влечет конечность s, но оценка S сама по себе не дает никакой конкретной оценки для s. Чтобы дать какую-то конкретную оценку s нужно знать не только оценку S, но и оценку того места N, начиная с которого каждое натуральное число есть сумма < S простых.

31 Собственно, Ландау и говорит, что приведенное далее доказательство положительности плотности Шнирельмана множества {1} и (P + P) получено Зигелем!

В методе Шнирельмана 1 расматривается как простое число. Это значит, что факта-чески доказывается, что существуют такие постоянные K и L, что каждое число n имеет вид

n = p1 + ... + pk + l,

где все pi простые, k < K и l < L, Разумеется, натуральные числа, меньшие L являются суммами ограниченного числа простых32.

Резюмируем теперь основные этапы большого пути. Более детально история оценок S и s будет прослежена ниже.

• Гипотеза Гольдбаха утверждает, что s = 3.

• В 1912 году Эдмунд Ландау [235] предложил для начала доказать, что s < те. В 1930 году Шнирельман, Ландау и Зигель действительно это доказали [107, 238].

• В 2013-2014 годах Хельфготт доказал, что s < 4.

Однако фокус состоит в том, что в промежутке Виноградов еще раз доказал, что s < те, понизив при этом оценку асимптотической константы Шнирельмана с S < 71 — именно такова первая достоверная опубликованная оценка S — до S < 4.

Разумеется, после этого все разговоры про асимптотическую константу Шнирельма-на потеряли смысл — если только нас не интересует бокс со связанными руками типа доказательства определенными средствами33 — и, начиная с 1950-х годов, константой Шнирельмана обычно стали называть абсолютную константу Шнирельмана s, забыв при этом, что до работ Саратовской школы 1960-х годов не было вообще никаких оценок s — до этого все результаты, как на пути Бруна—Шнирельмана, так и на пути Харди— Литтлвуда—Виноградова, были исключительно асимптотическими. Первые оценки s на пути Шнирельмана или вообще на каком-либо пути, причем с гораздо менее точными оценками, чем s < 800000, были получены лишь спустя 30-40 лет после работы Шнирель-мана.

4.2. 800000 простых в популярной культуре

В сотнях текстов ошибочно утверждается, что Шнирельман в 1930 году доказал, что s < 800000. Так, в своей биографии Гольдбаха [110] Адольф Павлович Юшкевич и Юдифь Хаимовна Копелевич утверждают: «В 1930 г. Л. Г. Шнирельман с помощью особого приема строго доказал, что каждое целое число есть сумма не более K простых чисел. Это число K Шнирельман тогда оценил равным приблизительно 800 000.».

Конечно, было бы смешно ожидать от историка и филолога, чтобы они понимали подобного рода тонкости (. . . хотя . . . ). Гораздо удивительнее, что это утверждение воспроизводится в сотнях текстов по теории чисел, как учебных и научно-популярных, так и вполне серьезных, написанных выдающимися профессионалами в этой области — и попало в таком виде даже в Большую Советскую Энциклопедию [31]!

Понятно, что оттуда это в неизменном виде перекочевало в Большую Советскую Вики-педию: "In 1930, Lev Schnirelmann proved [19] [20] that any natural number greater than 1 can be written as the sum of not more than C prime numbers, where C is an effectively computable

32 Например, < L/2 двоек и троек. Мы не будем здесь обсуждать постулат Бертрана и вариации на тему жадного алгоритма, позволяющие сразу дать логарифмические оценки на количество простых слагаемых.

33 Это некоторое эвристическое преувеличение. В действительности, конечно, на пути Шнирельмана значительно легче оценить то N , начиная с которого что-то выполняется.

constant, see Schnirelmann density. Schnirelmann's constant is the lowest number C with this property. Schnirelmann himself obtained C < 800000."34

Кстати, для разнообразия, в Краткой Еврейской Энциклопедии написано правильно: «он... сыграл выдающуюся роль в решении "проблемы Гольдбаха", которую математики пытались решить с 1742 г., доказав теорему о том, что всякое целое число больше единицы есть сумма ограниченного числа простых чисел».35

Вот что пишет в своих воспоминаниях Лев Семенович Понтрягин: «Проблема Гольдбаха формулируется следующим образом: всякое ли целое число, большее 6, можно представить в виде суммы не более трёх простых чисел? Л. Эйлер показал, что для решения этой проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число есть сумма двух простых. В 1930 г. Л. Г. Шнирельман доказал, что всякое целое число, большее 1, есть сумма не более чем 800 000 простых чисел» [80, прим. 17]. И подобного рода упоминаний 800 000 много десятков — если не сотен!

Но круглые числа вызывают у меня некоторые подозрения — это не стилистика теории чисел, это стилистика «Махабхараты» и «Рамаяны»: «800000 одних младших богов», «800000 гандхарвов и апсар», «800000 движущихся в разные стороны, летающих, управляемых мысленно колесниц», «800000 летучих обезьян, малых и великих, слабых и могучих, отовсюду поспешили в Кишкиндху», «силою колдовства он породил 800000 новых ракшасов», «они были пронзены во все члены 800000 стрел, посланных луком гандивой». Кстати, академическое издание «Махабхараты», все 2 х 80000 строк, я тоже впервые увидел на верхней полке в кабинете Николая Григорьевича Чудакова.

Такого рода числа используются скорее в качестве устрашения: «Леонардо, не желая принимать на себя ответственности, решил объявить гонфалоньеру всю правду и представил расчет, в котором доказывал, что для сооружения двух отводных, до Ливорнского болота, каналов в 7 футов глубины, 20 и 30 ширины, представляющих площадь в 800 000 квадратных локтей, потребуется не менее 200 000 рабочих дней, а может быть, и более, смотря по свойствам почвы. Синьоры ужаснулись.» (Мережковский, «Жизнь Леонардо да Винчи»).

4.3. Откуда взялись 800000 простых?

Я попытался прочесть все доступные мне опубликованные работы 1930-х годов, но не нашел там никаких конкретных оценок абсолютной константы Шнирельмана. Судя по опубликованным работам, история возникновения легендарных 800000 примерно такова.

Исходно Николай Павлович Романов попытался дать какую-то оценку асимптотической константы Шнирельмана36. В качестве мотивировки ему нужно было указать какое-

34 https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach_conjecture

35 Цитируется по «Электронной Еврейской Энциклопедии», 2004-2006, онлайн версия «Краткой Еврейской Энциклопедии в 11 томах», Иерусалим, 1976-2005, https://eleven.co.il/jews-of-russia/in-culture-science-economy/ 14873/

36 Возможно, за всем этим стоит гораздо больше, чем наши учителя готовы были обсуждать. Во всяком случае, одно из обвинений предъявленных Лузину в 1936 году, это именно положительный отзыв на докторскую диссертацию Романова, см. [33]. Вероятно, имел место консенсус «молодых», что все основные идеи содержались в первой работе Шнирельмана. А с точки зрения Лузина, эта работа была несколько небрежной. Вот как это всплывает на заседании комиссии АН СССР 13 июня 1936 года. Кто-то из зала — судя по дальнейшему, скорее всего всемогущий в то время Бенцион Израилевич Сегал — спрашивает: «О первой работе Льва Генриховича вы выражались, что это топорная работа...» Лузин: «Это было бы безумием, а что элементарная работа и не доделана до конца, Лев Генрихович и сам это признает. Он дал 1500 или 2000 этих

то предыдущее значение этой константы. Вот что га пишет: «В своей замечательной работе [107] Шнирельман впервые доказал, что каждое целое число может быть разложено на сумму ограниченного числа простых слагаемых, причем в качестве верхней границы для числа простых чисел, необходимых для представления всех достаточно больших чисел, он получил число 100000.»

И чуть далее: «Комбинируя эти две леммы, мы получаем предложение: каждое достаточно большое число может быть с точностью до ограниченного слагаемого разложено

1

простых чисел. Следуя Шнирельману, получим а =

на сумму не больше чем 2

[aj 200000

следовательно, для указанной верхней границы для числа необходимых простых слагае-1 1

мых 2 — = 400000. Легко показать, однако, что в качестве a можно взять-и полутать,

a J 552

1

таким образа, для указанной верхней границы 2 — = 1104.»

a

Обратите внимание, насколько аккуратно здесь различаются асимптотическая S < 100000 и абсолютная s < те константы Шнирельмана. Но работа Романова была опубликована по-русски, в довольно обскурном журнале, издаваемом в Томске, и я подозреваю, что большинство западных математиков того времени ее сами не читали, а знакомы с ее содержанием исключительно по рефератам, опубликованным в Zentralblatt. Вот как выглядели эти рефераты.

Вот реферат Арнольда Шольца: "Nach Schnirelman haben die als Summe zweier Primzahlen darstellbaren Zahlen eine positive untere Dichte, d. h. bis x ist ihre Anzahl > ax mit positivem a. Hier wird gezeigt, daß a = 2: 1104 ausreicht. Nach dem zweiten Schnirelmanschen Satz folgt dann, daß sich jede Zahl als Summe von höchstens 1104 Primzahlen darstellen laßt. Schnirelman gab 100000 an." Шольц здесь говорит "jede Zahl" — ну так это реферат, а не статья. Но, как выясняется, «детали имеют значение».

А вот для сравнения реферат Саломона Любельского37: "Mittels der Schnirelmannschen Methoden beweist Verf., daß man die Abschatzung der Schnirelmannschen Weltkonstante C von C < 2- 400000 auf C < 2 • 1104 herabsetzen kann. Störende Druckehler..." Ну, здесь Любельский еще раз умножает на 2, вместо того чтобы один раз разделить! Вместе две эти маленькие неточности в двух рефератах приводят к сокрушающему эффекту.

Должен признаться, что я восхищен литературным стилем статей Эдмунда Ландау38. Вот, например, как аккуратно изложена в работе [211] ситуация с константами Шнирельмана: "Man verdankt Herrn Schnirelmann [109] den Satz: Jedes x > 1 ist als Summe von hochstens c\ Primzahlen darstellbar. Oder, was dasselbe besagt: Jedes x > c2 ist als Summe von hochstens c3 Primzahlen darstellbar. Wir nennen Schnirelmannsche Konstante S das kleinste c3, zu dem es ein passendes c2 gibt. Also: Alle grossen x sind in hochstens S Primzahlen zerlegbar; unendlich viele x > 1 sind nicht in S - 1 Primzahlen zerlegbar.... Dieser Frage ist eine körzlich

самых простых...» [33, c. 183]. Это объясняет, кстати, почему Шнирельман нападал на Лузина агрессивнее всех остальных математиков.

37 Один из основателей вместе с Арнольдом Вальфишем журнала "Acta Arithmetica" Саломон Любельский, 1902-1941, прекрасно владел русским и реферировал большое количество русских работ того времени по теории чисел. Как свидетельство эпохи, место его гибели KZ Майданек. Впрочем, вот для сравнения годы жизни двух других главных протагонистов: Шнирельман, 1905-1938; Шольц, 1904-1942. Ну, или упомянутый в [13] Михаил Гельбке, 1904-1942. «От важных государственных причин скончалось много молодых мужчин» — «и даже Немезида ни в чем не виновата, она лишь секретарша. . . »

38 В данном случае Ландау на 30+ лет старше своих соавторов, и у меня нет никакого сомнения, что окончательный текст написан именно им.

erschienene Arbeit von Herrn Romanoff [302] gewidmet. Dieser gibt an, Herr Schnirelmann habe S < 100000 bewiesen, was sich zu S < 1104 verscharfen lasse39".

А вот версия истории по Джованни Риччи40, которая, как я понимаю, копировалась в дальнейшем уже в качестве канонической: "Le varie tappe si possono riassumere nel modo seguente

С тем, что, конечно, Риччи честно признается, что в русские работы не заглядывал, так как не имел к ним доступа: "Per notizie su questo argomento, con objezioni ai lavori precedenti, rimandiamo il lettore alla memoria H. Heilbronn-E. Landau-P. Scherk [211] che noi prendiamo come base, essendoci stato impossibile vedere i lavori russi".

Но при этом саму оценку константы 800.000 он не берет из [211], где указано S < 100000, а вычисляет из реферата Любельского, Ну, а дальше уже очевидно, что произошло. В том же году Виноградов доказывает, что S < 4. Но тогда всем, кто не в теме или внимательно не следил, вообще непонятно, в чем вклад Шнирельмана, и возникает легенда, что Шнирельман оценивал абсолютную константу Шнирельмана — хотя ни одна из процитированных работ, кроме реферата Шольца, не дает к этому ни малейшего основания, наоборот, в них всюду тщательнейшим образом подчеркивается "для всех достаточно больших", "ogni intero abbastanza grande" и так далее.

Именно в силу психологического напряжения между S < 800000 и S < 4 у многих, в том числе ведущих специалистов по теории чисел, возникла соответствующая иллюзия. Первоначально по следам работ Риччи и Виноградова абзац, который можно истолковать в таком духе, встречается даже в обзоре Николая Григорьевича Чудакова [101]. Специалисты, которые реально занимались аддитивной теорией чисел, разумеется, моментально осознали это различие, борьба за эффективизацию началась почти сразу [331] и, как отмечает Вон [342], эффективизировать доказательство Шнирельмана значительно легче, чем доказательство Виноградова.

Но 800000 уже были выпущены из кувшина и начали триумфальную пролиферацию. Причем дело не ограничилось научно-популярными книгами и текстами общего характера. Воспроизведу по этому поводу комический пассаж из книги Наркевича [265] — кстати, едва ли не единственная серьезная фактическая ошибка, которую мне удалось у него

39 Использование литературных форм "habe bewiesen", "verscharfen lasse" означает, что они не ставят под сомнение эти утверждения — "hätte bewiesen", "verscharfen ließe"; но и не подписываются под ними — "hat bewisen", "verscharfen laßt". Они недвусмысленно снимают с себя всякую ответственность за эти оценки, которая целиком лежит на источнике сообщения. Иными словами, они не утверждают, что Шнирельман фактически доказал, что S < 100000. Они утверждают лишь, что, по словам Романова, Шнирельман это доказал. Я не знаю, все ли иноязычные читатели, особенно те, в родном языке которых отсутствует различие между congiuntivo и condizionale, способны оценить подобного рода нюансы. Более того, я совсем не уверен даже, что тот же Джованни Риччи, в родном языке которого такое различие как раз есть, обратил на это внимание. Текст может быть непонятным не потому, что он написан плохо, а потому, что он написан слишком хорошо.

40 Джованни Риччи, 1904-1973. В качестве еще одного персонального туше упомяну, что 15 декабря 1936 года Риччи был назначен профессором университета Милана [157, 158]. Марко Куджани вспоминает, что Риччи как-то сказал ему примерно такую фразу: «Открыть книгу, напечатанную красивым шрифтом на хорошей бумаге и правильно переплетенную, это одно из высших удовольствий, доступных человеку». Собственно, он и создал ту замечательную математическую библиотеку на via Saldini 50, которую я упоминаю в [11]. Сегодня она так и называется, La Biblioteca Matematica "Giovanni Ricci", см. https://www.unimi.it/it/ugov/ ou-structure/biblioteca-matematica-giovanni-ricci

S < 800.000

(L. Schnirelmann, 1930),

(N. P. Romanov, 1935),

(H. Heilbronn-E. Landau-P. Scherk, 1936).

S < 2208

S< 71

заметить: "Schnirelman used ...a bound for the number of representations of an even integer as a sum of two primes, resulting from the application of Brun's sieve, to deduce the existence of a constant S < 8 • 104 with the property that every integer exceeding 1 is a sum of at most S primes. ...Later work diminished Schnirelman's bound for S:...S < 2 • 1010,..."

Владимир Андреевич Успенский и здесь оригинален. Он единственный из известных мне авторов пишет, что Шнирельман получил для s оценку s < 300000, см. [94].

4.4. Комментарий Чудакова и Климова

Приведу обширный отрывок из заметки Чудакова и Климова [103], который показывает, как в действительности обстояли дела с постоянной Шнирельмана в 1967 году. Поскольку эта заметка опубликована в одном из главных советских журналов, который читали все математики, и не была, насколько мне известно, кем-либо поставлена под сомнение, мне довольно странно, что ошибочные утверждения относительно константы Шнирельмана не были никогда исправлены. Я тогда же, будучи школьником 9-го класса, неоднократно слышал это в исполнении самого Чудакова, см. § 7.

Итак, вот этот отрывок: «Мы хотим обратить внимание на то, что в учебной и научно-популярной литературе повторяется ошибочное утверждение относительно так называемой постоянной Шнирельмана, то есть наименьшего натурального S такого, что всякое натуральное N > N0 представимо в форме

k

N = £ Pi,

i=1

где k < S, pi — простые числа.

В книгах [9, 29, 31, 74, 88, 92] утверждается, что N0 = 2, a S = 20. При этом делается ссылка на работу Шапиро и Варга [324] как содержащую самый лучший результат относительно S, известный до сих пор41. Однако в этой работе основная теорема А [324, с. 165] формулируется только для достаточно больших целых ...Таким образом ими получена оценка S < 20, но для достаточно большого N0.

Другие авторы, работавшие методом Бруна—Шнирельмана, включая и самого Л. Г. Шнирельмана, не вычисляли значение N0 и занимались только вычислением S. В [364] получено S < 18 тоже для N > N0.

А. А. Шанин и Т. А. Шептицкая (Саратов) методом Бруна—Шнирельмана показали (в докладе на IV научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья в 1963 г.), что S < 2 • 1010 для N0 = 2. Аналитическим методом К. Г. Бороздкин [8] получил, что S < 4 для N0 = exp{exp 16,038} = 1010 Так в действительности обстоит дело с постоянной S, поэтому необходимо сделать исправления при последующих изданиях перечисленных вначале книг, пока не появятся новые исследования постоянной S.»

В пропущенном фрагменте текста Чудаков и Климов прозрачно намекают, что никто из авторов цитированных учебников и популярных книг доказательств в работе [324] не читал. Только Шефтель Хенехович Михелович сделал из статьи Чудакова и Климова правильные выводы и в популярной(!) брошюре [75], выпущенной издательством «Знание»,

41 В немецком оригинале книги Троста в этом месте правильно "Für aile genügend grossen n ergab sich elementar S < 20 (Shapiro und Warga [324]) und S < 18 (Yin Wen Lin [364])", ошибка именно в русском переводе. Конечно, самым удивительным является наличие прямой ошибки в книге Гельфонда и Линника [29], абзац после формулировки теоремы 6.2.1. Разумеется, последующее доказательство верно, но в нем не дается никакой оценки.

тщательно различает 5 и я .Во всех остальных источниках неправильные утверждения не исправлены. В последующих изданиях книги Бухштаба правильно формулируется теорема Шнирельмана, после чего говорится, что х у Шнирельмана было довольно велико.

4.5. Оценки асимптотической константы Шнирельмана

Ясно, что история оценок асимптотической константы Шнирельмана делится на два периода: до 1937 года, когда Виноградов установил, что 5 < 4 и после этого. До работы Виноградова:

• 5 < те, Шнирельман, [109], 1930.

• 5 < 100000, Шнирельман[?]. Где? Когда?

• 5 < 2208, Романов, [302]42,1935.

• 5 < 71, Хейльброн, Ландау, Шерк, [211], 1936.

• 5 < 67, Дж. Риччи, [297], 1937.

После работы Виноградова улучшение константы Шнирельмана элементарными методами превратилось в чисто спортивную деятельность. Вот некоторые ее вехи.

• 5 < 20, X. Шапиро и Ж. Варга, [324], 1950.

• 5 < 18, Ин Вен Лин, [364], 1958.

• 5 < 12, Кондакова и Николай Климов, [54], 1968.

• 5 < 10, Кузяшев и Чечуро [56], 1969. Вон [342] отмечает, что тот же результат был независимо получен в дипломной работе Хартмута Зиберта в Марбурге43.

• 5 < 6 и 5 < 5 для нечетных чисел, Вон, [342], 1976.

Метод Вона основан на теореме Барбана—Дэвенпорта—Хальберштама44, которая, в свою очередь, является простым следствием теоремы Зигеля—Вальфиша и большого решета. В этом смысле этот метод «элементарный» — но неэффективный. Тем не менее, как то, что при помощи столь простого метода удалось так рано получить результат такой силы, так и то, насколько это достижение мало известно за пределами профессионального числового сообщества, вызывает крайнее недоумение. В действительности, Вон лишь совсем чуть-чуть не дотянул до того, чтобы доказать тогда же 5 < 4 для четных чисел.

4.6. Оценки абсолютной константы Шнирельмана

Ясно, что оценка абсолютной константы Шнирельмана представляет собой значительно более серьезное предприятие, чем оценка асимптотической константы Шнирель-мана.

42 «В моей работе "К проблеме Гольдбаха" имеется, кроме ошибок вычислительного характера, существенная ошибка теоретического характера, состоящая в пользовании леммой о равномерной, относительно к, оценке остаточного члена ...», [86, с. 39].

43 Однако доказательства в этих работах опираются на теорему Бомбьери—Аскольда Ивановича Виноградова. Морально, это еще одно совместное обобщение асимптотического закона распределения простых и теоремы Дирихле о простых в арифметических прогрессиях. С оценкой асимптотики функции Чебышева в среднем, а не в индивидуальных классах, но зато лучше, чем в теореме Зигеля—Вальфиша. С точки зрения тех приложений, которые здесь рассматриваются, это почти то же самое, что ОКИ. Поэтому доказательства в этих работах можно назвать «элементарными» лишь весьма условно. В действительности, они используют примерно такой же аналитический инструментарий, что и все остальные аналитические доказательства в духе Харди—Литтлвуда.

44 Причем буквально в форме 1966 года [4,160], а не какое-то из последующих усилений!

• s < те, Шнирельман, [107,108], 1930.

• s < 2 ■ 1010, Шанин, Шептицкая [106], 1963.

• s < 6 ■ 109, Н. И. Климов, [47], 1969.

• s < 115, Н. И. Климов, Пильтяй, Шептицкая, [52, 53], 1972.

• s < 159, Дезуйе, [163], 1973.

• s < 113, Климов, [48], 1975 .

• s < 65, Климов, [49], 1975 .

• s < 61, Климов, [50], 197 545.

• s < 55, Климов, [51], 1975.

• s < 27, Вон, [342], 1977.

• s < 26, Дезуйе, [163], 1977.

• s < 24, Чжанг—Динг, [366], 1983.

• s < 19 и s < 18 для четных чисел, Ризель—Вон, [301], 1983.

• s < 7 и s < 6 для четных чисел, Оливье Рамаре, [293], 1995 .

Теорема Рамаре продолжает оставаться самым точным из элементарных результа-тов46. Как обычно, улучшение получено за счет усиления вспомогательных результатов. В данном случае, одна из ключевых лемм состояла в проверке того, что при n > e67 количество целых между n и 2n представимых в виде суммы двух простых не меньше n/5. Все последующие улучшения опирались на аналитическую технику.

• s < 6, Лешек Канецкий, [232], 1995, условно, по модулю гипотезы Римана.

• s < 5, Лешек Канецкий, там же, 1995, условно, по модулю гипотезы Римана и того, что гипотеза Гольдбаха проверена для всех четных чисел меньших 1.405 ■ 1012.

• s < 6 и s < 5 для нечетных чисел, Теренс Тао, [332], 2012 .

• s < 4 и s < 3 для нечетных чисел, Харальд Хельфготт, [216], 2014.

5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО НЕЧЕТНОЙ ПРОБЛЕМЕ ГОЛЬДБАХА

В 1922-1937 году нечетная гипотеза Гольдбаха была доказана в асимптотическом смысле. А именно, теорема Харди—Литтлвуда—Виноградова47 утверждает, что любое натуральное число, начиная с некоторого места, является суммой трех простых. Иными словами, существует такое натуральное число n0 , что каждое n > n0 является суммой трех простых чисел.

5.1. Метод производящих функций

В 1922 году Харди и Литтлвуд устанавливают справедливость асимпотической нечетной гипотезы Гольдбаха в предположении справедливости GRH = обобщенной гипотезы Римана48. Сам Харди оценивал этот результат так: "It is an imperfect and provisional

45 Статья [48] опубликована в 1978 году и, казалось бы, выпадает из хронологии. Фактически же она была подана в журнал в январе 1975, до того как появилась работа [49] статьи Вона, Дезуйе и других.

46 Однако было бы натяжкой утверждать, что он получен чисто на пути Шнирельмана, так как основная оценка доказывается, внезапно, с помощью тригонометрических сумм.

47 То, что в советской литературе называлось теоремой Гольдбаха—Виноградова.

48 В действительности им достаточно более слабого предположения о нулях L-рядов Дирихле L(s, х), но оно должно выполняться не только для ^-функции, а для рядов с произвольным характером Дирихле.

result, but it is the first serious contribution to the solution of the problem" [213]. Метод Харди— Литтлвуда хорошо известен и является основой всего дальнейшего развития в аналитической теории чисел. В своей архетипичной форме он восходит к Эйлеру, и мы уже обсуждали его основную идею в [12].

• Изначально они рассматривают ряд

f (z) = z2 + z3 + z5 + z7 + z11 + ...,

являющийся производящей функцией для характеристической функции множества простых чисел. Как хорошо известно со времен Эйлера, его s-я степень

то

f (z)s = £ rs(n)zn n=1

является тогда производящей функцией для количества представлений rs(n) натурального числа n как суммы ровно s простых чисел, не обязательно различных и с учетом порядка. Вот, например, как начинается ряд f (z)2:

f (z)2 = z4 + 2z5 + z6 + 2z7 + 2z8 + 2z9 + 3z10 + 2z12 + 2z13 + 3z14 + 2z15 + 4z16 +

4z18 + 2z19 + 4z20 + 2z21 + 5z22 + 6z24 +...

Четная гипотеза Гольдбаха утверждает, что все коэффициенты r2(n) этого ряда при четных степенях zn, n > 4, отличны от 0. А вот начало ряда f (z)3:

f (z)3 = z6 + 3z7 + 3z8 + 4z9 + 6z10 + 6z11 + 9z12 + 6z13 + 6z14 + 10z15 + 9z 16 +

12z17 + 12z18 + 12z19 + 12z20 + 19z21 + 12z22 + 21z23 + 15z24 +...

Разумеется, из четной гипотезы Гольдбаха следует, что все коэффициенты r3(n) этого ряда при степенях zn, n > 6, отличны от 0 (каждое нечетное n > 7 имеет вид m + 3 для некоторого четного m > 4, а 6 = 2 + 2 + 2). Более слабая нечетная гипотеза Гольдбаха утверждает, что коэффициенты r3(n) при нечетных степенях zn, n > 7, отличны от 0. Впрочем, здесь возможны варианты.

• Можно, например, рассмотреть ряд

f0(z) = 1 + z2 + z3 + z5 + z7 + z11 + ...,

являющийся производящей функцией для характеристической функции множества, состоящего из простых чисел и нуля. Тогда коэффициент f0(z)s при zn интерпретируется как количество представлений натурального числа n как суммы не более s простых чисел, с учетом порядка.

• Или, что соответствовало бы исходному вопросу самого Гольдбаха, ряд

f1(z) = z + z2 + z3 + z5 + z7 + z11 + ...,

являющийся производящей функцией для характеристической функции множества, состоящего из простых чисел и единицы. Тогда коэффициент f1(z)s при zn выражает количество представлений натурального числа n как суммы ровно s простых чисел и единиц.

• Или, как это происходит в доказательстве Шнирельмана, ряд

f01 (z) = 1 + z + z2 + z3 + z5 + z7 + z11 + ...,

являющийся производящей функцией для характеристической функции множества, состоящего из простых чисел, нуля и единицы. Тогда коэффициент f01(z)s при zn равен количеству представлений натурального числа n как суммы не более s простых чисел и единиц.

5.2. Теорема Харди—Литтлвуда

Однако, если мы интересуемся не явной формулой для количества представлений, а только вопросом о существовании такого представления, то можно вместо эйлеровской производящей функции рассматривать какую-то другую функцию с теми же номерами ненулевых коэффициентов, которую проще изучать.

• По обычным в аналитической теории чисел техническим причинам фактически вместо ряда f (z) Харди и Литтлвуд рассматривают ряд

F (z) = ln(2) z2 + ln(3) z3 + ln(5) z5 + ln(7) z7 + ln(11) z11 + ...

Мотивацией здесь служит желание перейти от суммирования по простым числам к суммированию по натуральным числам. Морально выбор логарифма в качестве коэффициента объясняется, разумеется, асимптотическим законом распределения простых49,50. Как функция комплексного аргумента z е C этот ряд сходится при |z| < 1,

Как и раньше, s-я степень этого ряда имеет вид

то

F(z)s = £ Rs(n)zn,

n=1

причем теперь

Rs(n) = £ ln(p1) ...ln(ps),

p1+...+ps = n

где, как и выше, сумма берется по всем представлениям n в виде суммы s простых. Таким образом, чтобы доказать, что rs(n) Ф 0, нам достаточно доказать, что Rs(n) Ф 0. В действительности Харди и Литтлвуд не вычисляют Rs(n), а изучают его асимптотику при n ^ то.

При нечетном n им удается выделить главную часть R3(n) и доказать, что R3(n) растет примерно как n2, с коэффициентом, который отделен от нуля. Однако это условный результат, он зависит от некоторого предположения о нулях L-функций Дирихле L(s, х) — то есть по существу от некоторой ослабленной формы обобщенной гипотезы Римана.

• Фактически, конечно, поскольку нас интересует только необращение каких-то коэффициентов в 0, по обычным в гармоническом анализе техническим причинам они вводят в качестве дополнительного коэффициента сглаживающую функцию, быстро убывающую на бесконечности, что-нибудь типа t ^ e-t. Хельфготт [215, 218] очень понятно объясняет, в чем состоит основная трудность получения хороших асимптотик на пути Харди—Литтлвуда. Для этого нам нужны сглаживающие функции, которые сами очень

49 Технически эти причины очевидны каждому, кто видел доказательство асимптотического закона распределения простых или теоремы Дирихле о простых в арифметической прогрессии. Ключевые слова здесь — функция Чебышева у и формула для логарифмической производной L-функции Дирихле. В терминах функции п асимптотический закон распределения простых выражается как n(x) ~ x/ln(x), но в терминах функции Чебышева у он означает просто, что у (x) ~ x, что не только выглядит проще, но и правильнее идейно. Замена f на F в работе Харди—Литтлвуда [201] производится ровно по тем же причинам.

50 Илан Варди сформулировал [339] этот принцип следующим образом: "the primes should be counted using their logarithms" и "you should consider primes and prime powers together". Вместе две эти максимы служат определением функции фон Мангольдта Л.

быстро убывают при t ^ те и для которых результат применения к там преобразования Фурье (в данном случае преобразования Меллина) также очень быстро убывает. Как известно, принцип неопределенности утверждает ровно то, что таких функций не существует. Поэтому приходится идти на компромиссы.

Стоит упомянуть, что в 1937 году на пути Харди—Литтлвуда Теодор Эстерман [177] доказал следующий безусловный результат: любое достаточно большое нечетное натуральное число представимо в виде pi + p2 + p3 p4. Этот аналог результата Чэнь Джинжуна для нечетной проблемы Гольдбаха несомненно был бы значительно более известен, если бы в том же 1937 году Виноградов не решил полностью нечетную проблему Гольдбаха в асимптотическом смысле. Это, несомненно, огромный прогресс по сравнению с предыдущими работами. Кроме собственно метода Харди—Литтлвуда, Эстерман использовал некоторые ранние элементарные результаты Виноградова и теорему Зигеля—Вальфиша. Апостериори утверждается, что Виноградов мог доказать этот результат в 1934 методами работы [348].

5.3. Теорема Виноградова

В 1937 году Виноградов сумел применить свою технологию оценки тригонометрических сумм для доказательства нечетной гипотезы Гольдбаха в асимптотическом смысле. Морально основная идея здесь такая же, как в его работах по проблеме Варинга. А именно, рассмотреть вместо формального степенного ряда многочлен

fN (z) = z2 + z3 + z5 + ... + zP,

где P — наибольшее простое, не превосходящее N. Как и раньше, s-я степень этого многочлена

те

fN (z )s = X rN (n)zn

n=i

имеет следующий смысл: rf (n) — количество представлений n в виде суммы простых чисел p < N в количестве < s штук. Как и раньше, доказательство гипотезы Гольдбаха сводится к тому, что r2N(N) Ф 0 или rN (N) Ф 0.

Фактически, конечно, Виноградов работает не с многочленами, а с конечными экспоненциальными (или, как он сам их называет, "тригонометрическими") суммами вида

Sn = Х e2niap, p<N

где p пробегает все простые числа < N. Как обычно,

SSN = E rN(n)e2nian,

n<sN

где rSN(n) имеет тот же смысл, что и выше. С точки зрения теории Харди—Литтлвуда, это примерно то же самое, что делают они, но только теперь вместо бесконечно дифференцируемой сглаживающей функции используется брутальная отсечка (= troncature brutale) посредством ступенчатой функции типа функции Хевисайда.

Внешне ситуация похожа на ситуацию в проблеме Варинга, но теперь нужно научиться оценивать экспоненциальные суммы по простым, что намного сложнее. И здесь Виноградову удается придумать вторую ключевую идею — «сглаживание» для замены сумм по простым суммами по последовательным натуральным числам.

Основной прием состоит в том, чтобы выразить характеристическую функцию множества простых как линейную комбинацию сверток Дирихле известных арифметических функций. Морально архетипичным тождеством такого вида является применение формулы обращения Мебиуса для выражения функции фон Мангольда через логарифм, Л = ц * log, но, конечно, здесь нам нужны какие-то чуть более изощренные тождества51.

Ясно, что, как все подобные идеи, сглаживание работает тем лучше, чем с большим количеством переменных мы имеем дело. В частности, технически сглаживание в тернарных задачах работает гораздо лучше, чем в бинарных.

На этом пути в 1937 Виноградову удается снять в первой теореме Харди—Литтлвуда зависимость от гипотезы Римана и, тем самым, полностью решить асимптотическую тернарную проблему Гольдбаха, то есть доказать, что всякое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых — то, что в советской литературе называлось теоремой Гольдбаха—Виноградова.

5.4. Решил ли Виноградов проблему Гольдбаха?

В советское время было принято утверждать, что нечетную проблему Гольдбаха решил Виноградов в 1937 году. Для этого, конечно, приходилось прямо фальсифицировать формулировку проблемы Гольдбаха, что и стало систематически происходить, начиная примерно с 1947 года — и, уже совсем беззастенчиво, с 1951 года. В 1937 году все еще были в курсе того, что именно спрашивали Гольдбах и Эйлер. Эту историческую аномалию подробно обсуждает Успенский в [93].

Вот, например, что пишет Гельфонд: «В теории чисел наиболее крупные и блестящие результаты, полученные за последние тридцать лет, принадлежат, несомненно, И. М. Виноградову. ... Этот же глубокий метод позволил И. М. Виноградову [69] доказать, что всякое нечётное целое число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить тем самым знаменитую проблему Гольдбаха. ...Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых нечётных слагаемых. Все попытки доказать это предположение до работ И. М. В и н о г р а д о в а были безуспешны. Любопытно отметить, что Харди и Литльвуду, которые пользовались методом особых рядов, послужившим им для доказательства теоремы Гильберта—Варинга, удалось построить доказательство для предположения Гольдбаха, но это доказательство опирается на правильность так называемой обобщённой гипотезы Римана в теории L-рядов, которая и до сегодняшнего дня ещё не доказана» [28], с. 52-53.

А вот, для разноообразия, Марджанишвили: «В том же 1937 году И. М. Виноградов не только решил знаменитую проблему Гольдбаха о представимости всякого достаточно большого нечётного N в виде N = p1 + p2 + p3, где p 1, p2, p3 — простые, но и ...» [73].

Но, конечно, всех превзошла анонимная «юбилейная комиссия», созданная для празднования 60-летия Ивана Матвеевича: «И. М. Виноградовым был создан очень общий, глубокий и весьма плодотворный метод в аналитической теории чисел, силу которого Иван Матвеевич блестяще продемонстрировал, решив этим методом стоявшую нерешенной

51 Современным воплощением основной идеи Виноградова является тождество Вона [344], в котором фигурируют отсечки функций фон Мангольдта и Мебиуса и которое стало де факто стандартом современного изложения работы Виноградова. Однако в действительности в дальнейшем было открыто много тождеств такого типа более высокой степени, которые используются, например, во всех «элементарных» доказательствах асимптотического закона распределения простых, начиная с работ Сельберга, Эрдеша и Бомбьери.

столетия проблему Гольдбаха. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено суммой трех простых чисел. Все попытки крупнейших математиков решить эту проблему до 1937 г., когда она была решена И. М. Виноградовым, оканчивались неудачами» [77].

Замечу, что сам Иван Матвеевич был в курсе того, как именно возникла проблема Гольдбаха и в чем она состояла: «В 1742 г. из переписки Гольдбаха с Эйлером возникла "проблема Гольдбаха", представляющая собою гипотезу, согласно которой всякое четное число, не меньшее шести, есть сумма двух нечетных простых чисел (бинарная проблема Гольдбаха), а всякое нечетное число, не меньшее девяти, есть сумма трех нечетных простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)» [26].

В чрезвычайно интересной и в других отношениях статье Карацубы [41] воспроизводится рисунок Виноградова на тему "die reine und angewandte Goldbachsche Vermutung". Технически как художник Виноградов, конечно не дотягивает до Васи Ложкина и свою роль в решении проблемы Гольдбаха несколько преувеличивает. Но подходы Харди и Шнирельмана к проблеме Гольдбаха его рисунок сравнивает довольно точно.

Чудаков считал работу Виноградова выдающимся продвижением в направлении проблемы Гольдбаха, но не ее решением. Вот, например, что он пишет в своем обзоре: «Недавно советская математика праздновала свою крупную победу — академику И. М. Виноградову удалось почти полностью решить старую и знаменитую проблему — проблему Гольдбаха». И чуть далее: «Работа Виноградова, без сомнения, является самым крупным шагом вперед в решении проблемы Гольдбаха. Со времени опубликования этой работы можно считать, что полное решение проблемы Гольдбаха уже не за горами» [100]. Не изменил он эту точку зрения и в 1950-е и 1960-е годы.

5.5. Эффективизация доказательства Виноградова

Первое доказательство Виноградова не только не решало проблему Гольдбаха, но и вообще не было эффективным, то есть не позволяло дать никакой оценки того места C, начиная с которого каждое число есть сумма трех простых.

Вот что, например, пишет по этому поводу в своем обзоре Чудаков: «Другой вопрос, который в этой проблеме стоит на очереди дня, — это численный подсчет той границы, начиная с которой an заведомо отлично от нуля. Трудности здесь связаны с вышеупомянутыми проблемами распределения простых чисел в арифметических прогрессиях: там встречаются доказательства "неэффективного" характера, то есть такие, которые не содержат указания на способы численного расчета встречающихся в них постоянных» [100].

Довольно часто встречается упоминание, что доказательство Виноградова было эффективизировано тогда же, в 1939, в [неопубликованной] кандидатской диссертации его ученика Бороздина52. Вот, например, примечание Андрея Николаевича Колмогорова в книге Куранта и Роббинса: «Неэффективный характер теоремы Виноградова устранен в 1939 г. К. Г. Бороздиным, показавшим, что в виде (*) представимо любое

ee41,96 ^ e 17

нечетное n > C = ee ; в 1956 г. ему же удалось снизить эту оценку до C = ee .Конечно, уменьшение константы С до разумных пределов позволило бы решить гипотезу о представимости в виде (*) нечетных n, 6 < n < C, — и тем самым любого нечетного n > 6 — посредством прямой вычислительной проверки».

52 В разных источниках я видел несколько других написаний его фамилии: Бороздкин, Бородзин,...

Успенский в [93, 94] приводит расшифровку инициалов — Константин Григорьевич Бороздин53. Чудаков и Климов [103] (и в дальнейшем Касимов [43]), которые, казалось бы, должны знать лучше, поскольку сами непосредственно этим занимались, пишут К. Г. Бо-роздкин54 и ссылаются на труды Всесоюзного Математического Съезда 1956 года, содер-

ei6.038

жащие оценку C = ee , однако, насколько мне известно, доказательство этого результата также не было опубликовано, что вызывает уже серьезные вопросы.

Я не смог найти никаких публикаций того времени, содержащих подобный результат. Здесь может быть много разных объяснений. Возможно, такая эффективизация действительно была тогда получена, но не опубликована по условиям предвоенного и военного времени. Возможно, она содержалась в диссертации, где позднее была обнаружена ошибка. Возможно, сразу было осознано, что оценку можно значительно улучшить. Возможно, к 1941 стало ясно, что эффективизацию следует проводить по-другому. Возможно, кто-то из вождей по каким-то причинам был против публикации этих результатов. Например, чтобы не подчеркивать неэффективный характер исходного результата. Как бы то ни было, загадка остается: «и кто кого под ноготь, и кто кого за локоть — об этом знает только подземный Моссовет». Чтобы узнать, что именно произошло, необходимо обращение к архивам и серьезное историческое исследование.

В любом случае, доказательство Марджанишвили [257] 1941 года фактически могло бы быть записано как эффективное — хотя удивительным образом он сам об этом ничего не говорит. А в 1947 году Чудаков опубликовал эффективное доказательство [331]. Разумеется, доказательство в книге Виноградова [26] уже эффективно, хотя все еще не дает явной оценки. Фактические оценки обсуждаются в § 8.

6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ЧЕТНОЙ ПРОБЛЕМЕ ГОЛЬДБАХА

В отношении четной проблемы Гольдбаха мы сегодня продолжаем находиться примерно в том же месте, где находились исследования по нечетной проблеме Гольдбаха до 1937 года. Более того, один из двух рекордных результатов — теорема Чудакова—ван дер Корпута—Эстермана была доказана в 1937 году. Второй рекордный результат — теорема Чэнь Джинжуна — был опубликован в 1973 году.

6.1. Теорема Чудакова—ван дер Корпута—Эстермана

Четная гипотеза Гольдбаха не доказана даже в асимптотическом смысле. Однако третья теорема Харди—Литтлвуда утверждала, все еще по модулю обобщенной гипотезы Римана, что почти все четные n являются суммами двух простых чисел.

В том же 1937 году этот условный результат был превращен в безусловный. А именно, теорема Чудакова—ван дер Корпута—Эстермана [98,152,181]55 утверждает, что почти все в смысле натуральной плотности четные n являются суммами двух простых чисел.

53 Очевидно, это не может быть Константин Васильевич Бороздин, который защитил кандидатскую диссертацию в 1962 году.

54 В обзоре Бредихина К. В. Бороздкин...

55 Дэвид Бёртон [132] приписывает теорему Чудакова—ван дер Корпута—Эстермана лично товарищу Ивану Матвеевичу Виноградову: "Vinogradov showed that if A(x) is the number of even integers n < x that are not the sum of two primes, then limx^œ A(x)/x = 0. This allows us to say that "almost all" even integers satisfy the conjecture. As Edmund Landau so aptly put it, "The Goldbach conjecture is false for at most 0% of all even integers; this at most 0% does not exclude, of course, the possibility that there are infinitely many exceptions."". То есть не «методом Виноградова» или что-то в таком духе, а «Виноградов доказал».

Эта цитата буквально воспроизведена в статье Садеха Назардоняви [268], специально посвященной истории проблем Ландау. Там этот результат тоже приписывается лично Ивану Матвеевичу Виноградову. Причем

Обратите внимание, что в то время как в теореме Харди—Литтлвуда—Виноградова почти все означает все, кроме конечного числа, в теореме Чудакова—ван дер Корпута— Эстермана почти все используется в гораздо более слабом смысле — все, кроме множества плотности 0.

Разумеется, следующий вопрос теперь состоит в том, насколько велико множество исключительных четных чисел, не представимых в виде суммы двух простых. Первоначальная оценка Чудакова—ван дер Корпута—Эстермана состояла в том, что количество исключительных чисел, не превосходящих x, растет не быстрее, чем x/ 1п(х)a, для любого фиксированного а > 0.

Позже были получены гораздо более точные оценки. В частности, в 1975 году Хью Монтгомери и Роберт Вон [263] показали, что для достаточно больших х количество исключительных чисел, не превосходящих х, растет не быстрее, чем х1-а для некоторого фиксированного а > 0. В 1980 году Чэнь Джинжун и Пань Чэндонг [141] доказали, что в качестве а здесь можно взять а = 0,01, с тех пор эта оценка многократно улучшалась.

Воспроизведу без комментариев последний абзац книги Николая Григорьевича Чудакова: «Что касается старой гипотезы Эйлера о том, что у(х) = 0, то есть что всякое четное число равно сумме двух простых, то в настоящее время не известны пути оправдания этой гипотезы. Наоборот, некоторые факты вызывают опасение, что она не отвечает действительности (см. Линник, [62]). Историю вопроса см. Чудаков [100].», см. [101].

6.2. Результаты полученные методом решета

В отличие от довоенных результатов по нечетной проблеме Гольдбаха все послевоенные результаты по четной проблеме Гольдбаха учитывают предложенные Линником, Сельбергом и Бомбьери варианты большого решета. Морально отличие состоит в том, что теперь количество вычеркиваемых классов зависит от р, но есть и другие важные технические отличия, которые делают большое решето много более эффективным, чем решето Бруна. С использованием этих методов была доказана представимость любого достаточно большого натурального числа в следующем виде.

• р + р1 ■... ■ рк, для какого-то к, Альфред Реньи, [81, 82], 1947-194856.

• р1 р2р3 + р4 р5 рб, Акийо Тогаси и Сабуро Учияма, [335], 1964.

• Р1 + Р2 р3Р4 Р5 или Р1Р2 + рз Р4 р5, Сабуро Учияма, [336], 1964.

• р1 р2 + рзр4 р5, Аскольд Иванович Виноградов, [17,18], 1964.

• р1 + р2 р3 р4 р5, Марк Борисович Барбан57, [3], 1963, и, независимо, Пань Чэндонг, [274, 275], 1963 (см. по этому поводу обзор [4]); Мийоко Учияма и Сабуро Учияма [338], 1964.

• р1 + р2р3 р4, Александр Адольфович Бухштаб, [10], 1965. С другой стороны, Аскольд Иванович Виноградов, [19], 1965, заметил, что с учетом его результатов о нулях ¿-рядов

в эпоху постправды сам факт появления такого текста в интернете является для многих доказательством — или, как это теперь называется, пруфом — истинности содержащихся в нем утверждений.

56 Этот результат, как и приведенные ниже, следует понимать в том духе, что какие-то из простых могут равняться 1. Иными словами, каждое достаточно большое число является суммой простого и еще одного числа, являющегося произведением не более к простых.

57 Некролог [22] начинается словами «17 июля 1968 г. в возрасте 33 лет трагически погиб один из выдающихся представителей советской школы теории чисел Марк Борисович Барбан». Трех из авторов этого некролога я близко знал и хорошо понимаю, какой смысл они вкладывали в эти слова. Разумеется, некролог в УМН ограничен официальными рамками. Чуть больше информации дает письмо Аскольда Ивановича Виноградова [17] от 2 августа 1968 года, адресованное Алексею Андреевичу Ляпунову. Заметим, что на сайте СО РАН это письмо атрибутировано ошибочно.

Дирихле этот результат фактически вытекает уже из работы Ванг Юаня [359], 1960. Еще более простое доказательство предложил Сабуро Учияма [337], 1967.

• p1 + p2 p3, Чэнь Джинжун [136], анонсировано в 1966, полное доказательство опубликовано в 1973; более простое доказательство, учитывающее улучшения, предложенные Робертом Воном, опубликовал Хайни Хальберштам [197], 1974; еще более простое доказательство предложил ученик Вона Питер Росс [303, 304], 1975, потом были предложены и другие доказательства.

Чэнь Джинжун — это, разумеется, тот самый Чэнь Джинжун, который фигурировал в части, посвященной проблеме Варинга в связи с вычислением g(5) и g(4). По общему признанию, это одна из абсолютных вершин в использовании методов решета, основные идеи этого доказательства очень детально и выпукло изложены в книге Хальберштама и Рихерта [198].

Наряду с теоремой Чудакова—ван дер Корпута—Эстермана, этот результат Ченя продолжает оставаться лучшим приближением к четной гипотезе Гольдбаха. С другой стороны, из предшествующего описания видно, что сам этот результат является естественным итогом многих десятилетий работы многих выдающихся специалистов.

6.3. Верхняя граница в проблеме Гольдбаха

Ясно, что наибольшее количество представлений n в виде суммы двух простых n = p + q равно количеству простых между n/2 и n - 2. Как показали Жан-Марк Дезуйе, Эндрю Гранвилл, Владыслав Наркевич и Карл Поммеранс [167], наибольшее значение n, для которого эта верхняя оценка фактически достигается, равно 210.

Ясно, что особая роль 210 здесь связана с тем, что 210 = 2 • 3 • 5 • 7, так что если 105 < p < 208 простое, то 2 < 210 - p < 105 тоже простое — кстати, почему такое же рассуждение не работает для 2310 = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 идля 30030 = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13?

Чрезвычайно забавно, как это делается. При помощи метода решета довольно просто доказать, что для n > 2 • 1024 здесь имеет место строгое неравенство. Таким образом, остается лишь проверить, что и для всех 210 < n < 2 • 1024 также имеет место строгое неравенство. Человеку, далекому от научных вычислений, может показаться, что достаточно

найти для каждого такого n простое число p, n/2 < p < n - 2, такое, что n - p не является

24

простым. Однако в действительности провести такой поиск 2• 10 раз немыслимо дорого даже сегодня. В 1993 году — next to impossible.

Поэтому авторы [167] предлагают критерий того, что строгое неравенство здесь выполняется для довольно длинных интервалов натуральных чисел (лемма 2 цитированной работы). После этого требуемые интервалы строятся с помощью классического критерия простоты Прота 1878 года.

Напомним, что числами Прота называются числа вида p = m • 2k + 1, где 2k > yp. Если найдется a такое, что a(p-1)/2 = -1 mod p, то число Прота p простое. Заметим, что лестница простых в работе Хельфготта и Платта [220] также строится именно с помощью простых Прота.

После этого остается только превратить это в фактическое вычисление. Вот как это описывается в [167]: "Enrico Bombieri kindly programmed the above in C for us ...using a multiprecision routine. For simplicity's sake he applied Lemma 2, using the first construction above, nineteen times, to rule out all n in the range 210 < n < 9,330,712. Then he used the second construction above (that is, using Proth's test) for all remaining n, which took a further sixty-three applications of Lemma 2. In all cases the set P contained at most 465 elements (which

corresponds to searching for primes through about 510g2 x numbers around x), and we had z > 67. The total run time on a Sparc 2 was just under 75 minutes. A copy of the computer code is available upon request from the second-named author".

7. НИКОЛАЙ ГРИГОРЬЕВИЧ ЧУДАКОВ

Эта статья — как и все остальные статьи этой серии — никогда не была бы написана, если бы два человека в 1967-1969 годах не изменили линию моей жизни.

Первым из них был Иосиф Яковлевич Веребейчик, который взял меня в свой класс, когда я перешел в 30-ю школу. Осенью 1967, когда мы пришли в 9-й класс, он прочел с нами «Основы анализа» Эдмунда Ландау58 [59]: аксиомы Пеано, сечения Дедекинда, комплексные числа, вот это все, с полными доказательствами, с проверкой всех корректно-стей, всех тождеств и т. д. Но весной 1968 после изучения пределов не продолжил по Ландау [60], а соскочил на «Основы современного анализа» Жана Дьедонне [37], правда, уже не так подробно, пропуская некоторые более сложные доказательства, и не целиком, без последних глав. Когда он рассказал нам канторовский диагональный процесс, я понял, что буду заниматься не естествознанием59, а математикой.

Вторым был отец одного из моих ближайших школьных друзей, Саши Анфертьева60, Николай Григорьевич Чудаков — вот тот самый Чудаков, которому принадлежит легендарный результат по четной проблеме Гольдбаха [98, 99], автор классической книги по L-функциям [101]61. В 1962-1972 годах Николай Григорьевич жил в Петербурге и работал в ПОМИ (в те годы ЛОМИ) и в 1968-1972 годах я имел возможность с ним постоянно общаться. С осени 1967 или зимы 1968 я стал все чаще бывать дома у Чудаковых— Анфертьевых. Кстати, Сашина мама, Елена Александровна Анфертьева, тоже была совершенно замечательным специалистом по теории чисел и работала на кафедре математики Политехнического Института62.

Когда Саша нас познакомил, он, видимо, сказал, что я увлекаюсь математикой, и Н. Г. начал со мной беседовать. Вначале я задавал какие-то вопросы, на которые он отвечал, потом увлекался и начинал просто рассказывать. После этого я бывал у них дома на Торж-ковской 2 много десятков раз, мне трудно даже вспомнить, сколько именно. И почти каждый раз минут 30-40, иногда больше, Н. Г. рассказывал мне что-то о математике. Вот так, без доски и бумаги, без формул, в основном чисто мистический и астральный план. Мне

58 "Bitte vergiß alles was Du auf der Schule gelernt hast; denn Du hast es nicht gelernt". Предисловие к русскому переводу начинается словами «Умерший в эмиграции в Голландии в годы войны крупный немецкий математик Эдмунд Ландау... » На самом деле, как известно, Ландау умер в феврале 1938 года в Берлине. Понятно, что сегодня проверять нужно все, потому что во всех книгах все неправильно. Но, оказывается, и в советское время тоже.

59 Я вырос среди физиков и инженеров и лет до пяти, а может, и дольше, вообще не знал, что бывают другие профессии: «Ты физик? — Нет. Химик? — Нет. Инженер? — Нет. Так что же ты делаешь???» Много лет спустя, это ко мне вернулось. В Германии мы много общались с музыкантами, и сын наших друзей как-то спросил меня: «Ты танцуешь? — Нет. Поешь? — Нет. Играешь на рояле? — Нет. Так что же ты делаешь???»

60 В разные периоды своей жизни Саша использовал обе фамилии своих родителей. В описываемый здесь период он был, конечно, Саша Чудаков. Однако все его опубликованные работы подписаны Александр Ан-фертьев.

61 Полный список его работ приведен в [102], см. также [2].

62 В [1, с. 158] и [89, с. 17] есть фотография кафедры математики Политехнического института в 1939 году. В центре первого ряда Родион Осиевич Кузьмин, Николай Максимович Гюнтер, Сергей Натанович Берн-штейн. Елена Александровна в третьем ряду, рядом с Михаилом Александровичем Гельбке, работа которого упоминалась в [12]. На этой фотографии ей 23-24 года. Серьезная кафедра, кстати, более чем.

конечно, не восстановить без записей того времени все темы его рассказов, но общее ощущение было совершенно волшебным63.

Чаще всего Н. Г. рассказывал, конечно, что-то про теорию чисел. Вот несколько тем, которые я точно помню в его исполнении: асимпотический закон распределения простых, теорема Дирихле, ¿-ряды, гипотеза Римана, гипотеза Артина, совершенные и дружественные числа, проблема Гольдбаха с вариациями, диофантовы уравнения... Кстати, я почему-то не помню, чтобы Н. Г. рассказывал мне про проблему Варинга — не может быть, чтобы не рассказывал, просто я не помню. Он подчеркивал вещи, необходимые для понимания, например, использование кванторов:

— для всех натуральных чисел;

— для всех натуральных чисел, начиная с некоторого места;

— для почти всех натуральных чисел, в смысле плотности — какой именно!

Это теперь я понимаю, почему он так настаивал на аккуратности в этом месте [103].

Одна из тем, к которой он постоянно возвращался в те годы, я не помню, сколько раз, десятки раз, наверное, — это трансцендентные числа, диофантовы приближения, линейные формы от логарифмов, проблема десятого дискриминанта, теоремы Лиувилля, Гель-фонда, Шнайдера, Зигеля, Туэ, Рота, вплоть до почти современных тогда работ Бейкера, Старка, Шидловского и Фельдмана64. В результате эту часть теории чисел я определенно знал в 10-м классе школы лучше, чем сейчас, по крайней мере, на фактическом уровне. Это теперь я понимаю, что Н. Г. просто тренировался на мне рассказывать в популярной форме то, над чем он сам думал в тот момент [95]65. Но от этого мой долг по отношению к нему не становится меньше.

63 Вот представьте себе, что автор [97], настоящий, живой, великий математик рассказывает это в таком же стиле не толпе школьников, а лично Вам и умеет при этом выставлять фокус в произвольном месте, от общих философских вещей до любой сколь угодно мелкой технической детали.

64 С Наумом Ильичом Фельдманом я познакомился уже много позже, когда стал секретарем специализированного совета. Меня поразило в нем трудно вербализуемое, но совершенно очевидное сходство с Н. Г., он тоже целиком жил в мире духа. Для будуших историков математики задокументирую один штрих, который, видимо, теперь помню только я. Оппонентам в те годы был положен небольшой гонорар, рублей 15, что ли. Но, чтобы его получить, нужно было заполнить страницы 3 бумаг, указав номера паспорта, докторского диплома и т.д. Наум Ильич сказал, что номеров не помнит, а брать с собой бумаги в Москву не будет. Его почти буквальные слова были, что детей у него нет, а ему с близкими хватает, и поэтому он будет рад подарить эти деньги своему родному университету (до войны Н. И. учился в Петербурге), и вполне достаточно того, что университет оплатил его приезд в Петербург.

65 Юрий Валентинович Нестеренко поделился со мной чрезвычайно интересными воспоминаниями о том времени, которые апостериори объяснили мне многое из того, что я слышал от Чудакова, и, в частности, подтвердили эту догадку. Воспроизведу с его разрешения фрагмент из его письма, где отмечается аналогия этой задачи с бинарной проблемой Гольдбаха, которая совершенно от меня ускользнула: «В 60-70-х годах Н. Г. Чудаков активно занимался трансцендентными числами. В 1969 г. он опубликовал статью, где обосновывал принципиальную возможность доказательства отсутствия десятого мнимого квадратичного поля с дискриминантом 1 (проблема Гаусса), используя лишь линейные формы от двух логарифмов. Оценка таких форм снизу была доказана Гельфондом ещё в 1939 г. К сожалению, на эту возможность не обратили внимание ни Гельфонд, ни Линник. В 1948 г. они опубликовали совместную статью, где писали, что для решения проблемы 10 дискриминанта необходимо доказать оценки линейных форм от трёх логарифмов. Именно это и было сделано Бейкером в 1966 г., а Бундшу и Хок в 1969 г., используя оценку Бейкера и следуя идеям Гельфонда и Линника, доказали отсутствие десятого дискриминанта. В 1972 г. в совместной статье Чудаков и Фельдман сосчитали константы в частном случае теоремы Гельфонда 1939 г. и опубликовали доказательство отсутствия 10 дискриминанта с помощью линейной формы от двух логарифмов. В своей статье они указывают, что о возможности использования линейных форм от двух логарифмов в этой задаче писал в 1969 г. Х. Старк, который также примерно в это время, но позже результата Бейкера исправил одну неточность в доказательстве Хегнера и смог доказать отсутствие 10 дискриминанта вообще без линейных форм от логарифмов. Я пишу столь подробно потому, что ситуация очень похожа на бинарную проблему Гольдбаха. Финальный

Впрочем, мы обсуждали не только теорию чисел. С такой же легкостью Н. Г. отвечал на все мои вопросы, относившиеся к алгебре, алгебраической геометрии, топологии, анализу, логике... Он всерьез изучал вещи типа теории схем, абелевых многообразий и т. д. и рассказывал мне про гипотезы Вейля и многое другое в таком духе. Но что меня тогда поразило больше всего, он прекрасно знал и, очевидно, читал с доказательствами вещи типа теоремы Сколема, теорем Геделя, работы Дэвиса, Робинсон, Матиясевича по решению 10-й проблемы Гильберта и все с этим связанное, казалось бы весьма далекое от его непосредственных научных интересов. Про геделевскую нумерацию и нестандартные модели я тоже парадоксальным образом впервые услышал от Чудакова.

Помню, мы как-то встретились с Н. Г. на станции метро Гостиный двор, но, поскольку мы дальше продолжили эту беседу на Среднем, это был год 1970 или 1971, когда я уже был не в школе, а на младших курсах мат-меха. В ожидании поезда Н. Г. начал рассказывать про теорему Морделла и теорему Зигеля, подчеркивая при этом разницу между родом 1 и родом > 2, между целыми и рациональными решениями, между конечностью и конечной порожденностью. Так что минут через 15-20 я понимал, в чем состоит проблема Морделла и почему это один из самых важных вопросов во всей математике.

Но, конечно, я тогда не все понимал из его рассказов, кое-что заведомо шло поверх головы даже в студенческие годы. Я со стыдом вспоминаю, как году в 1971 или 1972 у них дома на Торжковской (в выходившей во двор комнате с балконом) Н. Г. довольно долго рассказывал мне про L-ряды Артина и их связь с законами взаимности. После чего я задал совсем глупый вопрос, из которого Н. Г. стало ясно, что в тот раз я вообще не следил за его мыслью66. Опять же, это сегодня я знаю, что в те годы в связи с формулировкой программы Ленглендса это стало горячей темой [21], и Н. Г. несомненно сам незадолго до этого освежил в голове детали всех этих конструкций.

После этого мы встречались каждый его приезд в Петербург, а в 1977 году я останавливался у него дома в Саратове, когда приезжал делать доклад по своей кандидатской диссертации67. Жил Н. Г. один в трехкомнатной квартире. Одна комната была его спальней, вторая — кабинетом и одновременно столовой, третья — библиотекой. В кабинете по стенкам стояли семь письменных столов (и большой обеденный стол посередине). Сменяя род деятельности, Н. Г. не перекладывал бумаги, а просто перебирался за другой стол. Один из столов был астрономический. Н. Г. увлекался историей календаря и любительской астрономией, каждый день рассчитывал восход и заход Солнца и Луны и тому подобные вещи и систематически находил ошибки в соответствующих разделах газет. В библиотеке все стены были заставлены книжными шкафами, целиком заполненными математической и естественнонаучной литературой68, все свои лингвистические и исторические книги он оставил в Петербурге Саше. Посередине стояла раскладушка, на ней я, собственно, и спал69. Но я не жаловался, у Н. Г. там было и много западных книг, например, все тома EGA, и много всего другого, что я in corpore до этого никогда не видел.

шаг в этом случае также связан с компьютерными вычислениями, а успех зависел от того, насколько точно удалось сосчитать эффективные оценки. Впрочем, как мне кажется, Старк обошелся без компьютерных вычислений. Речь там шла о решениях в целых числах некоторого диофантова уравнения, что удалось сделать вручную. Каждому решению соответствовало своё одноклассное поле.»

66 Что меня несколько оправдывает, это был чей-то день рождения или что-то в таком духе, Н. Г сидел на диване, я стоял рядом, потому что свободных мест на диване не было, и в комнате было довольно шумно.

67 Саратовский университет был у меня ведущей организацией, и Валентин Евгеньевич Воскресенский уже тогда ввел правило, что для получения отзыва необходимо лично приехать и рассказать свою диссертацию на семинаре.

68 По моей прикидке, вместе с журналами, диссертациями и всем таким примерно 5000 единиц хранения.

69 Незадолго до этого я возил диссертацию в Минск своему первому оппоненту Дмитрию Алексеевичу Су-пруненко и тоже останавливался у него в библиотеке, правда, на диванчике.

Обсуждались и персоналии математиков, в особенности советских, в Москве Н. Г. знал, разумеется, всех, начиная с 1920-х годов. Как-то раз у них на кухне зашла речь о самоубийстве Шнирельмана. Чувствовалось, что за всем этим стоят события и обстоятельства, вспоминать которые Н. Г. крайне тягостно. Он начинал фразы и внезапно останавливался. Я не буду даже пытаться реконструировать сегодня то, что тогда мог уловить из его полунамеков. Обсуждались на той кухне и более легкомысленные вещи, типа личной жизни Юрия Владимировича Линника, с которым Н. Г. и Е. А. близко дружили. Во многие обстоятельства меня по малолетству, естественно, не посвящали, думаю, однако, что внезапная смерть Линника от инфаркта летом 1972 года и возвращение Н. Г. в Саратов осенью того же года, — это не просто совпадение70.

Я не знаю, почему Н. Г. тратил на меня столько времени. Потому ли, что я был близким другом Саши и стал другом семьи? Или потому, что он относился ко мне как к ученику и будущему коллеге? Или потому, что рассказывал то, что было интересно ему самому? Или он просто скучал без преподавания?71 В любом случае для меня возможность близко общаться с математиком такого класса на столь раннем этапе была огромным бустом72. До этого я не мог себе даже представить, что можно владеть столь гигантским количеством разнородного материала на фактическом уровне и с такой легкостью им опериро-

73

вать73.

Впрочем, математика — это не единственное, в чем на меня повлияла эта семья. У них дома были тысячи книг. Ну, тысячи книг были тогда во всех образованных семьях. Но это были другие книги, а не стандартные собрания сочинений и «Библиотека фантастики». В комнате Е. А. многие сотни книг на английском и французском, fiction and nonfiction. А в кабинете Н. Г., кроме части его математической библиотеки (большая часть, как я понимаю, так и оставалась в Саратове), огромное количество классических книг на самые разные темы.

Кроме (например!) собственно греческих и латинских классиков, я как-то заметил там изрядное количество грамматик, хрестоматий и учебников древних и восточных языков, причем не только арабского и санскрита, но и довольно экзотических («Koptische Grammatik», «Lehrbuch des Akkadischen», usw.). В недоумении я спросил Сашу, его ли это книги. Саша ответил, что нет, их покупал Николай Григорьевич. В ответ на мой прямой

70 Косвенным, но веским подтверждением этого служит фраза «...работая с 1962 по 1972 г. по приглашению Ю. В. Линника в ЛОМИ... » из некролога [7]. Ну и, конечно, взгляд на список тех, кто подписал и кто не подписал этот некролог.

71 В Петербурге Н. Г. работал в ПОМИ на научной ставке, а в университете лишь изредка читал спецкурсы на темы, далекие от тогдашних интересов кафедры, которые никто особенно не рекламировал и на которые приходило буквально несколько человек.

72 В принципе, сформировать математика из любого ребенка и даже подростка чрезвычайно легко. Нужно просто выдать ему такого учителя математики, как Иосиф Яковлевич, и живого профессора математики, который будет с ним разговаривать, такого как Николай Григорьевич. Ну, разговаривать-то мы все горазды, но где же взять столько школьных учителей?

73 Сейчас я знаю, что никакого секрета здесь нет. Математика, как редко какое другое дело, затачивает под себя личность человека и создает у него новые органы чувств: "gli occhi nella fronte e nella mente". Это ровно то, что говорится по поводу "le sentiment du fer" в повести «El maestro de esgrima» Артуро Переса-Реверте: "Esa cualidad consiste en una especie de sexto sentido, que permite prolongar hasta la punta del arma la sensibilidad tactil de los dedos que sostienen elflorete... — También me gustaría aprender eso — dijo la joven. — Imposible. Eso ya es solo cuestión de practica. No hay en ello ningun secreto; nada que pueda adquirirse con dinero. Para tenerlo, es necesaria toda una vida. Una vida como la mía" — «Это качество своего рода шестое чувство, которое позволяет продлить до острия оружия тактильную чувствительность пальцев, держащих рапиру, ... — Мне тоже хотелось бы этому научиться, — сказала девушка. — Невозможно. Это исключительно вопрос опыта. В этом нет никакого секрета; ничего, что можно было бы приобрести за деньги. Чтобы овладеть этим, нужна вся жизнь. Такая жизнь, как моя.» — Ну или такая, как Николая Григорьевича.

вопрос, учил ли Н. Г. cm все эта языки, Саша ответил, что нет, но покупал эта книги потому, что понимал их объективную ценность74.

Именно это, понимание долговременных исторических ценностей, не зависящих от наших текущих взглядов, вкусов, возможностей, интересов и предпочтений, стало мощным контрапунктом императиву научного и технического прогресса, с которым я рос до этого75. Главное, чему я научился у Саши, состояло в понимании того, что знание в области истории и филологии носит столь же точный и определенный характер, как знание в области физики и математики, а все, кто ссылается на какую-то невероятную сложность языковых, исторических или социальных явлений, просто неучи, шарлатаны или халтурщики.

8. ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ НЕЧЕТНОЙ ПРОБЛЕМЫ ГОЛЬДБАХА

Полное решение проблемы Гольдбаха, как и других подобных проблем, требует перекрытия асимптотической границы, начиная с которой результат доказан, и экспериментальной границы, до которой он может быть проверен чисто вычислительными средствами.

8.1. Экспериментальные подтверждения

Мое глубокое убеждение состоит в том, что проблема Гольдбаха не могла бы быть решена без фантастического прогресса в вычислительной области. Если этому аспекту не уделяется должного внимания, то только потому, что большинство людей, не занимавшихся научными вычислениями, — в том числе и большинство профессиональных математиков! — не представляют себе разницу между 108 и 1030.

8.1.1. Четный Гольдбах

Перечислим основные этапы этой экспериментальной проверки.

• n < 33 • 106, Шень Мок-Конг, 1964. В этой статье предложен метод проверки гипотезы Гольдбаха при помощи решета по таблицам простых чисел, который использовался в дальнейшем.

• n < 107, Майрин Стайн и Поль Стайн, [326], 1965. При этом они использовали компьютер MANIAC II Лос Аламоской Лаборатории.

• Ян Боман, Карл-Эрик Фрёберг [118], 1975 — количество представлений чисел < 350000 как суммы двух простых.

• n < 108, Уильям Лайт76 и ученики, [246], 1980.

• n < 2 • 1010, Эндрю Гранвилл, Ян ван де Луне, Херман те Риле, [192], 1989. При этом использовался векторный компьютер CDC Cyber 205.

74 Думаю, однако, что был и еще один мотив. Несомненно, увлекаясь историей астрономиии, Н. Г. читал ван дер Вардена [15] и Нейгебауэра [76]. Ну, а поскольку имел привычку проверять все сам, то решил выучить и клинопись, ну, может, не до уровня свободного чтения, но чтобы иметь возможность сверять переводы. По годам все сходится.

75 "Mas no tengo la pretensión de hacerle creer que haya en ello un móvil moral. Limitemo nos, se lo ruego, a considerar el asunto como una cuestión de pura estetica."

76 Во многих местах смешная опечатка, в качестве первого автора этой статьи указывается некий Уильям Ланкастер — явный намек на адрес авторов, University of Lancaster.

• n < 4 • 1011. Матти Синисало [320], 1993. При этом тоже использовался векторный мейнфрейм IBM 3083.

В проблеме Мерсенна примерно в это время динозавры проиграли эволюционную гонку млекопитающим [13] — а здесь, как мы увидим, не до конца. Это связано с тем, что быстрая проверка гипотезы Гольдбаха требует хранения огромных таблиц простых чисел и, тем самым, предъявляет чрезмерные требования к памяти компьютера.

• n < 1013, Жан-Марк Дезуйе и Xерман те Риле [168], 1997. Около 53 часов вычисления на Cray C98.

• n < 1014, Жан-Марк Дезуйе, Xерман те Риле, Янник Сауте, [170], 1998. Основная часть вычисления была проведена на суперкомпьютере Cray C916 в SARA (= Stichting Academisch Rekencentrum Amsterdam) и на серверном кластере Power Challenge Array R10000 в INRIA (= Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique).

• n < 4 • 1014, Йорг Рихштайн, [300], 2001. Вычисление распределялось между семью рабочими станциями Sun Ultra 1 и шестью рабочими станциями Sun-4, проверявшими около 107 четных чисел в секунду. Общее время, потребовавшееся для этого вычисления составило около 130 дней [в бэкграунде], из которого больше половины заняло порождение самих списков простых чисел в требуемых интервалах.

• n < 4 • 1018, Томас Оливейра э Сильва77, Зигфрид Xерцог и Сильвио Парди, [272], 2014. Кроме двух десятков университетских и других исследовательских ресурсов в Италии (включая, например, INFN =L'Istituto Nazionale di Fisica Nucleare), Португалии, Испании, Германии и Франции78, этот огромный вычислительный проект 2005-2013 годов потребовал участия двух крупных специализированных систем: суперкомпьютера Cray XT5 Kraken в NICS (= National Institute of Computational Sciences) и кластера процессоров Xeon в NCSA (= National Centre for Supercomputer Applications).

8.1.2. Нечетный Гольдбах

Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха производится при помощи четной гипотезы Гольдбаха и построения лестниц простых чисел, как описано во введении. Морально это примерно та же идея, что метод подъема Диксона, подробно изложенный в [12].

• n < 1О20, Жан-Марк Дезуйе, Гоув Еффингер, Xерман те Риле и Дмитрий Зиновьев, [168], 1997,условно, по модулю GRH.

• n < 1О20, Янник Сауте [306], 1998. Вычисление распределялось между сорока рабочими станциями Sun и заняло в общей сложности приблизительно 4 дня.

• n < 8.37• 1026, Томас Оливейра э Сильва, Зигфрид Xерцог и Сильвио Парди, [272], 2014.

• n < 8.87S • 1О30, Xаральд Xельфготт и Дэвид Платт, [220], 2013. Фактически проверка доведена до

8 87S 69414S 621773 S16 800 000 000 000.

77 Томас Оливейра э Сильва — профессор факультета электроники, телекоммуникации и информатики университета Авейру http://sweet.ua.pt/tos/ Он опубликовал больше дюжины совершенно нетривиальных компьютерных вычислений в теории чисел и теории дискретных динамических систем — не только гипотеза Гольдбаха, но и оценки для L-рядов, гипотеза Артина, гипотеза близнецов, prime gaps, уравнение Пелля, гипотеза Коллатца и ее обобщения, полиомино и т. д., при том, что его основная область интересов все же относится к теории управления, адаптивным фильтрам, signal processing и анализу спектров!

78 См., например http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html#w

При этом использовались три кластера, 48-ядерный AMD Magny Cours в Warwick University, и два кластера PowerPC в Université; de Paris VI/VII. Собственно построение лестницы из простых при помощи программ на C и C++ потребовало примерно 400000 часов процессорного времени. Кроме того, дополнительно 139917 чисел проверялись на простоту при помощи Pari.

Поскольку используемый при этом алгоритм довольно близок к использовавшимся ранее (хотя есть и важные отличия, слишком специальные, чтобы обсуждать их здесь), Хельфготт и Платт задаются вопросом, с чем может быть связано улучшение на множитель 8 • 1010, по сравнению с [306]. Множитель 107 проистекает из того, что они берут результат [272] вместо [320] в качестве базы. Кроме того, их вычисление использовало в 10 раз больше CPU time. После этого все еще остается множитель 800, который трудно объяснить и который может быть связан, по крайней мере отчасти, с возросшей тактовой частотой и длиной слова современных процессоров, а также более быстрой памятью значительно большего объема, что позволяло эффективнее организовать решето, и, возможно, с какими-то программными факторами.

• n < 1027, Эдуард Роуре, Артур Травеса, [305], 2016. В этой работе произведено независимое подтверждение части вычисления Хельфготта и Платта, необходимое для доказательства тернарной гипотезы Гольбдаха. Вычисление проводилось буквально в Mathematica 7.0 на вычислительном кластере Hipatia в Universitat de Barcelona.

Обратите внимание, насколько нечетный Гольдбах проще четного как вычислительная задача. https://atlas.mat.ub.edu/personals/roure/stairway/

8.2. Асимптотическая граница

Первоначальное доказательство Виноградова не давало никакой оценки того места V, начиная с которого каждое нечетное число есть сумма трех простых — обычно V называется константой Виноградова. С этой точки зрения доказательства асимпототических результатов можно разделить на следующие пять типов.

• Неэффективные, с помощью которых нельзя получить никаких явных оценок возникающих констант.

• Эффективные, но неявные, с помощью которых можно было бы в принципе получить какие-то оценки, но это не сделано — например, потому, что получающиеся при этом оценки все равно будут совершенно нереальными.

• Явные, но нереальные — речь идет об оценках типа 10 ТТТ 3 или что-нибудь в таком духе, заведомо out of this world.

• Реальные, но недоступные — для проблемы Гольдбаха оценки типа V < 101000, не выглядящие слишком фантастическими, но находящиеся далеко за пределами наших фактических вычислительных возможностей в любом обозримом будущем.

• Доступные — вот примерно такие, как V < 1030, до которых мы можем фактически надеяться досчитать на наших сегодняшних компьютерах.

В § 5 мы уже упоминали, что в 1939 году [легендарный] Борозд[к]ин дал первую [легендарную] оценку V, а потом в 1956 году понизил эту оценку до чего-то в духе V < ю4008660, все еще совершененно умозрительного.

8.2.1. Безусловные результаты

С тех пор оценки константы V многократно улучшались. Вот несколько типичных безусловных результатов — были и другие, например, результаты, дававшие чуть худшие оценки, и условные результаты, о которых пойдет речь далее.

• V < egll5°3 ~ lo43001, Чэнь Джинжун, Ванг Тьяндзе, [142], 1989.

• V < ee9715 ~ 107194, Чэнь Джинжун, Ванг Тьяндзе, [143], 1996.

• V < e3100 ~ 101347, Лью Мингчит, Ванг Тьяндзе, [255], 2002.

Однако в таком виде все эти оценки, очевидно, все еще относятся к категории совершенно недоступных, и путей дальнейшего существенного их улучшения на пути Харди— Литтлвуда—Виноградова не видно.

8.2.2. Условные результаты

В отличие от результатов предыдущего подпункта перечисленные ниже результаты зависят от справедливости GRH.

• V < e114 ~ 3 ■ 1049, Ванг Тьяндзе, Чэнь Джинжун, [353], 1993.

• V < 1020, Дмитрий Зиновьев, [368], 1997.

В сочетании с упомянутой в предыдущем пункте проверкой нечетной гипотезы Гольдбаха до 1020 (также по модулю GRH!) это дает следующий окончательный результат.

• Нечетная гипотеза Гольдбаха справедлива по модулю GRH, Жан-Марк Дезуйе, Гоув Эффингер, Херман те Риле и Дмитрий Зиновьев, [168], 1997.

Таким образом, проблема, которую поставил перед собой Хельфготт, состояла в том, чтобы получить такого же типа оценки без предположения справедливости GRH.

8.3. Работа Хельфготта

Если смотреть только на формулировку результата, Хельфготт сделал по отношению к работе Дезуйе, Эффингера, те Риле и Зиновьева то же, что Виноградов сделал по отношению к работе Харди и Литтлвуда, — убрал зависимость от гипотезы Римана. Но на самом деле, как и Виноградов в 1937 году, он сделал гораздо больше.

А именно, в работах [213, 214, 216]79 он переделал большие куски аналитической теории чисел, с тем чтобы понизить границы в асимптотических результатах настолько, чтобы остающиеся случаи можно было проверить на компьютере с помощью изощренных элементарных методов, что само по себе является совершенно грандиозным достижением.

В мае 2013 года он понизил границу на V до V < 1029, а в декабре 2013 года — до V < 1027. Вот как он сам комментирует это продвижение: ".. .the distance between 2-101346 and 1027 is such that we cannot hope to get to 1027 (or any other reasonable constant) by fine-tuning previous work. Rather, we must work from scratch..."

Для этого ему пришлось принять несколько принципиальных решений. Перечислю некоторые из них, по поводу деталей и дальнейших инноваций, см. [215, 217, 218].

79 Прямые ссылки на тексты всех этих работ, а также популярных изложений [215, 218] и книги [217] можно найти на его странице https://webusers.imj-prg.fr/~llharald.helfgott/anglais/publications.html

• Другой, чем во всех предшествующих работах, исходный выбор замены гипотезы Римана, — использование конечной проверки вместо областей, свободных от нулей L-функций.

• Связанное с этим другое разбиение на большие и малые дуги, в результате которого большие дуги стали еще меньше.

• Выбор гауссова сглаживания t ^ e-t2/2 вместо экспоненциального сглаживания t ^ e-t у Харди и Литтлвуда80.

• Новые асимптотики на больших дугах.

• Новые оценки на малых дугах (что для меня выглядит как самая технически трудная часть доказательства).

Так как теперь асимптотическая и экспериментальная области перекрываются (на три порядка), каждое нечетное число n > 7 является суммой трех простых чисел, что и доказывает нечетную гипотезу Гольдбаха в исходной формулировке.

9. ЗОЛОТЫЕ ЯБЛОКИ АФРОДИТЫ

As a side note, раз уж это personal account, в 2016 году Universidad Nacional de Cordoba — той Кордовы, которая в Аргентине, а не той, которая в Андалусии — присудил Хараль-ду Хельфготту степень доктора Honoris Causa. Я как раз оказался там по приглашению своего друга Николаса Андрюшкевича и присутствовал при награждении. Поскольку до этого я много общался с Харальдом, когда он занимал у нас кафедру Ламе,81 и уже слышал два его доклада с рассказом о доказательстве (летом 2014 года в Сеуле и потом осенью 2014 года в Петербурге), то мог следить за математикой вполуха и сосредоточиться на форме — доклад, естественно, был на испанском. Никогда ни до этого, ни после я не слышал столь нормативной и рафинированной испанской речи, напомнившей мне по стилю тексты Борхеса82. Как говорит по этому поводу классическая индийская пословица, «Шиву в мешке не утаишь».

Книга Харальда [217], содержащая полное решение нечетной проблемы Гольдбаха83, начинается со следующего эпиграфа:

éyyùç 5'r|v réÀEO о Sé tó rpirov r|KE ^[a^aÇe aúv tú 15'é^éфuyEv OávaTov Kai Krj [pa ^éÀaivav

Нет, понятно, мы все учились понемногу, и либерал и коммунист, и умением процитировать пару строк по-гречески в Петербурге никого не удивишь. В первой половине 1970-х воодушевление (= Begeisterung) греческим языком — подчеркиваю, не столько греческой классикой, как именно языком — было среди математиков общим местом. Из тех, с кем я был близко лично знаком, Борис Борисович Венков и Александр Федорович Иванов уже владели, до того, как это стало мейнстримом, греческим на уровне свободного чтения, все остальные учили, в разной степени и с разными результатами. Марк Иванович Башмаков как раз в то время дочитал «Анабасис» и принялся за «Киропедию».

80 "Cela m'ha pris du temps, mais le résultats devrait etre applicables dans un cadre general et le lissage gaussien deviendra, j'espere, un peu plus populaire dans le travaux explicites en theorie des nombres" [215].

81 https://chebyshev.spbu.ru/harald-helfgott/

82 Литературный стиль Харальда можно оценить по записям его лекций в Перу и Аргентине [212, 219, 221], но тут дело еще и в исполнительском мастерстве.

83 https://webusers.imj-prg.fr/~harald.helfgott/anglais/book.html

Тогда это воспринималось как нечто абсолютно естественное, а сегодня трудно восстановить, была ли это просто форма эскапизма, ухода от все более гнетущих, начиная с 1968-1969 годов, советских реалий или нечто гораздо более фундаментальное, имевшее не только очевидную терапевтическую, но и чисто ноэтическую компоненту. Во всяком случае, насколько я могу судить, в отличие от других синхронных увлечений типа буддизма, носивших повальный характер, изучению [древне]греческого языка были наиболее подвержены именно адепты core mathematics. У меня нет очевидного ответа. Будущему историку математики стоит, однако, попробовать осознать, почему бум изучения греческого столь тесно коррелировал с распространением теории категорий, гомологической алгебры и алгебраической геометрии84.

Дома у Анфертьевых—Чудаковых собирался кружок, где филологи, историки и математики читали Платона. Я сходил на некоторое количество занятий, но после того, как несколько раз не удавалось за вечер дочитать один абзац, так как час обсуждались форма и / или функция аориста или причастия, внезапно утратил интерес. К тому моменту я уже проникся диктумом братьев Гримм ("ich weiß den Weg — ich kenne den Weg") и ценил истинное внутреннее знание гораздо выше того внешнего знания, которое возникает при заучивании парадигм. Поэтому мне пришлось переключиться на изучение более простых языков типа фарси и вэньяня и ограничиться изучением корпуса текстов Платона во французских переводах (собственно, с тех пор я воспринимаю его легкомысленно, как французского философа: "c'est par la science et non par le nombre qu'il faut juger"). А карманы невежества собственно в греческом ликвидировать уже много позже, the easy way, работая в 1989-1990 годах профессором университета Крита в Ираклионе.

И Гесиода тоже все читали в детстве — еще не по-гречески, конечно, а в пересказах Гаспарова и Вересаева. Ну, типа, про примордиальную Ночь (Нюкс, alias Нюкта), которая родила Мороса с черной Керой, Танатоса, Гипноса, а также Эроса, Эриду, Гераса, Момуса, Немезиду, Стикса, Харона, Мойр и кого-то там еще в количестве, Онейроса, что ли (у самого Гесиода, разумеется, всюду во множественном числе, Oneiroi = сны). Но в «Теогонии», конечно, именно в таком порядке: вначале насильственная смерть, смерть в бою или от ран, Кера, и только потом мирная смерть от старости, Танатос.

Поэтому, увидев этот отрывок в книге Харальда, я удивился, что Танатос предшествует Кере. Я не помню, чтобы «Gynaikon Katalogos» входил в мой детский круг чтения. Поэтому, чтобы понять смысл этого эпиграфа, мне пришлось заглянуть не только в греческий текст [222], но и в современный филологический комментарий [271], чтобы найти ту строку, с которой начинается приведенный Харальдом фрагмент,

kül ëxev 5ûo ^f)Àa noSÛKrçç 5f Ar[aAdvTr|'

и восстановить контекст.

Если опустить анализ греческих обычаев и греческих причастий, речь здесь идет о сватовстве Гиппомена к дочери Схенея. Чтобы избежать брака, [быстроногая] [богоподобная] Аталанта вызывает женихов на состязание в беге, в котором она, вооруженная копьем, их преследует и, настигнув, убивает. И только Гиппомену удалось победить, воспользовавшись подарком Афродиты — тремя золотыми яблоками, которые он поочередно бросает на землю, чтобы отвлечь и задержать Аталанту. В результате он приходит к финишу первым.

84 Вероятно, это была комбинация многих разноплановых факторов, совместное действие которых и произвело столь мощный кумулятивный эффект. Небольшим, но влиятельным фрагментом этой картины был эпиграф из Эсхила в вышедшей в 1972 году книге Андре Вейля «Основы теории чисел» [16]. Видимо, более эссенциально то, что набиравшее тогда силу изучение текстов Гротендика носило преимущественно чисто филoлогический характер, и изучение греческой грамматики выступало мощным контрапунктом.

Вот как комментирует этот фрагмент текста Кирк Орманд: "the prize was not equal for them both: for she, swift-footed godlike Atalanta ran refusing the gifts of golden Aphrodite but for him the race was a matter of life, either to be taken or to escape ... Remarkably, however, when the race has these elements of hunt, it is always Atalanta who is hunting, and the suitor who is the hunted" [271] — или, в версии Юрия Ивановича Манина, «не мы выбираем математику, а она выбирает нас».

Параллельная тема, с небольшими вариациями, известна нам из рассказов Марко Поло про правнучку Угэдэй-кагана, Хутулун [= Аталанта], alias Ай-Ярук. С тем, конечно, что она заявила, что выйдет замуж только за того, кто победит ее в монгольской борьбе ^ндэсний бох). Кроме того, проигравший не рисковал быть убитым, но должен был пригнать ее отцу Хайду табун из 100 лошадей. Если верить Марко Поло, in half no time Хайду стал владельцем десятков тысяч лошадей. Как известно, именно с этим связана традиционная одежда монгольских борцов — короткие рубашки-распашонки с открытой грудью, демонстрирующие, что борец мужчина.

Воспроизведу теперь перевод эпиграфа целиком, вместе с отсутствующей в [217] первой строкой:

Теперь у быстроногой Аталанты было два яблока.

Но цель была близка, он бросил на землю третье

И этим спасся от Танатоса и черной Керы

— избежал как забвения, так и непосредственной угрозы насильственной смерти. Кроме прямого упоминания четной и нечетной проблем Гольдбаха, здесь есть еще несколько более или менее очевидных отсылок к содержанию и структуре текста и внешних аллюзий, некоторые из которых я считал. Не сомневаюсь, однако, что выбирая этот эпиграф Харальд имел в виду и что-то еще, что от меня ускользнуло. Впрочем, вряд ли эти скрытые смыслы были рассчитаны на объяснение. If this is not beautiful, I don't know, what is.

10. ДЕШЕВ ЛИ ЭКСПЕРИМЕНТ В МАТЕМАТИКЕ?

10.1. Другие аддитивные задачи

Сама по себе проблема Гольдбаха предоставляет мало интересного материала для эксперимента на бытовом компьютере. Однако есть огромное количество близких по типу аддитивных задач, которые предоставляют большой простор для составления заданий учебного характера, см. [14] и содержащиеся там ссылки.

Напомним, например, что знаменитая гипотеза Харди—Литтлвуда утверждает, что любое достаточно большое натуральное число n, само не являющееся квадратом, пред-ставимо в виде суммы p + m2 простого и квадрата.

• В том же 1937 году тем же методом Эстерман [179] получил следующее совместное приближение к бинарной гипотезе Гольдбаха и гипотезе Харди—Литтлвуда. Любое достаточно большое натуральное число представимо в виде суммы pi + p2 + m2 двух простых и квадрата.

• В 1959 году Юрий Владимирович Линник [69] получил еще одно важное продвижение в направлении этой гипотезы. Любое достаточно большое натуральное число пред-ставимо в виде суммы p + m2 + m2 простого и двух квадратов85.

85 Илья Шкредов обратил мое внимание, что здесь ситуация ровно такая же, как с самой проблемой Гольдбаха: тернарные задачи решаются, а бинарная — нет.

Задача. Найдите те числа n < 100, которые не представляются в виде m2 + p, Повторите этот эксперимент для n < 1000. Появляются ли при этом новые исключения, не являющиеся квадратами?

Задача. Найдите те числа n < 100, которые не представляются в виде l2 + m2 + p, Повторите этот эксперимент для n < 1000. Появляются ли при этом новые исключения?

В 1849 году де Полиняк сформулировал весьма сомнительное утверждение, что любое нечетное число n > 1 представимо в виде 2k + p для некоторой степени двойки и некоторого p, которое либо просто, либо равно 1. Романов [302] доказал, что числа, предста-вимые в таком виде, имеют положительную плотность и уточнил гипотезу де Полиняка следующим образом: верно ли, что начиная с некоторого места каждое нечетное натуральное число представляется в виде 2k + p, для некоторой степени двойки и некоторого простого p?

Задача. Каких чисел среди нечетных n < 106 больше: тех, которые представляются в виде 2k + p, или тех, которые в таком виде не представляются?

Как заметил в 1950 году Эрдеш, существует бесконечно много нечетных чисел, не представимых в виде 2k + p .В 1960 году Крокер построил следующий простой контрпример к гипотезе Романова.

2m

Задача. Убедитесь, что ни одно из чисел вида 22 - 5 при m > 3 не представимо в виде 2k + p.

10.2. Роль компьютеров в решении проблемы Гольдбаха

В первой части я уже цитировал мнение Харальда, что его работа была бы невозможна без компьютеров. Воспроизведу еще раз этот фрагмент: "The present work would most likely not have been possible without free and publicly available software: PARI, Maxima, Gnuplot, VNODE-LP, PROFIL/BIAS, SAGE, and, of course, lAT^X, Emacs, the gcc compiler and GNU/Linux in general. Some exploratory work was done in SAGE and Mathematica. Rigorous calculations used either D. Platt's interval-arithmetic package (based in part on Crlibm) or the PROFIL/BIAS interval arithmetic package underlying VNODELP".

Кроме собственно проверки четной гипотезы Гольдбаха до 4 • 1018 и нечетной гипотезы Гольдбаха до 1030, которые подробно обсуждались выше, полное решение нечетной проблемы Гольдбаха включало еще несколько нетривиальных вычислительных аспектов, два из которых стоит упомянуть специально.

Прежде всего, это численная проверка Обобщенной Гипотезы Римана для L-функций L(s,х) до высоты порядка 108/q, где q — кондуктор х- Эта проверка оказалась весьма серьезной вычислительной задачей. Она была целиком проведена Дэвидом Платтом и потребовала около 400000 часов работы CPU. В действительности здесь происходит некоторая игра, можно было бы обойтись меньшим объемом вычислений ценой увеличения асимптотической оценки V < 1029 до V < 1030. Мне кажется, подобная игра, когда решения относительно доказательства и вычисления являются взаимообусловленными и должны приниматься одновременно, будет встречаться в математике все чаще.

Другой важнейший философский вывод этой работы состоит в следующем. Поскольку нас интересуют точные математические ответы, нам нужны принципиально новые процессоры! Дело в том, что большинство существующих процессоров — в частности, Intel — созданы в эпоху приближенных вычислений, и трансцендентные функции вычисляются ими неверно. Это значит, что все безошибочные вычисления должны имплементироваться непосредственно на уровне программ, а не на уровне железа. Но

программная реализация, скажем, интервальной арифметики замедляет вычисления примерно в 100 раз.

Ну и, наконец, часть собственно аналитических неравенств в работе Хельфготта тоже доказаны с помощью компьютера! Вот, что пишет по этому поводу Харальд в своей книге: "It may be interesting to note that one of the inequalities used to estimate (1.30) was proven with the help of automatic quantifier elimination [225]. Proving this inequality was a very minor task, both computationally and mathematically; in all likelihood, it is feasible to give a human-generated proof. Still, it is nice to know from firsthand experience that computers can nowadays (pretend to) do something other than just perform numerical computations — and that this is already applicable in current mathematical practice."

10.3. Theorems for a price

Владимир Игоревич Арнольд любил повторять, что «математика, это часть физики, где эксперименты дешевы». Если математика и является частью физики, то только в том смысле, в котором сознание Будды находится в руках Аллаха.

Это, конечно, так, но ведь и физика является частью математики — в том смысле, что руки Аллаха все равно существуют только в сознании Будды. Этот дуализм подробно обсуждает Миша Громов в [194].

Мне кажется, Владимир Игоревич экстраполировал опыт XVII-XIX веков и пропустил очевидную тенденцию к росту стоимости эксперимента в математике. Между тем, сегодня мы уже отчетливо видим тот момент, когда математические эсперименты сравняются по стоимости с натурными. На самом деле это уже давно так во многих областях. Можно рассчитать форму крыла, но дешевле построить аэродинамическую трубу.

В первой статье этой серии [11] я уже цитировал Дорона Зайльбергера, который 30 лет назад упоминал гипотезу Гольдбаха как эталонную проблему тысячелетия с несколько другим бюджетом: "We show in a certain precise sense that the Goldbach conjecture is true with probablity larger than 0.99999 and that its complete truth could be determined with a budget of $10 billion" [365]. Стоимость экспериментальной проверки математических результатов может быть сколь угодно высока, что очень скоро приведет нас к ограничениям, накладываемым конечностью физического мира.

Проблема с применениями математики в биологии [123] и некоторых других областях состоит ровно в этом. Требующаяся при этом математика слишком велика для индивидуального человеческого ума, а компьютерный эксперимент необходимого масштаба слишком дорог.

10.4. Благодарности

Я благодарен Сергею Позднякову, который убедил меня написать этот цикл статей, за стимулирующие обсуждения. Я чрезвычайно признателен Боре Кунявскому, Юрию Валентиновичу Нестеренко, Леше Степанову и Илье Шкредову. Они внимательно прочли текст статьи и предложили несколько важных уточнений, которые позволили правильнее расставить многие акценты и исправили несколько фактических неточностей. Галина Ивановна Синкевич предоставила мне информацию и архивные документы, связанные с советской математикой 1930-1950-х годов.

Список литературы

1. Антонов В. И., Васильев Ю. С. Кафедра высшей математики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. История и современность // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2014. № 3 (201). С. 154-166.

2. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О работах по теории чисел Н. Г. Чудакова (к 100-летию со дня рождения) // Чебыш. сб. 2004. № 5:3. С. 4-14.

3. Барбан М. Б. «Плотность» нулей L-рядов Дирихле и задача о сложении простых и «почти» простых чисел // Докл. АН УзССР. 1963. № 6. С. 9-10.

4. Барбан М. Б. Метод «большого решета» и его применения в теории чисел // Успехи Мат. Наук. 1966. № 21 (1). С. 51-102.

5. БороздкинК. Г. К вопросу о постоянной И. М. Виноградова // Труды III Всесоюзного матем. съезда. Т. I. M.: Изд-во АН СССР, 1956.

6. Бредихин Б. М. К тернарной проблеме Гольдбаха Исследования по Теории Чисел. Саратов, 1975.

7. Бредихин Б. М., Воскресенский В. Е., Карацуба А. А., Лаврик А. Ф., Малышев А. В., Постников А. Г., Сприн-джук В. Г. Николай Григорьевич Чудаков (некролог) // Успехи Мат. Наук. 1987. Т. 42, № 5, С. 189-190.

8. Бредихин Б. М., Яковлева H. A. Применения дисперсионного метода к проблеме Гольдбаха // Acta Arith. 1975. № 27. С. 253-263.

9. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960.

10. Бухштаб А. А. Новые результаты в исследовании проблемы Гольбаха—Эйлера и проблемы простых чисел близнецов //Докл. АН СССР, 1965. Т. 162, № 4. С. 735-738.

11. Вавилов Н. А. Компьютеры как новая реальность математики: I. Personal account // Компьютерные инструменты в образовании. 2020. №. 2. С. 5-26.

12. Вавилов Н. А. Компьютеры как новая реальность математики: II. Проблема Варинга // Компьютерные инструменты в образовании. 2020. № 3. С. 5-55.

13. Вавилов Н. А. Компьютеры как новая реальность математики: III. Числа Мерсенна и суммы делителей// Компьютерные инструменты в Образовании. 2020. № 4. С. 5-58.

14. Вавилов Н. А, ХалинВ. Г., Юрков А. В. Mathematica для нематематика. М.: МЦНМО, 2021. 484 с.

15. ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: ГИФМЛ, 1959. 460 с.

16. Вейль А. Основы теории чисел. М.: Мир, 1972. 410 c.

17. Виноградов А. И. Метод решета в алгебраических полях. Оценки снизу // Матем. сб., 1964. Т. 64, № 1. С. 52-78.

18. Виноградов А. И. Оценки снизу методом решета в алгебраических числовых полях // Докл. АН СССР, 1964. Т. 154, № 1. С. 13-15.

19. Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29, № 4. С. 903-934.

20. Виноградов А. И. Письмо А. А. Ляпунову от 02.08.1968. URL: http://odasib.ru/OpenArchive/DocumentImage. cshtml?id=Xu1_pavl_635513015734375000_20882&eid=L3_0003_0114 (дата обращения: 20.11.2021).

21. Виноградов А. И. Гипотезы Артина и закон взаимности // Тр. МИАН СССР, 1973. Т. 132. С. 35-43.

22. Виноградов А. И., Левин Б. В., Малышев А. В., Романов Н. П., Чудаков Н. Г. Марк Борисович Барбан (некролог) // Успехи мат. наук, 1969. Т. 24, №. 2. С. 213-216.

23. Виноградов И. М. Некоторые теоремы аналитической теории чисел // Докл. АН СССР, 1934. Т. 4, № 4. С. 185187.

24. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммою трех простых чисел // Докл. АН СССР, 1937. Т. 15, № 6-7. С. 291-294.

25. Виноградов И. М. Новый метод в аналитической теории чисел // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. Т. 10. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1937. 222 с.

26. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР. Т. 23. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. С. 3—109.

27. ГалочкинА. И., Нестеренко Ю. В., ШидловскийА. В. Введение в теорию чисел, М.: Изд-во МГУ, 1995.

28. Гельфонд А. О. Теория чисел // В кн. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947, М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 52-80.

29. Гельфонд А. О., ЛинникЮ. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М.: Физматгиз, 1962.

30. Гельфонд А. О., ШнирельманЛ. Г. Э. Кольман, «Предмет и метод современной математики» //Успехи мат. наук, 1938. Т. 4. С. 334-336.

31. Гольдбаха проблема БСЭ. 1952. Изд. 2. Т. 12. С. 8.

32. Граве Д. А. Про задачу Гольдбаха // Журн. шст. матем. АН УРСР. 1938. № 1. С. 77-79.

33. Дело академика Николая Николаевича Лузина. Демидов С. С., Левшин Б. В. (ред.). СПб.: РХГИ, 1999. 311 с.

34. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М: Изд. АН СССР, 1947. 421 с.

35. Делоне Б. Н. К шестидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1951. Т. 15, № 5. С. 385-394.

36. ДоксиадисА. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. М.: АСТ, 2002. 205 с.

37. Дьёдонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 630 с.

38. Дьёдонне Ж. О деятельности Бурбаки // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, № 3. С. 205-216.

39. Карацуба А. А. Иван Матвеевич Виноградов // Материалы к биобиблиографии ученых СССР. М.: Наука, 1978. 54 с.

40. Вэньлинь Йин. О представлении больших целых чисел в виде суммы простых // Бюлл. Польской АН. 1956. Т. 3-4, № 12. С. 793-795.

41. Карацуба А. А. И. М. Виноградов и его метод тригонометрических сумм, Теория чисел и анализ // Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. М. Виноградова. Тр. МИАН, М.: Наука, 1994. Т. 207. С. 3-20.

42. Касимов А. М. О константе И. М. Виноградова в тернарной проблеме Гольдбаха //Узбекский Мат. Ж. 1992. № 3-4. С. 55-65.

43. Касимов А. М. К решению аддитивных задач с простыми числами // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, № 2. С. 71-76.

44. Кириллов И. А. Христиан Гольбах — математик, лингвист, криптограф // Вестник Моск. Госуд. Лингвистического Ун-та, 2018. Вып. 4 (793). С. 46-62.

45. Климов Н. И. Комбинирование элементарного и аналитического методов в теории чисел //УМН. 1958. Т. 13, № 3, С. 145-164.

46. КлимовН. И. Постоянная Шнирельмана и проблема Гольдбаха—Эйлера. Исслед. по теории чисел // Меж-вузовск. научн. сб. 1968. Вып. 2 С. 80-89.

47. Климов Н. И. По поводу вычислений постоянной Шнирельмана // Волжский Мат. сб. 1969. Вып. 7. С. 32-40.

48. Климов Н. И. О простых числах в арифметической прогрессии. Исслед. по теории чисел // Межвузовск. научн. сб. 1975. Вып. 5. С. 44-55.

49. Климов Н. И. Применение решета Сельберга к оценке числа близнецов. Исслед. по теории чисел // Межвузов, научн. сб. 1975. Вып. 6. С. 67-82.

50. Климов Н. И. Новая оценка абсолютной постоянной в проблеме Гольдбаха—Шнирельмана // Изв. вузов. Матем. 1978. № 1. С. 25-35.

51. Климов Н. И. Улучшение оценки абсолютной постоянной в проблеме Гольдбаха—Шнирельмана // На-учн. тр. Куйбышевск. гос. пед. ин-та. 1975. Т. 158. С. 14-30.

52. Климов Н. И., Пильтяй Г. 3., Шептицкая Т. А. Представление натуральных чисел суммами ограниченного числа простых чисел // Исслед. по теории чисел. 1971. Вып. 1. С. 44-47.

53. Климов Н. И., Пильтяй Г. 3., Шептицкая Т. А. Оценка абсолютной постоянной в проблеме Гольдбаха— Шнирельмана // Исслед. по теории чисел. 1972. Вып. 4. С. 35-51.

54. Кондакова Л. Ф., Климов Н. И. О некоторых аддитивных задачах // Волжск. матем. сб. 1969. Вып. 7. С. 41-44.

55. Копелевич Ю. Х. Основание Петербургской Академии Наук. Л.: Наука, 1977. 210 с.

56. Кузяшев А. А., Чечуро Е. Ф. О представлении больших целых чисел суммами простых чисел // Исслед. по теории чисел. Межвузовск. научн. сб. 1969. Вып. 3. С. 46-50.

57. Курант Р., РоббинсГ. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2019. 563 с.

58. Лаврик А. Ф. О представлении чисел в виде суммы простых по методу Л. Г. Шнирельмана // Изв. АН Узб.ССР. Сер. физ.-мат наук. 1965. № 3. С. 5-10.

59. Ландау Э. Основы анализа: действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами. М.: ИЛ, 1947.184 с.

60. Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. М.: ИЛ, 1948. 458 с.

61. Лев Генрихович Шнирельман (фотография) // УМН. 1939. № 6. С. 2.

62. Линник Ю. В. Пример одной последовательности, не образующей бинарнного базиса // Докл. АН СССР, 1942. Т. 36, № 6. С. 122-124.

63. Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории простых чисел // Докл. АН СССР. 1945. Т. 49, № 1. С. 3-7.

64. ЛинникЮ.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха—Виноградова//Матем. сб. 1946. Т. 19, № 1. С. 3-8.

65. Линник Ю. В. Простые числа и степени двойки // Тр. МИАН СССР. 1951. № 38. С. 152-169.

66. Линник Ю. В. Некоторые условные теоремы, касающиеся бинарной проблемы Гольдбаха // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1952. Т. 16, № 6. С. 503-520.

67. Линник Ю. В. Складывание простых чисел со степенями одного и того же числа // Матем. сб. 1953. Т. 32, № 1. С. 3-60.

68. Линник Ю. В. Все большие числа — суммы простого и двух квадратов (О проблеме Гарди-Литтльвуда) // Матем. сб. 1960. № 52(94):2. С. 661-700.

69. Линник Ю. В. Асимптотическая формула в аддитивной проблеме Гарди-Литтльвуда // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24, № 5. С. 629-706.

70. Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л.: Изд. Ленингр. ун-та, 1961.

71. Майер Х., Рассиас М., Тернарная проблема Гольдбаха с простым и двумя изолированными простыми числами, Аналитическая и комбинаторная теория чисел // Сборник статей. К 125-летию со дня рождения академика Ивана Матвеевича Виноградова, Тр. МИАН. 2017. Т. 296. С. 192-206.

72. Марджанишвили К. К. Исследования по применению метода тригонометрических сумм к аддитивным задачам // Успехи Мат Наук. 1950. Т. 5, № 1. С. 236-240.

73. Марджанишвили К. К. Иван Матвеевич Виноградов (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи мат наук. 1951. Т. 6, № 5. С. 190-196.

74. Михелович Ш. Х. Теория чисел. М.: Высшая школа, 1962.

75. Михелович Ш. Х. Из истории теории чисел (вклад русских и советских математиков в развитие теории чисел). М.: Знание, 1970. 31 с.

76. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. 224 с.

77. От юбилейной комиссии // Тр. МИАН СССР. 1951. Т. 38. С. 3-4.

78. Пань Ч. О представлении четных чисел суммой простого и почти простого // Бс1. Б1п1са. 1962. Т. 11. С. 873-888.

79. Пинаев В. Н., Четвертьфинальные соревнования студенческого командного первенства мира по программированию. Центральный регион России. Рыбинск: РГАТА, 1999.

80. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Льва Семёновича Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. М.: Прима, 1998.

81. РеньиА. А. О представлении четных чисел в виде суммы простого и почти простого числа // Докл. АН СССР. 1947. Т. 56, № 5. С. 455-458.

82. Реньи А. А. О представлении четных чисел в виде суммы простого и почти простого числа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. Т. 12, № 1. С. 57-78.

83. Романов Н. П. О двух теоремах аддитивной теории чисел // Матем. сб. 1933. Т. 40, № 4. С. 514-520.

84. Романов Н. П. К проблеме Гольдбаха // Известия Научно-иссл. института математики и механики при Томском университете. 1935. Т. 1. С. 34-38.

85. Романов Н. П. О некоторых теоремах аддитивной теории чисел // Успехи мат наук. 1940. № 7. С. 47-56.

86. Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ. Томск: Изд-во Томского унив., 2013. 476 с.

87. Сегал Б. И. Н. Г. Чудаков. Введение в теорию Ь-функций Дирихле. (рецензия) // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, № 5. С. 193-195.

88. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М.: Физматгиз, 1963.

89. Смирнов Е. М. К истории математики и механики в Политехническом институте в первой половине 20-го века // Семинар по истории математики, 4 апреля 2019. СПб., 2019.

90. Стюарт Й. Величайшие математические задачи. Альпина нон-фикшн. М., 2019. 460 с.

91. Тихомиров В. М., УспенскийВ. В. Советская математика 30-х годов (II): А. О. Гельфонд и Л. Г. Шнирельман // Матем. просв. 2000. Вып. 4. С. 33-48.

92. Трост Э. Простые числа. М.: Физматгиз, 1959.

93. Успенский В. А. К истории проблемы Гольдбаха // Историко-математические исследования. Вторая серия. РАН. Ин-т естествознания и техники им. С. И. Вавилова. Вып. 13 (48). М.: Янус-К, 2009. С. 273-283.

94. Успенский В. А. Апология математики. М.: Альпина-Диджитал, 2017.

95. Фельдман Н. И., Чудаков Н. Г. О теореме Старка // Матем. заметки. 1972. Т. 11, № 3. С. 329-340.

96. Чанга М. Е. Метод тригонометрических сумм // Лекционные курсы НОЦ. Вып. 13. М.: МИАН, 2009. 46 с.

97. Чудаков Н. Г. Что известно в настоящее время о простых числах? // Матем. просв. Сер. 1. 1936. № 6. С. 16-22.

98. Чудаков Н.Г.О проблеме Гольдбаха // Докл. АН СССР. Нов. Сер. 1937. Т. 17, № 7. С. 331-334.

99. Чудаков Н. Г. О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как сумма двух нечетных простых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2, № 1. С. 25-40.

100. Чудаков Н.Г.О проблеме Гольдбаха // Успехи мат. наук. 1938. № 4. С. 14-33.

101. Чудаков Н. Г. Введение в теорию 1-функций Дирихле. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. 203 с.

102. Чудаков Н. Г. Биобиблиографический указатель (сост. Г. Я. Палагина). Саратов, 2004. 24 с.

103. Чудаков Н. Г., Климов Н. И. По поводу постоянной Шнирельмана // Успехи мат. наук. 1967. Т. 22, № 1. С. 212-213.

104. Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Новые методы в теории L-функций Дирихле // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, № 2. С. 22-56.

105. ЛокенХ. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964.188 с.

106. Шанин А. А. Определение констант в методе Бруна—Шнирельмана // Волжский Мат. Сб. 1964. № 2. С. 261-265.

107. ШнирельманЛ. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи мат. наук. 1939. № 6. С. 9-25.

108. ШнирельманЛ. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи мат. наук. 1940. № 7. С. 7-46.

109. ШнирельманЛ. Г. Простые числа. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. 60 с.

110. Юшкевич А. П., Копелевич Ю. Х. Христиан Гольдбах, 1690-1764. М.: Наука, 1983. 224 с.

111. Anuja A. If any numbers genius can prove a centuries-old theorem, Faber the publisher, promises to pay $1m // The Times, March 16, 2000. URL: https://www.math.tugraz.at/~llelsholtz/WWW/papers/papers14faber.html (дата обращения: 25.11.2021).

112. Archibald R. G. Goldbach's theorem. I, II // Scripta Math. 1935. Т. 3. С. 44-50. С. 153-161.

113. Bamberg J., Cairns G., Kilminster D. The crystallographic restriction, permutations, and Goldbach's conjecture // Amer. Math. Monthly. 2003. Vol. 110, № 3. С. 202-209.

114. Bender A. O. Decompositions into sums of two irreducibles in Fq [t ] // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2008. Vol. 346, № 17-18. P. 931-934.

115. Bender A. O. Representing an element in Fq [t] as the sum of two irreducibles in Fqs [t], preprint (2008). URL: arXiv:0809.4381vl[math.NT] (дата обращения: 20.11.2021).

116. Bhowmik G., Halupczok K. Asymptotics of Goldbach representations. Mishou, Hidehiko (ed.) et al., Various aspects of multiple zeta functions — in honor of Professor Kohji Matsumoto's 60th birthday // Proceedings of the international conference, Nagoya University, Nagoya, Japan August 21-25, 2020. Tokyo: Mathematical Society of Japan. Adv. Stud. Pure Math. 2020. Vol. 84. P. 1-21.

117. Bohman J., FrOberg C.-E. Numerical results on the Goldbach conjecture // Nordisk Tidskr. Informationsbe-handling (BIT). 1975. Vol. 15, № 3. P. 239-243.

118. Bohman J., FrOberg C.-E. Generalized Goldbach problems. (Swedish) // Normat. 1997. Vol. 45, № 4. P. 167-177.

119. Bombieri E. Sulle formule di A. Selberg generalizzate per classi di funzioni aritmetiche e le applicazioni al problema del resto nel "Primzahlsatz" // Riv. Mat. Univ. Parma (2). 1962. № 3. P. 393-440.

120. Bombieri E. On the large sieve // Mathematika. 1965. Vol. 12. P. 201-225.

121. Booker A. R. Finite connected components of the aliquot graph // Math. Comput. 2018. Vol. 87, № 314. P. 2891-2902.

122. BorelE. Applications du calcul des probabilities aux problemes concernant les nombres premiers. Theoreme de Goldbach // C. R. Acad. Sci. 1941. Vol. 212. P. 317-320.

123. BorovikA. A mathematician's view of the unreasonable ineffectiveness of mathematics in biology // BioSystems. 2021. Vol. 205, № 104410. P. 1-11.

124. Bratus S., Pak I. Fast constructive recognition of a black box group isomorphic to Sn or An using Goldbach's conjecture // J. Symb. Comput. 2000. Vol. 29, № 1. P. 33-57.

125. Bruckman P. S. A proof of the strong Goldbach conjecture // Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 2008. Vol. 39, № 8. P. 1102-1109. Retraction: A proof of the strong Goldbach conjecture. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 2020. Vol. 51, № 2. P. 325.

126. Brun V. Uber das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (Christiania), 1915. Vol. 34, № 8. P. 3-19.

127. Brun V Le crible d'Eratosthene et le theoreme de Goldbach // C. R. Acad. Sci. Paris. 1919. Vol. 168. P. 544-546.

128. Brun V Le crible d'Eratosthene et le theoreme de Goldbach // Christiania Vidensk. Selsk. Skr. 1920. № 3. P. 36.

129. Brun V. Das Sieb des Eratosthenes. (5. Kongreß Skandinav // Mathematiker in Helsingfors vom 4. bis 7. Juli 1922. P. 197-203.

130. Brun V. Untersuchungen über das Siebverfahren des Eratrosthenes // Jahresber. Deutsch. Math. Vereinig. 1924. Vol. 33. P. 81-96.

131. Buchstab A.A. Surla decomposition des nombres pairs en somme de deux composantes dont chacune est formte d'un nombre borne de facteurs premiers // C. R. Acad. Sci. URSS (2). 1940. Vol. 29. P. 544-548.

132. Burton D. M. Elementary number theory. 7th ed. // International Series in Pure and Applied Mathematics. New York, NY: McGraw-Hill, 2011. 440 p.

133. Cai Tianxin The book of numbers. Singapore: World Scientific Publ., 2016. 368 p.

134. Cantor G. Verification jusqu'a 1000 du theoreme empirique de Goldbach // Assoc. Franc. Caen. 1894. Vol. 23. P. 117-134.

135. Carlitz L. A problem in additive arithmetic // Quart. J. Math., Oxford. Ser. 1931. Vol. 2. P. 97-106.

136. Chen J. R. On the representation of a large even integer as a sum of a prime and a product of at most two primes. I, II // Sci. Sinica. 1973. Vol. 16. P. 157-176; 1978. Vol. 21. P. 421-430.

137. Chen J. R. On the Goldbach's problem and the sieve methods // Sci. Sinica. 1978. Vol. 21, № 6. P. 701-739.

138. Chen J. R. The exceptional set of Goldbach numbers, II. Sci. Sinica. 1983. Vol. 26. P. 714-731.

139. Chen J. R. The exceptional set of Goldbach numbers, III. // Chinese Quart. J. Math. 1989. Vol. 4. P. 1-15.

140. Chen J. R., Jianmin L. The exceptional set of Goldbach-numbers. III // Chinese Quart. J. Math. 1989. Vol. 4, № 1. P. 1-15.

141. Chen J. R., Pan C. D. The exceptional set of Goldbach numbers // Sci. Sinica. 1980. Vol. 23. P. 416-430.

142. Chen J. R., Wang T. Z. On the odd Goldbach problem (Chinese) // Acta Math. Sinica. 1989. Vol. 32, № 5. P. 702-718.

143. Chen J. R., Wang T. Z. A study on the Goldbach problem in the case of odd numbers. (Chinese) // Kexue Tongbao. 1989. Vol. 34, № 20. P. 1521-1522.

144. Chen J. R., Wang T.Z. A note on the Goldbach problem (Chinese) // Acta Math. Sinica. 1991. Vol. 34. P. 143-144.

145. Chen J. R., Wang T. Z. Estimation of the second main term in odd Goldbach problem // Acta Math. Sci. (English Ed.) 1991. Vol. 11, № 3. P. 241-250.

146. Chen J. R., Wang T. Z. The Goldbach problem for odd numbers // Acta Math. Sinica (Chin. Ser.). 1996. Vol. 39, № 2. P. 169-174.

147. Chen M. Can the Goldbach conjecture be proved by elementary means? (Chinese) // Sci. Exploration 1982. Vol. 2, № 3. P. 171-172.

148. van der Corput J. G. Sur la demonstration de l'hypothèse de Goldbach pour les nombres impairs donnée par M. Vinogradow// Confer. Reun. internat. Math. Paris, 1937.14 p.

149. van der Corput J. G. Sur l'hypothèse de Goldbach pour presque tous les nombres pairs // Acta Arith. 1937. Vol. 2. P. 266-290.

150. van der Corput J. G. Sur le theorème de Goldbach—Vinogradow // C. R. Acad. Sci. 1937. Vol. 205. P. 479-481.

151. van der Corput J. G. Une nouvelle generalisation du theorème de Goldbach—Vinogradow // C. R. Acad. Sci. 1937. Vol. 205. P. 591-592.

152. van der Corput J. G. Sur l'hypothèse de Goldbach pour presque tous les nombres pairs // Acta arith. 1937. Vol. 2. P. 266-290.

153. van der Corput J. G. Sur l'hypothèse de Goldbach // Proc. Akad. Wet. Amsterdam. 1938. Vol. 41. P. 76-80.

154. van der Corput J. G. Uber eine Vermutung von de Polignac // Simon Stevin, Wis. Natuurk. Tijdschr. 1950. Vol. 27. P. 99-105.

155. Cojocaru A. C., Murty M. R. An introduction to sieve methods and their applications // London Mathematical Society Student Texts. 2006. Vol. 66.

156. Cramer H. Nombres premiers et equations indéterminées // Ark. for Mat., Astron. och Fys. 1920. Vol. 14, № 13. P. 11.

157. Cugiani M. Commemorazioner di Giovanni Ricci // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1983. Vol. 53. P. 11-15.

158. Cugiani M. Giovanni Ricci (1904-1973) // Acta Arith. 1986. Vol. 46, № 4. P. 303-311.

159. Cunningham A. Evidence of Goldbach's theorem // Messenger. 1906. Vol. 2, № 36. P. 17-30.

160. Davenport H., Halberstam H. Primes in arithmetic progressions // Michigan Math. J. 1966. Vol. 13. P. 485-489.

161. Décaillot A.-M. Cantor et la France. Correspondance du mathématicien allemand avec les Francais a la fin du XIX siecle. Paris: Kime, 2008. 347 p.

162. Decaillot A.-M. Cantor und die Franzosen. Mathematik, Philosophie und das Unendliche. Mathematik im Kontext. Heidelberg: Springer, 2011. 230 p.

163. Desboves A. Sur un theorème de Legendre et son application a la recherche de limites qui comprennent entre elles des nombres premiers // Nouv. Ann. Math. 1855. Vol. 14. P. 281-295.

164. Descartes R. Oeuvres, tome 10, ed. Charles Adam et Paul Tannery. Paris: Cerf, 1908.

165. Deshouillers J.-M., Amelioration de la constante de Snirelman dans le problème de Goldbach // Seminaire Delange—Pisot—Poitou (14e annee: 1972/73). Paris: Secrétariat Mathématique, 1973.

166. Deshouillers J.-M., Sur la constante de Snirel'man. In Séminaire Delange—Pisot—Poitou, 17e annee: (1975/76). Paris: Secretariat Math. 1977.

167. Deshouillers J.-M., Granville A., Narkiewicz W., Pomerance C. An upper bound in Goldbach's problem // Math. Comput. 1993. Vol. 61, № 203. P. 209-213.

168. Deshouillers J.-M., Effinger G., te Riele H., Zinoviev D. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. // Res. Announc. Amer. Math. Soc. 1997). Vol. 3. P. 99-104.

169. Deshouillers J.-M., te Riele H. J. J. On the probabilistic complexity of numerically checking the binary Goldbach conjecture in certain intervals, Number Theory and Its Applications (S. Kanemitsu and K. Gyory, eds.). Dordrecht—Boston—London: Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 89-99.

170. Deshouillers J.-M., te Riele H. J. J., Saouter Y. New experimental results concerning the Goldbach conjecture // Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998) (Lecture Notes in Comput. Sci.) Berlin: Springer, 1998. P. 204215.

171. Dickson L. E. History of the theory of numbers. Vol. I: Divisibility and primality. Reprint of the 1919 original published by Carnegie Institution, Washington, DC. Mineola, NY: Dover Publications, 2005, 486 p.

172. DoxiadisA. Zio Petros e la congettura di Goldbach. Milano: RCS Libri S.p.A, 2000. 97 p.

173. Dubois R. Connaissance des nombres premiers. Essai de mise au point d'une méthode rapide de discernement des nombres premiers. Demonstration de l'existence d'une infinite de doublets et résolution du probleme de Goldbach. Paris: Librairie Scientifique Albert Blanchard, 1969 31 p.

174. Dufner G. Binares Goldbachproblem mit Einschrankung an die Summanden // Period. Math. Hungar. 1995. Vol. 30. P. 105-134.

175. Echeverría J. Empirical methods in mathematics. a case study: Goldbach's conjecture. In G. Munevar, ed. // Spanish Studies in the Philosophy of Science. Boston: Kluwer, 1996. P. 19-55.

176. Effinger G. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem // Ramanujan J. 1999. Vol. 3, № 3. P. 239-280,

177. Estermann T. On the representations of a number as the sum of a prime and a quadratfrei number // J. Lond. Math. Soc. 1931. Vol. 6. P. 219-221.

178. Estermann T. Eine neue Darstellung und neue Anwendungen der Viggo-Brunschen Methode // J. Reine Angew. Math. 1932. Vol. 168. P. 106-116.

179. Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and a square // Proc. Lond. Math. Soc. 1937. Vol. 2, № 42. P. 501-516.

180. Estermann T. A new result in the additive prime-number theory // Q. J. Math., Oxf. Ser. 1937. Vol. 8. P. 32-38.

181. Estermann T. On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes // Proc. London Math. Soc. 1938. Vol. 44. P. 307-314.

182. Euler L. Lettre XVIV, Euler à Goldbach. Berlin 30 Juni 1742. URL: http://eulerarchive.maa.org//corres\protect\ discretionary{\char\hyphenchar\font}{}{}pondence/letters/000766.pdf (date: 25.11.2021).

183. Evelyn C.J. A., Linfoot E. H. On a problem in the additive theory of numbers. II // J. Reine Angew. Math. 1931. Vol. 164. P. 131-140.

184. Farrugia J. A. Brun's 1920 theorem on Goldbach's Conjecture Master Thesis, Utah State Univ. 2018. P. 1-87.

185. Fouvry E. Un résultat nouveau en theorie additive des nombres premiers // Sem. Delange—Pisot—Poitou, (1975/76). Vol. 7. P. 1-11.

186. Fouvry E., Grupp F. Weighted sieves and twin prime type equations // Duke Math. J. 1989. Vol. 58. P. 731-748.

187. Fuß P.-H. Correspondance mathématique et physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle. New York and London: Johnson Reprint Corporation. 1968.

188. Goldbach Chr., Lettre XVIII, Goldbach à Euler. Moscau 7 Juni 1742. URL: http://eulerarchive.maa.org/ correspondence/letters/OO0765.pdf (date: 25.11.2021).

189. Goldston D. A., On Hardy and Littlewood's contribution to the Goldbach conjecture // Proc. Amalfi Conf. Analytic Number Theory Maiori, 1989. P. 115-155.

190. GourdonX., DemichelP. The first 1013 zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf (date: 25.11.2021). 2004.

191. Granville A. Refinements of Goldbach's conjecture, and the generalized Riemann hypothesis // Funct. Approx. Comment. Math. 2007. Vol. 37, part 1. P. 159-173.

192. Granville A., van de Lune J., te Riele H. J. J. Checking the Goldbach conjecture on a vector computer. // Number theory and applications (Banff, Alberta, 1988). Dordrecht: Publ. Kluwer Acad. Publ., 1989. P. 423-433.

193. Greaves G. Sieves in number theory // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 2001. Vol. 43.

194. Gromov M. Great circle of mysteries. Mathematics, the world, the mind. Birkhauser Cham, 2018.

195. Guy R. K. Unsolved problems in number theory, Berlin: Springer-Verlag, 1994.

196. Hadamard J. Un travail de Jean Merlin sur les nombres premiers // Bull. Sci. Math. 1915. Vol. 50. P. 121-136.

197. Halberstam H. A proof of Chen's theorem // Journées Arithmetiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974). Paris, 1975. P. 281-293.

198. Halberstam H., Richert H.-E. Sieve methods // London Mathematical Society Monographs. 1974. Vol. 4.

199. Hardy G. H. Goldbach's theorem. (A lecture to the Math. Soc. of Copenhague on 6. October 1921.) // Mat. Tidsskr. 1922. P. 1-16.

200. Hardy G. H. Trois problemes celebres de la theorie des nombres. La partition des nombres. Le probleme de Waring. Le probleme de Goldbach. Resume des travaux de Hardy, Hilbert, Kempner, Landau, Littlewood et Wieferich. Etat actuel de ces trois questions. Traduit de l'anglais par A. Sallin. Paris: Presses Universitaires de France. 1931. 32 p.

201. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some problems of 'Partitio numerorum'; III: On the expression of a number as a sum of primes // Acta Math. 1923. Vol. 44, № 1. P. 1-70.

202. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some Problems of'Partitio Numerorum' (V): A Further Contribution to the Study of Goldbach's Problem // Proc. London Math. Soc. 1924. Vol. 2, № 22. P. 46-56.

203. Haußner R. Über das Goldbach'sche Gesetz // Deutsche Math. Ver. 1897. Vol. 5, № 1. P. 62-66.

204. Haußner R. Tafeln fUr das Goldbach'sche Gesetz // Abh. Kais. Leopold. Carol. Deutsch Akad. Naturforscher. 1899. Vol. 1.

205. Haußner R. Über die Stackelschen LUckenzahlen und den Goldbachschen Satz // Deutsche Math.-Ver. 1922. Vol. 31. P. 115-124.

206. Haußner R. Untersuchungen uber Lückenzahlen und den Goldbachschen Satz // J. f. M. 1927. Vol. 158. P. 173-194.

207. Hayes D.R. A polynomial analog of the Goldbach conjecture//Bull. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 69. P. 115-116.

208. Hayes D. R. Correction to "A polynomial analog of the Goldbach conjecture" // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 69. P. 493.

209. Hayes D. R. The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles // Acta Arith. 1966. Vol. 11. P. 461-488.

210. Heath-Brown D. R. The ternary Goldbach problem // Rev. Mat. Iberoamericana. 1985. Vol. 1. P. 45-59.

211. Heilbronn H., Landau E., Scherk P. Alle grossen ganzen Zahlen lassen sich als Summe von hochstens 71 Primzahlen darstellen // Casopis pro pestovani Matematiky a Fysiky. 1936. Vol. 65. P. 117-140.

212. Helfgott H. A. Azar y aritmética, Ün capítulo de la teoría probabilística de numeros, Monografías del Instituto de Matemática y Ciencias Afines, v. 50, Lima, Perú: IMCA, 2009. 72 p.

213. Helfgott H. A. Minor arcs for Goldbach's problem. 30 Dec 2013. P. 1-79. URL: arXiv:1205.5252v4[math.NT] (date: 25.11.2021).

214. Helfgott H. A. Major arcs for Goldbach's problem. 14 April 2014. P. 1-79. URL: arXiv:1305.2897v4[math.NT] (date: 25.11.2021).

215. Helfgott H. A. La conjetura debil de Goldbach // Gac. R. Soc. Mat. Esp. 2013. Vol. 16. № 4.

216. Helfgott H. A. The Ternary Goldbach Conjecture is true. 17 Jan 2014. P. 1-79. URL: arXiv:1312.7748v2[math.NT] (date: 25.11.2021).

217. Helfgott H. A. The ternary Goldbach problem. 27 Jan 2015. P. 1-327. URL: arXiv:1501.05438v2[math.NT] (date: 25.11.2021).

218. Helfgott H. A. The ternary Goldbach problem // Proceedings of the International Congress of Mathematicians — Seoul. 2014. Seoul: Kyung Moon Sa, 2014. Vol. II. P. 391-418.

219. Helfgott H. A. Crecimiento y expansion en SL2 // Universidad S. Antonio Abad, Cusco, Peru, Agosto 2015. 01 Oct 2018. URL: arXiv:1810.00703[math.GR] (date: 25.11.2021).

220. Helfgott H. A., Platt D.J. Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875-1030 // Exp. Math. 2013. Vol. 22, № 4. P. 406-409.

221. Helfgott H. A., Ubis A. Primos, paridad y analisis. Actas de la escuela AGRA 2018, (Aritmética, grupos y analisis), Cordoba, Argentina. 12 Dec 2019. URL: arXiv:1812.08707v4[math.NT] (date: 25.11.2021).

222. Hesiodos. Gynaikon katalogos (Greek). URL: https://www.hs-augsburg.de/~llharsch/graeca/Chronologia/S_ {}ante08/Hesiodos/hes_{}ka03.html (date: 25.11.2021).

223. Hilbert D. Mathematische Probleme // Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Congress zu Paris 1900. Güott. Nachr. 1900. P. 253-297.

224. Hoffmann D. W. Die Godel'schen Unvollstandigkeitssatze. Eine geführte Reise durch Kurt Godels historischen Beweis. 2nd rev. Aufl. Heidelberg: Springer Spektrum, 2017. 356 p.

225. HongH., Brown Ch. W. QEPCAD B — Quantifier elimination by partial cylindrical algebraic decomposition. May 2011. Version 1.62.

226. Hooley Chr. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge: Cambridge University Press. 1976.

227. HuaL. A direct attempt to Goldbach problem // Acta Math. Sinica. 1989. Vol. 33, № 2. P. 286.

228. IwaniecH. Almost-primes represented by quadratic polynomials // Invent. Math. 1978. Vol. 47, № 2. P. 178-188.

229. IwaniecH., Kowalski T. Analytic number theory. Vol. 53. Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. Providence, RI, 2004.

230. Jackson A. Uncle Petros and Goldbach's Conjecture, and the Wild Numbers // Notices Amer. Math. Soc. 2000. Vol. 47, № 10. P. 1274-1275.

231. James R. D. Recent progress in the Goldbach problem // Bull. Am. Math. Soc. 1949. Vol. 55. P. 246-260.

232. Kaniecki L. On Snirelman's constant under the Riemann hypothesis // Acta Arith. 1995. Vol. 72, № 4. P. 361-374.

233. Laisant C. A. Sur un procede de verification expérimentale du theorème de Goldbach // S. M. F. Bull. 1897. Vol. 25. P. 209-211.

234. Landau E. Uber die zahlentheoretische Function ${ri) und ihre Beziehung zum Goldbach'schen Satz // Gott. Nachr. 1900. P. 177-186.

235. Landau E. Geloüste und ungeloüste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion // Jahresber. Deutsche Math. Ver. 1912. Vol. 21. P. 208-228.

236. Landau E. Zur additiven Primzahltheorie // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1922. Vol. 46. P. 349-356.

237. Landau E. Vorlesungen uüber Zahlentheorie. I: Aus der elementaren und additiven Zahlentheorie. II: Aus der analytischen und geometrischen Zahlentheorie. III: Aus der algebraischen Zahlentheorie und uüber die Fermatsche Vermutung. Leipzig: S. Hirzel. 1927. 342 p.

238. Landau E. Die Goldbachsche Vermutung und der Schnirelmannsche Satz // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. 1930. P. 255-276.

239. Landau E. Verscharfung eines Romanoffschen Satzes // Acta Arithmet. 1935. Vol. 1. P. 43-61.

240. Landau E. Über einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie / Cambridge tracts in mathematics and physics, no. 35. Cambridge: Cambridge University Press. 1937. 94 p.

241. Languasco A., Pintz J., Zaccagnini A. On the sum of two primes and к powers of two // Bull. London Math. Soc. 2007. Vol. 39, № 5. P. 771-780.

242. LiH. The exceptional set of Goldbach numbers. I, II// Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). 1999. Vol. 50, № 200. P. 471482. Acta Arith. 2000. Vol. 92, № 1. P. 71-88.

243. Li H. The number of powers of 2 in a representation of large even integers by sums of such powers and of two primes. II. Acta Arith. 2001. Vol. 96. P. 369-379.

244. Li H. On the representation of a large integer as the sum of a prime and a square-free number with at most three prime divisors // Ramanujan J. 2019. Vol. 49, № 1. P. 141-158.

245. Li J., Zhang M. Hua's theorem with the primes in Piatetski-Shapiro prime sets // Int. J. Number Theory. 2018. Vol. 14, № 1. P. 193-220.

246. Light W. A., Forest J., Hammond N., Roe S. A note on Goldbach's conjecture // BIT, 1980. Vol. 79. P. 525.

247. Linnik Yu. V On a sequence which does not form the binary basis // Докл. АН СССР. 1942. Т. 37. С. 122-124.

248. LinfootE. H., Evelyn C.J. A. On a problem in the additive theory of numbers // Math. Z. 1929. Vol. 30. P. 433-448.

249. Lionnet E. Note sur la question: Tout nombre pair est-il la somme des deux impairs premiers? // Nouv. Ann. (2). 1879. Vol. 18. P. 356-361.

250. Liu J., LiuM.-Ch., Wang T. The number of powers of 2 in a representation of large even integers. I, II // Sci. China Ser. A. 1998. Vol. 41. P. 386-397. P. 1255-1271.

251. Liu J., LiuM.-Ch., Wang T. On the almost Goldbach problem of Linnik//J. Theor. Nombres Bordeaux. 1999. Vol. 11. P. 133-147.

252. Liu J., Zhan T. The ternary Goldbach problem in arithmetic progressions // Acta arith. 1997. Vol. 82, № 3. P. 197227.

253. Liu J., Zhan T. The Goldbach—Vinogradov theorem. Gyory, KÉilmÉin (ed.) et al., Number theory in progress // Proceedings of the International Conference Organized by the Stefan Banach International Mathematical Center in Honor of the 60th Birthday of AndrzejSchinzel, Zakopane, Poland, June 30-July 9, 1997. Volume 2: Elementary and Analytic Number Theory. Berlin: de Gruyter. 1999. P. 1005-1023.

254. LiuM.-Ch. The two Goldbach conjectures // J. Shandong Univ. Nat. Sci. 2013. Vol. 48, № 2. P. 1-14.

255. Liu M.-Ch., Wang T. On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture // Acta Arith. 2002. Vol. 105, № 2 P. 133-175.

256. Maillet E. Surle theoreme de Goldbach (question 4215, de J. Svoboda) // Intermed. des math. 1919. Vol. 26. P. 81.

257. Mardjanichvili C. Sur la demonstration du theoreme de Goldbach—Vinogradoff// Докл. АН СССР. 1941. Т. 30. С. 687-689.

258. Merlin J. Sur quelques theoremes d'arithmétique et un enonce qui les contient // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1911. Vol. 153. P. 516-518.

259. MiechR.J. On the equation n = p + x2 //Trans. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 130. P. 494-512.

260. Mikawa H. On the exceptional set in Goldbach's problem // Tsukuba J. Math. 1992. Vol. 16. P. 513-543.

261. MollinR. A. An overview of sieve methods // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2010. Vol. 5, № 1-4. P. 67-80.

262. Montgomery H. L., Vaughan R. C. The large sieve // Mathematika. 1973. Vol. 20 P. 119-133.

263. Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta Arith. 1975. Vol. 27. P. 353-370.

264. Narkiewicz W. Some recent developments in three classical problems of number theory // Jber. Deutsch. Math.-Verein. 1975. Vol. 77, № 2. P. 55-65.

265. Narkiewicz W. The development of prime number theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2000. 448 p.

266. Narkiewicz W. Rational number theory in the 20th century. From PNT to FLT. Springer Monographs in Mathematics. London: Springer, 2012. 654 p.

267. Nathanson M. B. Additive Number Theory, The Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics, 164. New York: Springer, 1996.

268. Nazardonyavi S. Some history about twin prime conjecture. 3 May 2012. URL: arXiv:1205.0774 [math.HO] (date: 25.11.2021).

269. Obituary: Salomon Lubelski // Acta Arith. 1958. Vol. 4. P. 1-2.

270. Oblath R. Sur le probleme de Goldbach // Mathesis. 1952. Vol. 61. P. 179-183.

271. Ormand K. The Hesiodic Catalogue of Women and Archaic Greece. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. 265 p.

272. Oliveira e Silva T., Herzog S., Pardi S. Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4 • 1018 // Math. Comput. 2014. Vol. 83. P. 2033-2060.

273. Pall G. On sums of squares // Amer. Math. Monthly. 1933. Vol. 40. P. 10-18.

274. Pan Ch. D. On the representation of even numbers as the sum of a prime and a product of not more than 4 primes // Sci. Sinica. 1963. Vol. 12. P. 455-473.

275. Pan Ch. D. On the representation of an even integer as the sum of a prime and an almost prime // Chinese Math. 1963. Vol. 3, № 1. P. 101-112.

276. Pan Ch. D., Pan Ch. B. Goldbach's Conjecture. Beijing: Science Press, 1992.

277. Petrovitch M. Le Postulatum de Bertrand comme consequence du theoreme de Goldbach // Sphinx, Bruxelles. 1938. Vol. 8. P. 19-20.

278. Pintz J. A note on the exceptional set in Goldbach's problem // Colloque Theorie Analytique des Nombres "Jean Coquet". 1988. P. 101-115.

279. Pintz J. Recent results on the Goldbach conjecture // Elementare und Analytische Zahlentheorie (Tagungsband). Proceedings ELAZ-Conference. May 24-28, 2004. Stuttgart: Steiner Verlag, 2006. P. 220-254.

280. Pintz J. Landau's problems on primes // J. Theor. Nombres Bordeaux. 2009. Vol. 21, № 2. P. 357-404.

281. Pintz J., Ruzsa, I. Z. On Linnik's approximation to Goldbach's problem. I // Acta Arith. 2003. Vol. 109. P. 169-194.

282. Piotrowski W. Przyczynek do biografii Salomona Lubelskiego // Wiad. Mat. 2013. Vol. 49, № 2. P. 61-63.

283. Pipping N. Uber Zwillingsprimzahlen und Goldbachsche Spaltungen // Commentationes Helsingfors. 1926. Vol. 3, № 2. P. 14S.

284. Pipping N. Neue Tafeln fuyr das Goldbachsche Gesetz nebst Berichtigungen zu den Haussnerschen Tafeln // Commentationes Helsingfors. 1927. Vol. 4, № 4. P. 28S.

285. Pipping N. Uber Goldbachsche Spaltungen großer Zahlen // Commentationes Helsingfors. 1927. Vol. 4, № 10. P. 1-16.

286. Pipping N. Die Goldbachschen Zahlen G(x) fur x = 120072-120170 // Commentationes Helsingfors. 1929. Vol. 4, № 25. P. 6S.

287. Pipping N. Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach—Vinogradowsche Satz // Acta Acad. Aboensis, Math. Phys. 1938. Vol. 11, № 4. P. 1-25.

288. Pipping N. Goldbachsche Spaltungen der geraden Zahlen x fur x = 60000-99998 // Acta Acad. Abo. 1940. Vol. 12, № 11. P. 1-18.

289. Pollack P. A polynomial analogue of the twin prime conjecture // Proc. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 136, № 11. P. 3775-3784.

290. Rademacher H. Beitryage zur Viggo Brunschen Methode in der Zahlentheorie // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1923. Vol. 3, № 1. P. 12-30.

291. Rademacher H. Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkörper. I: Uber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summe von totalpositivon Primzahlen im reell-quadratischen Zahlkoyrper. II: Uyber die Darstellung von Koyrperzahlen als Summe von Primzahlen im imaginayr-quadratischen Zahlkoyrper. III: Uyber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summen von totalpositiven Primzahlen in einem beliebigen Zahlkorper // Hamb. Math. Abh. 1924. Vol. 3. P. 109-163; Vol. 3. P. 331-378. Math. Z. 1928. Vol. 27. P. 321-426.

292. Rademacher H. Uber eine Erweiterung des Goldbachschen Problems // Math. Z. 1926. Vol. 25. P. 627-657.

293. Ramare; O., On Snirel'man's constant // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1995. Vol. 22. P. 645-706.

294. Rassias M. T. Goldbach's problem. Selected topics. With forewords by Jorg Brüdern and Preda Mihäilescu. Springer, 2017. 122 p.

295. Ricci G. Su la congettura di Goldbach e la costante di Schnirelmann // Boll. Unione Mat. Ital. 1936. Vol. 15. P. 183187.

296. Ricci G. Alcuni recenti risultati intorno alla congettura di Goldbach // Atti primo Congr. Un. mat. Ital., Firenze, 1937. P. 158-160.

297. Ricci G. Su la congettura di Goldbach e la costante di Schnirelmann, I, II // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, Serie II. 1937. Vol. 6, № 1. P. 71-90; № 2. P. 91-116.

298. Ricci G. Recenti risultati nel campo dell'aritmetica. Il problema di Goldbach // Rend. Sem. mat. fis. Milano. 1939. Vol. 13. P. 204-226.

299. Richert H.-E. Uber Zerfallungen in ungleiche Primzahlen // Math. Zeitschr. 1949. Vol. 52. P. 342-343.

300. Richstein J. Verifying the Goldbach conjecture up to 4 • 1014 // Math. Comput. 2001. Vol. 70. P. 1745-1749.

301. Riesel H., VaughanR. C. On sums of primes // Ark. Mat. 1983. Vol. 21, № 1. P. 46-74.

302. Romanoff N. P. Uber einige Satze der additiven Zahlentheorie // Math. Ann. 1934. Vol. 109. P. 668-678.

303. Ross P. M. On Chen's theorem that each large even number has the form pi + p2 or pi + p2 p3 // J. London Math. Soc. (2). 1975/ Vol. 10, № 4. P. 500-506.

304. Ross P. M. On linear combinations of primes and numbers having at most two prime factors. Ph. D. Thesis, Imperial College, 1976.103 p.

305. RoureE., TravesaA. Two independent checkings of the weak Goldbach conjecture up to 1027 // Exp. Math. 2016. Vol. 25, № 1. P. 79-82.

306. Saouter Y. Checking the odd Goldbach conjecture up to 1020 // Math. Comput. 1998. Vol. 67. P. 863-866.

307. SchinzelA. Teoria liczb i algebra w pracach Salomona Lubelskiego. Dzieje matematyki polskiej. Inst. Mat. Uniw. Wrociawskiego, Wroclaw, 2012. P. 237-248.

308. Selberg A. An elementary proof of the prime-number theorem for arithmetic progressions // Canad. J. Math. 1950. Vol. 2. P. 66-78.

309. Selmer E. S., Nesheim G. Die Goldbachschen Zwillingsdarstellungen der durch 6 teilbaren Zahlen 196302196596 // Norske Vid. Selsk. Forhdl. 1942. Vol. 15. P. 107-110.

310. Selmer E. S. Eine neue hypothetische Formel für die Anzahl der Goldbachschen Spaltungen einer geraden Primzahl und eine numerische Kontrolle // Arch. Math. Naturvid. 1943. Vol. 46, № 1. P. 1-18.

311. ShahN. M., Wilson B. M. On an empirical formula connected with Goldbach's Theorem // Cambr. Phil. Soc. Proc. 1919. Vol. 19. P. 238-244, 245-254.

312. ShahN. M., WilsonB.M. Numerical data connected with Goldbach's theorem//Lond. Math. Soc. Proc. (2). 1920. Vol. 18.

313. Shao X. An L-function-free proof of Vinogradov's three primes theorem // Forum Math. Sigma. 2014. Vol. 2.

314. ShaoX. A density version of the Vinogradov three primes theorem // Duke Math. J. 2014/ Vol. 163, № 3. P. 489-512.

315. Shapiro H. N., Warga J. On the representation of large integers as sums of primes //1. Comm. Pure Appl. Math. 1950. Vol. 3. P. 153-176.

316. Shen M.-K. On checking the Goldbach conjecture // Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT). 1964. Vol. 4. P. 243-245.

317. Shen Q. The ternary Goldbach problem with primes in positive density sets // J. Number Theory. 2016. Vol. 168. P. 334-345.

318. SiebertH. Montgomery's weighted sieve for dimension two // Monatsh. Math. 1976. Vol. 82, № 4. P. 327-336

319. Sierpinski W. Elementary theory of numbers. 2nd edition. Warszawa: PWN—Polish Scientific Publishers, 1988.

320. Sinisalo M. K. Checking the Goldbach conjecture up to 4 • 1011 // Math. Comput. 1993. Vol. 61. P. 931-934.

321. Stackel P. Ueber Goldbachs empirisches Theorem: Jede gerade Zahl kann als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden // Nachr. Ges. Wiss. 1896. P. 292-299.

322. Stackel P. Die Darstellung der geraden Zahlen als Summen von zwei Primzahlen // Heidelb. Akk. Sitzber. 1916. №10.

323. Stackel P. Die Lückenzahlen r-ter Stufe und die Darstellung der geraden Zahlen als Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I, II // Heidelb. Ak. Sitzber. 1917. Vol. 15.

324. Stackel P., Weinreich W. Die Darstellung gerader Zahlen als Differenzen und Summen von Primzahlen. Abh. Heidelb. Akad. Wiss. 1922. № 10.

325. Stanley G. K. On the representation of a number as a sum of squares and primes // Proc. Lond. Math. Soc. (2). 1929. Vol. 29. P. 122-144.

326. Stein M. L., SteinD. R. New experimental results on the Goldbach conjecture // Math. Mag. 1965. Vol. 38. P. 72-78.

327. Studnicka F.J. Poznamka o cislech sudych // Casopis pro pestovani mathematiky a fysiky. 1897. Vol. 26, № 2-3. P. 207-208.

328. Svoboda J. Sur le theoreme de Goldbach // Intermed. des math. 1915. Vol. 22. P. 132-133.

329. Sylvester J.J. On the partition of an even number into two primes. Proc. of L. M. S. 4 (1872), 4-6. [Collected Math. Papers, 2, 709-711, Cambridge, 1908.]

330. Sylvester J.J. On the Goldbach—Euler theorem concerning prime numbers // Nature. 1896. Vol. 55. P. 196-197.

331. TchudakoffN. On Goldbach—Vinogradov's theorem // Ann. Math. (2). 1947. Vol. 48. P. 515-545.

332. Tao T. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes // Math. Comput. 2014. Vol. 83. P. 9971038.

333. Tao T., Vu V. Additive Combinatorics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 105. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

334. Teissier B Crible de Brun // Seminaire Delange—Pisot—Poitou. Theorie des nombres. 1965-1966. Vol. 7, № 2. P. 1-13.

335. Togashi A., Uchiyama S. On the representation of large even integers as sums of two almost primes. I // J. Fac. Sci., Hokkaido Univ., Ser. I. 1964. Vol. 18. P. 60-68.

336. Uchiyama S. On the representation of large even integers as sums of two almost primes. II // J. Fac. Sci., Hokkaido Univ., Ser. I. 1964. Vol. 18. P. 69-77.

337. Uchiyama S. On the representation of large even integers as sums of a prime and an almost prime. II // Proc. Japan Acad. 1967. Vol. 43. P. 567-571.

338. Uchiyama M., Uchiyama S. On the representation of large even integers as sums of a prime and an almost prime // Proc. Japan Acad. 1964. Vol. 40. P. 150-154.

339. Vardi I. Computational recreations in Mathematica. Addison-Wesley Publishing Company. Redwood City: Advanced Book Program, 1991. 286 p.

340. Vaserstein L. N. Noncommutative number theory. Algebraic K-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987) // Contemp. Math. 1989. Vol. 83. P. 445-449.

341. Vaughan R. C. On Goldbach's problem // Acta Arith. 1972. Vol. 22. P. 21-48.

342. Vaughan R. C. A note on Snirel'man's approach to Goldbach's problem // Bull. London Math. Soc. 1976. Vol. 8. P. 245-250.

343. Vaughan R. C. On the estimation of Schnirelman's constant // J. Reine Angew. Math. 1977. Vol. 290. P. 93-108.

344. VaughanR. C. Sommestrigonometriquessurlesnombrespremiers//C. R.Acad. Sci. ParisSer.A-B. 1977. Vol. 285, № 6. P. A981-A983.

345. Vaughan R. C. The Hardy—Littlewood method. Second edition (Cambridge Tracts in Mathematics, 125). Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 232 p.

346. Vaughan R. C. Hardy's legacy to number theory // J. Austraila Math. Soc., series A, 1998. Vol. 65. P. 238-266.

347. Vecchi M. Un nuovo aspetto dato al teorema di Goldbach // Rom. Acc. L. Rend. (5). 1913. Vol. 22, № 2. P. 654-659.

348. Vinogradow I. Some theorems concerning the theory of primes // Math. collection. 1937. Vol. 2 (44). P. 179-194.

349. Vinogradov I. M., Representation of an odd number as a sum of three primes // C. R. Acad. Sci. URSS. 1937. Vol. 15. P. 6-7.

350. Walfisz A. Zur additiven Zahlentheorie. II // Math. Z. 1935. Vol. 40. P. 592-607.

351. Wang T. On Linnik's almost Goldbach theorem // Sci. China Ser. A. 1999. Vol. 42. P. 1155-1172.

352. Wang T. The Goldbach problem for odd numbers under the generalized Riemann hypothesis. II // Adv. in Math. (China). 1996. Vol. 25, № 4. P. 339-346.

353. Wang T. Z., Chen J. R. On odd Goldbach problem under general Riemann hypothesis // Sci. China Ser. A. 1993. Vol. 36, № 6. P. 682-691.

354. Wang Y. On the representation of a large even integer as a sum of a product of at most 3 primes and a product of at most 4 primes // Acta Math. Sin. 1956. Vol. 6. P. 500-513.

355. Wang Y. On the representation of large even integer as a sum of a prime and a product of at most 4 primes // Acta Math. Sin. 1956. Vol. 6. P. 565-582.

356. Wang Y. On the representation of large even as a sum of two almost primes // Science Record, n. Ser. 1. 1957. P. 291-295.

357. Wang Y. On sieve methods and some of their applications, I // Acta Math. Sinica. 1958. Vol. 8. P. 413-429.

358. Wang Y. On sieve methods and some of their applications // Acta Math. Sin. 1959. Vol. 9. P. 87-100.

359. WangY. On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime // Acta Math. Sin. 1960. Vol. 10. P. 168-181.

360. Wang Y. The Goldbach Conjecture, 2nd Edition. 1964.

361. WardM. A generalization of a familiar theorem concerning prime numbers // Journal L. M. S. 1930. Vol. 5. P. 106107.

362. Waring E. Meditationes Algebraicae. Amer. Math. Soc., Providence, 1991. URL: https://archive.org/details/bub_ gb_1MNbAAAAQAAJ (date: 24.11.2021).

363. Yang Sh., Togbe A. A note of three prime representation problems // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.). 2016. Vol. 32, № 1. P. 23-31.

364. Yin W.-L. Note of the representation of large integers as sums of primes // Acta Sci. Natur. Univ. Pekinensis. 1956. Vol. 3. P. 323-326.

365. Zeilberger D. Theorems for a price: tomorrow's semi-rigorous mathematical culture // Notices Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 40, № 8. P. 978-981.

366. Zhang M. Y., Ding P. An improvement to the Schnirelman constant // J. China Univ. Sci. Techn. 1983. Vol. 13. P. 31-53.

367. ZhangZ. F., Wang T. Ze. The ternary Goldbach problem with primes in arithmetic progressions // Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2001. Vol. 17, № 4. P. 679-696.

368. Zinoviev D. On Vinogradov's constant in Goldbach's ternary problem // J. Number Theory. 1997. Vol. 65, № 2. P. 334-358.

369. ZulaufA. Beweis einer Erweiterung des Satzes von Goldbach—Vinogradov // J. Reine Angew. Math. 1952. Vol. 190. P. 169-198.

370. ZulaufA. Uber den dritten Hardy—Littlewoodschen Satz zur Goldbachschen Vermutung // J. Reine Angew. Math. 1953. Vol. 192. P. 117-128.

Поступила в редакцию 31.09.2021, окончательный вариант — 25.11.2021.

Вавилов Николай Александрович, доктор физико-математических наук, профессор факультета математики и компьютерных наук СПбГУ, И nikolai-vavilov@yandex.ru

Computer tools in education, 2021 № 4: 5-71 http://cte.eltech.ru doi:10.32603/2071-2340-2021-4-5-71

Computers as Novel Mathematical Reality. IV. Goldbach Problem

Vavilov N. A.1, Dr. Sci., Professor, И nikolai-vavilov@yandex.ru 1 Saint Petersburg State University, 29, Line 14th, Vasilyevsky Island, 199178, Saint Petersburg, Russia

Abstract

In this part I pursue the discussion of the role of computers in additive number theroy. Here I sketch the definitive solution of the ternary = odd Goldbach problem, not in one of its XX century asymptotric reformulations, but in its original XVII century form. Namely, that every odd number n > 5 is a sum n = pi + p2 + p3 of three positive rational primes. A solution of this problem was only completed by Harald Helfgott in 2013-2014 and there is no chance that it could be obtained without the use of computers. Apart from that, I discuss the status of the binary = even Goldbach problem, partial results towards its solution, as well as some further related proiblems.

Keywords: Ternary Goldbach problem, binary Goldbach problem, Brun—Schnirelmann method, Schnirelmann constant, Hardy—Litllewood—Vinogradov method.

Citation: N. A. Vavilov, "Computers as Novel Mathematical Reality. IV. Goldbach Problem," Computer tools in education, no. 4, pp. 5-71, 2021 (in Russian); doi:10.32603/2071-2340-2020-4-5-71

Список литературы

1. V. I. Antonov and Yu. S. Vasil'ev, "The department of higher mathematics of St. Petersburg State Polytechnical University: history and the present," SPbSPU Journal. Physics and Mathematics, vol. 4(206), pp. 154-166, 2014 (in Russian).

2. G. I. Arkhipov and V. N. Chubarikov, "O rabotakh po teorii chisel N. G. Chudakova (k 100-letiyu so dnya rozhdeni-ya)," Chebysh. sb., vol. 5:3, no. 11, pp. 4-14, 2004 (in Russian).

3. M. B. Barban, "The "density" of the zeros of Dirichlet L-series and the problem of the sum of primes and "near primes"," Mat. Sb. (N.S.), vol. 61, no. 103:4, pp. 418-425,1963 (in Russian).

4. M. B. Barban, "The "large sieve" method and its applications in the theory of numbers," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 21, no. 1(127), pp. 51-102,1966; doi: 10.1070/RM1966v021n01ABEH004146

5. K. G. Borozdkin, "K voprosu o postoyannoi I. M. Vinogradova," in Trudy III Vsesoyuznogo matem. s"ezda, vol. I, Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1956 (in Russian).

6. B. M. Bredikhin, K ternarnoi probleme Gol'dbakha. Issledovaniya po Teorii Chisel, Saratov, Russia, 1975 (in Russian).

7. B. M. Bredikhin, V. E. Voskresenskii, A. A. Karatsuba, A. F. Lavrik, A. V. Malyshev, A. G. Postnikov, and V. G. Spri-ndzhuk, "Nikolai Grigor'evich Chudakov (obituary)," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 42, no. 5(257), pp. 189-190, 1987 (in Russian).

8. B. M. Bredikhin and N. A. Yakovleva, "Applications of the dispersion method to the Goldbach problem," Acta Arith., vol. 27, pp. 253-263,1975 (in Russian).

9. A. A. Bukhshtab Number theory, Moscow: Uchpedgiz, 1960 (in Russian).

10. A. A. Buchstab, "New results in the Goldbach-Euler problem and the twin-prime problem," Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 162, no. 4, 735-738,1965 (in Russian).

11. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. I. Personal Account," Computer tools in education, no. 2, pp. 5-26, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-2-5-26

12. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. II. Waring Problem," Computer tools in education, no. 3, pp. 5-55, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-3-5-55

13. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. III. Mersenne numbers and divisor sums," Computer tools in education, no. 4, pp. 5-58, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-4-5-58

14. N. A. Vavilov, V. G. Khalin, and A. V. Yurkov, Mathematica dlya nematematika [Mathematica for nonmathemati-cian], Moscow: MCCME, 2021 (in Russian).

15. B. L. van der Waerden, Science awakening. Egyptian, Babylonian and Greek mathematics, Moscow: GIFML, 1959 (in Russian).

16. A. Weil, Basic number theory, Moscow: Mir, 1972 (in Russian).

17. A. I. Vinogradov, "The sieve method in algebraic fields. Lower bounds," Matem. sb., 64, no. 1, pp. 52-78,1964 (in Russian).

18. A. I. Vinogradov, "Estimates from below by the sieve process in algebraic number fields," Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 154, no. 1, pp. 13-15,1964 (in Russian).

19. A. I. Vinogradov, "The density hypothesis for Dirichet L-series," Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, no. 4, pp. 903-934, 1965 (in Russian).

20. A. I. Vinogradov, "Letter to Lyapunov dated 08/02/1968," in odasib.ru. [Online] (in Russian). Available: http:// odasib.ru/0penArchive/DocumentImage.cshtml?id=Xu1_pavl_635513015734375000_20882&eid=L3_0003_0114

21. A. I. Vinogradov, Artin's conjectures and the law of reciprocity, Trav. Inst. Math. Stekloff, vol. 132, pp. 35-43,1973 (in Russian).

22. A. I. Vinogradov, B. V. Levin, A. V Malyshev, N. P. Romanov, and N. G. Chudakov, "Mark Borisovich Barban (obituary)," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 24, no. 2, pp. 213-216,1969 (in Russian).

23. I. M. Vinogradov, "Some theorems of the analytical theory of numbers," Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 4, no. 24(2), pp. 185-187,1934 (in Russian).

24. I. M. Vinogradov, "Predstavlenie nechetnogo chisla summoyu trekh prostykh chisel," Dokl. AN SSSR, vol. 15, no. 6-7, pp. 291-294, 1937 (in Russian).

25. I. M. Vinogradov, "A new method in analytic number theory," Trav. Inst. Math. Stekloff, vol. 10, Izd-vo AN SSSR, 1937 (in Russian).

26. I. M. Vinogradov, "The method of trigonometrical sums in the theory of numbers," Trav. Inst. Math. Stekloff, vol. 23, Izd-vo AN SSSR, pp. 3—109,1947 (in Russian).

27. A. I. Galochkin, Yu. V. Nesterenko, and A. V. Shidlovskii, Introduction to number theory, Moscow: Izd-vo MGU, 1995 (in Russian).

28. A. 0. Gel'fond "Number theory," in Matematika v SSSR za tridtsat' let, pp. 52-80,1948 (in Russian).

29. A. 0. Gel'fond and Yu. V. Linnik, Elementarnye metody v analiticheskoi teorii chisel, Moscow: Fizmatgiz, 1962 (in Russian).

30. A. 0. Gel'fond and L. G. Shnirel'man, "E. Kol'man, Subject and method of contemporary mathematics," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 4, pp. 334-336,1938 (in Russian).

31. "The Goldbakh problem," in Bolshaia Sovietskaia Entsiklopediia [The Great Soviet Encyclopedia], vol. 12, p. 8, 1952 (in Russian).

32. D. A. Grave, "About the Goldbach problem," Zhurn. inst. matem. ANURSR, Kiev, no. 1, pp. 77-79,1938 (in Russian).

33. S. S. Demidov and B. V. Levshin, eds., Delo akademika Nikolaya Nikolaevicha Luzina, Saint Petersburg, Russia: RKhGI, 1999 (in Russian).

34. B. N. Delone, Petersburg school of number theory, Moscow: Izd. AN SSSR, 1947 (in Russian).

35. B. N. Delone, "On the sixtieth birthday of Ivan Matveevich Vinogradov," Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 15, no. 5, pp. 385-394,1951 (in Russian).

36. A. Doxiadis, Uncle Petros and Goldbach's Conjecture, Moscow: AST, 2002 (in Russian).

37. J. A. Diedonne, Fundamentals of modern analysis, Moscow: Mir, 1964 (in Russian).

38. J. A. Diedonne, "The activities of Bourbaki," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 28, no. 3, pp. 205-216,1973 (in Russian).

39. A. A. Karatsuba, "Ivan Matveevich Vinogradov," in Bio-bibliography of scientists of the USSR. Mathematics Series, Moscow: Nauka, 1978 (in Russian).

40. J. Wenlin, "On the representation of large integers as a sum of primes," Bull. of the Polish Academy of Sciences, vol. 3-4, no. 12, pp. 793-795, 1956 (in Russian).

41. A. A. Karatsuba, "I. M. Vinogradov's method of trigonometric sums," in Proc. of the Int. conf. on number theory, Moscow (USSR), September 10-13,1991, Celebrating the one hundredth anniversary of the birth of Academician I. M. Vinogradov. Collection of papers, vol. 207, Moscow: Nauka, pp. 3-20,1994 (in Russian).

42. A. M. Kasimov, "0 konstante I. M. Vinogradova v ternarnoi probleme Gol'dbakha," Uzbekskii Mat. Zh., no. 3-4, pp. 55-65, 1992 (in Russian).

43. A. M. Kasimov, "K resheniyu additivnykh zadach s prostymi chislami," Chebyshevskii Sb., vol. 13, no. 2, pp. 71-76, 2012 (in Russian).

44. I. A. Kirillov, "Khristian Gol'bakh — matematik, lingvist, kriptograf," Vestnik Mosk. Gosud. Lingvisticheskogo Un-ta, vol. 4, pp. 46-62, 2018 (in Russian).

45. N. I. Klimov, "Combination of elementary and analytic methods in the theory of numbers," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 13, no. 3, pp. 145-164, 1958 (in Russian).

46. N. I. Klimov, "Postoyannaya Shnirel'mana i problema Gol'dbakha—Eilera, Issled. po teorii chisel," Mezhvuzovsk. nauchn. sb., vol. 2, pp. 80-89, 1968 (in Russian).

47. N. I. Klimov, "Po povodu vychislenii postoyannoi Shnirel'mana," Volzhskii Mat. Sb., vol. 7, pp. 32-40, 1969 (in Russian).

48. N. I. Klimov, "O prostykh chislakh v arifmeticheskoi progressii. Issled. po teorii chisel," Mezhvuzovsk. nauchn. sb., vol. 5, pp. 44-55, 1975 (in Russian).

49. N. I. Klimov, "Primenenie resheta Sel'berga k otsenke chisla bliznetsov. Issled. po teorii chisel," Mezhvuzovsk. nauchn. sb., vol. 6, pp. 67-82, 1975 (in Russian).

50. N. I. Klimov, "A new estimate of the absolute constant in the Goldbach-Snirel'man problem," Izv. vuzov. Matem., pp. 25-35, 1978 (in Russian).

51. N. I. Klimov, "Uluchshenie otsenki absolyutnoi postoyannoi v probleme Gol'dbakha—Shnirel'mana," Nauchn. tr. Kuibyshevsk. gos. ped. in-ta, vol. 158, pp. 14-30,1975 (in Russian).

52. N. I. Klimov, G. 3. Pil'tyai, and T. A. Sheptitskaya, "Predstavlenie natural'nykh chisel summami ogranichennogo chisla prostykh chisel," Issled. po teorii chisel, vol. 1, pp. 44-47,1971 (in Russian).

53. N. I. Klimov, G. 3. Pil'tyai, and T. A. Sheptitskaya, "Otsenka absolyutnoi postoyannoi v probleme Gol'dbakha— Shnirel'mana," Issled. po teorii chisel, vol. 4, pp. 35-51, 1972 (in Russian).

54. L. F. Kondakova and N. I. Klimov, "O nekotorykh additivnykh zadachakh," Volzhsk, matem. sb., vol.. 7, pp. 41-44, 1969 (in Russian).

55. Yu. Kh. Kopelevich, Osnovanie Peterburgskoi Akademii Nauk, Leningrad, USSR: Nauka, 1977 (in Russian).

56. A. A. Kuzyashev and E. F. Chechuro, "O predstavlenii bol'shikh tselykh chisel summami prostykh chisel," Issled. po teorii chisel, vol.. 3, pp. 46-50, 1969 (in Russian).

57. R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics? An elementary approach to Ideas and methods?, Moscow: MTsNMO, 2019 (in Russian).

58. A. F. Lavrik, "Representation of numbers as a sum composed of a prime according to L. G. Shnirel'man's metod," Izv. AN Uzb.SSR, ser.fiz.-mat nauk, no. 3, pp. 5-10,1965 (in Russian).

59. E. Landau, Grundlagen der Analysis: Das Rechnen mit ganzen, rationalen, irrationalen, komplexen Zahlen, Moscow: IL, 1947 (in Russian).

60. E. Landau, Einfuhrung in die Differential- und Integralrechnung, Moscow: IL, 1948 (in Russian).

61. "Lev Genrikhovich Shnirel'man (photo)," Uspekhi Mat. Nauk, no 6, p. 2,1939 (in Russian).

62. Yu. V. Linnik, "An example of one sequence that does not form a binary basis," Dokl. AN SSSR, vol. 36, no. 6, pp. 122-124,1942 (in Russian).

63. Yu. V. Linnik, "O vozmozhnosti edinogo metoda v nekotorykh voprosakh additivnoi i distributivnoi teorii prostykh chisel," Dokl. AN SSSR, no. 1, pp. 3-7,1945 (in Russian).

64. Yu. V. Linnik, "A new proof of the Goldbach-Vinogradow theorem," Matem sb., vol. 19, no. 1, pp. 3-8,1946 (in Russian).

65. Yu. V. Linnik, "Prime numbers and powers of two," Trav. Inst. Math. Stekloff, vol. 38, pp. 152-169,1951 (in Russian).

66. Yu. V. Linnik, "Some conditional theorems concerning the binary Goldbach problem," Izv. AN SSSR. Ser. matem., vol. 16, no. 6, pp. 503-520, 1952 (in Russian).

67. Yu. V. Linnik, "Addition of prime numbers with powers of one and the same number," Matem. sb., vol. 32, no. 1, pp. 3-60, 1953 (in Russian).

68. Yu. V. Linnik, "All large numbers are sums of a prime and two squares (A problem of Hardy and Littlewood)," Matem. sb., vol. 52(94):2, pp. 661-700,1960 (in Russian).

69. Yu. V. Linnik, "An asymptotic formula in an additive problem of Hardy-Littlewood," Izv. AN SSSR. Ser. matem., vol. 24, no. 5, pp. 629-706, 1960 (in Russian).

70. Yu. V. Linnik, Dispersion methods in binary additive problems, Leningrad, USSR: Izd. Leningr. un-ta, 1961 (in Russian).

71. H. Maier and M. T. Rassias, "The ternary Goldbach problem with a prime and two isolated primes," Proc. Steklov Inst. Math, pp. 183-197, 2017 (in Russian); doi: 10.1134/S0081543817010151

72. K. K. Mardzhanishvili, "Issledovaniya po primeneniyu metoda trigonometricheskikh summ k additivnym zadacham," Uspekhi Mat Nauk, vol.5, no. 1, pp. 236-240, 1950 (in Russian).

73. K. K. Mardzhanishvili, "Ivan Matveevich Vinogradov (for his sixtieth birthday)," Uspekhi Mat Nauk, vol. 6, no. 5, pp. 190-196, 1951 (in Russian).

74. Sh. Kh. Mikhelovich, Number theory, Moscow: Vysshaya shkola, 1962 (in Russian).

75. Sh. Kh. Mikhelovich, From the history of number theory (the contribution of Russian and Soviet mathematicians to the development of number theory)), Moscow: Znanie, 1970 (in Russian).

76. O. Neugebauer, Exact sciences in antiquity. Moscow: Nauka, 1968 (in Russian).

77. "From the anniversary commission," Trav. Inst. Math. Stekloff, vol. 38, pp. 3-4,1951 (in Russian).

78. Ch. Pan, "On Representation of Even Numbers as the Sum of a Prime and an Almost Prime," Sci. Sinica. 11, pp. 873-888, 1962 (in Russian).

79. V. N. Pinaev, Chetvert'final'nye sorevnovaniya studencheskogo komandnogo pervenstva mira po programmi-rovaniyu. Tsentral'nyi region Rossii, Rybinsk, Russia: Iz-vo RGATA, 1999 (in Russian).

80. L. S. Pontryagin, Biography of L. S. Pontryagin, a mathematician, compiled by himself. Birth 1908, Moscow, Moscow: Prima, 1998 (in Russian).

81. A. A. Renyi, "On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number," Dokl. AN SSSR, vol. 56, no. 5, pp. 455-458,1947 (in Russian).

82. A. A. Renyi, "On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number," Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 12, no. 1, pp. 57-78,1948 (in Russian).

83. N. P. Romanov, ";Uber zwei S"atze der additiven Zahlentheorie," Matem. sb., vol. 40, no. 4, pp. 514-520,1933 (in Russian).

84. N. P. Romanov, "On the Goldbach problem," Izvestiya Nauchno-issl. instituta matematiki i mekhaniki pri Tomskom universitete, no. 1, pp. 34-38,1935 (in Russian).

85. N. P. Romanov, "On some theorems of additive number theory," Uspekhi Mat. Nauk, no. 7, pp. 47-56,1940 (in Russian).

86. N. P. Romanov, Number theory and functional analysis, coll. of sc. papers, Tomsk: Izd. Tomskogo univ., 2013 (in Russian).

87. B. I. Segal, N. G. Chudakov, "Introduction to the theory of Dirichlet's L-functions (review)," Uspekhi Mat. Nauk, 3, no. 5, pp. 193-195, 1948 (in Russian).

88. V. Serpinskii, What we know and what we don't know about prime numbers, Moscow: Fizmatgiz, 1963 (in Russian).

89. E. M. Smirnov, 'On the history of mathematics and mechanics at the Polytechnic Institute in the first half of the 20th century," in Seminar on the History of Mathematics, 4 aprelya, St. Petersburg, Russia, 2019, (in Russian).

90. I. Stewart, The greatest mathematical problems, Moscow: Al'pina non-fikshn, 2019 (in Russian).

91. V. M. Tikhomirov, V. V. Uspenskii, "Soviet mathematics of the 30s (II): A. O. Gelfond i L. G. Shnirelman," Matem. prosv., vol.. 4, pp. 33-48., 2000 (in Russian).

92. E. Trost, Prime numbers, Moscow, Fizmatgiz, 1959 (in Russian).

93. V. A. Uspenskii, "On the history of the Goldbach problem," in Istoriko-matematicheskie issledovaniya. 2nd series. RAN, In-t estestvoznaniya i tekhniki im. S. I. Vavilova, vol. 13 (48), Moscow: Yanus-K, pp. 273-283, 2009 (in Russian).

94. V. A. Uspenskii, Apologia for mathematics, Moscow: Al'pina-Didzhital, 2017 (in Russian).

95. N. I. Fel'dman, N. G. Chudakov, "On Stark's theorem," Matem. zametki, 11, no. 3, pp. 329-340, 1972 (in Russian).

96. M. E. Changa, "The method of trigonometric sums," Lekts. Kursy NOCS, vol. 13, Steklov Math. Institute of RAS, Moscow, 2009 (in Russian); doi: 10.4213/lkn13

97. N. G. Chudakov, "Chto izvestno v nastoyashchee vremya o prostykh chislakh?," Matem. prosv., ser. 1, vol. 6, pp. 16-22, 1936 (in Russian).

98. N. G. Chudakov, "On the Goldbach problem," Dokl. AN SSSR. Nov. Ser. 17, no. 7, pp. 331-334,1937 (in Russian).

99. N. G. Chudakov, "On the density of the set of even numbers which are not representable as a sum of two odd primes," Izv. AN SSSR. Ser. matem. 2, no. 1, pp. 25-40,1938 (in Russian).

100. N. G. Chudakov, "The Goldbach's problem," Uspekhi Mat Nauk, vol. 4, pp. 14-33, 1938 (in Russian).

101. N. G. Chudakov, Introduction to the theory of Dirichlet's L-functions, Moscow, Leningrad, Russia: OGIZ, 1947 (in Russian).

102. N. G. Chudakov, "Bio-Bibliographic Index," Saratov, Russia: 2004 (in Russian).

103. N. G. Chudakov, N. I. Klimov, 'Concerning the Snirel'man constant" UspekhiMat. Nauk, vol. 22, no. 1, pp. 212-213, 1967 (in Russian).

104. N. G. Chudakov, K. A. Rodosskii, "New methods in the theory of Dirichlet's L-functions," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 4, no. 2, pp. 22-56, 1949 (in Russian).

105. H. Luogeng, The method of trigonometric sums and its applications in number theory, Moscow: Mir, 1964 (in Russian).

106. A. A. Shanin, "Determination of constants in the method of Bruno—Shnirelmann," Volzhsky Mat. Sb. 2, pp. 261265,1964 (in Russian).

107. L. G. Schnirelmann, "On the additive properties of numbers," Uspekhi Mat. Nauk, pp. 9-25,1939 (in Russian).

108. L. G. Schnirelmann, "On the additive properties of numbers," Uspekhi Mat. Nauk, pp. 7-46,1940 (in Russian).

109. L. G. Schnirelmann, Prime numbers, Moscow, Leningrad, Russia: GITTL, 1940 (in Russian).

110. A. P. Yushkevich, Yu. Kh. Kopelevich, Christian Goldbach 1690-1764, Moscow: Nauka, 1983 (in Russian).

111. A. Anuja, "If any numbers genius can prove a centuries-old theorem, Faber the publisher, promises to pay $1m", The Times, March 16, 2000.

112. R. G. Archibald, "Goldbach's theorem. I, II," Scripta Math., vol. 3, pp. 44-50, pp. 153-161,1935.

113. J. Bamberg, G. Cairns, and D. Kilminster, "The crystallographic restriction, permutations, and Goldbach's conjecture," Amer. Math. Monthly, vol. 110, no. 3, pp. 202-209, 2003.

114. A. O. Bender, "Decompositions into sums of two irreducibles in

GFq[ t]", C. R. Math. Acad. Sci. vol. 346, no. 17-18, pp. 931-934, 2008; doi: 10.1016/j.crma.2008.07.025

115. A. O. Bender, "Representing an element in GFq [t ] as the sum of two irreducibles in GFqs[t]," preprint 2008; arXiv:0809.4381vl.

116. G. Bhowmik and K. Halupczok, "Asymptotics of Goldbach representations," in Proc. of the int. conf. Nagoya University, Nagoya, Japan August 21-25, 2020, pp. 1-21.

117. J. Bohman and C.-E. Fröberg, "Numerical results on the Goldbach conjecture," Nordisk Tidskr. Informati-onsbehandling (BIT), vol. 15, no. 3, pp. 239-243,1975.

118. J. Bohman and C.-E. Froöberg, "Generalized Goldbach problems" Normat, vol. 45, no. 4, pp. 167-177, 1997 (in Swedish).

119. E. Bombieri, "Sulle formule di A. Selberg generalizzate per classi di funzioni aritmetiche e le applicazioni al problema del resto nel "Primzahlsatz," Riv. Mat. Univ. Parma (2), vol. 3, pp. 393-440,1962.

120. E. Bombieri, "On the large sieve," Mathematika, vol. 12, pp. 201-225, 1965.

121. A. R. Booker, "Finite connected components of the aliquot graph," Math. Comput., vol. 87, no. 314, pp. 2891-2902, 2018; doi: 10.1090/mcom/3299

122. E. Borel, "Applications du calcul des probabilités aux problemes concernant les nombres premiers. Theoreme de Goldbach," C. R. Acad. Sci., vol. 212, pp. 317-320,1941.

123. A. Borovik "A mathematician's view of the unreasonable ineffectiveness of mathematics in biology", BioSystems, vol. 205, no. 104410, pp. 1-11, 2021; doi: 10.1016/j.biosystems.2021.104410

124. S. Bratus and I. Pak, "Fast constructive recognition of a black box group isomorphic to Sn or An using Goldbach's conjecture," J. Symb. Comput. vol. 29, no. 1, pp. 33-57, 2000; doi: 10.1006/jsco.1999.0295

125. P. S. Bruckman, "A proof of the strong Goldbach conjecture," Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech., vol. 39, no. 8, pp. 1102-1109, 2008; doi: 10.1080/00207390802136560. Retraction: "A proof of the strong Goldbach conjecture," Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech., vol. 51, no. 2, p. 325, 2020.

126. V. Brun, "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare," Archiv for Mathematik og Naturvi-denskab (Christiania), vol. 34, no. 8, pp. 3-19, 1915.

127. V. Brun, "Le crible d'Eratosthene et le theorème de Goldbach," C. R. Acad. Sci., vol. 168, pp. 544-546,1919.

128. V. Brun, "Le crible d'Eratosthfîne et le theorème de Goldbach," Christiania Vidensk. Selsk. Skr., no. 3, p. 36,1920.

129. V. Brun, "Das Sieb des Eratosthenes," 5thKongreß Skandinav. Mathematiker in Helsingfors vom 4. bis 7, Juli 1922, pp. 197-203.

130. V. Brun, "Untersuchungen uber das Siebverfahren des Eratrosthenes," Jahresber. Deutsch. Math. Vereinig., vol. 33, pp. 81-96, 1924.

131. A. A. Buchstab, "Sur la decomposition des nombres pairs en somme de deux composantes dont chacune est formee d'un nombre borne de facteurs premiers," C. R. Acad. Sci. URSS (2), vol. 29, pp. 544-548,1940.

132. D. M. Burton, "Elementary number theory," in International Series in Pure and Applied Mathematics, 7th ed. New York: McGraw-Hill, 2011.

133. T. Cai, The book of numbers, 2016.

134. G. Cantor, "Verification jusqu'a 1000 du theorème empirique de Goldbach," Assoc. Franc. Caen, vol. 23, pp. 117134, 1894.

135. L. Carlitz, "A problem in additive arithmetic," Quart. J. Math., Oxford. Ser., vol. 2, pp. 97-106,1931.

136. J. R. Chen, "On the representation of a large even integer as a sum of a prime and a product of at most two primes. I, II," Sci. Sinica., vol. 16, pp. 157-176, 1973.

137. J. R. Chen, "On the Goldbach's problem and the sieve methods," Sci. Sinica, vol. 21, no. 6, pp. 701-739, 1978.

138. J. R. Chen, "The exceptional set of Goldbach numbers II," Sci. Sinica, vol. 26, pp. 714-731,1983.

139. J. R. Chen, "The exceptional set of Goldbach numbers, III," Chinese Quart. J. Math., vol. 4, pp. 1-15,1989.

140. J. R. Chen and L. Jianmin, "The exceptional set of Goldbach-numbers. III," Chinese Quart. J. Math. vol. 4, no. 1, pp. 1-15, 1989.

141. J. R. Chen and C. D. Pan, "The exceptional set of Goldbach numbers," Sci. Sinica, vol. 23, pp. 416-430,1980.

142. J. R. Chen and T. Z. Wang, "On the odd Goldbach problem," Acta Math. Sinica, vol. 32, no. 5, pp. 702-718,1989 (in Chinese).

143. J. R. Chen and T. Z. Wang, "A study on the Goldbach problem in the case of odd numbers," Kexue Tongbao, vol. 34, no. 20, pp. 1521-1522, 1989 (in Chinese).

144. J. R. Chen and T. Z. Wang, "A note on the Goldbach problem," Acta Math. Sinica, vol. 34, pp. 143-144,1991 (in Chinese).

145. J. R. Chen and T. Z. Wang, "Estimation of the second main term in odd Goldbach problem," ActaMath. Sci. vol. 11, no. 3, pp. 241-250, 1991.

146. J. R. Chen and T. Z. Wang, "The Goldbach problem for odd numbers," Acta Math. Sinica (Chin. Ser.), vol. 39, no. 2, pp. 169-174,1996.

147. M. Chen, "Can the Goldbach conjecture be proved by elementary means?," Sci. Exploration, vol. 2, no. 3, pp. 171172, 1982 (in Chinese).

148. J. G. van der Corput, "Sur la demonstration de l'hypothese de Goldbach pour les nombres impairs donnee par M. Vinogradow." Confer. Reeun. internat. Math., Paris, 1937.

149. J. G. van der Corput, "Sur l'hypothèse de Goldbach pour presque tous les nombres pairs," Acta Arith., vol. 2, pp. 266-290, 1937.

150. J. G. van der Corput, "Sur le théorème de Goldbach—Vinogradow," C. R. Acad. Sci., vol. 205, pp. 479-481,1937.

151. J. G. van der Corput, "Une nouvelle generalisation du theorème de Goldbach—Vinogradow," C. R. Acad. Sci., vol. 205, pp. 591-592, 1937.

152. J. G. van der Corput, "Sur l'hypothèse de Goldbach pour presque tous les nombres pairs," Acta arith. vol. 2, pp. 266-290, 1937.

153. J. G. van der Corput, "Sur l'hypothèse de Goldbach," Proc. Akad. Wet. Amsterdam, vol. 41, pp. 76-80,1938.

154. J. G. van der Corput, "Uber eine Vermutung von de Polignac," Simon Stevin, Wis. Natuurk. Tijdschr, vol. 27, pp. 99-105, 1950 (in Dutch).

155. A. C. Cojocaru and M. R. Murty, "An introduction to sieve methods and their applications," London Mathematical Society Student Texts, vol. 66, 2006.

156. H. Cramèr, "Nombres premiers et equations indèterminèes," Ark. for Mat., Astron. ochFys, vol. 14, no. 13, p. 11, 1920 (in Swedish).

157. M. Cugiani "Commemorazioner di Giovanni Ricci," Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, vol. 53, pp. 11-15,1983.

158. M. Cugiani, "Giovanni Ricci (1904-1973)," Acta Arith., vol. 46, no. 4, pp. 303-311,1986.

159. A. Cunningham, "Evidence of Goldbach's theorem," Messenger, vol. 2, no. 36, pp. 17-30,1906.

160. H. Davenport and H. Halberstam, "Primes in arithmetic progressions," Michigan Math. J., vol. 13, pp. 485-489, 1966.

161. A.-M. Dècaillot, Cantor et la France. Correspondance du mathématicien allemand avec les Francais a la fin du XIX siecle, Paris: Kimè, 2008.

162. A.-M. Dècaillot, "Cantor und die Franzosen. Mathematik, Philosophie und das Unendliche," . Mathematik im Kontext, Heidelberg: Springer, 2011.

163. A. Desboves, "Sur un thèorème de Legendre et son application a la recherche de limites qui comprennent entre elles des nombres premiers," Nouv. Ann. Math., vol. 14, pp. 281-295,1855.

164. R. Descartes, Oeuvres, C.A.P. Tannery ed., Paris: Cerf, 1908.

165. J.-M. Deshouillers, "Amelioration de la constante de Snirelman dans le problème de Goldbach," in Seminaire Delange—Pisot—Poitou (14e annee: 1972/73), Paris: Secrétariat Mathématique, 1973.

166. J.-M. Deshouillers, "Sur la constante de Snirel'man," in In Seminaire Delange—Pisot—Poitou, 17e annee: (1975/76), Paris: Secrétariat Math., 1977.

167. J.-M. Deshouillers, A. Granville, W. Narkiewicz, and C. Pomerance, "An upper bound in Goldbach's problem," Math. Comput. vol. 61, no. 203, pp. 209-213,1993.

168. J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron," Res. Announc. Amer. Math. Soc., vol. 3, pp. 99-104,1997.

169. J.-M. Deshouillers and H. J. J. te Riele, On the probabilistic complexity of numerically checking the binary Goldbach conjecture in certain intervals, Number Theory and Its Applications, S. Kanemitsu and K. Gyory eds., Dordrecht— Boston—London: Kluwer Academic Publishers, 1999, pp. 89-99.

170. J.-M. Deshouillers, H. J. J. te Riele, and Y. Saouter, "New experimental results concerning the Goldbach conjecture," in Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998) (Lecture Notes in Comput. Sci.), Berlin: Springer, 1998, pp. 204-215.

171. L. E. Dickson, History of the theory of numbers. Vol. I: Divisibility and primality. Reprint of the 1919 original published by Carnegie Institution, Washington, DC, Mineola, NY: Dover Publications, 2005.

172. A. Doxiadis, Zio Petros e la congettura di Goldbach, Milano, Italy: RCS Libri S.p.A., 2000.

173. R. Dubois, Connaissance des nombres premiers. Essai de mise au point d'une méthode rapide de discernement des nombres premiers. Demonstration de l'existence d'une infinite! de doublets et resolution du problème de Goldbach, Paris: Librairie Scientifique Albert Blanchard, 1969.

174. G. Dufne, "Binares Goldbachproblem mit Einschrankung an die Summanden," Period. Math. Hungar., vol. 30, pp. 105-134, 1995.

175. J. Echeverría, "Empirical methods in mathematics. a case study: Goldbach's conjecture," in Spanish Studies in the Philosophy of Science, G. Munevar, ed., Boston: Kluwer, 1996, pp. 19-55.

176. G. Effinger, "Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem," Ramanujan J., vol. 3, no. 3, pp. 239-280,1999.

177. T. Estermann, "On the representations of a number as the sum of a prime and a quadratfrei number," J. Lond. Math. Soc., vol. 6, pp. 219-221,1931.

178. T. Estermann, "Eine neue Darstellung und neue Anwendungen der Viggo-Brunschen Methode," J. Reine Angew. Math., vol. 168, pp. 106-116,1932.

179. T. Estermann, "Proof that every large integer is the sum of two primes and a square," Proc. Lond. Math. Soc., vol. 2, no. 42, pp. 501-516, 1937.

180. T. Estermann, "A new result in the additive prime-number theory," Q.J. Math., Oxf. Ser., vol. 8, pp. 32-38,1937.

181. T. Estermann, "On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes," Proc. London Math. Soc., vol. 44, pp. 307-314,1938.

182. L. Euler, Lettre XVIV, Euler a Goldbach Berlin 3Ü Juni lZ42, [Online]. Available: http://eulerarchive.maa.org/ /corres\protect\discretionary{\char\hyphenchar\font}{}{}pondence/letters/OO0766.pdf

183. C. J. A. Evelyn and E. H. Linfoot, "On a problem in the additive theory of numbers. II," J. Reine Angew. Math., vol. 164, pp. 131-140, 1931.

184. J. A. Farrugia, "Brun's 1920 theorem on Goldbach's Conjecture," Master Thesis, Utah State Univ., pp. 1-87, 2018.

185. E. Fouvry, "Un résultat nouveau en théorie additive des nombres premiers," in Sem. Delange—Pisot—Poitou (l9ZS/Z6), pp. 1-11,1976.

186. E. Fouvry and F. Grupp, "Weighted sieves and twin prime type equations," Duke Math.J., vol. 58, pp. 731-748, 1989.

187. P.-H. Fuß, Correspondance matheematique et physique de quelques celebres geometres du XVIIIeme siecle, New York and London: Johnson Reprint Corporation. 1968 (in French).

188. C. Goldbach, Lettre XVIII, Goldbach à Euler. MoscauZJuni lZ42, [Online]. Available: http://eulerarchive.maa.org/ correspondence/letters/OO0765.pdf

189. D. A. Goldston, "On Hardy and Littlewood's contribution to the Goldbach conjecture," Proc. Amalfi Conf. Analytic Number Theory, Maiori, 1989, pp. 115-155

190. X. Gourdon and P. Demichel, The first 1013 zeros of the Riemann Zeta function, andzeros computation at very large height, [Online]. Available: http://numbers.computation.free.fr/Constants/MisceLlaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf

191. A. Granville, "Refinements of Goldbach's conjecture, and the generalized Riemann hypothesis," Funct. Approx. Comment. Math. vol. 37, part 1, pp. 159-173, 2007.

192. A. Granville, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, "Checking the Goldbach conjecture on a vector computer," in Number theory and applications (Banff, Alberta, l9SS), 1989, pp. 423-433.

193. G. Greaves, "Sieves in number theory," in Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge), vol. 43, 2001.

194. M. Gromov, Great circle of mysteries. Mathematics, the world, the mind, Birkhüuser Cham, 2018.

195. R. K. Guy, Unsolved problems in number theory, Berlin: Springer-Verlag, 1994.

196. J. Hadamard, "Un travail de Jean Merlin sur les nombres premiers," Bull. Sci. Math., vol. 50, pp. 121-136,1915.

197. H. Halberstam, "A proof of Chen's theorem," in Journeees Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, l9Z4), Astérisque, no. 24-25, 281-29,1975.

198. H. Halberstam and H.-E. Richert, "Sieve methods," London Mathematical Society Monographs, no. 4,1974.

199. G.H.Hardy, "Goldbach's theorem (A lecture to the Math. Soc. of Copenhague on 6. October 1921.)," Mat. Tidsskr. vol. B, pp. 1-16, 1922.

200. G. H. Hardy, Trois problèmes celebres de la théorie des nombres. La partition des nombres. Le probleime de Waring. Le problème de Goldbach. Resume des travaux de Hardy, Hilbert, Kempner, Landau, Littlewood et Wieferich. Etat actuel de ces trois questions. Traduit de l'anglais par A. Sallin, Paris: Presses Universitaires de France, 1931.

201. G. H. Hardy and J. E. Littlewood, "Some problems of 'Partitio numerorum'; III: On the expression of a number as a sum of primes," Acta Math. vol. 44, no. 1, pp. 1-70,1923.

202. G. H. Hardy and J. E. Littlewood, "Some Problems of 'Partitio Numerorum' (V): A Further Contribution to the Study of Goldbach's Problem," Proc. London Math. Soc. vol. 2, no. 22, pp. 46-56,1924.

203. R. Haußner, "Uber das Goldbach'sche Gesetz," Deutsche Math. Ver., vol. 5, no. 1, pp. 62-66,1897.

204. R. Haußner, "Tafeln für das Goldbach'sche Gesetz," Abh. Kais. Leopold. Carol. Deutsch Akad. Naturforscher, vol. 1, 1899.

205. R. Haußner, "Uüber die Staückelschen Luückenzahlen und den Goldbachschen Satz," Deutsche Math.-Ver., vol. 31, pp. 115-124,1922.

206. R. Haußner, "Untersuchungen über Lückenzahlen und den Goldbachschen Satz," J.f. M., vol. 158, pp. 173-194, 1927.

207. D. R. Hayes, "A polynomial analog of the Goldbach conjecture," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 69, pp. 115-116,1963.

208. D. R. Hayes, "Correction to 'A polynomial analog of the Goldbach conjecture'," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 69, pp. 493, 1963.

209. D. R. Hayes, "The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles," Acta Arith., vol. 11, pp. 461-488, 1966.

210. D. R. Heath-Brown, "The ternary Goldbach problem," Rev. Mat. Iberoamericana, vol. 1, pp. 45-59,1985.

211. H. Heilbronn, E. Landau, and P. Scherk, "Alle grossen ganzen Zahlen lassen sich als Summe von hochstens 71 Primzahlen darstellen," Casopis pro pestovani Matematiky aFysiky, no. 65, pp. 117-140,1936.

212. H. A. Helfgott, Azar y aritmética, Un capítulo de la teoría probabilística de nUmeros, (Monografías del Instituto de Matematicay Ciencias Afines, v. 50), Lima, Peru IMCA, 2009.

213. H. A. Helfgott, Minor arcs for Goldbach's problem, [Online]. Available: arXiv:1205.5252v4[math.NT]

214. H. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's problem, [Online]. Available: arXiv:1305.2897v4[math.NT]

215. H. A. Helfgott, "La conjetura debil de Goldbach," Gac. R. Soc. Mat. Esp., vol. 16, no. 4. 2013.

216. H. A. Helfgott, The Ternary Goldbach Conjecture is true, [Online]. Available: arXiv:1312.7748v2[math.NT]

217. H. A. Helfgott, The ternary Goldbach problem, [Online]. Available: arXiv:1501.05438v2[math.NT]

218. H. A. Helfgott, "The ternary Goldbach problem," Proc. of the Int. Cong. of Mathematicians Seoul 2014, vol. II, pp. 391-418, 2014.

219. H. A. Helfgott, "Crecimiento y expansion en SL2," in Universidad S. Antonio Abad, 2015, [Online]. Available: arXiv:1810.00703[math.GR]

220. H. A. Helfgott and D. J. Platt, "Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 • 1030," Exp. Math., vol. 22, no. 4, pp. 406-409, 2013.

221. H. A. Helfgott and A. Ubis, Primos, paridady análisis. Actas de la escuela AGRA 2018, [Online]. Available: arXiv: 1812.08707v4[math.NT]

222. Hesiodos, Gynaikon katalogos,[Online]. Available: https://www.hs-augsburg.de/~llharsch/graeca/Chronologia/ S_{}ante08/Hesiodos/hes_{}ka03.html (in Greek).

223. D. Hilbert, "Mathematische Probleme," Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Congress zu Paris 1900,1900, pp. 253-297.

224. D. W. Hoffmann, Die Gödel'schen Unvollstandigkeitssatze. Eine geführte Reise durch Kurt Godels historischen Beweis., 2nd ed., Heidelberg: Springer Spektrum, 2017.

225. H. Hong and Ch. W. Brown, QEPCAD B — Quantifier elimination by partial cylindrical algebraic decomposition, May 2011. version 1.62.

226. Chr. Hooley, Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge: Cambridge University Press, 1976.

227. L. Hua, "A direct attempt to Goldbach problem," Acta Math. Sinica, vol. 33, no. 2, p. 286,1989.

228. H. Iwaniec, "Almost-primes represented by quadratic polynomials," Invent. Math., vol. 47, no. 2, pp. 178-188, 1978.

229. H. Iwaniec and T. Kowalski, Analytic number theory, Providence, RI: Amer. Math. Soc. Colloquium Publ., vol. 53, 2004.

230. A. Jackson, "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture and the Wild Numbers," Notices Amer. Math. Soc., vol. 47, no. 10, pp. 1274-1275, 2000.

231. R. D. James, "Recent progress in the Goldbach problem," Bull. Am. Math. Soc., vol. 55, pp. 246-260, 1949.

232. L. Kaniecki, "On Snirelman's constant under the Riemann hypothesis," Acta Arith., vol. 72, no. 4, pp. 361-374, 1995.

233. C. A. Laisant, "Sur un procede de verification expérimentale du theorème de Goldbach," S. M. F. Bull., vol. 25, pp. 209-211, 1897.

234. E. Landau, "Uber die zahlentheoretische Function ${ri) und ihre Beziehung zum Goldbach'schen Satz," Gott. Nachr. 1900, pp. 177-186,1900.

235. E. Landau, "Gelüoste und ungelüoste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion," Jahresber. Deutsche Math. Ver., vol. 21, pp. 208-228,1912.

236. E. Landau, "Zur additiven Primzahltheorie," Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 46, pp. 349-356,1922.

237. E. Landau, Vorlesungen uber Zahlentheorie. I: Aus der elementaren und additiven Zahlentheorie. II: Aus der analytischen und geometrischen Zahlentheorie. III: Aus der algebraischen Zahlentheorie und uber die Fermatsche Vermutung., Leipzig, Germany: S. Hirzel, 1927.

238. E. Landau, "Die Goldbachsche Vermutung und der Schnirelmannsche Satz," Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, pp. 255-276,1930.

239. E. Landau, "Verscharfung eines Romanoffschen Satzes," ActaArithmet., vol. 1, pp. 43-61,1935.

240. E. Landau, "Über einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie," in Cambridge tracts in mathematics and physics, no. 35, Cambridge: Cambridge University Press, 1937.

241. A. Languasco, J. Pintz, and A. Zaccagnini, "On the sum of two primes and k powers of two," Bull. London Math. Soc., vol. 39, no. 5, pp. 771-780, 2007.

242. H. Li, "The exceptional set of Goldbach numbers. I, II," Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), vol. 50, no. 200, pp. 471-482, 1999, Acta Arith., vol. 92, no. 1, pp. 71-88, 2000.

243. H. Li, "The number of powers of 2 in a representation of large even integers by sums of such powers and of two primes. II," Acta Arith., vol. 96, pp. 369-379, 2001.

244. H. Li, "On the representation of a large integer as the sum of a prime and a square-free number with at most three prime divisors," Ramanujan J., vol. 49, no. 1, pp. 141-158, 2019.

245. J. Li and M. Zhang, "Hua's theorem with the primes in Piatetski-Shapiro prime sets," Int.J. Number Theory, vol. 14, no. 1, pp. 193-220, 2018.

246. W. A. Light, J. Forest, N. Hammond, and S. Roe, "A note on Goldbach's conjecture," BIT, vol. 79, p. 525,1980.

247. Yu. V. Linnik, "On a sequence which does not form the binary basis," Proc. USSR SA, no. 37, pp. 122-124,1942.

248. E. H. Linfoot and C. J. A. Evelyn, "On a problem in the additive theory of numbers," Math. Z, no. 30, pp. 433-448, 1929.

249. E. Lionnet, "Note sur la question: Tout nombre pair est-il la somme des deux impairs premiers?," Nouv. Ann., vol. 2, no. 18, pp. 356-361, 1879.

250. J. Liu, M.-Ch. Liu, and T. Wang, "The number of powers of 2 in a representation of large even integers. I, II," Sci. China Ser. A, vol. 41, pp. 386-397, 1998.

251. J. Liu, M.-Ch. Liu, and T. Wang, "On the almost Goldbach problem of Linnik," J. Theor. Nombres Bordeaux, vol. 11, pp. 133-147, 1999.

252. J. Liu and T. Zhan, "The ternary Goldbach problem in arithmetic progressions," Acta arith., vol. 82, no. 3, pp. 197227, 1997.

253. J. Liu and T. Zhan, "The Goldbach—Vinogradov theorem", in Number theory in progress. Proc. of the Int. Conf. Organized by the Stefan Banach Int. Mathematical Center in Honor of the 60th Birthday of Andrzej Schinzel. Volume 2: Elementary and Analytic Number Theory, Zakopane, Poland, 1997, K. Györy, et al. eds., Berlin: de Gruyter, 1999, pp. 1005-1023.

254. M.-Ch. Liu, "The two Goldbach conjectures," J. Shandong Univ. Nat. Sci., vol. 48, no. 2, pp. 1-14, 2013 (in Chinese).

255. M.-Ch. Liu and T. Wang, "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture," Acta Arith., vol. 105, no. 2, pp. 133-175, 2002.

256. E. Maillet, "Sur le theorème de Goldbach (question 4215, de J. Svoboda)," Intermed. des math., vol. 26, p. 81,1919.

257. C. Mardjanichvili, "Sur la demonstration du theorème de Goldbach—Vinogradoff," Proc. USSR SA no. 30, pp. 687689,1941.

258. J. Merlin, "Sur quelques theorèmes d'arithmétique et un enonce qui les contient," Comptes Rendus Acad. Sci., vol. 153, pp. 516-518, 1911.

259. R. J. Miech, "On the equation n = p + x2," Trans. Amer. Math. Soc, vol. 130, pp. 494-512,1968.

260. H. Mikawa, "On the exceptional set in Goldbach's problem," Tsukuba J. Math., vol. 16, pp. 513-543,1992.

261. R. A. Mollin, "An overview of sieve methods," Int.J. Contemp. Math. Sci., vol. 5, no. 1-4, pp. 67-80, 2010.

262. H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, "The large sieve," Mathematika, vol. 20, pp. 119-133,1973.

263. H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, "The exceptional set in Goldbach's problem," Acta Arith., vol. 27, pp. 353370, 1975.

264. W. Narkiewicz, "Some recent developments in three classical problems of number theory," Jber. Deutsch. Math.-Verein., vol. 77, no. 2, pp. 55-65, 1975.

265. W. Narkiewicz, The development of prime number theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. (Springer Monographs in Mathematics), Berlin: Springer-Verlag, 2000.

266. W. Narkiewicz, Rational number theory in the 20th century. From PNT to FLT. (Springer Monographs in Mathematics), London: Springer, 2012.

267. M. B. Nathanson, Additive Number Theory, The Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics, 164, New York: Springer, 1996.

268. S. Nazardonyavi, Some history about twin prime conjecture, [Online]. Available: arXiv:1205.0774 [math.HO]

269. Obituary: "Salomon Lubelski," Acta Arith., vol. 4, pp. 1-2, 1958.

270. R. Oblath, "Sur le problème de Goldbach," Mathesis, vol. 61, pp. 179-183,1952.

271. K. Ormand, The Hesiodic Catalogue of Women and Archaic Greece, Cambridge: Cambridge University Press, 2014.

272. T. Oliveira e Silva, S. Herzog, and S. Pardi, "Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4 • 1018," Math. Comput., vol. 83, pp. 2033-2060, 2014.

273. G. Pall, "On sums of squares," Amer. Math. Monthly, vol. 40, pp. 10-18,1933.

274. Ch. D. Pan, "On the representation of even numbers as the sum of a prime and a product of not more than 4 primes," Sci. Sinica vol. 12, pp. 455-473,1963.

275. Ch. D. Pan, "On the representation of an even integer as the sum of a prime and an almost prime," Chinese Math., vol. 3, no. 1, pp. 101-112, 1963.

276. Ch. D. Pan and Ch. B. Pan, Goldbach's Conjecture, Beijing, China: Science Press, 1992.

277. M. Petrovitch, "Le Postulatum de Bertrand comme conséquence du théorème de Goldbach," Bruxelles: Sphinx, vol. 8, pp. 19-20, 1938.

278. J. Pintz, "A note on the exceptional set in Goldbach's problem," Colloque Theorie Analytique des Nombres 'Jean Coquet', pp. 101-115,1988.

279. J. Pintz, "Recent results on the Goldbach conjecture," Elementare und Analytische Zahlentheorie (Tagungsband). Proc. ELAZ-Conference, May 24-28,2004, Stuttgart, Germany: Steiner Verlag, pp. 220-254, 2006.

280. J. Pintz, "Landau's problems on primes," J. Theor. Nombres Bordeaux, vol. 21, no. 2, pp. 357-404, 2009.

281. J. Pintz and I. Z. Ruzsa, "On Linnik's approximation to Goldbach's problem. I," Acta Arith., vol. 109, pp. 169-194, 2003.

282. W. Piotrowski, "Przyczynek do biografii Salomona Lubelskiego," Wiad. Mat., vol. 49, no. 2, pp. 61—63, 2013.

283. N. Pipping, "Uber Zwillingsprimzahlen und Goldbachsche Spaltungen," Commentationes Helsingfors, vol. 3, no. 2, p. 14S, 1926.

284. N. Pipping, "Neue Tafeln für das Goldbachsche Gesetz nebst Berichtigungen zu den Haussnerschen Tafeln," Commentationes Helsingfors, vol. 4, no. 4, p. 28S, 1927.

285. N. Pipping, "Uber Goldbachsche Spaltungen großer Zahlen," Commentationes Helsingfors, vol. 4, no. 10, pp. 1-16, 1927.

286. N. Pipping, "Die Goldbachschen Zahlen G(x) fur x = 120072-120170," Commentationes Helsingfors, vol. 4, no. 25, p. 6S, 1929.

287. N. Pipping, "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach—Vinogradowsche Satz," Acta Acad. Aboensis, Math. Phys., vol. 11, no. 4, pp. 1-25,1938.

288. N. Pipping, "Goldbachsche Spaltungen der geraden Zahlen x fur x = 60000-99998," Acta Acad. Abo., vol. 12, no. 11, pp. 1-18, 1940.

289. P. Pollack, "A polynomial analogue of the twin prime conjecture," Proc. Amer. Math. Soc., vol. 136, no. 11, pp. 3775-3784, 2008.

290. H. Rademacher, "Beitrage zur Viggo Brunschen Methode in der Zahlentheorie," Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 3, no. 1, pp. 12-30, 1923.

291. H. Rademacher, "Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkürper. I: Uber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summe von totalpositivon Primzahlen im reell-quadratischen Zahlkoürper. II: Uüber die Darstellung von Koürperzahlen als Summe von Primzahlen im imaginaür-quadratischen Zahlküorper. III: Uüber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summen von totalpositiven Primzahlen in einem beliebigen Zahlküorper," Hamb. Math. Abh., vol. 3, pp. 109-163, pp. 331-378, pp. 321-426, 1924.

292. H. Rademacher, "Uber eine Erweiterung des Goldbachschen Problems," Math. Z, vol. 25, pp. 627-657,1926.

293. O. Ramaré, "On Snirel'man's constant," Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, vol. 22, pp. 645-706,1995.

294. M. T. Rassias, Goldbach's problem. Selected topics. With forewords by Jorg Brüdern andPreda Mihailescu., Springer, 2017.

295. G. Ricci, "Su la congettura di Goldbach e la costante di Schnirelmann," Boll. UnioneMat. Ital., vol. 15, pp. 183-187, 1936.

296. G. Ricci, "Alcuni recenti risultati intorno alla congettura di Goldbach," Atti primo Congr. Un. mat. Ital., pp. 158160, 1937.

297. G. Ricci, "Su la congettura di Goldbach e la costante di Schnirelmann, I, II," Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, Serie II, vol. 6, no. 1, pp. 71-90, no. 2, pp. 91-116, 1937.

298. G. Ricci, "Recenti risultati nel campo dell'aritmetica. Ilproblema di Goldbach,"Rend. Sem. mat. fis. Milano, vol. 13, pp. 204-226, 1939.

299. H.-E. Richert, "Uber Zerfallungen in ungleiche Primzahlen," Math. Zeitschr., vol. 52, pp. 342-343,1949.

300. J. Richstein, "Verifying the Goldbach conjecture up to 4 • 1014," Math. Comput., vol. 70, pp. 1745-1749, 2001.

301. H. Riesel and R. C. Vaughan, "On sums of primes," Ark. Mat., vol. 21, no. 1, pp. 46-74,1983.

302. N. P. Romanoff, "Uber einige Satze der additiven Zahlentheorie," Math. Ann., vol. 109, pp. 668-678,1934.

303. P. M. Ross, "On Chen's theorem that each large even number has the form p1 + p2 or p1 + p2P3," J. LondonMath. Soc., no. 4, pp. 500-506, 1975.

304. P. M. Ross, On linear combinations of primes and numbers having at most two prime factors, Ph. D. Thesis, Imperial College, 1976.

305. E. Roure and A. Travesa, "Two independent checkings of the weak Goldbach conjecture up to 1027," Exp. Math. vol. 25, no. 1, pp. 79-82, 2016.

306. Y. Saouter, "Checking the odd Goldbach conjecture up to 1020," Math. Comput., vol. 67, pp. 863-866,1998.

307. A. Schinzel, Teoria liczb i algebra w pracach Salomona Lubelskiego, Dzieje matematyki polskiej. I., W. Wiesiaw ed., Wroclaw, Poland: Inst. Mat. Uniw. Wrociawskiego, 2012, pp. 237-248 (in Polish).

308. A. Selberg, "An elementary proof of the prime-number theorem for arithmetic progressions," Canad. J. Math., vol. 2, pp. 66-78,1950.

309. E. S. Selmer and G. Nesheim, "Die Goldbachschen Zwillingsdarstellungen der durch 6 teilbaren Zahlen 196302196596," Norske Vid. Selsk. Forhdl., vol. 15, pp. 107-110,1942.

310. E. S. Selmer, "Eine neue hypothetische Formel fUr die Anzahl der Goldbachschen Spaltungen einer geraden Primzahl und eine numerische Kontrolle," Arch. Math. Naturvid., vol. 46, no. l, pp. 1-18,1943.

311. N. M. Shah and B. M. Wilson, "On an empirical formula connected with Goldbach's Theorem," Cambr. Phil. Soc. Proc., vol. 19, pp. 238-244, 245-254,1919.

312. N. M. Shah and B. M. Wilson, "Numerical data connected with Goldbach's theorem," Lond. Math. Soc. Proc. (2), vol. 18, 1920.

313. X. Shao, "An L-function-free proof of Vinogradov's three primes theorem," Forum Math. Sigma, vol. 2, 2014.

314. X. Shao, "A density version of the Vinogradov three primes theorem," Duke Math. J., vol. 163, no. 3, pp. 489-512, 2014.

315. H. N. Shapiro and J. Warga, "On the representation of large integers as sums of primes," I. Comm. Pure Appl. Math., vol. 3, pp. 153-176,1950.

316. M-K. Shen, "On checking the Goldbach conjecture," Nordisk Tidskr. Informationsbehandling(BIT), vol. 4, pp. 243245, 1964.

317. Q. Shen, "The ternary Goldbach problem with primes in positive density sets," J. Number Theory, vol. 168, pp. 334-345, 2016.

318. H. Siebert, "Montgomery's weighted sieve for dimension two," Monatsh. Math., vol. 82, no. 4, pp. 327-336,1976.

319. W. Sierpinski, Elementary theory of numbers, 2nd ed., Warszawa: PWN—Polish Scientific Publishers, 1988.

320. M. K. Sinisalo, "Checking the Goldbach conjecture up to 4 • 1011," Math. Comput., vol. 61, pp. 931-934,1993.

321. P. Stackel, "Ueber Goldbachs empirisches Theorem: Jede gerade Zahl kann als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden," Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, pp. 292-299,1896 (in German).

322. P. Stackel, "Die Darstellung der geraden Zahlen als Summen von zwei Primzahlen." Heidelb. Akk. Sitzber., no. 10, 1916 (in German).

323. P. Stäckel, "Die Luckenzahlen r-ter Stufe und die Darstellung der geraden Zahlen als Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I, II," Heidelb. Ak. Sitzber, vol. 15,1917 (in German).

324. P. Staäckel and W. Weinreich, "Die Darstellung gerader Zahlen als Differenzen und Summen von Primzahlen," Abh. Heidelb. Akad. Wiss., no. 10,1922 (in German).

325. G. K. Stanley, "On the representation of a number as a sum of squares and primes," Proc. Lond. Math. Soc. (2), vol. 29, pp. 122-144, 1929.

326. M. L. Stein and D. R. Stein, "New experimental results on the Goldbach conjecture," Math. Mag., vol. 38, pp. 72-78, 1965.

327. F. J. Studnicka, "Poznamka o cislech sudych," Casopis pro pestovdni mathematiky a fysiky, vol. 26, no. 2-3, pp. 207-208, 1897.

328. J. Svoboda, "Sur le theoreme de Goldbach," Intermed. des math., vol. 22, pp. 132-133,1915.

329. J. J. Sylvester, "On the partition of an even number into two primes," Proc. ofL. M. S., vol. 4, pp. 4-6,1872.

330. J. J. Sylvester, "On the Goldbach—Euler theorem concerning prime numbers," Nature, vol. 55,196-197,1896.

331. N. Tchudakoff, "On Goldbach—Vinogradov's theorem," Ann. Math. (2), vol. 48, pp. 515-545,1947.

332. T. Tao, "Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes," Math. Comput., vol. 83, pp. 997-1038, 2014.

333. T. Tao and V. Vu, Additive Combinatorics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 105, Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

334. B. Teissier, "Crible de Brun," Seminaire Delange—Pisot—Poitou. Theorie des nombres, vol. 7, no. 2, pp. 1-13,19651966.

335. A. Togashi and S. Uchiyama, "On the representation of large even integers as sums of two almost primes. I," J. Fac. Sci., pp. 60-68, 1964.

336. S. Uchiyama, "On the representation of large even integers as sums of two almost primes. II," J. Fac. Sci., vol. 18, pp. 69-77, 1964.

337. S. Uchiyama, "On the representation of large even integers as sums of a prime and an almost prime. II," Proc. Japan Acad., vol. 43, pp. 567-571, 1967.

338. M. Uchiyama and S. Uchiyama, "On the representation of large even integers as sums of a prime and an almost prime," Proc. Japan Acad., vol. 40, pp. 150-154, 1964.

339. I. Vardi, Computational recreations in Mathematica, Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1991.

340. L. N. Vaserstein, "Noncommutative number theory. Algebraic K-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987)," Contemp. Math., vol. 83, pp. 445-449, 1989.

341. R. C. Vaughan, "On Goldbach's problem," Acta Arith., vol. 22, pp. 21-48,1972.

342. R. C. Vaughan, "A note on Snirel'man's approach to Goldbach's problem," Bull. London Math. Soc., vol. 8, pp. 245250,1976.

343. R. C. Vaughan, "On the estimation of Schnirelman's constant," J. Reine Angew. Math., vol. 290, pp. 93-108,1977.

344. R. C. Vaughan, "Sommes trigonometriques sur les nombres premiers," C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, vol. 285, no. 6, pp. A981-A983, 1977.

345. R. C. Vaughan, The Hardy—Littlewood method (Cambridge Tracts in Mathematics 125), 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

346. R. C. Vaughan, "Hardy's legacy to number theory," J. Austraila Math. Soc., series A, vol. 65, pp. 238-266,1998.

347. M. Vecchi, "Un nuovo aspetto dato al teorema di Goldbach," Rom. Acc. L. Rend., vol. 5, no. 2, pp. 654-659,1913.

348. I. Vinogradow, "Some theorems concerning the theory of primes," Math collection, vol. 2 (44), pp. 179-194,1937.

349. I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes," C. R. Acad. Sci. URSS, vol. 15, pp. 6-7, 1937.

350. A. Walfisz, "Zur additiven Zahlentheorie. II," Math. Z., vol. 40, pp. 592-607,1935.

351. T. Wang, "On Linnik's almost Goldbach theorem," Sci. China Ser. A, vol. 42, pp. 1155-1172,1999.

352. T.Wang, "The Goldbach problem for odd numbers under the generalized Riemann hypothesis. II," Adv. in Math. (China) 25, no. 4, pp. 339-346,1996 (in Chinese).

353. T. Z. Wang and J. R. Chen, "On odd Goldbach problem under general Riemann hypothesis," Sci. China Ser. A 36, no. 6, pp. 682-691, 1993.

354. Y. Wang, "On the representation of a large even integer as a sum of a product of at most 3 primes and a product of at most 4 primes," Acta Math. Sin., vol. 6, pp. 500-513,1956 (in Chinese).

355. Y. Wang, "On the representation of large even integer as a sum of a prime and a product of at most 4 primes," Acta Math. Sin. vol. 6, pp. 565-582, 1956 (in Chinese).

356. Y. Wang, "On the representation of large even as a sum of two almost primes," Science Record, n. Ser. 1,pp. 291295, 1957.

357. Y. Wang, "On sieve methods and some of their applications, I," Acta Math. Sinica, vol. 8, pp. 413-429,1958 (in Chinese).

358. Y. Wang, "On sieve methods and some of their applications," Acta Math. Sin., vol. 9, pp. 87-100,1959.

359. Y. Wang, "On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime," Acta Math. Sin., vol. 10, pp. 168-181, 1960 (in Chinese).

360. Y. Wang, The Goldbach Conjecture, 2nd ed., 1964.

361. M. Ward, "A generalization of a familiar theorem concerning prime numbers," Journal L. M. S., vol. 5, pp. 106107, 1930.

362. E. Waring, Meditationes Algebraicae (English translation by Dennis Weeks of the 1782 edition, Providence: Amer. Math. Soc., 1991, [Online]. Available: https://archive.org/details/bub_gb_1MNbAAAAQAAJ

363. Sh. Yang and A.Togbe, "A note of three prime representation problems," Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhdzi. (N.S.), vol, 32, no. 1, pp. 23-31, 2016.

364. W.-L. Yin, "Note of the representation of large integers as sums of primes," Acta Sci. Natur. Univ. Pekinensis, vol. 3, pp. 323-326, 1956 (in Chinese).

365. D. Zeilberger, "Theorems for a price: tomorrow's semi-rigorous mathematical culture," Notices Amer. Math. Soc., vol. 40, no. 8, pp. 978-981, 1993.

366. M. Y. Zhang and P. Ding, "An improvement to the Schnirelman constant." J. China Univ. Sci. Techn., vol. 13, pp. 3153, 1983.

367. Z. F. Zhang and T. Z. Wang, "The ternary Goldbach problem with primes in arithmetic progressions," Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), vol. 17, no. 4, pp. 679-696, 2001 (in Chinese).

368. D. Zinoviev, "On Vinogradov's constant in Goldbach's ternary problem," J. Number Theory, vol. 65, no. 2, pp. 334358, 1997.

369. A. Zulauf, "Beweis einer Erweiterung des Satzes von Goldbach—Vinogradov," J. Reine Angew. Math., vol. 190, pp. 169-198, 1952.

370. A. Zulauf, "Uber den dritten Hardy—Littlewoodschen Satz zur Goldbachschen Vermutung," J. Reine Angew. Math., vol. 192, pp. 117-128,1953.

Received 31-09-2021, the final version — 25-11-2021.

Nikolai Vavilov, Dr. Sci., Professor, Department of Mathematics and Computer Science, SPbU, ИЗ nikolai-vavilov@yandex.ru