Компромиссно оптимальные тяговые расчеты на множестве Парето Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.42.05

В. В. ЛАГУТА (Д11Т)

КОМПРОМ1СНО-ОПТИМАЛЬН1 ТЯГОВ1 РОЗРАХУНКИ НА МНОЖИН1 ПАРЕТО

Задача оптимальных тягових розрахуншв розглядаеться як задача про оптимальне розподшення ресурсу. Ршення засновало на динам1чному програмуванш. Використовуеться покрокове обчислення множини то-чок оптимальных за Парето значень цшьово! функцп (витрати енергп) i ресурсу (час). Ключовi слова: цшьова функщя, витрати eHeprii', динам1чне програмування

Задача оптимальных тяговых расчетов рассматривается как задача об оптимальном распределении ресурса. Решение основывается на динамическом программировании. Используется пошаговое вычисление множества точек оптимальных по Парето значений целевой функции (затраты энергии) и ресурса (время). Ключевые слова: целевая функция, затраты энергии, динамическое программирование

The problem of optimum traction calculations is considered as a problem about optimum distribution of a resource. The dynamic programming solution is based on a step-by-step calculation of set of points of Pareto-optimum values of a criterion function (energy expenses) and a resource (time).

Keywords: criterion function, expense of energy, dynamic programming

Тягов! розрахунки е прикладно! частиною теори тяги по!зд1в \ дозволяють виршувати числены! практичш задачу що виникають при проектуванш та експлуатацп затзниць.

На затзничному транспорт! методи розроб-ки тягових розрахунюв \ необхщш для !х вико-нання нормативи регламентуються Правилами тягових розрахунюв (ПТР) для по!зно! роботи [1-6].

В даний час тягов! розрахунки виконуються, переважно, з допомогою засоб1в обчислюваль-но1 техшки. Для математичного формулювання задач! необхвдно враховувати ф1зичну суть явищ, що супроводжують процес руху по!зда, основш прийоми та способи тягових розрахун-юв. У бшьшост! випадюв тягов! розрахунки вимагають оперативност! !х проведения.

Сьогодш, мабуть, найактуальшшою проблемою е проблема економп енергоресурс1в. У той же час необхщно вантаж доставляти шд час, а в багатьох випадках - в найкоротш! термши.

Метою роботи е розробка чисельного методу оптимальних тягових розрахунюв з вико-ристанням векторно! оптим!зацп для двох пока-зниюв.

Актуальшсть

Одним з радикальних способ1в, що забезпе-чуе стшюсть на ринку надання транспортних послуг, е економ1я енергоресуршв. Зал1знична мережа Укра1ни оргашчно зливаеться з затз-ницями Роен, Бшорусп, Польщ1, Чехословач-чини, Румунп та ш. Географ1чне розташування Укра!ни мае великий потенщал до транзитних перевезень. Незважаючи на ютотне зниження

обсяпв перевезень, умови роботи зал1зничних шдприемств Укра!ни залишаються важкими \ це в першу чергу пов'язано ¿з щор1чним зрос-танням цш на енергоносп. Значна частка вико-ристання енергп припадае на забезпечення тяги по!зд1в. Проблем! економп енергоресурс1в при-д1ляеться постшна \ пильна увага у вс1х галузях промнсловост! 1 не тшьки на транспорт!.

Сьогодн! важливою проблемою е створення компром!сно-оптимальних режим!в тяги по!зд!в для показник!в споживання та часу доставки вантажу. Варт!сн! показники ефективност! руху по!зд!в вимагають нових п!дход!в до розробки метод!в оптимального розрахунку режимних карт ведения по!зд!в. Для анал!зу доц!льност! переходу на режими руху, оптимальн! за варт> стю електроенергй, необх!дно виконати досл!-дження компром!сно-оптимальних р!шень, ефективних для вектора показниюв:

- витрати електроенергй;

- вартост! електроенерг!! при заданому об-сяз! перевезень;

- графк руху.

Компром!сно-оптимальн! режими представ-ляють наб!р умовно-оптимальних режим!в руху (або ж д!льничних швидкостей), як! застосову-ються залежно в!д задано! переваги характеристик векторно! ц!льово! функцп [7].

Анал1з л1тературних джерел

Характерною особлив!стю роб!т за оптима-льними тяговими розрахунками е пристосуван-ня схем ! метод!в до обчислювально! техн!ки. В основу багатьох алгоршмв покладено принцип Беллмана. Експериментальш розрахунки сього-

© Лагута В. В., 2011

дш дозволили накопичити певний досвщ з оп-тимзаци.

Одним з напрям1в впровадження метод1в управлшня на транспорт!, е розробка таких об-числювальних систем, яю дозволяли б оптимально управляти по1здом, як в замкнутому цикш (автоматичне керування), так 1 в режим! реко-мендацш (шдказок). Практика показала, що для бшьшо! ефективносп необхщно розробити до-сить д1ев1 математичш методи розв'язання задач оптимальних тягових розрахунюв, на шд-став1 яких можна було б розробити т1 чи шш1 алгоритми для конкретних ¿нженерних задач, з наступним уточнениям 1 доробкою на реальних процесах керування по!здами або в системах управлшня. Дана проблема висвп-лена в роботах [8-11].

У роботах Костромша А. М. [12-14] вико-ристовуеться як класичне вар!ацшне числення, так 1 методи математично! теорй оптимального управлшня, що з'явилися у фундаментальних працях Понтрягша 1 Беллмана. Проблема оптимальних режим1в управлшня локомотивом роз-глядаеться як шженерне завдання. В основу ме-тод1в ршення покладений в бшьшосп випадюв принцип максимуму.

Роботи [15-17] присвячеш, в основному, розробщ метод1в оптишзацп режим1в водшня по!зд1в, заснованих на використанш сучасно! математично! теорй управлшня 1 обчислюваль-них засоб1в. Критер1ем оптимальносп в бшьшосп виконаних роб1т служить мшмум витрат енергй на тягу по!зд1в, хоча зустр1чаеться та-кож застосування шших показниюв ефективносп оргашзацп перев1зного процесу, наприклад час руху по!зда по дшянщ, що використовуеть-ся в задачах на швидкод1ю або точшсть вико-нання заданого часу ходу 1 т.п. Проте незалеж-но вщ прийнятого критерда 1 параметра опти-м!зацй задача вибору оптимальних режим1в водшня по!зда розглядалися в однокритер1альнш постановщ.

Застосування метод1в векторно! оптишзацп до виршення двокритер1ально! задач! оптим1-зацй тягових розрахунюв викладеш в роботах [18-20]. У роботах дослщжуеться ршення дво-критер1альних задач методом векторно! оптим!-зацй. Для анатзу можливих шлях1в вир!шення використовуеться метод параметризац!!, проводиться анатз завдання тягових розрахунюв як завдання векторно! оптим!зацй. Запропонова-ний метод оптишзацп грунтуеться на яюсному дослщженш режим1в руху на елементарному вщр!зку коли. До недолтв можна вщнести вщ-сутшсть чисельних метод1в векторно! оптимь

зацй ор1ентованих до використання обчислю-вально! техшки що реатзують даний метод.

1. Постановка задач!

Розглядаеться задача, яка змютовно вщома як задача оптимальних тягових розрахунюв. Величини

f (5), t(5) - показники, що вщображають перев!зний процес i являють собою витрати енергоресурав (електроенерпя, паливо) i часу на доставку вантажу;

5 - координата коли. По!зд розглядаеться як тверде тшо з масою зосереджено! в його центр!. Р1вняння руху потягу враховуються як в [21]. Вважаються заданими:

- поздовжнш профшь коли;

- обмеження швидкост! по коли проход-ження;

- маса складу;

- тип вагошв, навантаження на вюь;

- маса електровоза;

- тягов! характеристики електровоза;

- обмеження часу проходження;

- початкова i кшцева швидюсть;

- довжина д1лянки коли.

3 точки зору витрат енергоресурс!в на рух виникае задача про побудову закону керування потягом, де критер1ем оптимальносн е витрата енергоресуршв. Критичним залишаеться вимога витрат часу на проходження по!зда для дано! д1лянки.

Нехай

5 - координата коли, 0 < 5 < l;

l - довжина дшянки коли (значения кшцево! координати дшянки);

v(5) - швидюсть руху по!зда;

f (v(5)) - витрати енергоресурав;

t(v(5))- функщя витрат часу в залежносп вщ обрано! швидкост! руху;

T - час руху по дшянщ.

Задача на оптимальне управлшня рухом по-!зда з мшмальною витратою енергй коротко можна сформулювати так: знайти таке допус-тиме управлшня v(5), при якому в!дпов!дний витрат енергоресуршв був би мшмальним i ви-конувався графш руху на данш дшянщ.

Зазвичай задача оптимального управлшня руху по!зда з мшмальним витратами енергоре-cypciß мае вигляд:

min f (5) (2)

v(s)

за умови

t(v(s)) = T , 0 < 5 < l .

(3)

Управлшням е швидюсть руху. Модель (2)-(3) враховуе не вс1 обмеження. Необхщно при розрахунках ще врахувати й ш-чинники: початкову та кшцеву швидюсть, характеристики локомотива (обмежения на питому дотичну силу, обмеження на питому га-льм1вну силу, ККД та ш.), обмеження швидюс-ного режиму, перегр1в тягового двигуна.

Пом'якшимо жорстку умову щодо часу про-ходження (3) \ замють р1вносп (2) будемо роз-глядати обмеження:

t(v(s)) < T , 0 < 5 < l .

(3')

Модель (2)-(3') e неперервною. Для побудо-ви схеми розв'язку задач! перейдемо до вщпо-вщно! дискретно! модель

Роз1б'емо д1лянку коли 0 < 5 < l на N еле-ментарних д1лянок |[5;._1, 5j ] j, j = 1, ..., N . У

точках розбиття 5. швидюсть v = v(5.) може приймати юнцеву безл1ч значень Vj, j = l--, N .

Vj = Ь (5j )} , ' =

m.

дили б i3 встановленого графша руху (сумарш витрати часу не перевершували задано! вели-чини T).

Розглянута задача про оптимальний рух по-!зда з мшмальними витратами енергоресурс1в (2)—(3') е каношчною задачею про розподш ресурсу [22, 23]. Для !! ршення пропонуеться схема методу динам1чного програмування. За-MicTb рекурентних р1внянь використовуеться покрокове обчислення безл1ч1 точок, оптималь-них за Парето, на площиш значень цшьово! фу-нкцп й ресурсу.

У прийнятих позначеннях формальна постановка задач! запишеться так. Знайти мшмум суми

I fj (V ),

■:V7 , j = 1...N

I 7 J

(4)

j=1

при обмеженнях

де ш- - юльюсть елеменпв у множит У-.

Величина ш. визначаеться обмеженнями на

швидюсть руху в точщ та у спос1б дискре-

тизацп ) (регулярний крок розбиття, нере-

гулярний крок розбиття, величина кроку розбиття). Залежно вщ вибрано! швидкосп руху у<еУ- в точщ розбиття коли елементарна д1-

лянка _1, ^ може бути прослщувана за час

= ^(У-) - невщ'емна величина, при цьому витрати енергоресурав складуть /- = /(У-) - та-

кож невщ'емна величина. Витрати енергоресу-рс1в на дшянщ 0 < 5 < I = являють собою суму вс1х витрат на елементарних дшянках. Витрати часу для 0 < 5 < I = sN представляють суму часу вщповщних встановленому енергоре-сурсу на елементарних дшянках. 1накше, функ-щя витрат енергоресурс1в \ функщя витрат часу е адитивш функцп, визначеш на юнцевих мно-жинах У-.

Потр1бно вибрати такий режим руху потягу ук , к = 0...N ( у0 и vN надаш), за якого сумар-ш витрати енергоресурс1в були б мшмальни-ми, 1 при цьому загальш витрати часу не виво-

X (V,) < Т, V е У-, - = 1...N. (5)

-=1

Передбачаеться, що безл1ч (5) допустимих ршень не порожня.

2. Схема динам1чного програмування

Задача (4)-(5) представляе собою вщому задачу оптимального розпод1лу ресурсу, для ви-ршення яко! використовуеться, зазвичай, метод динам1чного програмування [11, 12]. Наведемо основш сшввщношення цього методу. Позна-чимо через В- (и) оптимум наступно! задача

- знайти м1н1мум суми

Z fk (vk)

k=1

J

при обмеженнях (V,) < и , - = N,

г=1

де - приймае значения 1,^,N, 0 <и < Т . Очевидно, величина BN (Т) дор1внюе оптимуму вих1дно! задач! (4), (5). I! розрахунок проводиться за рекурентним р1внянням:

Bj (u) = min {Bj_1 [u - tj (Vj)] + fj (Vj) j

' v .¿V. \ t. (v. Xu * ' 1 ' ' 11)

VjEVj \ tj (vj )<u

0 <u <T j = 1,_,N.

(6)

За тако! орган1зац1! обчислень необх1дно по-класти B0 (u) = ^ , 0 < u < T , та Bj (u) = 0, як-

що м1н1мум в (6) береться по порожн1й безл1ч1.

v

За великих значень Т \ N розрахунок з ви-користанням р1внянь (6) вимагае значного об-сягу пам'ят1 й часу рахунку. Нижче пропону-еться шдхщ, який дозволяе ютотно заощаджу-вати обчислювальш ресурси.

На площиш двох змшних введемо вщно-шення часткового порядку:

(х, у) < (г, w) <=> х < у, г < ^ .

Нехай А - деяка безл1ч точок на площиш. Точки з А, мшмальш щодо часткового порядку, називають оптимальними за Парето або просто паретовськими. Розглянемо безл1ч точок вигляду:

р = £/ (V), Т = (V),

1=1 1=1

де вектор (у1,у2, ...,V,) пробпае вс1 значения, що задовольняють умовам:

(V1) < Т , V е¥г, 1 = 1... ].

1=1

Сукупнють паретовських точок ще! множи-ни позначимо через S]■. 3 кшькох р1вних паретовських точок у безл1ч S]- включаеться тшьки одна. Позначимо через (Р,к,Т,к), к = 1,...,К,, точки безл1ч1 Sj , нумеруючи !х за зростанням координат, тобто

РЛ < Р2 < -, ТП < Т2 <.

Неважко бачити, що Б, (Т,к) = Р,к, к = 1,..., К, . Функщя Б} (и) е неспадною по аргументу и при даному ] . II графш складаеться з дшянок постшност1 та точок зростання, яю \ складають безл1ч S]- . Таким чином, безл1ч S]-

мютить всю необхщну шформащю про функцп в мшмальному обсязг

Безл1ч1 Sj, , = 1,...,N перераховуються по

кроках, аналопчно р1внянням (6). На початко-вому крощ вважаемо S0 = {(0, 0)}. Опишемо сшльний крок. Нехай вже побудовано безл1ч:

Sj 1 = {Р-1,к, Т-и \к = К-1).

Розглянемо безл1ч точок (Р, Т) вигляду:

Р = ру-1,к + V ), Т = Т-и + (V, ),

де к = 1,..., К,_1, а змшна V, проб1гае вс1 значения, що задовольняють умовам:

Т-1,к + (V,) * Т , v^V] .

Видшяючи з ще! множини паретовсью точки 1 залишаючи з р1вних точок тшьки одну, отри-муемо безл1ч:

"^у ={( Р,к , Т,к ) \ к = К, } .

Цей процес завершуеться побудовою без-л1чк

SN ={( FNk, TNk) \ к = 1,..., ^} .

Величина дор1внюе оптимуму почат-

ково1 задача Вщповщне вказаному оптимуму значения Тш е витратами часу. Тут викорис-

тано таку властивють ршення: перспективы пари (р,Т) утворюють безл1ч Парето, а вс1 ш-можна видалити (але можна 1 залишити). У реальнш реатзацп представленого алгоритму попередньо видшяються для кожного значения шдексу у = 1,..., N паретовсью точки безл1ч1:

{/у (V,), (у (V, )\V, е Vj}

1 використовуються в розрахунках т1льки вони.

Якщо перспективн1 пари (р ,Т) не вилучати, то серед безл1ч1 пар (Р,Т) можна знайти так1, як1 оптим1зують час. У самому сприятливому випадку серед безл1ч1 паретовських пар можна вибрати найбшьш п1дходящ1 до умов граф1ку руху за витратами часу та енергоресурс1в.

Висновки

Задача на оптимальне управлшня рухом по-!зда з мшмальною витратою енерг1! та обме-женням часу можна звести до задач! оптимального розпод1лу ресурсу, для виршення яко! ви-користано метод динам1чного програмування на сукупност1 паретовських точок безл1ч1 пар (Р, Т) = (енерг1я, час). Ршення засноване на паретовсюх точках неедине. На безл1ч1 ршень по Парето вибираеться одне найбшьш шдхо-дяще по компром1су щодо оргашзацп перев1з-ного процесу для дано! дшянки.

Б1БЛ10ГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Подвижной состав и тяга поездов [Текст] / под ред. Н. А. Фуфрянского и В. В. Деева. - М.: Транспорт, 1979.

2. Правила тяговых расчётов для поездной работы [Текст]. - М.: Транспорт, 1985.

3. Справочник по тяговым расчётам [Текст] / П. Т. Гребенюк [и др.]. - М.: Транспорт, 1987.

4. Подвижной состав и тяговое хозяйство железных дорог [Текст] / под ред. А. П. Третьякова. -М., 1971.

5. Кокурин, И. М. Эксплуатационные основы устройств железнодорожной автоматики и телемеханики [Текст] / И. М. Кокурин, Л. Ф. Кондратенко. - М.: Транспорт, 1989.

6. Тяговые расчёты [Текст] : метод. указания к курсовому проектированию / под ред. Ю. Н. Ли-кратова. - Новосибирск, 1989.

7. Рекомендации по обеспечению энергооптимального процесса перевозок на основе информационных технологий управления системами электрической тяги [Текст]: решение комиссии ОСЖД от 30 октября 2003 г.

8. Ковальский, А. Н. Система автоматического управления поездом метрополитена (САУ-М) и ее модернизация [Текст] / А. Н. Ковальский // Тр. МИИТ. - 1968. - Вып. 276. - С. 3-13.

9. Система автоведения пассажирского поезда [Текст] / Е. В. Ерофеев [и др.] // Тр. МИИТа. -Вып. 492. - С. 3-10.

10. Гаккель, Е. Я. Автомашинист для грузового тепловоза [Текст] / Е. Я. Гаккель // Тр. ЛИИЖТа. - 1964. - Вып. 232. - С. 3-8.

11. 3имарьков, Б. Д. Локомотивом управляет автомат [Текст] / Б. Д. 3имарьков // Электрическая и тепловозная тяга. - 1973. - № 7. - С. 21-22.

12. Костромин, А. М. Методы определения оптимальных режимов вождения поездов [Текст] / А. М. Костромин. - Гомель: БелИИЖТ, 1974. -43 с.

13. Костромин, А. М. Об интегрировании уравнений движения поезда и расчете оптимальной траектории [Текст] / А. М. Костромин // Тр. БелИИЖТа. - 1974. - Вып. 132. - С. 3-11.

14. Костромин, А. М. Об оптимальном управлении локомотивом при электрической тяге [Текст] / А. М. Костромин // Тр. БелИИЖТа. - 1977. -Вып. 156. - С. 3-23.

15. Погосов, В. Ю. Прогнозирование расхода электроэнергии на тягу поездов с учетом выброса параметров грузовых поездов и условий эксплуатации [Текст] : автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.09.93 / В. Ю. Погосов. - М.: МИИТ, 1990. - 23 с.

16. Гетьман, Г. К. Определение оптимальной по минимуму расхода энергии на движение поезда мощности локомотива [Текст] / Г. К. Гетьман // ХарДАЗТ. - Вип. 39. - X., 2000. - С. 41-48.

17. Беляев, А. В. Алгоритм оптимального по расходу электроэнергии управления движения пойда [Текст] / А. В. Беляев, А. Г. Вольвич, Н. Ю. Федорова // Сб. науч. тр. Всерос. науч.-иссл. и проектно-констр. ин-та электровозостр. -№ 39. - М., 1998. - С. 160-169.

18. Босов, А. А. Векторная оптимизация в задачах тяговых расчетов [Текст] / А. А. Босов, Г. К. Гетьман // Вюник Харшвського держ. по-л1техн. ун-ту. - Вип. 73. -X.: ХДПУ, 1999. -С. 23-27.

19. Гетьман, Г. К. Применение векторной оптимизации для решения задачи тяговых расчетов / Г. К. Гетьман // Вюник Харшвського держ. по-л1техн. ун-ту. - Вип. 62. - X.: ХДПУ, 1999. -С. 12-19.

20. Босов, А. А. Параметризация в задачах векторной оптимизации [Текст] / А. А. Босов, Г. К. Гетьман. // Транспорт: зб. наук. пр. -Вип. 5. - Д.: Наука 1 освиа, 2000. - С. 62-65.

21. Тяга поездов [Текст] / В. В.Деев [и др.]. - М.: Транспорт, 1987.

22. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования [Текст] / Р. Беллман, Дрейфус. - М.: Наука, 1965. - 458 с.

23. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология [Текст] / Е. С. Вентцель. - М.: Дрофа, 2004. - 208 с.

Надшшла до редколегп 10.11.2010.

Прийнята до друку 16.11.2010.