CC BY
24
КОМПЛЕКСЫ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ В АКТИВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Представлен обзор численного моделирования дискретных локализованных (солитоноподобных) структур. Проанализирована их эволюция в одномерных системах нелинейных волноводов с насыщающимися усилением и поглощением. Продемонстрированы процессы формирования и распространения поверхностных локализованных состояний электромагнитного поля вдоль эволюционной координаты. Показано влияние нелинейности керровского типа на протекание таких процессов. Изучены сценарии устойчивости дискретных поверхностных диссипативных солитонов и предложены возможные приложения такого рода структур.
Понятие дискретных пространственных солитонов возникло впервые в 1988 г., когда Кристодулидес и Джозеф теоретически изучали пространственно локализованные моды оптических структур, созданных связанными оптическими волноводами, на основе аналогии с локализованными модами дискретной решетки [1-4]. С тех пор началась эра интенсивного теоретического и экспериментального изучения дискретных пространственных консервативных солитонов, и, начиная с 1998 г. такие структуры наблюдались в опытах в системах одномодовых нелинейных оптических волноводов [5-7].
В данном сообщении рассматриваются системы связанных нелинейных волноводов с диссипацией в виде насыщающегося усиления и поглощения. Как и в указанных источниках, стандартный теоретический подход к изучению дискретных пространственных солитонов основан на анализе решений эффективного дискретного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Только, применительно к нашему представлению задачи, имеется диссипативная поправка нелинейности в рассматриваемом НУШ. Также наше внимание остановилось на описании нелинейных систем смешанного типа, а именно совокупности кубической (керровской) нелинейности и баланса насыщающегося усиления и поглощения. Подобное рассмотрение оказалось полезным по причине того, что на основе выводов при анализе такого рода нелинейных систем удается разработать некоторые новые приложения диссипативных поверхностных оптических со-литонов.
Существенным свойством распространения волн в любой периодической структуре (которое вытекает из теории Флоке-Блоха) является наличие запрещенных зон в спектре пропускания. Любой падающий свет полностью отражается, если его частота попадет в одну из таких зон. Нелинейные эффекты могут привести к формированию локализованных состояний внутри этих зон. Такие локализованные состояния называют иногда щелевыми солитонами.
Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль эволюционной координаты 2 такой структуры, созданной периодической системой тонкопленочных нелинейных волноводов (рис. 1.). Предполагая, что структура поля в направлении У определяется линейной направляемой модой Q (X; У) щелевого волновода, запишем
полное поле как Ф(Х; У) = Q(X; У)Е(X; У) [4]. Тогда эволюция огибающей Е(X; У) в дискретном представлении вдоль оси 2 описывается параксиальным уравнением:
Ал.С. Киселев, Ан.С. Киселев Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Н.Н. Розанов
Введение
Общие соотношения
(1)
где функция нелинейности / принимает вид:
IИ2 Н Е.\ -
+1
-1+-
а
(2)
1 + Е \ 1 + Ь\Еп\
В этих выражениях определены следующие параметры. В случае бездефектной системы волноводов вводится коэффициент связи С, который посредством серии вычислении приводится численным значением. Параметры усиления и поглощения g0 и
а0 нормированы на собственные потери внутри волокон периодической структуры. Кубическая нелинейность описывается керровским коэффициентом у, при этом у > 0 отвечает самофокусировочной, а у < 0 - самодефокусировочной нелинейности, Ь - отношение интенсивности усиления к интенсивности поглощения.
Рис. 1. Система тонкопленочных нелинейных волноводов, размещенных в линейном щелевом волноводе. Штриховка указывает пространственный
профиль локализованной моды
Первичные ограничения, накладываемые на коэффициенты усиления и поглощения в функции нелинейности, связаны с тем, что, во-первых, в безгенерационном режиме (при |Еп |2 = 0) любые малые возмущения внутри периодической структуры не должны усиливаться, поэтому устанавливаются ограничения типа -1 + g0 - а0 < 0, во-
вторых, ограничения минимальной накачки вытекают из энергетических соотношений.
Энергетическое соотношение, которое определяется выражением (г - координаты поперечного направления)
% = 2/1И■ |2 ¿г
(3)
приводит к выводам, согласно которым следует, что если функция / (Еп |2) не меняет
знак при изменении интенсивности, т.е. уравнение (2) при у = 0 не имеет положительных корней, то мощность монотонно меняется со временем. Тогда при условии I (0) < 0 мощность будет убывать: Ж (t) ^ 0 . Поэтому при любых начальных условиях со временем установится безгенерационный режим, т.е. он глобально устойчив. Подчеркнем также, что нетривиальные устойчивые локализованные структуры лазерного излучения возможны только в диапазоне бистабильности
gшт < gо < gmax, gmax = 1 + «0 [8] а параметр gmm вытекает из соотношения (рис. 2):
-1 + Ь + а0 + 2^ а0Ь
»- ап
gшт
Ь
(4)
Необходимое решение для описания эволюции линейных оптических структур (решений (1)) мы ищем в виде:
Еп (г) = и0 exp (¡в г + ¡Кп), (5)
где в - постоянная распространения, К - пространственная частота внутри волноводов (вещественная функция), и0 - амплитуда поля. Тогда, подставив (5) в (1), найдем дисперсионное соотношение:
K = F (0) = ± arccos
P + rUо2 2Re(C)
(6)
/
1,0 ■ 0,8 0,6 ■ 0,40,2 0,0 -0,2 -0,4-0,6 ■ -0,8 • -1,0
f N. 1 ь
1 1 —^ \ \
1 í ^ \ N
N 4
' / -■s V.
1 1 —I "•4 §max
" - - — _ __ P .
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
I
Рис. 2. Зависимость баланса усиления и потерь / от интенсивности I = \Еп|2 для фиксированных значений а0 = 2 и Ь = 10
В свою очередь, таким же образом можно определить величину постоянной распространения в в установившемся стационарном режиме:
1т (С )
в =
Re (C)
-1 + -
g о
a
1 + U2 1 + bU2
-yUо2.
(7)
Для дальнейшего анализа необходимо определить область неотрицательной групповой скорости по параметрам входящей интенсивности ио и коэффициента насыщающегося усиления g0. В таком случае групповая скорость структуры определяется соотношением:
V =
-2Re(C)
"MCT \
4Im(C)2 -
-1 + -
g о
a0
(8)
1 + U02 1 + bU02
где, как видно из приведенного выражения, не наблюдается зависимость от параметра кубической нелинейности - керровского коэффициента у. Такая форма групповой скорости значительно облегчает выбор параметров для анализа эволюционного распространения рассматриваемой солитоноподобной структуры. Далее на рисунке приводится профиль положительных значений вещественной части величины Vg (g0, U02).
Рис. 3. Профиль групповой скорости поля в зависимости от параметра усиления и интенсивности
Линейный анализ устойчивости локализованных мод можно выполнить, записав решение (1) в виде
Еп (г) = ип + уп ехр (¡Гг) + w* ехр (-¡Г * г )] ехр (в ) (9)
и рассматривая эволюцию малых возмущений V и w. В этом выражении ип - пространственный профиль поля в направлении х, Г - собственные значения для vn и wn.
Подставив этот вид решения в (1), мы получим линейную задачу на собственные значения Г . В общем случае решение такой задачи на собственные значения определяется одной из следующих ситуаций.
1. Внутренние моды с вещественными собственными значениями, связанные с периодическими осцилляциями локализованного состояния.
2. Моды неустойчивости, которые адекватны чисто мнимым собственным значениям с 1т (Г) < 0.
3. Моды колебательной неустойчивости, возникающие при комплексных собственных значениях с отрицательной мнимой частью. Кроме того, могут существовать убывающие в ходе пространственной эволюции моды, когда 1т (Г) > 0 .
Для дальнейшего описания свойств устойчивости решения (9) мы рассматриваем эволюцию слабых возмущений, прежде линеаризовав получающиеся уравнения по V и w . Из периодичности стационарного решения и теоремы Блоха следует, что собственные моды линейной задачи на собственные значения также должны удовлетворять периодическому решению. Тогда запишем:
^+1 = К ехР ([Я + к]), V! = V ехР (-/ [Я + к]),
^+1 = wn ехР ([Я - к]), ^-1 = wn ехР (-/ [Я - к]), где пространственные частоты модуляции Я вещественны.
С учетом этих предложений собственные значения Г находятся из условия разрешимости при замене переменной О = / Г:
О2 + 2 р О + Я = 0. (11)
Здесь параметры р и Я для обеспечения устойчивости принимают значения р > 0 и Я > 0. Переходя к принятым ранее величинам и обозначениям, запишем:
(10)
р = -21Яе(С^тq БтК-21т(С)собqсобК + и0В + 1 -
8о + а0
+ и2 1 + Ьи2
= £ - 4/вт q Бт К
Яе (С )
и 02 В +1 -
Ео
ап
1 + и2 1 + Ьи,
+ 2уи^ 1т (С)
о У
(12) (13)
где величина £ определяется следующим образом:
£ = в + 4\С\2 соб (+К)СОБ (q - К) +
+4 ДМ + 2м,
ГХ-1-1+
1+и0 1+Ьи0
7и0 + /
В
-1+-
1+и0 1+Ьи0
+ 8вЯе (С)соб q соб К + (14)
+4СОБ q СОБ К
2Яе (С) уи] - 1т(С) I и02В+1 -
1+и0 1+Ьи0
Коэффициент В при этом определяется соотношением:
В = -
Е0
Ьап
(15)
(1 + и02) (1 + Ьи2)
Несмотря на довольно сложную форму анализа, в соответствии с (14) представляется возможным упрощение рассмотрения с применением модели синфазных (q = 0) или противофазных (ц = п) волноводов. Громоздкий анализ устойчивости в данном сообщении не приводится, а лишь далее, в разделе результатов моделирования, приводятся результаты численного вычисления эволюции огибающей электромагнитного поля в такой периодической системе, находящейся в режиме устойчивости системы к малым возмущениям.
Обсуждение результатов моделирования
Данный раздел охватывает рассмотрение результатов численного моделирования адекватно представленным уравнениям. Приводятся некоторые случаи эволюции поля в периодической системе нелинейных волноводов. Расчеты приводились при постоянных значениях насыщенных коэффициентов усиления е0 = 2.11, коэффициента поглощения а0 = 2 и параметра Ь = 10. Как уже отмечалось ранее, в случае рассмотрения системы волноводов без дефектов и после серии вычислений [9] коэффициент связи представляется комплексной величиной С = 0.119-10.018. Кубическая нелинейность вводится керровским коэффициентом у, которая в дальнейшем является переменной величиной, после чего проводится сравнительный анализ ситуаций эволюции поля электромагнитной волны в самофокусировочной и самодефокусировочной нелинейной дискретной системе. Данные параметры выбраны таким образом, что реализуется режим устойчивости к слабым возмущениям электромагнитного поля.
В первой ситуации продемонстрируем распространение волны вдоль эволюционной координаты при значении у = 0. Для демонстрации нами принята перенормировка эволюционной координаты г вдоль оси волноводов: 2 = $2 .
На рис. 4 продемонстрирована ситуация распространения импульса электрического поля пиковой интенсивностью |Еп|2 = 0.3 с модой на границе периодической структуры нелинейных волноводов.
Рис. 4. Распространение дискретного поверхностного солитона
интенсивностью
Е I2 = 0.3
I пI г=0
Анализ рисунка показывает, что распространение импульса относительно небольшой интенсивности приводит к быстрой локализации поля близи границы нелинейной системы, образуя тем самым поверхностный солитон. Стоит также сказать, что при данных параметрах диссипации наблюдается сужение пространственного профиля поперечного направления. Другие характеристики усиления насыщения приводят к существенно другим результатам эволюции и устойчивости таких локализованных состояний электрического поля. Дальнейший анализ импульсов такой интенсивности требует более детального рассмотрения с тщательной проработкой наиболее характерных и интересных ситуаций распространения и приложения дискретных диссипатив-ных оптических солитонов.
Далее, по мнению авторов, интересным случаем рассмотрения актуальной проблемы является ситуация подачи на систему импульса интенсивностью |Еп |2г = 0.5.
Значимым здесь, в отличие от предыдущего случая, является процесс отражения оптического излучения без дальнейшего образования поверхностной волны солитоноподоб-ной формы.
Рис. 5. Распространение дискретного поверхностного солитона интенсивностью
Е I2 = 0.5
I п1 г=0
Изучение такого рода режима направляет нас на рассуждение о том, что подстроенная определенным образом нелинейность и баланс диссипативных параметров насыщающегося усиления и поглощения наводит отражательные характеристики и уводит солитон (устойчивый для малых возмущений) вглубь системы. Отражение также не приводит к искажению профиля и снижению пиковой интенсивности импульса, что позволяет судить о сохранении интегральной мощности солитона при распространении по оси г .
И, наконец, наше внимание заострилось на интересном результате моделирования, в котором в качестве электрического поля подавался импульс пиковой интенсивностью |Е„ |2г = 1.0 . Интересен он по причине того, что в ходе пространственной эволюции происходит разделение поля на два фронта, один из которых представляет собой поверхностный солитон, схожий по форме с солитоном первой рассмотренной в данном разделе ситуации, а второй - повторяет результат моделирования предыдущей ситуации.
Рис. 6. Распространение дискретного поверхностного солитона интенсивностью
Е Г г=0=1.0
Таким образом, анализ дискретных диссипативных нелинейных систем, в которых имеет место распространение оптического излучения вдоль эволюционной координаты, демонстрирует интересные и требующие внимания результаты численного моделирования стационарных локализованных мод излучения. Однако приведенные результаты не отражают влияния кубической нелинейности на формирование солитнов, поэтому далее кратко приводятся результаты моделирования эволюции солитонов, соответственно, в самофоксировочной и самодефокусировочной среде.
Рис. 7. Пространственный профиль дискретного поверхностного диссипативного солитона интенсивностью |Еп |2 = 1.0 в различных зонах по направлению эволюционного распространения при фиксированных значениях керровского коэффициента кубической нелинейности режима самодефокусировки
Рис. 8. Пространственный профиль дискретного поверхностного диссипативного
солитона интенсивностью
Е
г=0
= 1.0 в различных зонах по направлению
эволюционного распространения при фиксированных значениях керровского коэффициента кубической нелинейности режима самофокусировки
Huutrp .u.
S
1 y=0.2
N ^
1 y=0.3
Houcp В0.1ЕЮС0ДЛ n
7=0.5
SJ Номер ВАПИОВО. ]fl n
R 7=0.6
SL
*
Номер воляовола n
7=0.7
Houcp ВОЛНОВОМ n 7=0.8
Рис. 9. Схема эволюции солитоноподобного состояния электрического поля в различных кубически нелинейных схемах
Заключение
Сообщение демонстрирует принципиальную возможность формирования устойчивых локализованных солитоноподобных структур оптического излучения при его распространении в периодических системах нелинейных волноводов. Вводится новое понятие дискретных диссипативных поверхностных солитонов, проводится анализ эволюции таких локализованных мод с введением в среду консервативной нелинейности керровского типа. Таким образом, изучено влияние нелинейных систем смешанного типа на образование и устойчивость поверхностных солитонов в дискретных структурах.
В дальнейшем планируется разработка и приложение двумерных дискретных диссипативных солитонов, а также изучение устойчивости таких состояний. Интересным представляется вопрос столкновения и взаимодействия солитонов в таких нелинейных системах.
По мнению авторов, изучение нелинейных эффектов распространения оптического излучения в дискретной структуре волноводов имеет огромный потенциал применений и приложений нелинейно-оптических элементов управления светом.
Работа поддержана грантом МИНОБРНАУКИ РФ РНП.2.1.1.1189: «Диссипатив-ные солитоны оптического излучения и волн материи».
Литература
1. Christodoulides D.N., Joseph R.I. // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 794.
2. Scott A.C., Macneil L. // Phys. Lett. A. 1983. V. 98. P. 87.
3. Eilbeck J.C., Lomdahl P.S., Scott A.C. // Physica D. 1985. V. 14. P. 318.
4. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов / Пер. с англ. под ред. Н.Н. Розанов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 648 с. ISBN 5-9221-0584-1.
5. Eisenberg H.S., Silberberg Y., Morandotti R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P.3383.
6. Eisenberg H.S., Silberberg Y., Morandotti R., Aitchison J.S. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 1863.
7. Morandotti R., Eisenberg H.S., Silberberg Y. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 3296.
8. Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1997. 336 с. ISBN 5-02-014616-1.
9. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974, 576 с.
