CC BY
7УДК 624.138.232
И.Х. ИДРИСОВ, инженер ([email protected]),
Н.И. МАКРИДИН, д-р техн. наук, Д.Н. ВАЛЕЕВ, инженер,
Пензенский государственный университет архитектуры и строительства
Комплексный подход к испытаниям материалов
Часть 2. Идентификация параметров моделей материалов
В [1] был рассмотрен общий подход к испытанию материалов при различном виде напряженного состояния с целью определения их характеристик прочности и деформируемости. Ниже приведена методика идентификации результатов испытаний с использованием известных функциональных зависимостей между напряжениями и деформациями.
При расчете напряженно-деформированного состояния строительных конструкций из бетона или железобетона используют различные функциональные связи, полученные эмпирически. Известно большое количество эмпирических зависимостей между напряжениями и деформациями. Обширный обзор этих зависимостей можно найти в [2]. С целью изложения предлагаемой методики рассмотрим три наиболее часто применяемые деформационные зависимости.
В [3] приведена степенная зависимость вида:
£ = ао'"
(1)
где коэффициенты а и т определяются опытным путем. В следующей работе [4] приведена зависимость вида:
е=£+ао2, ь
(2)
где Е — модуль упругости бетона; а — параметр, зависящий от свойств бетона.
По мнению Дункана—Чанга [5], нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями в условиях сложного напряженного состояния имеет гиперболическую зависимость вида:
(3)
ао2+^о-е = 0; Л = ^г+4еа; о=
(5)
Е ' Е2 ' ~ 2а
Уравнение имеет два решения, из них одно подразумевает уменьшение значения параметра о с увеличением значения параметра £, что не имеет смысла для зависимостей, полученных в ходе испытаний на одноосное сжатие, поэтому функция имеет одно решение вида:
Ф) =
1 _ Е
1
Е2
с+1 (1Г+4еа
2а
(6)
Следует отметить, что в уравнении (6) должно быть а>0, иначе функция будет иметь значения, не соответствующие опытным. Поэтому для функции оптимизации необходимо возвращать заведомо большую величину для формирования большой погрешности:
о(е) =
2а
Ь1
Функция (3) (°1~°з~ ) не требует преобразо-
ваний: 1
о(е)=—. (8)
а+Ье
При подготовке данных испытаний приняты следующие допущения:
1. Математические зависимости вида (1—3) не поддерживают описание разупрочнения материала (рис. 1, участок АВ), поэтому в дальнейшем участки разупрочнения из опытных данных исключаются.
; если а > 0. (7) если а < О
где о1 и о3 — наибольшие и наименьшие главные напряжения; £1 — вертикальная деформация; а и Ь — константы грунта, определяемые экспериментально; константа а — обратная величина модулю упругости Е; Ь — обратная величина асимптотического (предельного) значения разности главных напряжений (о1 — о3)ыц, которая связана с прочностью материала.
Для задачи оптимизации необходимо использовать обратные зависимости — вертикальных напряжений от относительных вертикальных деформаций, поэтому исходные функции (1), (2) были преобразованы следующим образом.
Функция (1) преобразуется в следующий вид:
(4)
где а ф 0.
Функция (2) является квадратным уравнением вида ах2 + Ьх + с = 0 и решается стандартным способом через определение дискриминанта:
г5 0,8
3! 0,7
п
е и 0,6
н е * 0,5
ря С а 0,4
н е но 0,3
ль а 0,2
рм О 0,1
0
1 £30% = 1 1 У 0,0057 / . -^ЛА..- .. 1 1 1 Опыты _
- " ■ Среднее значение серии опытов
1 ¿У . Секущая модель ,/ упругости - 33,04 МПа > 1 1 1 В 1 1 1
0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 Относительная вертикальная деформация £
0,035 0,04
Рис. 1. Зависимость осевой деформации от нормального давления для шлакогрунтовой смеси с 10% шлака и 2% NaOH в возрасте 28 сут
Г; научно-технический и производственный журнал
^ ® август 2011 39~
Рис. 2. Идентификация параметров зависимости (1)
2. Результаты опытов на участке относительной деформации ее [£;,„; е„й *1,5] принимаются в виде зависимости:
о(£) = ом,
(9)
О, = /(£,),
(10)
в условиях одноосного сжатия с использованием ИВК АСИС [1].
Зависимость на рис. 1 получена как среднее значение из шести испытаний. Из прямолинейного участка данной зависимости найден модуль упругости как отношение Ао1/Ае1, равный 33,04 МПа. Это обычный прием определения модуля упругости, рекомендуемый ГОСТ 24452—80. Далее это значение модуля упругости использует конструктор для определения деформации бетона в реальном проекте.
Используя выражение (10), задачу минимизации можно записать в виде:
/иш1[со,(о;(А:,)-ст,)]
к г=1
(11)
где о,- — напряжения, вычисляемые с использованием модели материала; ^ — идентифицируемые параметры модели материала.
В данной работе все весовые коэффициенты приняты за единицу, а задача минимизации модернизирована применением функции логарифма следующим образом:
ши£1п(1+[(а* )-Ог))] ).
к 1=1
(12)
где г„и и о„и — соответственно относительные деформации и вертикальные напряжения в момент разрушения образца.
3. Результаты опытов, используя кусочно-линейную интерполяцию, преобразуются в табличный вид, где относительные деформации £ изменяются с постоянным шагом.
В программной части ИВК АСИС [1] предусмотрены две процедуры идентификации параметров моделей материалов. Первая основана на анализе динамического процесса при известной целевой функции вида (1—3), а вторая включает идентификацию результатов и численное моделирование испытания при выбранной целевой функции, представляющей собой модель материала.
В общем случае задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом. Надо найти такой набор параметров х, чтобы скалярная целевая функция F(x) была минимальной. Наиболее часто при калибровке параметров моделей материалов используется метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов разницы между предсказанием математической модели и наблюдениями.
В результате испытаний напряжения и деформации представлены в виде функции:
Данное преобразование способствует повышению эффективности метода поиска минимума.
Целевая функция F(x) зависит от измеренных и расчетных данных и может быть очень сложной и содержать ошибки, обусловленные как моделью материала, так и результатами измерений при испытании материала. В подобных случаях решение может расходиться или сходиться медленно, поэтому следует выбирать метод оптимизации, дающий устойчивую сходимость при требуемой точности и эффективности.
В локальном методе оптимизации точность решения определяется выражением:
F(x*) <
(13)
при условии р-х || < е.
В данной работе в качестве примера использовали функцию линейной оптимизации йшшеагЛ пакета Ма^аЬ, которая предназначена для поиска минимума скалярной функции нескольких переменных с заданного начального приближения. Данная функция использует симплекс-метод, являющийся методом прямого поиска без ограничений и без использования градиентов.
Предлагаемая процедура была применена при определении модуля упругости шлакогрунта. Начальное значение модуля упругости материала, определенное экспериментально в условиях одноосного сжатия, равно 33,04 МПа. В качестве целевой функции выбирали зависимости (1—3), которые подставляли в функцию для поиска минимума:
где о, £, — напряжения и деформации соответственно.
Пример подобной зависимости показан на рис. 1, которая получена в результате испытаний шлакогрунта
^^(^[(оД^о-о,.))]!
(14)
В данной задаче модуль упругости определяли по тангенсу угла наклона секущей линии оптимизирован-
Материал Значения модуля упругости Е, МПа
По ГОСТ 24452-80 Функция (1) Функция (2) Функция (3)
^ 2а
Глина+10% шлака, возраст 7 сут 17,04 28,01 26,03 26,55
Глина+10% шлака, возраст 28 сут 33,04 57,71 53,23 55,2
научно-технический и производственный журнал £J\±Jг\i>\'::
40 август 2011 Ы ®
ной математической модели. За точки пересечения секущей с линией оптимизированной математической модели принимали точку нулевой деформации и точку со значением относительной деформации, равным 30% £ий. Значения напряжений и относительной деформации на второй точке обозначены о„,до% и £шйо% соответственно, а значение модуля упругости определяется по следующей формуле:
Е=
Guim% E«ft30% '
(15)
Для визуализации решения задачи в среде Ма^аЬ была создана пользовательская форма (рис. 2), предоставляющая возможность выбора функции модели материала из трех представленных вида (1—3), задания начальных значений параметров модели материала, их диапазона, отображение обозначений оптимизируемых параметров; вывода двухмерных графиков с отображением испытаний, средней функции и функции модели материала после оптимизации; вывода трехмерного графика с отображением функции ошибки, используемой для оптимизации параметров моделей; отображения пути поиска минимума функции ошибки на трехмерном графике от точки начального приближения до точки минимума; отображения значений £шво% и Е.
На рис. 2 показан пример идентификации параметров для выражения (1).
Расчеты показали, что на первых итерациях цикла оптимизации значения деформаций и напряжений, определяемые выражением (1), резко отличаются от опытных значений. В ходе минимизации целевой функции (14) расчетные значения деформаций и напряжений приближаются к опытным.
Результаты оптимизации приведены в таблице. Как видно из таблицы, значения упругого модуля получаются различными при использовании выражений (1—3). Модуль упругости после идентификации параметров с использованием функций (1—3) превышает значения, определенные по ГОСТ 24452—80. Таким образом, если использовать выражения (1—3) для определения деформации грунтобетона до уровня £шдо%, то в данные выражения следует вводить значения модуля упругости, отличные от определенных по ГОСТ 24452—80. В этом случае напряженно-деформированное поведение рассчитываемых конструкций, например оснований, упрочненных шлаковым вяжущим, будет адекватным результатам испытаний образцов материала.
Ключевые слова: сложное напряженно-деформированное состояние, модуль упругости, функция оптимизации.
Список литературы
1. Идрисов И.Х., Макридин Н.И. Комплексный подход к испытаниям материалов. Часть 1 // Строительные материалы. 2011. № 6. С. 55-58.
2. Гарибов Р.Б. Сопротивление железобетонных несущих конструкций при агрессивных воздействиях окружающей среды: Дис... д-ра техн. наук. Саратов, 2006. 630 с.
3. Столяров Н.В. Введение в теорию железобетона. М.-Л.: Госстройиздат, 1941. 446 с.
4. Шейкин А.Е. К вопросу прочности, упругости и пластичности бетона: Труды МИИТ. Вып. 69. М.: Трансжелдориздат, 1946. С. 24-28.
5. Duncan J.M., Chang C.Y. Nonlinear analysis of stress and strain in soils // Journal of Soil Mechanics and Foundations Division. 1970. Vol. 96. Рр. 1629-1653.
,. nahomi Forum о :, sine PuhlirWmeTbjjo-iOlb
Международный Форум «ЖКХ-Экспо-2011»
i ЖКХ 5 ЭКСПО
2011
Астана
V Специализированная выставка .НШ Экспо
[Г Между на роди а я конференция -Н1илищно- ко.ч w.y н а л ыгы н сектор
Республики Казахстан: проблемы, решения и перепентнвы ■
|цтри
fi
©
(ZKPC теекг
□fir r чн-за гор
Выстлаочнэя компания itB C "Д^Н W 1С с GOD "Су1б^кгпаСррнне-Н" ^
Г ноекййи^х -en:(383i3355350, егг1дп' iejSavr™^ ги tWViV .',tnpt.TU
2-4 ноября
2 of November
Энертосйераыиг. Нкшаинонные тешлолм. Энергоснз^яекнс, ¡шоснабшне. Снстны щннзйшеннн. юрмчнини * водотдеинк. Соврентнь« ciph'fiibKMP пкнмош * катертиы. Снетвяы опшмннл, кншяцнн. каиапнищ. П роекгнрп ва н (трвнтвлкти. Ьртшиьш, ноы^.ундпьндц icjhhhj л оберудоннив. Элнтропяшчст и шнтрнбортнмша. Инженерные яп, шчунншм. кшкггеэ.
Сбор н ртлллщнн бытовьи н прьнышпшны! Ллвдаь Ннф^струэгтурз, (лмиустрзлСГВо к вжленелкс.
Лэнлифны» дникн it адшектрура.
С ¡1 и' u.,1 ij м. 11 о f й-и i №>п 'и:; "К по делом строительства н жнлкщно-коммунального ношйстио. Акимат г. Астаны
fj научно-технический и производственный журнал
® август 2011 41
