Комплексные волны и комплексный резонанс в структурах с металлическими наноплёнками на оптических частотах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396

В.А. Малахов, К.В. Попков, А.С. Раевский

КОМПЛЕКСНЫЕ ВОЛНЫ И КОМПЛЕКСНЫЙ РЕЗОНАНС В СТРУКТУРАХ С МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ НАНОПЛЁНКАМИ НА ОПТИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Рассматриваются поверхностные плазмон-поляритонные волны в структурах с одной и двумя параллельными серебряными плёнками. Особое внимание уделяется собственной комплексной волне, возникающей на двузначном участке дисперсионной характеристики антисимметричной волны. Приводятся результаты расчётов продольных волновых чисел волн при учёте частотной зависимости комплексной диэлектрической проницаемости серебра на оптических частотах ниже частоты плазмонного резонанса. Обсуждается явление комплексного плазмонного резонанса.

Ключевые слова: комплексные волны, поверхностные плазмон-поляритонные волны, дисперсия, комплексный плазмонный резонанс.

К настоящему времени достаточно хорошо исследованы спектры собственных волн всевозможных экранированных и открытых волноведущих электродинамических систем (волноводов) СВЧ и КВЧ диапазонов. Для структур, описываемых несамосопряженными электродинамическими операторами [1], характерно наличие в спектре собственных комплексных волн (КВ) [2]. Основным физическим свойством КВ является то, что они имеют нулевой по поперечному сечению волновода в среднем за период поток мощности. Данный феномен объясняется наличием распределенного разворота мощности, происходящего из-за сложных дифракционных явлений на границах раздела областей неоднородных по поперечному сечению направляющих структур [2]. При этом возникают встречные потоки мощности в областях поперечного сечения [3].

Известно [4], что на границе раздела двух сред, диэлектрическая проницаемость одной из которых отрицательна, могут возникать поверхностные волны. Самым важным свойством этих волн является сильная локализация поля вблизи поверхности раздела, возникающая из-за того, что перпендикулярные к границе раздела составляющие волнового вектора являются мнимыми величинами, в результате чего поля спадают экспоненциально при удалении от границы раздела.

В последнее время в связи с бурным развитием металлооптики и наноплазмоники [58] проявляется большой интерес к исследованию свойств поверхностных плазмон-поляритронов (111111), волн, которые могут распространяться вдоль поверхности металл-диэлектрик в области частот

ш<ш^ =шр1

где ш р1 - плазмонная частота электронов, на которой, согласно формуле Друде, при увеличении частоты действительная часть диэлектрической проницаемости металлов меняет знак с отрицательного на положительный; - диэлектрическая проницаемость среды, граничащей с металлом.

В частности, в работе [7] исследовались ППП, распространяющиеся по тонким металлическим пленкам. Решение дисперсионного уравнения ТМ-волн в такой структуре имеет две ветви, которым по структуре поля соответствуют симметричная (относительно пленки) и антисимметричная волны. В [7] показано, что при определенных параметрах а, ^, г2, е3 структуры (рис. 1), существует диапазон частот, в котором антисимметричная волна имеет

© МалахоВ.А., Попков К.В., Раевский А.С., 2012.

отрицательную групповую скорость, дано объяснение этому явлению на основе макроскопического подхода с использованием понятия диэлектрической проницаемости в(ш): поток вектора Умова-Пойнтинга, являясь отрицательным в металле на частотах ниже шр1, становится в пленке больше по модулю суммарного потока в средах над и под пленкой.

Рис. 1. Направляющая структура с одной металлической плёнкой

В [7] указывается, что на определенной частоте выполняется условие нулевой групповой скорости, то есть условие резонанса, и предлагается использовать данный эффект при создании высокодобротных резонаторов, однако результаты исследования комплексных решений дисперсионного уравнения, возникающих на частоте резонанса, не приводятся.

Целью настоящей работы является исследование комплексной ветви решений, возникающей в частотной точке, соответствующей смене знака групповой скорости. С использованием трехслойной модели структуры (рис. 1), из условия равенства на границах раздела сред тангенциальных компонент электромагнитного поля было получено дисперсионное уравнение ТМ-волн, решения которого для случая серебряной пленки с а = 5 нм, окруженной средами с е23 = 2,84 (Л/2О3), приведены на рис. 2, а. Решения с графической точностью

совпадают с результатами, приведенными для данных параметров в [7]. Для описания диэлектрической проницаемости серебра использовалось выражение [7]

^2 = ег(1)

где для серебра гг - константа, учитывающая межзонные переходы в металле; шр1 4лпее2/те «1,43 х1016 (п1) [4]; е, те, пе - заряд, масса электрона и концентрация электронов проводимости соответственно.

На рис. 2 по вертикали отложено значение постоянной замедления Р/£0, где Р - продольная составляющая волнового вектора; = 2к/Х - волновое число свободного пространства. Пунктиром (характеристика 3) показана характеристика собственной КВ, возникающей в частотной точке смены знака групповой скорости. Для КВ Р = Р + ¿Р2, причем Р2 < 0, что свидетельствует на убывающий по оси г характер поля этой волны.

На рис. 2, б показаны характеристики дисперсии и затухания собственной КВ (рис. 2, а, волна 3) в более крупном масштабе. На рис. 3 приведен фрагмент дисперсионной характеристики антисимметричной волны (рис. 2, а, волна 2) вблизи частотной точки возникновения КВ. На участке 1-3 групповая скорость положительна, в т.3 она обращается в нуль, на участке 3-2 становится отрицательной. Поток мощности, переносимой волной в металлической пленке, направлен противоположно фазовой скорости волны, в средах над и под пленкой - в сторону фазовой скорости. Суммарный поток может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от значения продольного волнового числа антисимметричной волны.

ßi/ko

1 -

2 ✓

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3

а)

р,/ко

р;а

б)

Рис. 2. Характеристики дисперсии и затухания волн плёнки:

а- 1 - симметричная волна; 2 - антисимметричная; 3 - комплексная волна;

б - комплексная волна

ß/kO

1

3

2

2,70 2,72 2,74 2,75 2,73 2,30 2,S2 2,34

1 Fk, мкм-1

Рис. 3. Дисперсионная характеристика собственной комплексной волны

Собственная КВ, возникающая в т. 3 (рис. 3), во всем диапазоне существования имеет нулевой в среднем за период поток мощности. На рис. 4 показаны распределения компонен-

ты Е поля антисимметричной волны (рис. 4, а) и собственной КВ (рис. 4, б). Видно, что для КВ характерно осциллирующее с убывающей амплитудой по поперечной координате X поведение продольной компоненты поля Ег вне пленки. Дело в том, что Е ~ е"*1 (х-а);

Е. ~ е'*(х+а), где а13 = -р2 - поперечные волновые числа в областях над и под

пленкой. У антисимметричной волны, если пренебрегать потерями в пленке, р - чисто действительная величина; а з - чисто мнимые отрицательные, что дает экспоненциальное убывание поля по координате X .

а)

б)

Рис.4. Распределения продольной компоненты Ег электрического поля:

а - антисимметричной волны; б - собственной комплексной волны

В реальных условиях диэлектрическая проницаемость благородных металлов на оптических частотах при ш < шр1 является комплексной величиной 82 = 8'2 + '8. Реальная часть

82 определяется формулой (1), а мнимая [5]

82 =

ш(1 + ш2т2)'

(2)

Здесь т - время релаксации свободного электронного газа; для Ag т = 40 фс [5].

На рис. 5 приведены характеристики дисперсии и затухания антисимметричной волны.

р,До

20.0

5.0

,0 1 о г 0 0 4,

1/Х.мкм ;

р2а

Рис. 5. Характеристики дисперсии и затухания волн при учёте потерь в плёнке

При учете потерь в металле характеристика продольного волнового числа Р^к0, соответствующая собственной КВ (рис. 2, б), раздваивается. В результате получаются две характеристики: одна соответствует горизонтальному участку антисимметричной волны (рис. 5, линия точек), а другая - вертикальному участку антисимметричной волны (рис. 5, сплошная линия). Обе волны имеют схожее с антисимметричной волной распределение продольной составляющей напряженности электрического поля (Е2). Пунктирной линией на рис. 5 показана объемная плазмонная волна [5]. На частотах выше частоты обращения в2 в нуль в результате межзонных переходов характер изменения в2 от частоты не соответствует зависимостям, получаемым по формулам (1) и (2). Из рис. 5 видно, что в отличие от дисперсионной характеристики, полученной для металлической пленки без потерь, дисперсионная характеристика антисимметричной волны имеет максимум в точке 1/X» 2,5 мкм-1, эта

точка соответствует случаю, когда |е2| = = е3 = 2.84.

На участке дисперсионной характеристики, соответствующем участку комплексной волны в металлической пленке без потерь в точке 1/ X » 3 мкм-1, наблюдается осциллирующий по координате X характер поля, как и в случае неучета потерь в пленке (рис. 4, б).

Таким образом, в реальной ситуации в металлической нанопленке существуют две комплексные волны, отличающиеся друг от друга в первую очередь затуханием, обусловленным наличием потерь в пленке. Наименьшее затухание имеет антисимметричная волна, показанная точками на рис. 5. У этой волны $1/к0 близко к ^ 3, что делает ее похожей на

волну Ценнека [9]. Характеристики симметричной и антисимметричной волн (рис. 2, а кривые 1 и 2 для случая неучета потерь) при учете потерь в пленке сливаются в точке 1/X» 2,5 мкм-1. На участке собственной КВ (1/X от 2,8 до 3,05 мкм-1) характеристики волн, показанных на рис. 5 сплошной линией и точками, почти сливаются. Затухание здесь почти такое же, как и в случае неучета потерь (рис. 2, б). Таким образом, свойства собственной КВ при учете потерь в пленке почти не изменяются.

Естественно, при наличии потерь в пленке баланс мощностей, переносимых КВ в прямом и обратном направлениях, не выполняется. На дисперсионных характеристиках отсутствует двухзначный участок, показанный для идеальной (без потерь) пленки на рис. 3. Как следствие, в реальной структуре нет волны с отрицательной групповой скоростью.

Большой прикладной интерес представляют структуры с двумя металлическими пленками [10]. Рассмотрим такую структуру (рис. 6), с серебряными пленками толщиной 10 нм, диэлектрическим слоем толщиной 30 нм с диэлектрической проницаемостью в3 = 2,84 (А1203) и диэлектрической проницаемостью внешней среды ^ = е5 = 1 (воздух) с

учетом комплексности диэлектрической проницаемости металлических пленок.

На рис. 7 приведены дисперсионная характеристика и характеристика затухания поверхностной плазмон-поляритонной волны в такой структуре. Два максимума на дисперсионной характеристике обусловлены различными диэлектрическими проницаемостями слоя между металлическими пленками и внешней средой. Первый максимум дисперсионной х а-рактеристики соответствует равенству по модулю действительной части диэлектрической проницаемости металлической пленки и среды между пленками |геа1(в2 )| = е3 = 2,84, второй максимум обусловлен равенством по модулю действительной части диэлектрической проницаемости металлической пленки и внешней среды |геа1(в2) = ^ = 1. Если диэлектрические

проницаемости внутреннего и внешнего диэлектрических слоев совпадают, то максимумы дисперсионной характеристики сливаются.

Рис. 6. Направляющая структура с двумя металлическими плёнками

Рис.7. Характеристики дисперсии и затухания волн в структуре с двумя плёнками

Дисперсионная характеристика поверхностной плазмон-поляритонной волны, рассчитанная без учета потерь в металле как и в случае электродинамической структуры с одной металлической пленкой (рис. 2, а), будет иметь двузначный участок. В точке, где групповая скорость обращается в ноль, возникает комплексная волна. Участок комплексной волны сохраняется и при учете потерь в металле.

В случае структуры с двумя металлическими пленками возникающий в такой структуре волновой процесс можно рассматривать как результат взаимодействия двух плёночных волн. Как было показано, поля плазмон-поляритонных волн экспоненциально спадают при удалении от плёнок. Если толщина диэлектрического слоя, разделяющего плёнки, такова, что поля волн не затухают в нём, происходит взаимодействие волн плёнок. В среде между двумя пленками наблюдаются два встречно направленных потока. В результате взаимодействия двух волн, распространяющихся навстречу друг другу, возникает стоячая волна. В [10] говорится о таких стоячих волнах, которые можно назвать плазмон-поляритонными резонан-сами.

На рис. 8, а изображена зависимость модуля компоненты электрического поля Ег от координаты х для электродинамической структуры с серебряными пленками толщиной 10 нм, диэлектрическим слоем толщиной 75 нм с диэлектрической проницаемостью 83 = 2,84 (А1203), и диэлектрической проницаемостью внешней среды 8=8= 1 (воздух),

1/2,91 1, Р1/= 1,343, р2 • а = -0,716. На распределении |Е2| от координаты х наблюдается явно выраженный максимум в среде между двумя пленками (рис. 8, а, пунк-

тирная линия). Можно говорить о наличии резонансных явлений, возникающих в результате взаимодействия двух направленных навстречу друг другу волновых процессов.

№

гг [|«0 т

1 / у И) К ¿ff Г; \

|\

1 \

i

» _Е 1*0 1 '

! I 1 Ь 1 J_

1* - 0 i

Ю0,0 -700,0 too.o 0,0 100,0 ?00.0 300,0

а)

PJ

с -j 1*1 I-160 1 |

I 1 VI МО

к ; /

1 ч/во 1 60

-л —0 1

! t

700,0 1S0.0 100,0 50,0 0,0 Ы3,0 100,0 150,0 700,0

б)

Рис. 8. Распределения модуля продольной компоненты Е^^ электрического поля комплексной волны при толщине диэлектрического слоя между плёнками:

а - 75 нм; б - 100 нм

Во внешней среде поле монотонно убывает с удалением от пленок, на границах пленок наблюдаются максимумы. Вид зависимости мнимой части компоненты электрического поля в металлической пленке соответствует аналогичной зависимости компоненты

поля антисимметричной волны.

С увеличением толщины слоя происходит увеличение количества узлов и пучностей стоячей волны между металлическими пленками. На рис. 8, б изображена зависимость модуля компоненты электрического поля Е2 от координаты х для электродинамической структуры с серебряными пленками толщиной 10 нм, диэлектрическим слоем толщиной 100 нм с диэлектрической проницаемостью е3 = 2,84 (Л120ъ) и диэлектрической проницаемостью внешней среды ^ = е5 = 1 (воздух), 1/ X« 2,91 мкм_1, Р^ к0 = 1,259, Р2 а = -1,235.

При дальнейшем увеличении толщины диэлектрического слоя между металлическими пленками сказывается влияние затухания электрического поля вдоль оси х при удалении от пленок. Происходит уменьшение взаимодействия двух волн, направленных навстречу друг другу. Явно выраженной картины стоячей волны не наблюдается.

Таким образом, показано, что в структурах с двумя металлическими плёнками на частотах ниже частоты плазмонного резонанса при определённых параметрах окружающих их

сред могут возникать собственные комплексные волны. Взаимодействие двух волн, существующих в параллельных плёнках, приводит к возникновению явления комплексного резонанса. Предлагается использовать данный эффект в фильтрующих устройствах оптического диапазона.

Библиографический список

1. Раевский, А.С. Неоднородные направляющие структуры, описываемые несамосопряженными операторами / А.С. Раевский, С.Б. Раевский. - М.: Радиотехника, 2004. - 112 с.

2. Раевский, А.С. Комплексные волны / А.С. Раевский, С.Б. Раевский. - М.: Радиотехника, 2010. - 224 с.

3. Малахов, В.А. Комплексные волны в экранированной микрополосковой линии / В.А.Малахов, А.С. Раевский // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 1. С. 58-61.

4. Поверхностные поляритоны / под ред. В.Л. Аграновича, Д.Л. Миллса. - М.: Наука, 1985.

5. Климов, В.В. Наноплазмоника / В.В. Климов. - М.: Физматлит, 2010. - 480 с.

6. Майер, А. Плазмоника: теория и преложения / А. Майер, А. Стефан. - М-Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. - 296 с.

7. Федянин, Д.Ю. Поверхностные плазмон-поляритоны с отрицательной и нулевой групповыми скоростями, распространяющиеся по тонким металлическим пленкам / Д.Ю. Федянин [и др.] // Квантовая электроника. 2009. Т. 39. № 8. С. 745-750.

8. Малахов, В.А. Комплексные волны в металлической нанопленке на оптических частотах / В.А. Малахов, К.В. Попков, А.С. Раевский // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2011. Т. 14. № 3. С. 27-30.

9. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. - М.: Сов. радио, 1957. - 581 с.

10. Tamura, М. Analisis of metal-insulator-metal structure and its application to sensor/ M.Tamura, H.Kagata // IEEE Transactions on theory and techniques. 2010. V. 58. №. 12. Р. 3954-3960.

Дата поступления в редакцию 31.01.2012

V.A. Malakhov, K.V. Popkov, A.S. Raevsky

COMPLEX WAVES AND COMPLEX RESONANCE IN STRUCTURES WITH THIN METAL FILMS AT OPTICAL FREQUENCIES

Nizhniy Novgorod State Technical University n.a. R.Y. Alexseev

Purpose: Calculations of the complex longitudinal wave numbers and electromagnetic fields in single metal film and metal-insulator-metal structures.

Design/methodology/approach: A theory is proposed on a rigorous method of a calculation of dispersion that takes into consideration complex permittivity of silver.

Findings: Results of calculations could be used in an engineering of filters.

Research limitations/implications: The present results provide a starting-point for further research of properties of surface plasmon polaritons.

Originality/value: The researches deal with complex waves in metal films at optical frequencies.

Key words: surface plasmon polaritons, complex resonance, dispersion, complex plasmon resonance.