CC BY
11
УДК 539.3
Комплексное исследование зарождения и роста усталостных трещин при сверхмногоцикловом кручении
И.С. Никитин, А. Д. Никитин, Б.А. Стратула
Институт автоматизации проектирования РАН, Москва, 123056, Россия
В работе исследуется проблема разрушения гладких образцов из титанового сплава ВТ3-1 в области сверхмногоцикловой усталости при симметричном цикле нагружения. Проводится математическое моделирование разрушения образцов при высокочастотном циклическом нагружении кручением. Для моделирования процесса зарождения и распространения квазитрещин в образцах использована муль-тирежимная двухкритериальная модель усталостного разрушения на основе теории повреждаемости. Рассмотрены случаи поверхностного и подповерхностного зарождения квазитрещин при кручении. Результаты математического моделирования хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований и позволяют воспроизвести эволюцию роста усталостной трещины при чистом кручении с характерными этапами смены механизмов и изломов траекторий распространения.
Ключевые слова: усталостное разрушение, математическое моделирование, функция повреждаемости, мультирежимная модель, сверхмногоцикловая усталость, квазитрещина
DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_3_50
A comprehensive study of fatigue crack initiation and growth under very high cycle torsional fatigue loading
I.S. Nikitin, A.D. Nikitin, and B.A. Stratula
Institute of Computer Aided Design RAS, Moscow, 123056, Russia
This paper investigates the fatigue behavior of smooth specimens made of VT3-1 titanium alloy under fully reversed loading conditions. Mathematical modeling results are presented for the fatigue fracture of smooth specimens under high cycle torsional fatigue loading. The fatigue quasi-crack initiation and growth are calculated using a multimode two-parameter model of fatigue damage accumulation. The surface and subsurface quasi-crack initiation under torsional loading is studied. The numerical results are in good agreement with experimental data and can be used to predict the change in crack growth mechanisms under complex multiaxial loadings such as torsion.
Keywords: fatigue fracture, mathematical modeling, damage function, multimode fatigue failure model, very high cycle fatigue, quasi-crack
1. Введение
Исследования в области разрушения материалов под действием циклических нагрузок стали актуальны с развитием мировой промышленности. Первоначально исследования носили прикладной характер и испытания проводились на полноразмерных образцах, таких как цепи подъемных устройств, оси почтовых колясок, подвижных же© Никитин И.С., Никитин А. Д., Стратула Б.А., 2023
лезнодорожных составов и др. С конца 19 века были введены стандартные образцы и вместо габаритных, дорогостоящих испытаний с полноразмерными элементами конструкций стали проводить лабораторные испытания, что способствовало выделению исследований усталости в качестве самостоятельного научного направления [1]. Переход от полноразмерных элементов конструкций
к образцам потребовал развития теорий и моделей разрушения, позволяющих переносить результаты испытаний в инженерную практику. Развитие моделей усталостного разрушения непрерывно связано с расширением представлений об усталости. Так, первоначально под усталостью подразумевались нагрузки, приводящие к разрушению в диапазоне 105-106 циклов нагружения, что соответствует современной многоцикловой усталости (МНЦУ). Более высокие амплитуды нагружения не исследовались, т.к. предполагалось, что такие нагрузки не допустимы. Таким образом, базовыми стали критерии по уровням максимальных напряжений и введение понятия «предела усталости». С развитием представлений о циклическом неупругом деформировании материалов и работами Баушингера связано исследование циклического разрушения при значительных внешних нагрузках, приводящих к макроскопическим пластическим деформациям. Характерные долговечности материалов при таком нагру-жении находятся в диапазоне 103-105 циклов, что соответствует современным представлениям о малоцикловой усталости (МЦУ). Долгое время считалось, что эти два диапазона составляют полную кривую усталости. Однако с развитием экспериментальных методов и средств управления нагружающими машинами стало возможно проводить усталостные испытания при значительно больших долговечностях (порядка 108-1010 циклов) [2]. Оказалось, что при таких наработках материалы могут разрушаться при уровнях напряжений, значительно ниже классического «предела
усталости» [3]. Исследование поверхностей излома металлических материалов показало принципиальную смену механизма зарождения усталостных трещин в области больших долговечностей. Было установлено, что очаг трещины при таких условиях нагружения располагается под поверхностью образца или изделия. Зарождение трещины в этом режиме связано с микроскопическими особенностями строения материала или наличием внутренних дефектов, таких как неметаллические включения. Выявленные особенности разрушения материалов при таких условиях циклического нагружения позволили выделить новый диапазон — сверхмногоцикловую усталость (СВМУ). На рис. 1 представлена полная кривая усталостной долговечности для металлических материалов.
Слева направо располагаются области малоцикловой, многоцикловой и сверхмногоцикловой усталости. Стоит отметить, что строгой границы между указанными областями нет. Переход от одного усталостного режима к другому происходит в пределах некоторой транзитной области, называемой областью бифуркации [4]. Смена механизма разрушения носит вероятностный характер. С точки зрения экспериментальных результатов область бифуркации проявляется следующим образом: если вести рассмотрение по напряжениям, то с некоторого уровня среди образцов, разрушенных по механизмам МЦУ, начинают появляться результаты с разрушением по механизмам МНЦУ. По мере снижения величины внешней нагрузки доля результатов с признаками МНЦУ разрушения будет увеличиваться. При достижении неко-
Циклы
Рис. 1. Мультирежимная модель полной усталостной долговечности с выделением бифуркационных областей
торого следующего уровня напряжений разрушения по механизмам МЦУ более наблюдаться не будут. В настоящее время не существует стандартизованной системы определения границ области бифуркации. Используя устоявшиеся за десятилетия представления, большинство авторов и ныне объединяют кривые МЦУ и МНЦУ в единую «классическую» усталостную кривую Веллера. По мере дальнейшего снижения уровня внешней нагрузки появляется следующая область бифуркации, связанная со сменой механизмов разрушения от МНЦУ к СВМУ. В областях смены механизма разрушения возможен значительный разброс экспериментальных данных по количеству циклов.
2. Мультирежимная двухкритериальная модель усталостного разрушения
Для описания полной кривой усталости удобно воспользоваться соотношением Баскина [5], устанавливающим связь между уровнем напряжений и количеством циклов до разрушения:
са = Си , (1)
где оа — амплитуда циклической нагрузки; N — количество циклов до разрушения; ои — предел усталости; ос — коэффициент степенной зависимости; в — показатель, описывающий наклон кривой усталости. Эти параметры кривой усталости косвенно отражают информацию о технологической наследственности материала, микроструктурном состоянии, внутренних неоднород-ностях и дефектах. Анализ экспериментальных кривых усталости показывает, что характер падения циклической прочности при увеличении циклов нагружения оказывается схожим для левой (МЦУ, МНЦУ) и правой (СВМУ) ветвей, что позволяет сформулировать гипотезу о подобии их математического описания [6]. В рамках настоящей модели предполагается, что левая и правая ветви полной кривой усталости описываются соотношением типа Баскина (1). Для того чтобы различать параметры и переменные, относящиеся к различным ветвям, введем индексы: Ь — для левой ветви и V — для правой. В этом случае соотношение типа Баскина для левой и правой ветви принимает следующий вид:
= С + N, аеч = си + ^N, (2)
где аи — классический предел усталости; си — предел усталости в области СВМУ; оед — эквивалентное напряжение, которое для случая одноос-
ного нагружения совпадает с амплитудой циклической нагрузки.
Параметры для левой и правой ветвей можно определить по результатам соответствующих экспериментальных испытаний на одноосное нагру-жение по методике [6] на основании анализа полных кривых усталости. При высоких уровнях внешней нагрузки, когда амплитуда циклического нагружения может превосходить предел текучести материала, усталостная прочность незначительно отличается от предела прочности материала ов. В зависимости от материала эта тенденция наблюдается в первые 10-103 циклов нагру-жения. Таким образом, одним из граничных условий для левой ветви полной усталостной кривой будет являться ее выход на предел прочности материала на заданной базе испытаний (для определенности примем его за 103 циклов). Вторым граничным условием будет выход на значение предела усталости при 107 циклов нагружения. Подставляя вместо амплитуды циклической нагрузки предел прочности, можно получить выражение для оЬ. Проводя аналогичные рассуждения для правой ветви полной кривой усталости, можно отметить, что ниспадающий характер она приобретает при уровне внешней нагрузки порядка классического предела усталости, определенного при 10-108 циклов. Выход же на асимптоту предела выносливости в области СВМУ наблюдается при количестве циклов порядка 1010 циклов. Принимая для определенности базу испытаний, при которой проявляется ниспадающий характер, за 108 циклов, можно получить выражение для параметра о-у. Таким образом, параметры обобщенного соотношения типа Баскина определяются квазистатическими и усталостными характеристиками прочности материала:
аь = 103рЬ (св "6и), ^ = 108^(би "6и). (3) Показатель степени определяется на основании анализа одноосных ветвей усталостных кривых при симметричном цикле нагружения.
Стоит отметить, что в общем случае сложного напряженно-деформированного состояния эквивалентное напряжение может быть определено в соответствии с экспериментально обоснованными многоосными критериями усталостного разрушения. Кроме того, эквивалентные напряжения могут быть использованы для описания различных механизмов раскрытия: микротрещин нормального отрыва или сдвига. Стоит отметить, что в зависимости от выбранного критерия соответствующее количество циклов до разрушения по
формуле (2) будет отличаться. Таким образом, если для материала одновременно использовать несколько критериев, описывающих усталостную прочность нормального и сдвигового раскрытия, то модель позволяет установить тип раскрытия в области зарождения. В настоящей работе выбраны два критерия: Smith-Watson-Topper (SWT) (механизм микротрещин нормального отрыва) [7] в форме [8] и Carpinteri-Spagnoli-Vantadori (CSV) (механизм сдвиговых микротрещин) [9].
2.1. Критерий для микротрещин нормального отрыва (Smith-Watson-Topper)
Разрушение по механизмам отрыва связано с растягивающими компонентами напряжений. Зачастую на процесс формирования трещины нормального отрыва при усталостном нагружении может оказывать влияние не только амплитуда циклического напряжения, но и растягивающее среднее статическое напряжение. В критерии SWT в форме [8] представлен вариант учета этих компонент напряжений:
°eq = ^ =V<°1max >Л^/2, (4)
где <CT1max > = CT1maxH (°1max) — величина максимального главного растягивающего напряжения; Л^/2 — амплитуда главного циклического напряжения.
Предлагаемая модель допускает применение и других критериев, используемых для описания процесса разрушения по механизму нормального отрыва.
2.2. Критерий для микротрещин сдвига (Carpinteri-Spagnoli-Vantadori)
Для описания развития микротрещин сдвигового типа используется критерий, учитывающий особенности их формирования. Нередко бывает, что одних сдвиговых напряжений оказывается недостаточно для формирования трещины, а наиболее опасными областями являются те, где одновременно действуют нормальные и сдвиговые напряжения. Тем не менее растягивающие напряжения играют второстепенную роль, лишь обеспечивая возможность сдвига. Одним из критериев, позволяющих эффективно описывать подобные трещины, является критерий CSV:
^«ЛСп >/ 2)2 + 3(Лт J 2)2, (5)
где Лтп/2 — амплитуда максимального касательного напряжения, действующего на некоторой
площадке с нормалью n; (Асп)/2 — амплитуда циклического напряжения в фазе растяжения
((А°П ) = CTn maxH К max) " CTn minH К min)). ДейСТ"
вующего на этой же площадке. Коэффициенты перед данными амплитудами указывают на доминирующую роль сдвиговых напряжений в разрушении.
Для определения механизма разрушения при заданной конфигурации внешних нагрузок необходимо производить проверку по двум критериям для одного напряженно-деформированного состояния: ceq = max(cn, сх).
Использование многоосных критериев разрушения подразумевает модельные представления о неизменности напряженно-деформированного состояния в процессе циклического нагружения от момента зарождения микроповреждений до макроразрушения. Однако при циклическом нагру-жении происходят постепенная деградация свойств материала, образование и рост микротрещин, что приводит к непрерывному изменению напряженно-деформированного состояния. Для корректного описания и моделирования процесса усталостного разрушения необходимо учитывать кинетику этих процессов.
В настоящей работе рассматривается процесс постепенного снижения локальных механических характеристик материала (модулей упругости), подвергнутого циклическому нагружению. Для описания циклической деградации материала вводится понятие распределенной функции повреждаемости у, принимающей значения от 0 до 1 [10-13] и условно равной относительной плотности микродефектов в малом объеме деформируемого образца. Для неповрежденной материальной частицы значение функции у равно 0, а для полностью разрушенной — 1. Изменение функции повреждаемости с ростом циклов нагружения описывается кинетическим уравнением, предложенным в [14]:
ду = В(о, Аст)ут
ÖN 1 -у1"? ' 1 '
где В(о, До) — коэффициент, зависящий от напряженно-деформированного состояния в цикле; До — размах циклической нагрузки; у — экспериментально определяемый параметр, описывающий скорость накопления повреждаемости. Выражения для коэффициентов В(о, До) можно получить, сопоставив представления одноосных усталостных кривых (2) с решением кинетического уравнения для функции повреждаемости при
однородном напряженном состоянии путем интегрирования в пределах от 0 до 1 [14]. В результате для левой и правой ветвей усталостной кривой аналитические выражения для коэффициентов имеют вид:
-3
B = BL = 10
при cu
B = BV = 10-
<CTeq -«u >
1/PL
1
2(1 -у )
<CTeq u >
V ßv
1
(7)
2(1 -у )
Лст„
«u „ ПРИ «u <«eq — «u
где Actu = 10-5ßL (cB -ctu) — ширина области бифуркации. Выражения в треугольных скобках являются «маркерами» ветви усталостной кривой и определяются следующим образом: ( f > = f H ( f ), где H (f) — функция Хевисайда. Показатель степени у изменяется в диапазоне 0< у < 1. В результате получается связанная задача — в процессе циклического нагружения формируются поля напряжений, влияющие на коэффициенты кинетического уравнения для повреждаемости, с ростом повреждаемости происходит деградация механических характеристик материала, влияющих на напряженно-деформированное состояние в последующих циклах.
Развитие повреждаемости в материальной частице приводит к эффективному уменьшению модулей упругости в общем случае по нелинейному закону, а в предложенном варианте модели — по кусочно-линейному закону следующего вида:
- деградация материала при
у<у*, Х(у) = ^,(1 -ку), ц(у) = ^0 (1 - ку),
- полное разрушение при
у* — у — 1, X = 0, ц = 0. Здесь у* < 1 — критическое значение повреждаемости, при котором наступает состояние полного разрушения. Анализ кинетических кривых роста усталостных трещин показывает, что неконтролируемый, лавинообразный рост трещин начинается раньше, чем трещина достигает критической длины, при которой происходит полное разрушение элемента конструкции. Следуя этой аналогии, в данной модели введено некоторое критическое значение функции повреждаемости у*, при котором деградационные процессы принимают лавинообразный характер. Значение критического значения функции повреждаемости немного меньше 1.
2.3. Численный метод решения уравнения для повреждаемости
Численный метод расчета зон повреждаемости заключается в пошаговом (по циклам нагруже-ния) расчете упругого напряженно-деформированного состояния образца материала или элемента конструкции параллельно с численным решением нелинейного уравнения для повреждаемости (6) и корректировкой модулей упругости среды в областях, где функция повреждаемости отлична от нуля. Такие области становятся дополнительными развивающимися концентраторами напряжений, а узкие протяженные зоны полного разрушения в указанном выше смысле будем называть «квазитрещинами».
Особенности предложенной модели, среди которых универсальность описания правой и левой ветвей полной кривой усталости, использование единого кинетического уравнения функции повреждаемости для различных механизмов (нормального отрыва и сдвигового) накопления усталостной повреждаемости, позволили унифицировать алгоритм численного решения. Кинетическое уравнение для функции повреждаемости (6) не позволяет использовать аппроксимацию явной схемы решения из-за особенности в знаменателе, делающей систему уравнений жесткой. Однако разностная аппроксимация уравнения (6) может быть выполнена путем непосредственного интегрирования на интервале двух дискретных значений циклов N и N"+1, что позволяет получить аналитическое решение для значений функции повреждаемости в каждом пространственном узле сетки с заданным шагом по времени (количеству циклов)
уГ1 = (1 - V(1 - (у")1-У )2 - 2(1 - у)B"AN" )1(1-у), (8)
где у"+1 — значение функции повреждаемости в k-м пространственном узле на (" + 1)-м временном слое; AN"=N"+1 - N — шаг по циклам нагружения.
Для определения глобального шага расчета по числу циклов для всего образца перебором узлов сетки выбирается тот, в котором в текущем напряженном состоянии локальный шаг для достижения критического значения функции повреждаемости является минимальным. Искомое значение шага считается равным половине минимального локального [14]:
AN" = min0.5AN
k>
(9)
8
Рис. 2. Геометрия образцов для СВМУ испытаний при одноосном нагружении (а) и кручении (б) [14]
Wnk =
1-у
2(1 у)
1 -у 2(1 -у)
B
Vk
Зависимость между значениями упругих характеристик и функций повреждаемости принята в следующем виде [14]:
Enk+l = Eo(1 -KVk+1)(H(v* -Vk+1) + 0.001), (10) где Ek+1 — значение модуля упругости на новом шаге; E0 — модуль упругости Юнга неповрежденного материала; к — коэффициент деградации модуля, устанавливаемый в ходе вычислительных экспериментов. Коэффициент Пуассона материала считаем неизменным.
В численном методе, в отличие от формулы (7), для реализации алгоритма сквозного счета принято, что в состоянии полного разрушения материал обладает минимальными остаточными модулями упругости, условно равными 0.001 от своего начального значения.
Это позволяет вести расчет на фиксированной сетке, решая сильно неоднородную упругую задачу на каждом шаге по циклам нагружения.
Таким образом, удается построить единый алгоритм вычисления функций повреждаемости для разрушений по механизмам как нормального отрыва, так и сдвига. Из уравнения (8) следует, что приращение функции повреждаемости зависит от коэффициентов B, которые, в свою очередь, зависят от значений эквивалентных напряжений (6). Кинетика накопления усталостной повреждаемости (развития квазитрещин) по механизмам нормального отрыва или сдвига заложена в единообразный алгоритм вычисления функции повреждаемости. Кроме того, использование унифицированного описания полной кривой усталости в форме уравнения типа Баскина позволяет при концентрации локальных полей напряжений про-
водить автоматическое «переключение» ветвей полной бимодальной усталостной кривой без изменения алгоритма численного решения.
3. Материалы и методы проведения исследований
Для определения параметров модели и проверки ее работоспособности были использованы СВМУ испытания при различных режимах нагружения: растяжение-сжатие и кручение. Испытания на кручение предполагают реализацию сложного напряженно-деформированного состояния со сменой ведущего механизма роста усталостной трещины.
Для проведения СВМУ испытаний при одноосном растяжении-сжатии и кручении были изготовлены образцы (рис. 2) из титанового сплава ВТ3-1. В качестве заготовки для образцов выступил диск первой ступени компрессора низкого давления авиационного двигателя Д30-КУ, устанавливаемого на самолеты Ту-154. Диск компрессора находился в эксплуатации на воздушном судне в течение 8000 ч, после чего был заменен согласно регламентным работам. После вывода из эксплуатации диск был проверен неразрушаю-щими методами контроля на наличие следов пластической деформации и микротрещин. В результате проверок вышеуказанных нарушений не было выявлено.
Испытания на гладких образцах были проведены на воздухе при постоянной амплитуде нагру-жения с непрерывным обдувом сухим сжатым воздухом. Параметры нагружения, такие как частота и амплитуда, непрерывно контролировались на протяжении всего времени проведения эксперимента. Описание установок, использованных для проведения испытаний, можно найти в работе
Рис. 3. Результаты СВМУ испытаний титанового сплава ВТ3-1 при одноосном нагружении и кручении с асимметрией цикла Я = -1
4. Результаты СВМУ испытаний титанового сплава ВТ3-1
Результаты испытаний титанового сплава в области СВМУ при осевом нагружении и кручении представлены на рис. 3. Сплошными значками обозначены результаты испытаний при симметричном (R = -1) осевом нагружении. Полыми значками обозначены результаты испытаний на кручение, приведенные в эквивалентных напряжениях для сравнения с осевыми.
Кривые усталости для обоих типов нагружения показывают выраженную тенденцию к сни-
жению усталостной прочности по мере увеличения циклов нагружения. Стоит отметить, что угол наклона кривой при кручении больше, чем при осевом нагружении. Результаты испытаний на осевое нагружение и кручение сопоставимы по эквивалентным напряжениям. Однако в случае осевого нагружения разброс усталостной долговечности значительно больше. На некоторых уровнях напряжений (385-400 МПа) различие в экспериментальных долговечностях достигает нескольких порядков. Результаты осевых испытаний были использованы для определения параметров модели на правой ветви полной усталостной кривой. Результаты для левой ветви были взяты из стандартных испытаний титанового сплава ВТ3-1 на многоцикловую усталость.
Результаты испытаний на кручение были использованы для проверки мультирежимной двух-критериальной модели. Эквивалентные напряжения для случая нагружения кручением лежат в диапазоне от 370 до 445 МПа, что соответствует амплитуде сдвиговых напряжений в диапазоне от 212 до 254 МПа. При этом разброс долговечнос-тей лежит в диапазоне от 4- 106 до 2- 108 циклов. Все разрушенные образцы были исследованы с использованием оптической и электронной сканирующей микроскопии. Результаты исследования боковой поверхности образцов с использованием светового микроскопа представлены на рис. 4.
Рис. 4. Боковая поверхность разрушенных
образцов на кручение с трещинами Z- и X-типа (цветной в онлайн-версии)
Рис. 5. Поверхность излома образцов на кручение с поверхностным (а) и подповерхностным зарождением (б)
Среди испытанных образцов были выявлены трещины двух различных типов: одна 2-образная, наклоненная под углом 45°, и Х-образная в виде двух пересекающихся трещин, наклоненных под углом 45° каждая относительно оси образца. При увеличении области зарождения можно наблюдать, что начальный этап роста усталостной трещины происходит в плоскости максимальных сдвиговых напряжений (вдоль или поперек оси образца). После непродолжительного распространения трещины в плоскости максимальных сдвиговых напряжений происходит смена направления роста трещины с дальнейшим распространением в плоскости максимальных нормальных напряжений. Участок роста в плоскости максимальных сдвиговых напряжений по поверхности образца не превышает 200 мкм. Длина каждой из наклоненных трещин по поверхности составляет порядка 3 мм с длиной каждого «уса» порядка 1.5 мм.
Характерные поверхности излома образцов на кручение, полученные с использованием сканирующего электронного микроскопа, представлены на рис. 5. Среди разрушенных образцов можно выделить две группы — разрушение с очагом на поверхности образца (рис. 5, а) и разрушение с очагом под поверхностью (рис. 5, б) [16].
Морфология поверхности излома титанового сплава имеет несколько ярко выраженных зон роста усталостной трещины, аналогичных тем, что были обнаружены в СВМУ испытаниях алюминиевого сплава [17]. На рис. 5, б четко различимы зоны зарождения, роста и финального долома. Представленные изображения поверхности излома демонстрируют зарождение в плоскости максимальных сдвиговых напряжений и последующий рост в плоскости максимальных растягивающих напряжений, ориентированных под углом 45° относительно оси образца.
На поверхности излома при поверхностном зарождении (рис. 5, а) отчетливо видны мезолинии вторичных трещин, ориентированных под углом к основной трещине. Вторичные трещины образуют «крылья» в ортогональной плоскости максимальных нормальных напряжений. Стоит отметить, что на начальном этапе роста этот процесс ветвления проявляет себя слабо, а при достижении основной трещиной некоторой критической длины наблюдается множественное ветвление трещины. В случае подповерхностного зарождения (рис. 5, б) очаг расположен на значительном удалении от поверхности образца, порядка 300500 мкм. Область подповерхностного роста на рисунке имеет более насыщенный серый цвет. После выхода на поверхность характер роста меняется, поверхность излома становится более шероховатой, о чем свидетельствует более светлый цвет. В центральном сечении у поверхности наблюдается площадка, ориентированная в плоскости максимальных сдвиговых напряжений перпендикулярно оси образца. Площадка имеет треугольную форму, вытянутую в направлении центра образца. Характер морфологии излома указывает на то, что поверхностная и подповерхностные трещины зародились одновременно и значительное время распространялись независимо.
Исследование области зарождения при большем увеличении (рис. 6) показывает, что для обоих типов зарождения свойственен этап зарождения и роста в плоскости максимальных сдвиговых напряжений. Поверхность излома в области зарождения покрыта сферическими и цилиндрическими частицами, сформированными в результате раскрытия трещины сдвигового типа. После зарождения и раннего роста по механизмам сдвига трещина переходит к распространению по механизму нормального отрыва, о чем свидетельствуют зоны замятия на поверхности излома
Рис. 6. Область зарождения усталостной трещины при кручении в образцах из титанового сплава ВТ3-1
(рис. 6, б). Таким образом, сценарий развития усталостной трещины в области СВМУ аналогичен тому, что реализуется в области многоцикловой усталости с одним отличием, что наряду с поверхностным зарождением возможно формирование подповерхностного зарождения на значительном удалении от поверхности образца. Возникает сложная задача воспроизведения данного сценария роста усталостной трещины при кручении в численном эксперименте и оценки длительности каждого из этапов.
5. Результаты математического моделирования зарождения и роста квазитрещин
Упругий расчет образца для СВМУ испытаний на кручение был выполнен с использованием программного пакета Астра, основанного на реализации эффективного безматричного варианта метода конечных элементов [18]. В качестве параметра нагружения выступал угол закручивания, который легко пересчитывается в линейные смещения на боковой поверхности образца в цилиндрической его части (часть, называемая резонансной длиной). Приложенные высокочастотные крутильные колебания формируют напряженно-деформированное состояние в рабочей части образца. На основании полученного решения упругой задачи производится процедура определения параметров кинетического уравнения для повреждаемости, определяются значения функции в каждом узле конечно-элементной модели и производится корректировка свойств материала в областях с ненулевым значением функции повреждаемости. Свойства титанового сплава принимались следующими: модуль Юнга Е0 = 116 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0.32, плотность р = 4370 кг/м3. Прочностные и усталостные парамет-
ры титанового сплава равны: предел прочности ов = 1160 МПа, классический предел усталости ои = 340 МПа, си = 250 МПа, вь = 0.31, Pv = 0.27. Параметры уравнения повреждаемости по результатам вычислительных экспериментов и согласования расчетных и экспериментальных усталостных кривых [14] выбраны следующими: у = 0.5, к = 0.5, у* = 0.98.
Численный эксперимент был проведен для амплитуды сдвиговых напряжений 240 МПа, что эквивалентно углу закручивания 0.006°. В результате итерационных повторений этой процедуры выделяются области, идентифицируемые как квазитрещины (рис. 7). На рисунке серым цветом представлены узкие локализованные области материала, в которых повреждаемость достигла критического значения. Анализ процесса накопления повреждаемости показывает, что на начальном этапе зарождения и роста критическое значение функции повреждаемости преимущественно достигалось по критерию сдвигового разрушения. На более поздних стадиях доля узлов, в которых критическое значение функции повреждаемости достигается по сдвиговому критерию, снижается, а все большее количество элементов разрушается по механизму нормального отрыва. Таким образом, численный эксперимент с хорошей точностью воспроизводит процесс смены механизма роста трещин при кручении. Этот результат является важным, т.к. большинство современных многоосных критериев и подходов не позволяет предсказывать качественное изменение в механизмах раскрытия трещины.
Как видно на рис. 7, а, б, при поверхностном зарождении квазитрещина имеет 2-образную форму с ориентацией трещины после излома траектории в плоскости максимальных нормальных напряжений. Этот результат совпадает с экспериментальными данными, полученными в испыта-
Рис. 7. Результаты численного моделирования зарождения усталостной трещины при поверхностном зарождении (цветной в онлайн-версии)
ниях титанового сплава ВТ3-1 при СВМУ кручении (рис. 7, в).
Важным вопросом остается исследование роста и выхода на поверхность подповерхностных трещин при кручении. Для получения очага в объеме образца была произведена корректировка свойств материала в одной из внутренних ячеек конечно-элементной модели. Локальные модули упругости в этом элементе были увеличены в 2 раза, что привело к концентрации напряжений в этой области. Это позволило добиться подповерхностного зарождения трещины в численных экспериментах на кручение. Результат математического моделирования усталостной трещины при различных глубинах залегания дефекта представлен на рис. 8.
При поверхностном зарождении формируется квазитрещина, близкая по форме к 2-образной (рис. 8, а). При увеличении глубины залегания дефекта начинает наблюдаться Х-образная трещина, однако участок роста в плоскости максимальных сдвиговых напряжений незначительный (рис. 8, а). При дальнейшем увеличении глубины залегания дефекта наблюдается выраженная Х-об-разная трещина с отчетливой площадкой роста в плоскости максимальных сдвиговых напряжений (рис. 8, б). На рис. 8, в представлены результаты испытаний титанового сплава ВТ3-1 с подповерхностным зарождением (глубина расположения очага трещины порядка 300 мкм от поверхности). Результаты экспериментального исследования разрушения хорошо согласуются с результатами чис-
Рис. 8. Результаты математического моделирования зарождения усталостной трещины при подповерхностном зарождении: 200 (а) и 400 мкм под поверхностью (б), результат разрушения в эксперименте (в) (цветной в онлайн-версии)
Таблица 1. Результаты испытаний титанового сплава ВТ3-1 на СВМУ кручение [16]
№ Образец Амплитуда касательного напряжения, МПа Долговечность, цикл
1 Кручение-1 254 3.96 • 1G6
2 Кручение-2 242 3.37 • 1G6
3 Кручение-3 23G 9.22 • 1G7
4 Кручение-4 224 1.13 • 1G8
5 Кручение-5 212 1.93 • 1G8
ленного моделирования роста усталостной трещины при глубоком расположении очага разрушения. На рис. 8, в наблюдается Х-образная трещина с выраженным участком роста в плоскости максимальных сдвиговых напряжений. Таким образом, предложенная модель позволяет получить хорошее качественное согласие расчетных и экспериментальных данных для образцов, нагруженных в условиях СВМУ кручения.
Количественная оценка долговечности образцов при СВМУ нагружении кручением также является приемлемой. Численный эксперимент для титанового сплава ВТ3-1 был проведен при уровне касательных напряжений 240 МПа (0.006°). Количество циклов до зарождения квазитрещины составляет от 4.8 • 106 в случае зарождения на поверхности до 6.8 • 10 в случае зарождения на дефекте на глубине 400 мкм от поверхности. Экспериментальные результаты для данного сплава представлены в табл. 1.
Как видно из результатов экспериментального определения долговечности материала при СВМУ кручении, для указанного уровня напряжений характерная долговечность находится в диапазоне от 3.37 • 106 до 1.93 • 108 циклов. В результате численного моделирования приводится оценка диапазона в 4.8 • 106-6.8 • 107 циклов, что хорошо попадает в поле экспериментальных результатов. Для безопасного прогнозирования необходимо вводить понятие вероятности разрушения и делать оценки кривых усталости с помощью данной модели для определения границ вероятностного разрушения сплава.
6. Выводы
В работе представлена физически обоснован-
ная модель усталостного разрушения на основе
теории повреждаемости, позволяющая получить оценки усталостной долговечности материала в широком диапазоне циклов нагружения. В модель заложены два механизма зарождения усталостных трещин, связанных с нормальным раскрытием и сдвигом. Двухкритериальная модель позволяет прогнозировать тип раскрытия трещины в области зарождения, что является отличительной особенностью данной модели по сравнению с рядом классических подходов. Унифицированное описание правой и левой ветви усталостной кривой позволяет представить единый алгоритм расчета циклической повреждаемости с автоматическим определением параметров кинетического уравнения в зависимости от напряженно-деформированного состояния. Предложенная модель была использована для оценки усталостной долговечности СВМУ образцов из титанового сплава ВТ3-1 при кручении. Результаты моделирования позволяют воспроизвести последовательность зарождения и роста усталостной трещины при непрерывно меняющемся напряженно-деформированном состоянии. Согласно расчетным данным, зарождение происходит в плоскости максимальных сдвиговых напряжений и ассоциировано со сдвиговым механизмом разрушения. По мере роста трещины тип ее раскрытия меняется, а направление распространения переходит в плоскость максимальных нормальных напряжений. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований для титанового сплава ВТ3-1. Помимо качественной оценки были проведены и количественные оценки долговечности. Экспериментальные значения долговечности для титанового сплава ВТ3-1 при нагружении кручением для сопоставимой амплитуды нагружения хорошо согласуются с расчетами по модели циклической повреждаемости.
Работа выполнена в рамках проекта РНФ № 19-19-00705-П.
Литература
1. Schütz W. A history of fatigue // Eng. Fract. Mech. -1996. - v. 54. - No. 2. - P. 263-3GG. - https://doi.org/ 1G.1G16/GG13-7944(95)GG178-6
2. Bathias C., Paris P. Gigacycle Fatigue in Mechanical Practice. - New-York: Dekker, 2GG4. - https://doi.org/ 1G.12G1/978G2G3G2G6G9
3. Bathias C., Drouillac L., Le François P. How and why the fatigue S-N curve does not approach a horizontal asymptote // Int. J. Fatigue. - 2GG1. - v. 23. - No. 1. -
P. 143-151. - https://doi.org/ 10.1016/S0142-1123(01) 00123-2
4. Shanyavskiy A.A., Soldatenkov A.P. The fatigue limit of metals as a characteristic of the multimodal fatigue life distribution for structural materials // Proc. Struct. Integr. - 2011. - V. 23. - P. 63-68. - https://doi.org/ 10.016/j.prostr.2020.11.027
5. Basquin O.H. The exponential law of endurance tests // Proc. Am. Soc. Test. Mater. - 1910. - V. 10. -P. 625-630.
6. Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S., Yaku-shev V.L. A study of different modes of fatigue fracture and durability estimation for compressor disks of gas-turbine engine // Math. Models Comp. Simul. -2016. - V. 8. - No. 5. - P. 523-532. - https://doi.org/ 10.1134/S2070048216050070
7. Smith R.N., Watson P., Topper T.H. A stress-strain parameter for the fatigue of metals // J. Materials. -1970. - V. 5. - P. 767-78
8. Gates N., Fatemi A. Multiaxial variable amplitude fatigue life analysis including notch effects // Int. J. Fatigue. - 2016. - V. 91. - P. 337-351. - https://doi.org/ 10.1016/j.ijfatigue.2015.12.011
9. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantadori S. Multiaxial assessment using a simplified critical plane based criterion // Int. J. Fatigue. - 2011. - V. 33. - P. 969-976. -https://doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2011.01.004
10. Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения. Вопросы прочности материалов и конструкций // Изв. АН СССР ОТН. - 1959. - С. 5-7.
11. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР ОТН. - 1958. - № 8. -С. 26-31.
12. Lemaitre J., Chaboche J.L. Mechanics of Solid Materials. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994.
13. Murakami S. Continuum Damage Mechanics. A Continuum Mechanics Approach to the Analysis of Damage and Fracture. - Dordrecht: Springer, 2012. - https:// doi.org/10.1007/978-94-007-2666-6
14. Nikitin I.S., Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin A.D. Multi-mode model for fatigue damage development // Mech. Solids. - 2020. - V. 55. - No. 8. - P. 298306. - https://doi.org/10.3103/S002565442008021X
15. Nikitin A., Palin-Luc T., Shanyavskiy A. Crack initiation in VHCF regime on forged titanium alloy under tensile and torsion loading modes // Int. J. Fatigue. -2016. - V. 93. - P. 318-325. - https://doi.org/10.1016/ j.ijfatigue.2016.05.030
16. Nikitin A., Palin-Luc T., Shanyavskiy A., Bathias C. Comparison of crack paths in a forged and extruded aeronautical titanium alloy loaded in torsion in the gi-gacycle fatigue regime // Eng. Fract. Mech. - 2016. -V. 167. - P. 259-272. - https://doi.org/10.1016/j.eng fracmech.2016.05.013
17. Шанявский А.А., Никитин А.Д., Palin-Luc T. Сверх-многоцикловая усталость алюминиевого сплава Д16Т // Физ. мезомех. - 2020. - Т. 23. - № 3. -С. 43-53. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2020-13005
18. Бураго Н.Г., Никитин И.С. Безматричная реализация неявных схем методом сопряженных градиентов // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. - 2018. -Т. 58. - № 8. - С. 52-63.
Поступила в редакцию 27.07.2022 г., после доработки 14.10.2022 г., принята к публикации 17.10.2022 г.
Сведения об авторах
Никитин Илья Степанович, д.ф.-м.н., дир. ИАП РАН, ^ткШп@^.ги Никитин Александр Дмитриевич, к.т.н., снс ИАП РАН, nikitin_alex@bk.ra Стратула Борис Андреевич, мнс ИАП РАН, stratula@matway.net
