CC BY
77
УДК 616-072.7 А. Ю. Аксенов
Комплексная инструментальная оценка функционального состояния нижних конечностей и коррекция их нарушений
Ключевые слова: биомеханика, ходьба, видеоанализ, кинематика, кинетика, электромиография, свойства мышц, конструкция обуви.
Keywords: gait analysis, video analysis, kinematics, kinetics, electromyography, footwear profiles.
В статье рассматривается метод комплексного исследования биомеханики движения человека на основе видеоанализа (система Quaylisys) с использованием данных электромиографии нижних конечностей в различные фазы переката через стопу, идентифицируемых в цикле шага с помощью тензоплатформ. Проведенное исследование демонстрирует, каким образом конструкция обуви влияет на работу мышечно-сухожильного аппарата нижних конечностей в процессе ходьбы. Отмечены перспективы применения инструментального видеоанализа в медицине и спорте.
Введение
Человек в среднем совершает 7000 шагов в день. Осуществляемое скелетно-мышечной системой движение человека является физиологически и социально важным условием, необходимым для обеспечения его жизнедеятельности и достаточного уровня качества жизни. Анализ движений — эффективное средство диагностики заболеваний опорно-двигательной системы и поиска адекватных методов лечения и реабилитации пациентов с ортопедической патологией, их оптимизации.
Современные методы видеоанализа заключаются в использовании инфракрасных камер с высокими разрешением матрицы и частотой съемки (до 10 000 кадров в секунду) в совокупности с силовыми платформами [1].
Для регистрации движений применяют облегченные пассивные маркеры, отражающие инфракрасное излучение. Их ставят на анатомические точки тела пациента, выбранные в зависимости от методики и задачи исследования, чтобы построить нужную графическую ЭБ-модель фигуры человека. Это позволяет анализировать кинематику конечностей и других сегментов тела относительно друг друга и в пространстве.
Цель статьи — показать возможности симуля-ционного ЭБ-моделирования движения человека на основе видеоанализа с использованием силовых платформ для выявления нарушений опорно-двигательной функции и компенсации их путем изменения высоты пяточной части подошвы обуви (в дальнейшем — высоты каблука). Гипотеза исследования заключается в том, что коррекция биомеханической функции обуви путем изменения ее конструкции (высоты каблука) вызовет значительные изменения параметров ходьбы: активности мышц нижних конечностей, кинетических и кинематических характеристик движения, типа и скорости сокращения мышц и сухожилий и вырабатываемой при этом силы.
Ортопедическая обувь широко используется для лечения и профилактики различных заболеваний и осложнений опорно-двигательного аппарата. Однако в научных источниках имеется лишь незначительное количество публикаций, отражающих понимание того, как при помощи различных конструкций обуви можно достичь изменения механики скелетно-мышечной функции нижних конечностей и биомеханики ходьбы.
Методика исследования
Исследование проводилось в биомеханической лаборатории Салфордского университета (Великобритания). Этическое обоснование разработанного экспериментального протокола исследования и его безопасность для пациентов были одобрены Комитетом по этике университета (экспериментальный протокол И8СЕ12/04).
В исследовании приняли участие 15 мужчин в возрасте 25,3 ± 2,73 года с массой тела 71,3 ± 8,5 кг, ростом 1,74 ± 0,06 м и размером стопы, соответствующим 8-му размеру обуви по европейской системе. Люди с патологией опорно-двигательного аппарата из тестирования исключались.
32
Системы оценки и мониторинга состояния здоровья человека
Рис. 1
Пример использования системы видеоанализа: а — общий вид лаборатории видеоанализа; б — схема расположения камер и силовых платформ; в — окно программы (^иаИвув для регистрации движения в реальном масштабе времени; г — окно программы УЬвиаЬЗВ с моделью человека и результатами обследования
Общий вид лаборатории и особенности расположения компонентов системы для видеоанализа движения человека представлены на рис. 1.
Кинематические данные регистрировались в трех плоскостях с помощью 16 высокоскоростных инфракрасных камер SXGA OQUS ™ 3+ с установленной частотой 100 Гц. С помощью четырех силовых платформ с частой измерения 1000 Гц (AMTI, Watertown, MA, USA, model BP600400) производилась запись кинетических данных. Для регистрации мышечной активности передней боль-шеберцовой (tibialis anterior), икроножной (medial gastrocnemius), камбаловидной (soleus) мышц использована беспроводная система для электромиографии (ЭМГ) Noraxon (Noraxon TeleMyo™ 2400T G2). Частота регистрации ЭМГ-данных — 3000 Гц.
В процессе биомеханических исследований протестированы пять пар обуви с разной высотой каблука (1,5; 2,5; 4,5 и 5,5 см). Контрольная обувь, с которой их сравнивали, имела следующие характеристики: расстояние от пятки до метатарзальной
62,5 % от общей длины
Рис. 2 I Конструкция контрольной обуви
области — 62,5 % от общей длины, высота каблука — 3,5 см, угол подъема носка — 15° (рис. 2).
Условие проведения эксперимента
Каждый тестируемый перед регистрацией данных проходил предварительную адаптацию к ходьбе в разной обуви. Всего 46 пассивных маркеров устанавливались на анатомические точки тела человека согласно рекомендациям Cappozzo [2] для построения 3Б-модели в Visual3D (программное обеспечение анализа движений человека компании С-МоНоп). В частности, было установлено 46 маркеров, как показано на рис. 3. Для установки маркеров на поверхности стопы в обуви были сделаны небольшие отверстия.
Производился контроль скорости ходьбы (5 км/ч ± 2,5 %) для снижения изменений характеристик опорно-двигательного аппарата [3, 4].
Все пациенты прошли подготовительную тренировку перед каждым тестом, чтобы сохранить естественную походку в условиях обследования, в частности чтобы снизить концентрацию их внимания на необходимости установки стоп в зоне размещения платформ, которые для этого были вмонтированы в пол.
Для каждого из пациентов было произведено от 13 до 20 записей ходьбы в каждой из пяти пар обуви.
Анализ экспериментальных данных
При обработке кинематические данные фильтровались низкочастотным фильтром четвертого
Рис. 3 \ Расположение маркеров для построения модели тела человека в Visual3D
порядка Баттерворта с частотой среза 12 Гц. Кинетические данные фильтровались с частотой 25 Гц. ЭМГ-данные были импортированы в Visual3D, и для обработки сигналов использована техника сред-неквадратического отклонения (RMS) согласно рекомендациям, представленным в руководстве программы Visual3D.
Для анализа свойств мышц использована программа OpenSim3.0 (Stanford University). Модель Gait2392 с 23 степенями свободы вращения применена для симуляционного моделирования мышечной деятельности на основе кинематических и кинетических данных видеоанализа. Посредством этой программы были рассчитаны: длины мышечных волокон и сухожилий; скорости их сокращений; генерация сил, проходящих через сухожилия; длины рычагов мышечных сил, создающих моменты относительно голеностопного сустава во время ходьбы. Характеристики костной ткани, мышечных волокон и сухожилий, использованные при моделировании, описаны в руководстве программного обеспечения OpenSim и работе [5].
Полученные результаты проанализированы в соответствии с международными нормативами.
Циклы шага и переката через стопу при ходьбе разделены в соответствии с международным стандартом: первичный контакт [0—2 % от цикла шага (initial contact)]; фаза вхождения стопы в опору [0— 10 % от цикла шага (loading response)]; фаза полной опоры [10—30 % от цикла шага (mid-stance)]; фаза выхода из полной опоры [30—50 % от цикла шага (terminal stance)]; отрыв от опоры [50—62 % от цикла шага (pre-swing)]; фаза переноса [62—100 % от цикла шага (swing phase)]. Для автоматической идентификации этих фаз шага использованы данные с силовых платформ.
ЭМГ-сигналы нормализованы таким образом, что их уровень соответствовал 0—100 % для контрольной пары обуви. Кинематические данные нормализованы по времени в процентном соотношении от цикла шага, а кинетические — от продолжительности переката через стопу.
Импульс энергии, момент голеностопного сустава, а также ЭМГ рассчитаны по формуле трапеции для вычисления определенных интегралов [6].
Статистические данные обработаны в программе SPSS statistics V.22 методом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) с коррекцией Бонфероне. Уровень статистической значимости p < 0,05.
Результаты исследования
Из графических (рис. 4) и табличных данных следует, что при вхождении стопы в опору высота каблука 1,5 см (отрицательная высота по отношению к контрольной обуви) повлияла на дор-сифлекцию ^о^Пехшп) голеностопного сустава в 5,1° (т. е. угол между тылом стопы и передней поверхностью голени уменьшился на 5,1° по отношению к норме — 90°). При высоте каблука 5,5 см угол в голеностопном суставе увеличился на 4,2° при вхождении стопы в опору (плантарфлекция — р1апЬаг£1ех1оп), т. е. произошла флексия стопы.
При высоте каблука 1,5 см увеличивалась флексия голеностопного сустава в фазе шага 0—60 % от его цикла. С увеличением высоты каблука увеличивалось и разгибание коленного сустава в промежутках 0—10 и 40—60 % от цикла шага. При этом также увеличивался угол разгибания в тазобедренном суставе в фазе 50—60 % от цикла шага.
я Угол голеностопного сустава,
у 15 Цикл касания стопы, %
Угол коленного сустава,
Угол коленного сустава,
£ 80
Л 70
ЦИкл переноса стопы, % к 60
---1,5 "
^ 50
40
£ 30
ч
г 20
я к 10
ы
м
§ 1,6
ё 1,4 £ 1,2 1
к 1 & 0,8 & 0,6
+ 0,4 0,2
нта 0 § -0,2 С -0,4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл шага, %
Голеностопный момент, Н ■ м/кг
' 'У
/
// /Л V
- - " У/ У \
/ \
\ ■
/Л
' V
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл шага, %
Энергия голеностопного сустава, В/кг
а р
1,5 е
н
--2,5 £
-3,0 +
— 4,5 |
2,5 2 1,5 1
0,5 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Цикл переката стопы, % ЭМГ ЭМГ камбаловидной мышцы, % 120 100 80 60 40 20 10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, %
ч -0,5 1 -1
ЭМГ 120
100
80
60
40
20
10
\ 4
/
V/ ч
ЭМГ 120
100
80
60
40
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл шага, %
Голеностопный момент,
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, % ЭМГ передней большеберцовой мышцы, %
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, %
Длина плеча ахиллова сухожилия
X \> X \
\ \ \\\ №
ш
60
55
м50
* 45 а,
н 40
ч
Д35 30 25
Длина волокна икроножной мышцы
- - - р__ \
\ \ \ ^ __ й
А - \ / / \ \
V — Ч \ \ \
\ \
1,5 2,5 3,0 4,5 5,5
- статика (босая нога
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, %
49 47 45 мм43
, 41
а,
г39
й37 35
33
31
29
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Цикл переката стопы, %
Длина волокна кабаловидной мышцы
5 4 3 мм2 а, 1 § 0 Д-1 -2 -3 -4
у
1 / \ к //
\ •— -- —___ у/ / /
\ у/ / /
\ ч / /
/ /
--- \
/ \ \
/ \
у >\\ v \ \ Х
ч ' / у
/ / \
\\ // / \
/,
90 85 мм80 на, 75
к '
й 70;
65 60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Цикл переката стопы, %
Длина волокна икроножной мышцы
/У
/7" 7 \\ о ч к
У \ ^ //
/ \ --__ __•"v.
4 /
«. _
2200 2000 1800
Н
а, 1600
Сила генерации икроножного сухожилия
1,5 2,5 3,0 4,5
С1400 1200 1000
___ ___ _ _ _
«. -
/ / у / / > V к V
\ х 1 4 V »
X »
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, % Сила генерации волокна передней большеберцовой мышцы
720 700
5,5
- статика (босая нога
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, %
Н680 а 660 к 640 ° 620 600 580 560
\\
7 /~\ \ \ Ч- /
/ / \ Ч^ ■ -- _ ч.
\
ч N. У /
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Цикл переката стопы, %
1,5 1
Н
, 0,5
а,
-
к
О 0 -0,5 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, %
Скорость удлинения волокна передней большеберцовой мышцы, мм/%
/
'А
\ 4 I п II
'' I * \ V
» V /
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Цикл переката стопы, %
Рис. 4 \ Результаты исследования кинематических, кинетических, ЭМГ и мышечных данных
Таблица Результаты анализа влияния высоты каблука на кинематические, кинетические и мышечные данные у 15 пациентов: число вне скобок — среднее значение для 15 пациентов, в скобках — среднее квадратичное отклонение [р(± 50)]
Биомеханические параметры Высота каблука, см
и фазы шага (переката) 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
Статистически значимые, когда в индексе р < 0,05 1 2 3 4 5
Угол в голеностопном суста-
контакт (0-2 %) максимальная плантар-флексия (0-10 %) максимальная дорсифлек-ция (0-10 %) максимальная плантар-флексия (50-62 %) максимальный предел вращения (0-10 %) максимальная флексия сустава (0-100 %) 5.1 (0,9)2'3'4'5 -1,9 (3,5)2'3'4'5 12,3 (1,0)2'3'4'5 -12,9 (1,5)2'3'4'5 7.2 (0,8)2'3'4'5 26,5 (1,6)3>4>5 1,0 (0,9)1'3'4'5 -9,4 (2,4)1'3'4'5 7,0 (1,0) Ь3'4'5 -18,0 (1,4)1,4,5 10,4 (0,9)1,3,4,5 25,2 (1,4)4>5 0,1 (1,0)1,2,4,5 -11,2 (3,0)1,2,4,5 5,1 (1,0)1,2,4,5 -18,6 (1,4)1-5 11,4 (0,9)1,2 23,8 (1,5)1 -2,4 (1,0)1,2,3,5 -14,4 (2,7)1,2,3,5 3,0 (0,8)1,2,3,5 -19,6 (1,2)1-2 12,1 (0,9)1,2 23,4 (1,1)2 -4,2 (М)1-2-3-4 -16,7 (2,5)1'2'3'4 1,2 (0,8)1,2,3,4 -21,6 (1,0)1>2>3 12,5 (1,1)1,2 23,0 (1,1)1,2
Угол в коленном суставе, максимальное сгибание (0-10 % ЬИ) максимальное разгибание (30-50 %) максимальное сгибание (50-62 %) максимальная флексия сустава (0-60 %) 23,0 (1,5) 7,2 (1,3) 58,1 (2,8)2'3'4'5 55,6 (2,8)2'3'4'5 21,8 (1,1) 6,8 (1,2) 52,3 (2,4)1,4,5 50,8 (2,7)1,4,5 22,4 (1,4) 7,4 (1,3)5 50,7 (2,6)1,4,5 48,9 (2,7)1,4,5 21,3 (1,1) 6,8 (1,2) 46,7 (3,0)1,2,3,5 45,1 (3,2)1,2,3,5 21,1 (2,0) 5,7 (1,2)3 43,6 (3,2)1,2,3,4 42,2 (3,4)1,2,3,4
Угол в тазобедренном суставе, ...°, максимальное вращение (0-60 %) 37,6 (1,1) 37,2 (0,9)4,5 37,8 (1,0)5 38,1 (1,1)2 38,7 (1,2)2>3
Импульс энергии голеностопного сустава, %: генерация абсорбция 118,9 (11,7)3'4 90,7 (14,0)5 111,6 (9,8)4*5 88,2 (11,5)3,4,5 100,0 (9,2)1>4 100,0 (13,4)2 90,6 (12,3)1,2,3 105,6 (10,9)2 93,5 (11,1)2 108,9 (14,0)1,2
Импульс момента голеностопного сустава, %: дорсифлекционный плантарфлекционный 42,2 (8,0)2'3'4'5 128,0 (3,8)2'3'4'5 82,3 (13,7)1,4,5 104,7 (5,5)1,3,4,5 100,0 (14,3)1 100,0 (5,9)1,2 103,3 (16,3)1>2 95,1 (5,4)1,2 119,4 (20,8)1,2 95,4 (5,1)1,2
Максимальная длина плеча ахиллова сухожилия между 70-80 % цикла переката стопы, мм 40,95 (0,56)2'3'4'5 43,39 (0,34)1,3,4,5 44,11 (0,30)1'2'4'5 44,67 (0,28)1,2,3 44,99 (0,29)1,2,3
Суммарная сила генерации мышц (70-80 % цикла переката), Н: медиальной икроножной разница с 3,5 см камбаловидной 2209,1 (11,3) 61,3 (13,7)2'3'4'5 4742,5 (16,6) 2190,1 (14,6) 32,0 (18,2)1>3>4>5 4712,1 (18,4) 2165,9 (16,3) 0,0 (19,0)1,2,4,5 4674,9 (25,2) 2136,5 (12,9) -35,7 (15,0)1,2,3,5 4628,8 (33,8) 2113,0 (18,7) -62,7 (21,7)1'2'3'4 4575,6 (46,0)
Максимальная ЭМГ мышц, %: %:
медиальной икроножной камбаловидной большеберцовой 104,2 (13,7) 104,7 (11,0) 88,6 (10,2)3'4'5 110,1 (11,8)4 105,8 (9,0)4 96,7 (8,0)5 100,0 (8,8)5 100,0 (6,5)4 100,0 (10,3)1 93,5 (9,1)2 91,2 (7,3)2,3,5 101,7 (9,9)1 108,1 (9,6)3 107,5 (7,4)4 112,1 (13,5)1,2
Импульс ЭМГ мышц, %: медиальной икроножной камбаловидной большеберцовой 114,4 (13,0)4 109,6 (8,6)4 80,1 (10,8)2'3'4'5 107.4 (9,1)4 105.5 (7,7)4 94,3 (12,8)1,5 100,0 (10,1)4 100,0 (7,3)4 100,0 (12,1)1 92,6 (10,5)1,2,3,5 94,2 (7,0)1,2,3 104,3 (11,6)1 103,6 (10,5)4 105,8 (7,7) 114,2 (12,7)1,2,3
Индексы 1, 2, 3, 4, 5 показывают статистическую значимость между тестируемыми конструкциями обуви р < 0,05.
3
Системы оценки и мониторинга состояния здоровья человека
На графике изменения угла голеностопного сустава видно, что высота каблука 1,5 см привела к наиболее значительной дорсифлексии в процессе переката. Статистическая значимость этого изменения по сравнению с другой обувью составляла р < 0,0001. Каблук высотой 5,5 см (положительная высота) увеличил угол плантарфлексии в голеностопном суставе в процессе переката через стопу и значительно уменьшил диапазон сгибания-разгибания (р1а^а:1ех1оп, ^гаИехюп) голеностопного сустава по сравнению с каблуками высотой 1,5 и 2,5 см.
Что касается кинетических данных, то при высоте каблука 1,5 см увеличился момент дорси-флек-сии голеностопного сустава в процессе переката и, как следствие, увеличилась работа икроножных мышц. В то же время при этой высоте каблука уменьшился плантафлексионный момент в фазе 0-12 % от цикла переката через стопу, что свидетельствует об уменьшении работы передней большеберцовой мышцы.
Кроме того, полученные результаты указывают на то, что изменение угла в голеностопном суставе за счет изменения высоты каблука обуви влияет на изменение длин мышечных волокон.
При ходьбе в обуви с высотой каблука 4,5 см значительно снижалась максимальная нагрузка камбаловидной мышцы по сравнению со всеми парами обуви, кроме обуви с каблуком высотой 1,5 см. Суммарная активность (импульс ЭМГ) медиальной икроножной мышцы при ходьбе в обуви с высотой каблука 4,5 см во время переката значительно снизилась: на 21,8 %, если сравнить с каблуком высотой 1,5 см, и на 14,8 % по сравнению с каблуком высотой 2,5 см. Мышечный анализ показал, что в фазе 70-80 % от длительности переката (в этой фазе икроножные мышцы имеют максимальную активность) при повышенной высоте каблука снижается сила генерации мышечного волокна икроножных мышц по сравнению с каблуком высотой 3,5 см: на 35,7 Н — при каблуке 4,5 см; на 62,7 Н — при каблуке 5,5 см.
Дискуссия
Результаты исследования показали, что изменение высоты подошвы обуви в пяточной части в значительной степени влияет на кинематические изменения в голеностопном суставе при ходьбе.
Таким образом, в обуви со сниженной высотой каблука (1,5 см) значительно увеличивается сгибание ^о^Аехтп) голеностопного сустава при перекате через стопу. Вследствие этого икроножные мышцы находятся в более растянутом положении, что подтверждается данными видеоанализа и 3Б-моделирования. Это позволяет сделать вывод о том, что людям с функциональными нарушениями ахиллова сухожилия и икроножных мышц не
рекомендуется носить низкий каблук, чтобы избежать увеличения растяжения икроножных мышц и сухожилия и, таким образом, снизить нагрузку на них. В то же время следует учитывать, что эта высота каблука в значительной степени уменьшает суммарную активность (импульс) передней боль-шеберцовой мышцы во время переката стопы (на 19,9 % по сравнению с высотой каблука 3,5 см и на 34,1 % — с высотой 5,5 см), что может быть использовано в медицинских целях при соответствующих патологиях.
Повышенная высота каблука (4,5 см) оказалась эффективной для снижения нагрузки на икроножные мышцы. Такая конструкция позволила оптимизировать изменение угла голеностопного сустава в процессе переката через стопу и, таким образом, достичь рационального изменения длины мышц и сухожилий (для эффективной генерации силы) и снижения максимальной работы икроножных мышц, необходимой для заднего толчка (отталкивания от опоры). Это объясняется тем, что в позе стоя в обуви с высоким каблуком стопа находится в положении более выраженного эквинуса, длина икроножной мышцы соответственно уменьшена, а ее активность повышена. Имеются данные о том, что при укорочении скелетных мышц на 15 % от нейтрального их размера во время покоя максимальная сила генерации мышц может уменьшиться на 50 %, т. е. требуются более высокие энергозатраты на выполнение двигательного акта [7].
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что подъем пяточного отдела стопы на 2 см по отношению к переднему отделу повышает эффективность работы икроножных мышц и снижает необходимые энергозатраты при ходьбе, а превышение уровня 2 см приводит к перегрузке не только передних мышц голени, но и задних.
Заключение
Результаты исследования подтвердили высокий потенциал видеоанализа при применении его совместно с силовыми платформами для диагностики нарушений опорно-двигательной функции и оценки биомеханических свойств обуви для ее коррекции. Проведенное исследование может быть полезным для понимания методологии видеоанализа и его научно-исследовательского потенциала в ортопедии (для исследования таких патологий, как диабет, артриты и артрозы коленных, голеностопных и тазобедренных суставов, ахиллотендинит и другие нарушения функций мышечно-сухожиль-ных комплексов), протезировании, реабилитации, спорте.
Применение рассмотренной технологии на практике в России и за рубежом позволит получить значительный положительный медицинский и социальный эффект.
Системы оценки и мониторинга состояния здоровья человека
Литература
1. Юлдашев 3. М. Обработка медицинских малоконтрастных изображений // Биомедицинская радиоэлектроника. 2013. № 1. С. 39-41.
2. Position and orientation in space of bones during movement: anatomical frame definition and determination / A. Cappozzo [et al.] // Clinical Biomechanics. 1995. N 10 (4). P. 171-178.
3. Смирнова Л. М., Никулина С. Е. Игнорирование фактора скорости локомоции как причина снижения точности ди-намоплантографического исследования // Биомедицинская радиоэлектроника. 2010. № 5. С. 19-25.
4. Chung M.-J., Wang M.-J. J. The change of gait parameters during walking at different percentage of preferred walking speed for healthy adults aged 20—60 years // Gait & Posture. 2010. N 31 (1). P. 131-135.
5. Aksenov A. An investigation into the relationship between rocker sole designs and alteration to lower limb kinetics, kinematics and muscle function during adult gait. Manchester: University of Salford, 2014. P. 390.
6. Liengme B. V. Preface, in A Guide to Microsoft Excel 2007 for Scientists and Engineers. Boston: Academic Press, 2009. P. IX-X.
7. Panjabi M., White A. Biomechanics in the Musculoskeletal System. Churchill Livingstone, 2001. 196 p.
АО «Издательство „ПОЛИТЕХНИКА"»
предлагает:
Системный анализ в фундаментальных и прикладных исследованиях / В. В. Кузнецов, С. В. Бабуров, А. А. Мальчевский, А. В. Самойлов, А. Ю. Шатраков; под ред. В. В. Кузнецова. — СПб. : Политехника, 2014. — 378 с.
ISBN 978-5-7325-1048-5 Цена: 520 руб.
Монография посвящена проблемам анализа, синтеза и моделирования сложных систем различной природы. Содержание соответствует разделу паспорта научной специальности 05.13.01 «Системный анализ управления и обработка информации». Материалы монографии сгруппированы так, что они удовлетворяют требованиям ученых при выполнении фундаментальных и прикладных исследований. Монография рассчитана для ученых, специалистов-практиков, аспирантов, исследующих и анализирующих большие, территориально распределенные технические системы, а также сложные проекты.
Для приобретения книги по издательской цене обращайтесь в отдел реализации:
тел.: (812) 312-44-95, 710-62-73; тел./факс: (812) 312-57-68; e-mail: [email protected], [email protected], через сайт: www.polytechnics.ru
Возможна отправка книг «Книга — почтой». Книги рассылаются покупателям в России наложенным платежом (без задатка). Почтовые расходы составляют 40 % и выше от стоимости заказанных Вами книг.
J!
