CC BY
26
N
Е qik < Sk,k=1...m . (9)
i=1
Иначе при выполнении условий (1)-(4),(6),(7) клиент может воспользоваться кредитом банка B в размере:
j
xi ^ - Е qik I11 . (10)
k=1
В данном условии принимается, что y1 < ...< yj < y < (1-A)yj+1 < ...< (1-А )ym, то есть
новый банк не обязательно предлагает самые выгодные условия. Для того чтобы i-й клиент k-го банка перешел в банк В, должны выполняться условия (3)-(6), в таком случае его вклад qik становится равным 0. Таким образом, возникает ограничение:
(y - (1-А )yk )qik > 0,k=1...m,ie In . (11)
В качестве целевой функции предлагается использовать чистый процентный доход D, который вычисляется как разность процентного дохода от кредитов и инвестиций и процентного дохода по депозитам:
D=y Е xi + Е cixi - c Е xi ^ max . (12) isIjj isIj2 ieI2
Величины вкладов банка В, то есть xj (ie I2), известны, следовательно целевая функция принимает вид:
y Е xi + Е cixi ^max . (13)
ieI11 ieI12
Таким образом, для того чтобы банку B найти оптимальное значение процента по кредиту, необходимо решить следующую задачу математического программирования. Определить y, xi (ie I1)
такие, чтобы достигала максимума целевая функция при выполнении условий:
Е х1 < 0,712, Е Х| < 1,2(12+К), 1е111 "е111
0,1 Е х1 + 0,2 Е х1 < 25К, xi < 0,05К,1е 111,
Ыц Ы12
у<(1-А)ук , 0<xi < Vi, ^ >0,ieI1 yxi <а^, N j
Е^к <8к,к=1-т, Х <Ф- Е ^кДе111 , i=1 к=1
(у - (1-А )ук )qik > 0,к=1...шДе 1ц .
Подобные задачи решаются итерационным или прямым методами.
Предложенная модель удовлетворяет предъявляемым требованиям. Требование доступности исходных данных выполняется, потому что величины К, 12 и нормативные ограничения известны точно, а величины V и а достаточно точно. Требование существования эффективного алгоритма решения задачи также выполняется вследствие того, что решение задачи не превосходит трудоемкости решения N задач линейного программирования. Для выполнения требования устойчивости решения необходимо рассматривать, например, величину а , достаточно вместо интервалов [а ,а+1) просматривать интервалы [а +е). В этом случае меру устойчивости можно считать равной е.
Задача управления кредитными операциями тесно связана с задачей управления депозитами, и они решаются последовательно одна за другой в несколько итераций, позволяя эффективно изменять процентные ставки.
КОМПЛЕКС ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ ОДНОРОДНЫХ НЕЙРОННЫХ СТРУКТУР
(Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-7420.2006.8 и гранта РФФИ№06-07-89013-а) И.В. Потапов, к.т.н. (Омский государственный технический университет)
Прикладная теория надежности искусственных нейронных сетей (ИНС) и нейрокомпьютер-ных систем (НКС) на их основе в настоящее время находится в начальной стадии развития [1]. Исследования показывают, что отказоустойчивые НКС по своей организации могут характеризоваться различными видами избыточности ИНС, среди которых основной является структурная избыточность. В работах [2,3] даны постановки и решения фундаментальных задач оптимизации резервирования структурно однородных ИНС НКС с замещением отказавших нейронных блоков резервными при различных условиях функциониро-
вания, в том числе в режимах старения и противоборства, характеризующихся изменяющимися во времени интенсивностями отказов. Вследствие большой сложности объекта исследования решение указанных оптимизационных задач ориентировано на использование ПЭВМ. Поэтому важное практическое значение имеет разработка комплекса специализированного ПО, предназначенного для исследования и оптимизации надежности однородных стареющих нейронных структур и решения задач противоборства.
В качестве основного объекта исследования рассмотрим модель многослойной многовыходной
структурно однородной ИНС SA НКС с замещением отказавших нейронных блоков резервными [2,3], состоящей из п основных и m резервных блоков искусственных нейронов (ИН), разбитых на q групп по п!,^,...,^ основных и в! ^2
резервных нейронных блоков, при этом замещение основных блоков с отказавшими ИН резервными возможно только внутри своей группы. Потоки отказов в группах основных нейронных блоков являются нестационарными пуассоновскими с интенсивностями ^(1;), 1< 1 <q; резервным нейронным блокам ИНС соответствует интенсивность отказов Х0(1;). Таким образом, при рассмотрении стареющих ИНС предполагается, что ^ (1) (0< 1 <q) являются возрастающими функциями времени, а на этапе нормального функционирования ИНС, характеризующегося постоянными во времени интенсивностями отказов, - ^ . В общем случае интенсивность восстановления нейронных блоков в 1-й группе - ^ (1).
Обозначим п=(п^ - вектор основных нейронных блоков; в=(в^ - вектор резервирования; 1(1)=(^1(1;)^+1 - вектор интенсивностей отказов; ^(1;)=(ц^)^ - вектор интенсивностей восстановления; Р[в;1] - вероятность безотказной работы ИНС к моменту времени 1; Т[в] - среднее время жизни ИНС.
Обозначим целочисленное множество S(m)= - q
=2 = т; > 0}.
1=1
Отказоустойчивую ИНС рассматриваемого типа обозначим SА(10,^(1)] .
Вероятностная модель функционирования такой ИНС определяется системой дифференциальных уравнений
-^Р(1)=08д[3,1(1),^(1)]Р(1), (1)
а1 А
где р(1) - вектор вероятностей нахождения системы в момент времени 1 в состояниях с к (0<к <т) отказавшими нейронными блоками;
[¡,1(1),^(1)]=
м 0. 0 "
А1 - »2 м. 0
0 А2 -»з ... 0 - матрица
_ 0 0 0 Ат -°т+1.
переменных коэффициентов дифференциальных уравнений, зависящих от векторов: резервирования в(1), интенсивностей отказов 1(1), интенсив-
ностей восстановлений ^(1) и распределения отказов в основных и резервных блоках ИН.
Задачи оптимизации резервирования ИНС
Первая часть разрабатываемого программного комплекса предназначена для решения следующих оптимизационных задач.
Задача 1. Вычислить вектор резервирования seS(m), максимизирующий вероятность безотказной работы Р[в;1] нейронной сети §а[Ч,п,£,1 (1),^(1)] к моменту времени 1( при заданных ограничениях на параметры и условия работы ИНС.
Задача 2. Вычислить вектор резервирования ее S(m), максимизирующий среднее время жизни
Т[в] ИНС 8а[Ч,п,эД(1),^(1)] при заданных ограничениях.
Задачи 1 и 2 являются задачами целочисленного программирования, поскольку они сводятся к
вычислению целочисленного вектора ее S(m), лежащего в гиперплоскости в! + в2+...+Sq = т
с выделенной областью > 0, 1< 1 < q, максимизирующего в зависимости от поставленной задачи Р[в;1] или Т[в]. Решение задач 1 и 2 для стареющих ИНС, характеризующихся возрастающими во времени интенсивностями отказов нейронных блоков, выполняется с использованием метода дискретизации путем замены функций 11(1) специально подобранными кусочно-постоянными функциями.
Для структурно однородной ИНС с динамическим резервированием, то есть для такой ИНС, в процессе работы которой производится перераспределение резервных блоков ИН между q группами, решаются следующие две задачи.
Задача 3. Вычислить последовательность век-
з0 ( 0 0 0 \
торов резервирования вю = |в1>ю ,в2,юI,
0< ю <£, максимизирующих вероятность безотказной работы ИНС последовательно в заданные моменты настройки Т1,Т2.,т^, (£>1), Т0 = 0, и в заданный момент времени > т£ .
Задача 4. Определить количество настроек £ (£>Ь), последовательность (т!,т2.,т£) моментов настройки и последовательность векторов ре-
з0 I 0 0 0 \
зервирования вю = I ,в2,ю . • I, отвечающих
моментам настройки тш (1<ю<£), таким образом, чтобы вероятность безотказной работы ИНС в моменты настройки и в момент времени > т£ были последовательно максимальными.
Модель и задача противоборства (дифференциальная игра)
В развитие рассмотренных моделей можно предположить, что в особых условиях НКС (как разновидности интеллектуальных систем в области технологий двойного применения) могут оказаться способными вступать в противоборство между собой и активно влиять на работоспособность противоборствующей стороны, например, путем целенаправленного воздействия, приводящего к росту интенсивности отказов компонентов (блоков ИН) НКС, то есть в конечном итоге искусственно ускорять процесс старения ИНС-сис-темы в своих интересах [4].
При постановке и решении задачи противоборства (игры) в качестве модели НКС, участвующих в игре, рассматриваются однородные избыточные восстанавливаемые ИНС
Пусть игрок 1 располагает ИНС , а игрок 2
располагает ИНС . Обе ИНС (е=1,2) являются восстанавливаемыми с одинаковыми для всех нейронных блоков интенсивностями восстановления ^е(1;). Игрок 1 располагает множеством
1={-\х У},
стратегий W =18
множеством стратегий W2
а игрок 2 располагает
={- 2л V 2},
-е
где 8
• в
- вектор резервирования е-го игрока; к = =(ке (1),ке (1),...,ке (1)) - вектор интенсивностей
отказов в группах ИНС .
Будем считать, что число групп нейронных блоков ИНС для игроков 1 и 2 одинаково, то есть -1 -2
векторы 8 и 8 имеют одинаковую размерность q. Положим, что за время игры игрок е (е=1,2) имеет право не более чем (Ь>1) раз (не считая момента 1=0) изменять вектор резервирования 8е управляемой им системы . Вектор
—е / _е -
назовем векто-
?=(т0,те,...,т[), те=0, < ,
ром настройки е-го игрока. Обозначим рк (1)
(0 < к < ше) - вероятность того, что в ИНС отказали к нейронных блоков. Будем полагать, что в процессе противоборства игрок 1 стремится мак-
1 2
симизировать величину Р 0^)-Р (1г), являющуюся функцией платы, где - время окончания
игры, Ре(1:) = Е Рк(1) - вероятность безотказной к=0
работы е-й системы, а игрок 2 стремится минимизировать эту величину.
Вторая часть программного комплекса предназначена для решения следующей задачи.
Задача 5. Решить игру двух лиц с нулевой суммой при заданных ограничениях на стратегии игроков, функция выигрыша которой определяется С^1уг2)=Р1^)-Р2(1Г), где zеeWе - стратегия е-го игрока.
Используя систему (1), запишем дифференциальную игру между двумя нейрокомпьютерными системами в виде:
-Р 1(1)=б*
&2<1»=
8л
81,Х1(1),Ц1(1)
"-2 - 2 - 2 8 Д (1),Ц (1)
Р1«,
-2
Р (1),
где ре(1) - вектор-столбец размерности (ше +1) ; Б® - определенная выше матрица коэффициен-
аЛВ
тов системы дифференциальных уравнений размерности (ше +1)х(ше +1) .
Рассматриваемая дифференциальная игра двух нейрокомпьютерных систем с учетом всех ограничений и заданной точности изменения управлений игроков методом дискретизации сводится к матричной игре, имеющей нормальную форму. Решение игры находится в смешанных стратегиях методом многократного разыгрывания, реализуемым на ПЭВМ.
В заключение отметим, что поскольку ИНС являются устройствами с массовым параллелизмом и допускают наращивание своих вычислительных возможностей за счет объединения отдельных блоков в единую сеть, нейрокомпьютеры при выполнении задания могут обладать большой временной избыточностью. Поэтому ведется разработка третьей части программного комплекса для исследования и оптимизации надежности НКС с временным резервированием.
Список литературы
1. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Нейрокомпьютеры и их применение. - М.: Радиотехника, 2000. - 416 с.
2. Потапов В.И., Потапов И.В. Теоретические основы диагностики и оптимизации надежности искусственных нейронных сетей. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. - 152 с.
3. Потапов И.В. Надежность нейрокомпьютерных систем. Модели и задачи. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007. - 240 с.
4. Потапов В.И., Потапов И.В. Противоборство (дифференциальная игра) двух нейрокомпьютерных систем // Информационные технологии. - 2005. - №8. - С. 53-57.
е
