Комплекс аналитических и численных программ для решения некоторых задач динамики вращательного движения ИСЗ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 332-334

УДК 531.36:537.6:521.1

КОМПЛЕКС АНАЛИТИЧЕСКИХ И ЧИСЛЕННЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

© 2011 г. А.А. Тихонов, К.А. Антипов

Санкт-Петербургский госуниверситет

aatikhonov@rambler.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Описывается разработанный авторами комплекс программ, предназначенных для разностороннего анализа задач динамики вращательного движения ИСЗ в геофизических полях. Путем использования методов компьютерной алгебры решается задача построения максимально простой, но корректной математической модели, обеспечивающей заданную точность. Целостность комплекса, как завершенного программного продукта, предназначенного в первую очередь для анализа эффективности метода электродинамической стабилизации ИСЗ, сочетается с возможностью использования отдельных его модулей для решения широкого круга разнообразных локальных задач.

Ключевые слова: комплекс программ, динамика вращательного движения ИСЗ, геофизические поля.

Цели и задачи комплекса

В различных задачах теоретической механики, связанных с динамикой вращательного движения искусственного спутника Земли (ИСЗ) относительно центра масс, возникают однотипные проблемы, связанные с выбором той или иной приближенной математической модели, максимально простой, но вместе с тем корректной и обеспечивающей достаточную точность. К сожалению, не удается ограничиться простыми моделями, которые используются на этапе предварительного анализа задачи, а уточнение моделей не позволяет удержать задачу в рамках возможностей человека. Например, для учета влияния геофизических полей (гравитационного и магнитного) на динамику ИСЗ требуется знать вектор напряженности поля (а иногда и градиент напряженности) в функции радиуса-вектора точки околоземного пространства. Однако в действительности гравитационное и магнитное поля Земли имеют весьма сложное строение, так что указанная функциональная зависимость в аналитическом виде отсутствует. Отсюда вытекает необходимость математического моделирования геофизических полей в тех задачах, в которых требования точности не позволяют ограничиться хо -рошо известными простейшими приближениями (центральное ньютоновское гравитационное поле и дипольное магнитное поле). Разработанный комплекс программ направлен на ре-

шение указанных проблем путем использования возможностей компьютерной алгебры, реализованных в системе Maple, и дальнейшего использования построенных моделей для численного анализа.

Содержание комплекса

Впервые реализован алгоритм вывода мультипольного аналитического представления потенциала магнитного поля Земли (МПЗ) с произвольной степенью точности. Математическое обоснование данного метода дано в работе [1] и развито в работе [2]. Разработан алгоритм и создана программа для пакета Maple, реализующего символьные вычисления, позволяющие построить аналитические выражения компонент мультипольного тензора МПЗ произвольного ранга, выразив их элементы через известные гауссовы коэффициенты.

Составлена программа, позволяющая аналитически строить вектор индукции МПЗ в любом конечном приближении в соответствии с результатами, полученными в [1, 2].

Произведено разбиение околоземного пространства на области, в которых корректен учет конечного числа мультипольных составляющих вектора магнитной индукции МПЗ в зависимости от выбранных критериев точности. Это позволяет установить то необходимое и достаточное количество слагаемых в мультиполь-ном разложении вектора индукции МПЗ, кото -

рое обеспечивает заданную точность нахождения этого вектора в любой точке орбиты ИСЗ с заданными параметрами радиуса и наклонения.

Составлена программа для вывода системы дифференциальных уравнений в параметрах Родрига - Гамильтона, описывающих вращательное движение ИСЗ.

Составлена программа для численного решения задачи Коши в проблеме электродинамической стабилизации ИСЗ, дальнейшего численного анализа этого решения и его визуализации. Кроме того, комплекс содержит ряд программных модулей, позволяющих автоматизировать процедуры: линеаризации дифференциальных уравнений, отыскания областей устойчивости решений дифференциальных уравнений в интересующих плоскостях параметров, оптимизации электродинамического управления [3].

Некоторые примеры практического использования комплекса

Проиллюстрируем некоторые результаты, которые можно получить с помощью разработанного комплекса программ.

Аналитически получены компоненты первых семи мультипольных тензоров МПЗ. Так, тензор седьмого ранга имеет 37 = 2187 компонент, но, благодаря свойству симметричности по любой паре индексов различных из них только 36, для примера приведем лишь два:

М 1111111=^ -35& 1+2Ь/3g 7 - 7,/зз£ 5+

/2Г

+ л/3007£77), М2223373 =-^(л/7й} + Л?).

На рис. 1 по горизонтальным осям отложены параметры орбиты - угол наклонения в градусах и отношение радиуса орбиты к радиусу Земли, по вертикальной оси - отношения средних по орбитальному движению значений норм мультипольных составляющих магнитной индукции ||Б(и)|| (выше дипольной) к первой ||В(1)|| (дипольной) составляющей индукции МПЗ. Горизонтальные сечения полученных поверх-

ностей позволяют однозначно определить необходимое и достаточное количество слагаемых в разложении вектора магнитной индукции МПЗ, обеспечивающее заданную точность (такое сечение показано на рис. 1 и соответствует точности 10%).

Рис. 1

На рис. 2 показан процесс угловой стабилизации ИСЗ, обеспечиваемый системой электродинамической стабилизации и рассчитанный с использованием разработанного комплекса программ.

Список литературы

1. Тихонов А.А., Петров К.Г. // Космические исследования. 2002. Т. 40, № 3. С. 219-229.

2. Tikhonov A.A., Antipov K.A. // Proceedings of XXXVIII Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» APM'2010 Repino, Saint-Petersburg, Russia, 1-5 July 2010. P. 724-732.

3. Антипов К.А., Саблина М.В., Тихонов А.А. // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. XI Междунар. конф. М., ИПУ РАН, 1-4 июня 2010 г. М.: ИПУ РАН, 2010. С. 22-23.

COMPLEX OF ANALYTIC AND NUMERICAL SOFTWARE FOR SOLVING SOME PROBLEMS OF THE SATELLITE ATTITUDE DYNAMICS

A.A. Tikhonov, K.A. Antipov

The report describes the software complex designed for comprehensive analy sis of problems of the satellite attitude dynamic s in geophysical fields. Using the computer algebra methods, the problem of constructing the simplest possible, but a correct mathematical model that ensures the prescribed accuracy is solved. Integrity of the complex as a complete software product, designed primarily to assess the effectiveness of the method of electrodynamic stabilization of satellites, combined with the possibility of using some of its modules to address a wide variety of local problems.

Keywords: software complex, satellite, attitude dynamics, geophysical fields.