CC BY
49
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 1 Физико-математические пауки
2013
УДК 535.14
КОМПЕНСАЦИЯ ОШИБОК ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ КВАНТОВОГО КЛЮЧА С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕПУТАННЫХ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ БИФОТОНОВ
Г. П. Мирошниченко, A.A. Сотникова
Аннотация
Рассмотрены оптимальпые стратегии выбора отрезков оптического волокна для квантовых каналов Алисы и Боба, которые используются для распределения квантового ключа с помощью перепутанных поляризационных состояний бифотопов. В работе показано. что среднее относительное число ошибок в просеяппом ключе можно существенно уменьшить, даже при больших дисперсиях случайных параметров оптического волокна. Для этого каналы Алисы и Боба следует проектировать из волокна, изготовленного по идентичной технологии. Выбор пар отрезков оптического волокна следует производить коррелированно, с коэффициентом корреляции, близким к 1.
Ключевые слова: квантовая криптография. ЭПР-протокол. среднее относительное число ошибок, оптическое волокно.
Введение
В настоящее время разработаны одномодовые оптические волокна (ОВ) с малым поглощением (в окнах прозрачности), которые находят широкое применение в оптических коммуникационных системах на дальние расстояния с высокой скоростью передачи битов информации. Различные воздействия на ОВ приводят к появлению взаимодействия между ортогонально поляризованными модами, вызывая в ОВ эффект двулучепреломления или оптической активности [1 4]. Особенности искажения классической информации в одномодовом ОВ подробно изучены. Оптическая активность возникает при скручивании ОВ. эффект двулучепреломления связан с кривизной, натяжением, деформацией ОВ. В работах [2. 3] изложена теория связанных мод. описывающая взаимодействие двух ортогонально поляризованных мод в одномодовом ОВ в присутствии эффектов изгиба, кручения, деформации. В этих работах развита теория поляризационной модовой дисперсии, то есть зависимости групповой скорости волны в ОВ от состояния ее поляризации. В работах [2 4] предложена теория поляризационной модовой дисперсии, то есть зависимости групповой скорости волны в ОВ от состояния ее поляризации. В этих же работах дана теория эволюции поляризации классической волны с учетом поляризационной модовой дисперсии и случайного характера ОВ. где в качестве стохастического процесса, описывающего случайную зависимость параметров ОВ от расстояния, выбран винеровский процесс. Как следствие, в [2 4] удалось объяснить зависимость параметра поляризационной модовой дисперсии от корня квадратного длины ОВ.
Новым направлением современной информатики являются оптические квантовые информационные технологии. С использованием принципов квантовой оптики действуют протоколы квантовых коммуникаций квантовая криптография.
квантовая телепортация, плотное кодирование. Здесь по ОВ передается квантовая информация, то есть информация, закодированная на квантовых состояниях фотонов кубитах. Кубиты можно создавать на квантовых состояниях поляризации фотонов. В настоящее время существуют несколько практических схем квантовой криптографии. В работе [6] использовано кодирование информации на поляризационных степенях свободы фотонов, практическая реализация квантовой криптографии по ЭПР-протоколу с использованием перепутанных поляризационных состояний бифотонов предложена в работе [5]. В идеале, в установке квантовой криптографии должны использоваться однофотонные состояния оптической моды. Просеянный ключ после этапа согласования базисов подвергается классическим схемам исправления ошибок и повышения секретности, после чего получают криптографический ключ. Есть много причин, по которым просеянный ключ содержит ошибки. В литературе степень секретности характеризуют синтетическим параметром скоростью появления ошибок в квантовых битах, которая зависит от различных физических свойств квантового канала, передатчика, приемника, стратегии перехвата и других характеристик, в частности от относительной ошибки в квантовом ключе, оставшейся после этапа просеивания. В настоящей работе аналитически изучается зависимость суммарной относительной ошибки в генерации просеянного ключа с помощью перепутанных поляризационных состояний бифотонов. Рассмотрены оптимальные стратегии выбора отрезков ОВ для квантовых каналов Алисы и Боба. В работе показано, что среднее относительное число ошибок в просеянном ключе можно существенно уменьшить, если выбор пар отрезков ОВ производить коррелированно с коэффициентом корреляции, близким к 1.
Состояние классической поляризации излучения принято описывать точкой на сфере Пуанкаре, координаты данной точки называются параметрами Стокса волны. В квантовой оптике параметры Стокса фотонов имеют смысл тройки некоммутирующих операторов, подчиняющихся коммутационным соотношениям алгебры ви(2): Бх, Бу, Бг. Здесь х, у, г - система координат с центром в центре сферы Пуанкаре. В квантовой оптике (в отличие от классической) не существует состояний, где три оператора Бх, Бу, Бг имели бы точные (без дисперсии) значения. Но можно ввести собственные состояния оператора Бг и оператора Казн мира Б 2 и в базисе этих состояний описывать развитие состояний фотонов при их распространении по ОВ. Опишем состояние фотонов, распространяющихся по одномодовому ОВ. Обозначим через |У) (|И)) состояние одного вертикально (горизонтально) поляризованного фотона в ОВ. В подпространстве одного фотона в моде операторы Стокса имеют вид матриц Паули Бх = <гх, Бу = ау, Бг = аг, Б2 = I. Базис IV), (|И)) является собственным для матрицы Бг (Б2): Бг |И) = |И) (Бг IV) = = — ^)). Квантовое состояние фотонов изменяется в процессе распространения по ОВ. В шредингеровском представлении необходимо определить зависящую от времени матрицу плотности фотонов в ОВ
Здесь р(£) - средний вектор Стокса фотона, 8 - операторный вектор с компонентами Бх, Бу, Бг . Развитие во времени матрицы р(Ь) определяется оператором развития, который при феноменологическом подходе параметризуется несколькими
1. Влияние случайного ОВ на квантовые поляризационные состояния фотонов
(1)
Алиса Боб
Рис. 1. ПСД1, ПСД2 поляризационные светоделители с наклонным и вертикальногоризонтальным базисом соответственно. СД светоделитель. Д1. Д2. ДЗ, Д4 детекторы фотонов
параметрами, величины которых определяются технологией изготовления ОВ
зонансном представлении), £ - случайный вектор параметров ОВ. В рассматриваемом подходе пренебрегается деполяризацией и поглощением фотонов. Введем сферические координаты вектора параметров
Рассмотрим два физически различимых случая. Первый случай (в = п/2, ф = сп/2) - фарадеевское вращение, которое описывается случайным поворотом среднего вектора Стокса р(£) на угол ш = ££ вокруг осп у. Второй случай (ф = 0) - случайное двулучепреломление в ОВ с ориентацией оси «кристалла» в/2
разностью фаз между «быстрым» и «медленным» направлением ш = Двулучепреломление описывается случайным поворотом среднего вектора Стокса р^) на угол ш = вокруг осп, лежащей в плоскости жг под углом в к оси г.
с помощью перепутанных поляризационных состояний бифотонов
Установка квантовой криптографии, схема которой представлена на рис. 1, состоит из генератора перепутанных по поляризационным состояниям фотонов и двух анализаторов на передающей станции (Алиса) и приемной (Боб), соединенных с ЭПР-геиератором отрезками ОВ квантовыми каналами. ЭПР-генератор является источником сииглетных состояний бифотонов
Здесь символами А и В отмечены фотоны в каналах Алисы и Боба. Генерация ключа осуществляется по ВВ84-протоколу, состоящему из четырех состояний поляризации фотона в канале Алисы и в канале Боба. На каждый посланный в ЭПР-канал бифотон (в случае идеальных детекторов и в отсутствие потерь фотонов)
£ = £е, = ео8 в, ех = эт в сов ф, еу = эт в эт ф.
(3)
2. Схема распределения квантового ключа
откликается один из четырех детекторов Алисы и один из четырех детекторов Боба. Всего анализаторы Алисы и Боба фиксируют 16 парных событий совпадений щелчков детекторов Алисы и Боба. На этапе просеивания ключа половина событий отбрасывается при согласовании базисов по открытому каналу. Согласно рис. 1 отбрасываются в процессе просеивания события, когда одновременно срабатывают детекторы с номерами противоположной четности
дА л д2В , дА Л дВ, д2А Л дВ, ДА Л дВ,
дА л дВ, дА л дВ, дА л д В, дА л дВ .
Остальные 8 событий формируют квантовый код. Алиса присваивает значение “0” квантовых битов, если сработали детекторы дА или дА, и значение “1”, если сработали детекторы дА или дА. Аналогичные значения битам присваивает Боб. Но из-за ошибок в квантовом канале возможны несовпадающие по номерам отсчеты у Алисы и Боба. Это
д А л дВ, дА л д В, дА л дВ, дА л дВ.
Предположим, что причина появления ошибки в коде Боба связана со случайным изменением состояния поляризации фотонов Алисы и Боба при распространении бифотона от генератора к анализаторам (анализаторы считаются идеальными). Матрицы плотности фотонов на входе анализаторов будут определяться выражениями (1) (3), определяемыми случайными векторами в канале Алисы и Боба £а, £В • ® настоящей работе будем предполагать, что эти параметры случайны в ансамбле отрезков ОВ, изготовленных по одной технологии, которая характеризуется определенным разбросом параметров £. Приведем формулу для вероятности ошибки при передаче одного кубита по ОВ со случайным двулучепреломленпем (ВБ) при фиксированных значениях случайных углов векторов £а, £в :
рВР
регг
= 1 ^1 - 1 ((1 - соя о>а)(1 - соя ^в)ео8(0в - ^а)2 +
+ вІП сов(0в - 0а) вІП + соя + соя •
(4)
Формула для вероятности ошибки в переданном кубите по ОВ со случайным эффектом Фарадея (Б) имеет вид
1 — С08(^а — <^В )
Т
Здесь символами А, В отмечены случайные параметры (3) ^а = £аА ^В = £В^ #А, $В в канале Алисы и Боба. При проектировании квантового канала на ОВ естественно ориентироваться на средние характеристики ОВ выбранного типа. Среднюю вероятность ошибки получим, усреднив Р®^ или Ре^г по разбросу параметров ^А, ^В, #А, #В-
Рассмотрим два случая. В первом случае предположим, что выбор пары оптических волноводов в каналах (Алисы и Боба) производится коррелированно, плотность вероятности коррелированных пар ж, у будем вычислять по формуле нормального распределения, где г - коэффициент корреляции (математическое ожидание полагается равным нулю), дисперсии случайных переменных в паре по-
2
ложим равными а
1 /ж2 + у2 - 2гжу \
1 ( х2 + у2 - 2гжу\
И/<а’Г’Ж’У) = 2па2V1 - г2 “Ч- 2*2(1 - г2) ) '
Среднее квадратическое отклонение <т
Рис. 2. Зависимость средней относительной ошибки в просеянном квантовом ключе С^ВЕ11 для случайного двулучепреломления в оптическом волокне в каналах Алисы и Боба в зависимости от средней квадратической погрешности а = аш углов шл и шв
Формула для среднего значения вероятности P®f имеет вид
-BF 1 1
Perrl = 7 - о (1 + exp (-4^2 (1 - Гв)))
X
4 8
х Q- ex^-if) + 2exp (-af)ch (af^ +
+ exp (-ав (1 - re)) exp (-af) sh (af гш) + 2exp - Of) j •
Формула для среднего значения вероятности Pe^r имеет вид
PLl = 4 (Х - еХР (-^2 (1 - ^))) • (6)
Во втором случае предположим, что Алиса контролирует свой канал, и в ее канале отсутствуют ошибки. В этом случае в формулах (4) и (5) следует положить
ша = 0. В этом случае P®f = Ре^г/2, и вероятность P®f не зависит от углов вА,
вВ • Усредненные ПО углу ШВ вероятное ти P®f = Pe^r/2 имеют вид
рГ = Pf = 1 (l - exp (-f)) . (7)
Заключение
Используем правило подсчета вероятности Бернулли, получим соотношение для средней относительной ошибки (С^ВЕ11) в переданном квантовом ключе (среднее число ошибок в просеянном ключе длиной N/2 по отношению к длине просеянного ключа): (^ВЕ11 = 2Регг. В работе рассмотрены две оптимальные стратегии выбора отрезков О В с целью минимизации средних ошибок в просеянном ключе. В первом случае при наличии в двух квантовых каналах двулучепреломления с равными дисперсиями а^ угло в ша и шв и с равными диспер сиями а| угло в 9А и 9в целесообразно подбирать отрезки ОВ с учетом корреляции по углам 9А и 9в.
При условии 00(1 — Г0) ^ 1 средняя вероятность ошибки в передаче кубита близка к
4(1 — exP(—00 (1 — ))), (8)
и при коррелированном выборе пар по углам ша и шв вероятность ошибки может стать малой при наличии двулучепреломлеиия. Оптическая активность компенсируется при коррелированном выборе пар по углам ша и шв (6). На рис. 2 приведены графики средней ошибки QBER (8) в зависимости от средней квадратической погрешности о = ош. Графики 1, 2, 4 на рис. 2 построены для коэффициентов корреляции т = тш = 0.98, 0.8, 0.3 соответственно. Во втором случае, когда случайных ошибок в одном из каналов нет (ша = 0), исчезает зависимость вероятности ошибки в передаче кубита от угла в а, вв . Но для компенсации ошибок при флуктуации углов ша, шв необходим выбор ОВ с малой дисперсией о0. В этом случае QBER рассчитывается по формуле
QBER« 1(^1 — exp(—У (9)
Зависимость (9) представлена на рис. 2, график 3. Как следует из рисунка, коррелированный выбор отрезков ОВ для каналов Алисы и Боба существенно изменяет среднюю ошибку QBER, делая ее ниже критического значения, равного 0.11, что позволяет применять распределенный ключ для целей криптографии.
Работа поддержана в рамках Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (X- 2.1.1/9425), Федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» 2009 2013 годы (гос. контракт X- П689: проект НК-526П/24) и НИОКР РК10186.
Summary
G.P. Miroshnichenko, A.A. Sotnikova. Error Compensation in Quantum Key Distribution Using Entangled Biplioton Polarization States.
We consider optimal strategies for selecting optical fiber segments for Alice and Bob’s quantum channels that, are used for quantum key distribution by entangled biplioton polarization states. We show that the quantum bit error rate in a sifted key can be substantially reduced, even with large dispersions in the random parameters of optical fiber. To do this, Alice and Bob’s channels should be designed from fibers manufactured using the same technology. The selection of the pairs of optical fiber segments should be correlated, with a correlation coefficient, close to 1.
Keywords: quantum cryptography, EPR-prot.ocol, quantum bit. error rate, optical fiber.
Литература
1. Rashleigh S.C., Ulrich R. High birefringence in tension-coiled single-mode fibers // Opt.. Lett.. 1980. V. 5, No 8. P. 354 356.
2. Menyuk C.R., Wai P.K.A. Polarization evolution and dispersion in fibers with spatially varying birefringence // J. Opt.. Soc. Am. B. 1994. V. 11, No 7. P. 1288 1296.
3. Poole C.D. Statistical treatment, of polarization dispersion in single-mode fiber // Opt.. Lett. 1988. V. 13, No 8. P. 687 689.
4. Poole C.D., Winters J.E., Nagel J.A. Dynamical equation for polarization dispersion // Opt.. Lett. 1991. V. 16, No 6. P. 372 374.
5. Рорре A., Fedrizzi A., JJrsin P., Buhm P.P., Lorunser Т., Maurhardt О., Peev М., Suda М., Kurtsiefer С., Weinfurter Н., Jennewein Т., Zeilinger A. Practical quantum key distribution with polarization entangled photons // Opt. Express. 2004. V. 12. No 16. P. 3865 3871.
6. Muller A., Zbinden H., Gisin N. Quantum cryptography over 23 km in installed underlake telecom fibre // Europliys. Lett. 1996. V. 33, No 5. P. 335 339.
Поступила в редакцию 05.04.11
Мирошниченко Георгий Петрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры высшей математики. Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, г. Сапкт-Петер-бург. Россия.
Е-шаіІ: дртігонк вутлії, сит
Сотникова Анна Андреевна аспирант кафедры высшей математики. Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий. механики и оптики, г. Санкт-Петербург. Россия.
Е-шаіІ: oirteyandex.ru
