CC BY
2KOMP'YUTERDA MOLEKULALARNING BROUN HARAKATINI MODELLASH
1P. Baymatov, 2A.A Pulatov
Namangan Davlat Universiteti, Fizika fakulteti, fizika kafedrasi, f-m.f.n dots https://doi.org/10.5281/zenodo.10991070
Аннотация. В данной статье рассматривается Броуновское движение молекул и их статические закономерности на основе компьютерного моделирования.
Abstract. In given article is considered Brounovsky moving the molecules and their statistical regularities on base of computer modeling.
Ikki o'lchamli gaz molekulalarinig Broun harakati traektoriasining taqribiy komp'yuter modeli keltirilgan. Bitta zarrachaning tasodifiy erkin yugurish vaqti xy va to'qnashuvdan so'nggi tezliklari дх,dy Monte -Karlo algoritmidan generatsiya- langan.O'zaro bog'liq bo'lmagan bir nechta tajribalarda gaz molekulalarining traekoriyalari kuzatilgan Tajribada Eenshteyn-Smoluxovskiy formulasini osongi -na tekshirish mumkinligi ko'rsatilgan.
1. Gaz molekulalarining tartibsiz harakatini va unung qonuniyatlarini o'rganish va tekshirishda birinchi o'rinda avvalo tajriba turadi.Qolaversa, so'nggi yillarda fizikaviy tajribaning komp'yuter modellari keng qo'llanilmoqda.[1-3].Maktab yoki oliy o'quv yurtlarida bunday modellarni laboratoriya ishi sifatida kiritish va o'quvchi va talabalarga o'rgatish, bu isni mustaqil bajarishga jalb qilish, fizik jarayoni mohiyatini tushuntirishda kata ahamiyat kasb etadi.
Ma'lumki [1-3],"molekulyar dinamika" modellarida kata sondagi moekullar ~103 — 104bilan ish ko'riladi va molekulalaaro o'zaro ta'sir potentsiyalini kiritish mumkin (masalan,Leonard-Jons, Morrz va h.k.o).Bular gazning komp'yuter modelidagi statistic hatolarni kamaytirishga va modelning "realligini" oshirishga olib keladi.SHunga qaramay,chegaraviy shartlar (gaz joylashgan idish hajmini)Ta'sirini kamaytirish maqsadida davri chegaraviy shartlar (daz joylashgan idish hajmini) ta'sirini kamaytirish maqsadida "davriy chegaraviy" shartlar kiritishga to'gri keladi.
Bunday mukammal komp'yuter modellaridan foydalanishdan avval, dastlabki bosqichda anch soda bo'lgan gaz modellari bilan ishlab, modellashtirishning muxim elementlari bo'lgan, masalan: molekulaning tasodifiy erkin yugurish vaqti xy, o'qnashuvdan so'nggi tezlik va tasodifie yo'nalishini generatsiyalash kabi elementlarni o'rgatish talabalarning ushbu kurs mazmuniga kirishini va o'zlashtirishni anch osonlashtiradi.
SHu vaqsadda, quyeida, bitta gaz molekulasini tasodifiy (va sun'iy) to'qnashishlar oqibatida xosil bo'ladigan Broun zarrasi kadi tartibsiz traetoriyalarnini kuzatishga imkon bruvchi modili keltiriladi.Albatta, modelda yo'l qo'yilgan:ikki o'lchamda qarash,Leonord-Jons kadi ta'sir potentsiallarrida foydalanvaslik, To'qnashuv 'lementlari o'ta taqribiyligi "real voqelikdan" uzoqlashtirish tabiiy.Lekin, shunga qaramay,modelning soddaligi -yuqorida aytib o'tilgan:modellashtirishini muhim elementlarini o'zlashtirish va uning moxiyatini anglasda kata ahamiyatga ega bo'lib, keyengi bosqichlarda ancha mukammal modellarni o'zlashtirish va rivojlantirish imkonini beradi.
2.Faraz qilaylik, tasodifiy erkin yugurush vaqti xy1 mobaynida molekulaning ko'chishi s1,xy2 mobatnida esa s2 va h.k. xyN mobaynida sN bo'lsin.U holda,ketgan barcha vaqt t=xy1 + xy2 + xyN Mobaynida to'la ko'chish s=s1 + s2 + —+ sn « 0, uni kvadrati esa [4-5]
s2 = (s1 + s2 + —+ sn)2 = s^ + s| + —+ s^ + 2s1s2 + —+ 2s1s2 « s^ + s| + —+
c2
Bu yerda N-jami ko'chilar (erkin yugurushlar) soni.To'qnashishlar tufayli ko'chish vektorlari tasodifiy yo'nalishlarga ega bo'lib, etarlicha katta N larda s1 + s2 + —h sn « 0, va 2SXS2 + 2sxs2 + - + 2S2S3 + 2S3S4 ... 2sw-1sw « 0 bo'lib,quyidagini yozish vuvkin.
S2 S^ + s2 + s| +----h S^
= const.
N N
So'nggi ifodaga asosan, ko'chishlar kvadrati s2(t), alohida ko'chishlar kvadratlari yiindisiga teng bo'lib,bu kattalik ko'chishga ketgan vaqtga to'g'ri prpotsianal ekan.Bu qonuniyat gaz va suyuqlilarda tartibsiz harakatlanayotgan molekulalar uchun ststistik qonun bo'lib, Eyinstyen-Smoluxovckiy formulasi dyeiladi va uning aniq ko'rinishi quyidagicha [3]
R2+S2 + s2 + s% + ■■■ + sj2 = 2dDt,
Bu yerda d-fazo o'lchamligi (ikki o'lchovda d=2, uch o'lchovda d=3), D-diffuziya koeffitsienti.
3.Normal sharoitda ko'p gazlarda molekulaning o'rtacha erkin chopish yo'li Zo,~10-7m, o'rtacha erkin yugurish vaqti r0~10-9 — 10-10sek[6].0'rtacha erkin yugurish vaqti r0 ni bilgan holda tasodifiy erkin yugurish vaqti xy ni quyidagicha generatsialash mumkin.[1]:
Tyi = -To/n(yi), t = t +Tyi
Bu yerda y1-(0..1) intrvalda uzluksiz joylashgan asodifiy son, t+to'la vaqtni jamlab boruvchi o'zgaruvchi. To'qnashuv oqibatida qaralayotgan molekula boshqasi bilan enegiya-impul's almasinuvi natigasida yangi "tasodifiy energiya-impul's"(Maksvell taqsimati bo'yicha) va "tasodifiy yo'nalish"ga ega bo'ladi.Bu modeelda,to'qnashuvdan keying tezliklar komponentlari dx,dy ni ikki o'lchovdagi Maksvell taqsimotidan olindi:
yy3 = 2ny3,dx = ^oV-ln (y2) cos(^3), dy = $0^—(y2 )sin (<py3 ),
Bu yerda, y2,y3 — (0. .1) intervalda uzluksiz joylashgan tasodifiy sonlar,$0-ikki o'lchovli Maksvell gazidagi o'rtacha kvadratik tezlik d0 = (2kBT/m)1/2 , kB -Bol'tsman doimiysi.Alohida ko'chish kvadratlari yig'ndisi Sum quyidagich ifodalanadi:
Sum = Sum
Siljish koordinatalari esa ,X,Y o'zgaruvchilarda joylashgan:
X = X+$xryi Y = Y-^yTyi.
Sonli koordinatalarda, odatda birliksiz kattaliklarga o'tildi.shuning uchun ham bu yerda ham vaqtni r0 tezliklarini $0va masofalari d0r0 birliklarda olingan.Ushbu model algorimining Paskal tilida yozilgan dasturi quyida ilavada keltirilgan.
Dastur juda soda bo'lib, unga turli o'zgartirishlar kiritish ham mymkin.Masalan,Paskal grafikasidan foydalangan holda 1-rasmda molekulaning dastlabki bir necha to'qnashuvlar natiasidagi xaotik xarakati traektoriyalari keltirilga
1-rasm. Molekulaning dastlabki bir necha: a)N=13 va boshqa tajribada b) N=17 ta to'qnashishlar natijasidagi traektoriyasu.
Har bir to'qnashuvdan so'ng molekula tezligi ikki o'lchovdagi Maksvell taqsimot funktsiyasidan olinganligi bois, turli erkin yugirishlar xyda molekula turlicha tezliklarda (binobarin, turlicha yo'nalishlarda) harakat qiladi. Bu tezliklar taqsimoti N ning kata qiymatlarida Maksvell taqsimoti bo'yicha taqsimlangan.Dasturga o'zgartirilish kiritib, masalan o'rtacha kvadratik tezlikni tekshirib ko'rish mumkin.
Eenshteyn -Smolyxovskiy qonunini tekshirish maqsadida o'zaro bog'liq bo'lmagan 10 ta tajriba natijalari quyidagi jadvalda keltirilgan.Tajribalarda to'qnashishlar soni N=100 dan 10000 gahacha o'zgartirilgan.Ketgan vaqtlar va unga mos ko'chish kvadratlari yig'indisi Sum = R2(t) jadvalning ikkinchi va uchunchi ustunlarida,grafigi esa 2-rasmda ko'rsatilgan.
2-rasm.O'zaro bog'liq bo'lmagan 10 tajribada (Jadvalga qarang) molekulani umumiy ko'chish kbadrati R2(t) ni ko'chish davomiyligi t b0g'lanish grafigi.
N t Sum Sum/N
1000 1024.47 2069.50 2.07
2000 2045.28 3986.42 1.99
3000 3030.99 3946.91 1.98
4000 3993.30 7734.09 1.93
5000 5000.07 9733.33 1.95
6000 6040.07 12027.70 2.00
7000 6879.79 13137.71 1.88
8000 7863.23 15011.83 1.88
9000 8825.01 16802.98 1.87
10000 9984.02 19342.71 1.93
Kuzatilgan tajribalarda xaqiqatan ham ko'chish kvadratlari yig'ndisi vaqtga to'g'ri propotsianal ekanligi kata aniqlikda tasdiqlandi. Eyinshtyeyin - Smoluxovskiy formulasidan D =R2(t)/2dt va jadvaldan foydalanib (d=2) qaralayotgan syn'iy model uchun diffuziya koeffitsienti D « 0,5 ekanligini toppish mumkin. Ilova
Program 2d-Brown;
USES Crt.Dos;
CONST t0=1;$0=1;N=1000
VAR t, tr, x,y,дх,ду ,Sum, dr,Fr;Extended;i:Longlent:
Function Rnd:Extended:Begin Rnd:= 0,0001 + 0,0001*Random (10000)End:
BEGIN ClrSer;Randomize; x:0; y:=0; t:=0;Sum:0;
For I: = 0 to N do
Begin
Tr:=t0*Ln (Rnd);t:t+tr; dr ■= sqrt(-Ln(Rnd)); Fr = 2 * pi * Rnd; [Maxswell] дх=d0 *dr* cos(Fr) ; dy ■= * dr*sin(Fr); x:=x+ dx * tr;y ■■= у + ду* tr; sum:= sum+(^x *AX + Ay* Ay) *tr * tr; End;
WriteLn(t:10:2, Sum:10:2, Sum/N:10:2); END
O'yilaymizki, bu kabi dasturlarni yaratish va ommalashtirish maktab, akademik litseyi va ixtisoslashtirilgan maktablar;o'quvchilarining fizika faniga bo'lgan qiziqishlarini ortbradi va kelajak avladni tarbiyalashda o'zining vunosib xissasini qo'shadi.
REFERENCES
1. Xокин Р., Иствуд Дж. Численное моделированние методом 4ac™^M.,"M^",1987.640c
2. Xeepман Д.В.Методы компьютерного эксперемента в теоретической физике. М.," Наука",1990.176с
3. Гулд Х.,Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике; В двух частях.М .," M^" 1990.Т1.309с
4. Фейнман Р.,Лейтон Р.,Сенде М. Фейнмановские лекции по физикеМ^^И? " 1999г 2 изд.Т.1,с110-111;Т.4с 59-60.
5. Рейф Ф. Статистическая физика. М.," Наука" ,2003,2изд ,Т.5.с313
6. Кухлинг С.Н., Справочник по физике .М., "Мир ",1985.С202-204
