Комбинированный метод планирования операций и распределения ресурсов системы управления активными подвижными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сведения об авторе

Олег Владимирович Майданович — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра компьютерной математики и программирования; E-mail: [email protected]

Рекомендована СПИИРАН Поступила в редакцию

10.06.12 г.

УДК 519.8

С. В. Кокорин, С. А. Потрясаев, Б. В. Соколов

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПЛАНИРОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ АКТИВНЫМИ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Предложены обобщенная динамическая модель и комбинированный метод планирования операций и распределения ресурсов системы управления активными подвижными объектами, позволяющие учесть основные ограничения системы управления на основе реализации концепции комплексного моделирования.

Ключевые слова: комплексное планирование, система управления активными подвижными объектами, комбинированные методы моделирования и оптимизации.

Введение. Анализ основных направлений развития современных сложных организационно-технических систем (СОТС) позволил выделить ряд их особенностей, к числу которых относятся: многоаспектность и неопределенность поведения; иерархичность; подобие структур и избыточность основных элементов и подсистем и их взаимосвязей; разнообразие функций управления на каждом уровне системы; территориальная распределенность компонентов системы. Предварительные исследования показывают, что в качестве базового элемента при формальном описании процесса управления СОТС может использоваться активный подвижный объект (АПО) [1]. В общем случае это искусственный объект (аппаратно-программный комплекс), перемещающийся в пространстве и взаимодействующий с другими АПО и внешними объектами обслуживания, в ходе которого формируются информационные, энергетические и материальные потоки [2, 3]. На практике, как правило, из-за достаточно низкого уровня автономности АПО создаются распределенные системы управления АПО (СУ АПО). В этом случае на концептуальном уровне процесс функционирования СУ АПО может быть представлен как процесс выполнения соответствующих целевых и технологических (обеспечивающих) операций и распределения ресурсов в рассматриваемой системе управления.

На содержательном уровне задача комплексного планирования функционирования СУ АПО может быть сформулирована следующим образом: необходимо выбрать такой допустимый план выполнения операций и распределения ресурсов системы, в ходе реализации которого, в рамках заданных сценариев воздействия возмущающих факторов, будут выполнены своевременно и полностью все операции, составляющие соответствующие технологические циклы управления, а уровень сервиса (качества) планирования будет удовлетворять заданным требованиям. При этом если будет получено несколько планов, то необходимо выбрать наилучший план относительно принятых критериев и показателей оптимальности.

Формальная постановка задачи. На основе ранее разработанных частных динамических моделей планирования СУ АПО [1—3] запишем обобщенную динамическую модель процессов функционирования указанной системы в условиях возмущающих воздействий:

((1),и(Г),в,%(1),г) ех1г;

4 ; и(Г)еА

(1)

и() | х(1) = Ф(,х(^0),х(),и(),в,%(), *); А = | У (1) = П(х(1),и(1),в,%(1), 1); (2)

х(0)е X) (в), х()е X/ (в), где х () — обобщенный вектор состояния СУ АПО; у (1) — обобщенный вектор выходных характеристик (показатели качества функционирования СУ АПО); и (1) — вектор программного управления, представляющий план функционирования СУ АПО; в — обобщенный вектор параметров СУ АПО, характеризующих основные технические и технологические возможности аппаратно-программных средств, входящих в ее состав; ф, п — соответственно многомерные переходная и выходная функции, задаваемые в общем случае в аналитико-алгоритмическом (имитационном) виде; Х0 (в), X/ (в) — значение вектора х () в начальный и конечный моменты времени; I е ¿0,— заданный интервал планирования работы СУ АПО; % () — вектор возмущающих воздействий, имеющих как объективный, так и субъективный характер и задаваемых извне в виде соответствующих сценариев %( )еЕ .

Для определенности в дальнейшем будем предполагать, что указанные возмущающие воздействия задаются в виде импульсных стохастических случайных процессов [4].

В состав рассматриваемой динамической модели планирования включим вектор показателей качества планирования

I (х (1), и (1), в, % (1), г)

М т (к ) т (р )

(3)

где I

(о )Т т(к)Т т( Р)Т

соответствующие векторы показателей качества планирования опе-

раций, распределения ресурсов и потоков при различных сценариях реализации возмущающих воздействий.

Примеры конкретного описания данных показателей качества для детерминированного и стохастического вариантов задания исходных данных приведены в работах [1, 2].

Комбинированный метод решения задачи. Предположим, что в задаче векторной оптимизации при решении исходной задачи планирования (см. формулы (1), (2)) будет использоваться простейшая линейная свертка вида

^ = £ са /а, Са> 0, £ Са= 1. (4)

а=1 а=1

Более сложные варианты построения указанных сверток для рассматриваемого класса задач планирования подробно изложены в работах [1, 5].

Динамическая задача комплексного планирования операций и распределения ресурсов СУ АПО в условиях стохастических возмущающих воздействий (см. формулы (1)—(3)) может рассматриваться как многоэтапная задача стохастического программирования. В данной статье предполагается, что распределение ресурсов СУ АПО в условиях возмущающих воздействий можно конструктивно описать с использованием дискретно-событийных стохастических моделей, исследуемых в современной теории сетей массового обслуживания [6]. При этом в соответствии со структурными особенностями СУ АПО задачу стохастического про-

Т

граммирования можно декомпозировать на две взаимосвязанные задачи оптимизации процесса функционирования рассматриваемой системы [5, 7]:

— подзадачу оптимизации функционала (1) на основе варьирования вектора £ приоритетов операций обслуживания АПО при фиксированном векторе р параметров, характеризующих технические и технологические возможности системы (подвекторе в: см. формулы (1)—(2));

— подзадачу оптимизации функционала (1) на основе варьирования вектора р при фиксированном векторе £.

Для реализации данного подхода предлагается следующая двухэтапная итерационная процедура.

Этап 1. Оптимизация процесса выполнения операций и распределения ресурсов в СУ АПО с использованием ее аналитико-имитационной (стохастической) модели:

/(* пш,, (5)

где ^о (') — аналитико-имитационное описание взаимосвязи оптимизируемых параметров

модели планирования; , — множество допустимых значений параметров, характеризующих СУ АПО; V — номер итерации.

Этап 2. Динамическое планирование операций и распределение ресурсов с фиксированным вектором параметров pV, полученным на предыдущем этапе:

/ (% ^. (6)

где 2 — множество допустимых значений приоритетов.

Для реализации рассматриваемой процедуры на нулевой итерации (V = 0 ) необходимо задать вектор начальных значений приоритетов (= ) операций, выполняемых в СУ

АПО. Его можно сформировать, например, алгоритмически (неявно), используя такие эвристические правила диспетчеризации, как БГРО, ЬШО. Итерационный процесс поиска оптимального плана заканчивается в одном из следующих случаев: при достижении заданного уровня разности значений функционалов на двух последовательных итерациях:

/ ( ^ (^+1),Р V* ))-/(

<е, (7)

где е — известная величина; либо, если стабильная сходимость не наблюдается, используется эвристическое правило выхода из итерационной процедуры. При этом проверку условия (7) можно проводить, только начиная с первой итерации, так как вектор р0 в начале итерационной процедуры не определен.

Комбинированный метод оптимизации параметров СУ АПО. Рассмотрим более подробно содержание первого этапа предложенной итерационной процедуры. Для оптимизации вектора параметров р целесообразно использовать комбинацию метода глобального поиска (метод ^-преобразования [8]) и метода численной оптимизации без расчета производных (метод главных осей Брента [9]). Метод ^-преобразования — метод поиска глобального экстремума целевой функции (5) — не требует задания начального приближения при решении исходной задачи оптимизации, но характеризуется существенными вычислительными затратами при увеличении размерности вектора оптимизируемых параметров pV. Использование только метода ^-преобразования при оптимизации функционала (5) приводит к

большим погрешностям. Поэтому предлагается его дополнить методом локальной оптимизации функционала (5). Применительно к рассматриваемой задаче планирования работоспособность данного метода была продемонстрирована при оптимизации систем с сетевой структурой [6].

Главный недостаток метода локальной оптимизации, точнее, его алгоритмической реализации, заключается в необходимости задания начального приближения, которое должно быть рассчитано для каждой задачи отдельно. Однако первое приближение уже известно (в результате оптимизации функционала (5) с использованием метода ^-преобразования). Метод характеризуется двумя основными параметрами: показателем точности расчета целевой функции, который определяет момент остановки итерационного цикла, и шагом изменения оптимизируемых параметров, определяющим скорость сходимости алгоритма. Теоретическая сходимость данного метода для случая дважды непрерывно дифференцируемых функций была доказана в работе [9]. Применительно к исследуемой задаче планирования вычислительные эксперименты показали хорошую сходимость для более широкого класса оптимизируемых целевых функций, которые не являются в общем случае дифференцируемыми ((2), (3)).

Метод динамического планирования операций и распределения ресурсов СУ АПО. Данный метод предлагается использовать для формирования собственно плана выполнения операций и распределения ресурсов в СУ АПО. В работах [2, 3, 5] показано, что каждому такому плану может быть поставлен в соответствие комбинированный вектор сопряженной системы уравнений, который в данной задаче может интерпретироваться уже как вектор динамических приоритетов ^0. Более того, в указанных работах также данный вектор рассматривается как вектор координирующих воздействий при реализации процедуры интерактивного планирования СУ АПО, оценивании устойчивости планов, а также при выработке корректирующих воздействий, позволяющих адаптировать как детерминированную динамическую модель планирования, так и аналитико-имитационную модель процесса реализации составленных планов с учетом возможных возмущающих воздействий.

Кратко остановимся на общей итеративной схеме формирования вектора динамических приоритетов, основанной на методе локальных сечений и представляющей собой одну из модификаций принципа максимума Понтрягина для случая задания смешанных ограничений [2, 5]. Рассмотрим алгоритм, реализующий данную схему.

Шаг 1. Задание диспетчерского решения (допустимого плана) ид (1), 1 е (^ ; в частном случае в качестве допустимого может быть выбран „нулевой" план — ид (1) = 0 .

Шаг 2. Интегрирование системы уравнений (2), описывающей процесс функционирования СУ АПО, с заданными начальными условиями, характеризующими ее текущее состояние, и и = ид () . В работах [2, 5] был описан один из вариантов преставления системы уравнений (2) в виде детерминированной нестационарной конечномерной дифференциальной динамической системы х = ^ (х, и, 1) . В результате интегрирования получаем вектор-функцию хд (1) .

Также в конечный момент времени рассчитываются значение обобщенного показателя качества планирования JG и значение вектора сопряженной системы уравнений с использованием условия трансверсальности.

Шаг 3. Интегрирование в обратном времени от 1 = до 1 = 10 при и = ид () сопряженной системы уравнений вида

,/ = 1,...,Й, (8)

где H = уТ (1 )Г(х,и, 1) — гамильтониан, (1) и р^ (1) — динамические множители Ла-гранжа;

ВгаёН(х(),и(),у (1)))МОё^^ (х(1),и(/)) + £]р? ( )ёгаё(х(),и()), (9)

и 5=1 и У=1 и

где у (1) — вектор сопряженной системы уравнений; ¡1 — множество индексов для ограничений типа равенства ^^ (х (), и (1)) = 0, 5е ¡1; ¡2 — множество индексов для ограничений типа неравенства (х (1), и (1)) < 0, 5 е ¡2; ¡3 — множество активных индексов, для которых ограничения типа (х (1), и (1)) < 0 превращаются в равенства.

В момент времени 1 = 10 (момент окончания интегрирования системы (8)) формируется первое приближение значений сопряженной системы уравнений уг- (10 ) . На этом завершается итерация г = 0 .

Далее — повторение шагов 2 и 3 до тех пор, пока не будут выполнены условия < в, где В — заданная точность численного решения рассматриваемой двухто-

Т(г+1) _ /г

чечной краевой задачи.

В результате решения рассматриваемой задачи планирования работы СУ АПО, интерпретируемой как задача оптимального программного управления соответствующей динамической системой вида (2), формируется вектор динамических приоритетов £ (1 ) = ? (У (10 )),

который функционально (через функцию Гамильтона) связан с вектором сопряженной системы уравнений (8) и однозначно определяет оптимальный план выполнения операций и распределения ресурсов в СУ АПО.

Заключение. В результате проведенных исследований разработана оригинальная многоэтапная процедура комплексного планирования функционирования системы управления активными подвижными объектами с учетом факторов неопределенности. Главное преимущество предложенного подхода по сравнению с существующими заключается в комбинированном динамическом (контекстном) учете при планировании функционирования СУ АПО как различных типов ограничений, накладываемых на указанный процесс, так и возможных классов возмущающих воздействий, влияющих на устойчивость построенных планов, который осуществляется на основе одновременного использования при формировании планов детерминированных и стохастических моделей.

Другое преимущество предложенного комбинированного подхода заключается в том, что как при итеративном поиске параметров СУ АПО с использованием стохастических моделей и методов глобальной оптимизации, так и при формировании собственно плана функционирования системы обеспечивается монотонная сходимость итеративных процессов за счет интерактивной гибкой настройки программного обеспечения, реализующего разработанные методы на компьютере, на основе использования заранее введенной параметрической и структурной избыточности в соответствующие численные алгоритмы оптимизации.

Статья подготовлена по результатам исследований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 10-07-00311-а, 11-08-01016-а, 11-08-00767-а), Отделения нанотехнологий и информационных технологий РАН (проект № 2.11, 2.12), а также программы ЕБТЬДТЯШ: проекты 1.2/ЕЬМ-121/2011/13, 2.1/ЕЬМ/184/2011/14.

список литературы

1. Калинин В. Н. Теоретические основы управления активными подвижными объектами. МО СССР, 1974. 130 с.

2. Соколов Б. В., Калинин В. Н. Многомодельный подход к описанию процессов управления космическими средствами // Теория и системы управления. 1995. № 1. С. 149—156.

3. Соколов Б. В., Калинин В. Н. Динамическая модель и алгоритм оптимального планирования комплекса работ с запретами на прерывание // Автоматика и телемеханика. 1985. № 5. С. 106—114.

4. Килин Ф. М. Теория и принципы построения автоматизированных систем управления. М.: Энергоатомиздат,

5. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов. М.: Наука, 2006.

6. Кокорин С. В., Рыжиков Ю. И. Оптимизация параметров сетей массового обслуживания на основе комбинированного использования аналитических и имитационных моделей // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 11. С. 61—66.

7. Краснощёков П. С., Морозов В. В., Федоров В. В. Декомпозиция в задачах проектирования // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1979. № 2. С. 7—18.

8. Чичинадзе В. К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. Метод пси-преобразования. М.: Наука, 1983.

9. BrentR. P. Algorithms for Minimization without Derivatives. NJ, USA: Prentice-Hall Inc., 1973. 195 p.

1985. 288 с.

Борис Владимирович Соколов

Сергей Владимирович Кокорин

Семен Алексеевич Потрясаев

Сведения об авторах СПИИРАН, лаборатория информационных технологий в системном анализе и моделировании; мл. науч. сотрудник; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; СПИИРАН, лаборатория информационных технологий в системном анализе и моделировании; E-mail: [email protected]

д-р техн. наук, профессор; СПИИРАН; зам. директора по научной работе; E-mail: [email protected]

Рекомендована СПИИРАН

Поступила в редакцию 10.06.12 г.