CC BY
13
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.51
DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-11-896-908
КОМБИНИРОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЦИФРОВЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМАХ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ПРЯМОЙ ЦЕПИ
А. И. Ермоленко, А. И. Коршунов
Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова", 196604, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: [email protected]
Рассматривается комбинированное управление в цифровой следящей системе (ЦСС) при первом порядке астатизма и временном запаздывании в прямой цепи, позволяющее полностью скомпенсировать скоростную ошибку и ошибку по ускорению. Предложена методика расчета ЦСС с запаздыванием, исключающая увеличение колебательности переходных процессов при отработке скачков задающего воздействия, вызываемых компенсацией скоростной ошибки. Опрелелена передаточная функция связи по задающему воздействию, компенсирующая скоростную ошибку и ошибку по ускорению. Установлена невозможность при компенсации обеих ошибок уменьшить перерегулирование путем уменьшения усиления в прямой цепи и выяснены причины этого явления.
Ключевые слова: комбинированное управление, цифровая следящая система, временное запаздывание
Введение. Использование комбинированного управления для повышения точности систем автоматического управления предложено проф. Г. В. Щипановым еще в середине прошлого века. В развитие теории комбинированного управления важнейший вклад внесли российские ученые: А. Г. Ивахненко, В. С. Кулебакин, А. И. Кухтенко, Б. Н. Петров, Г. М. Уланов, труды который стали классическими. Особенно успешно комбинированное управление применялось проф. В. Н. Яворским [1] при проектировании высокоточных силовых следящих приводов ракетно-артиллерийских систем. Интерес к комбинированному управлению сохраняется и в настоящее время. Его развитию посвящены работы В. О. Никифорова, Г. В. Лукьяновой, А. А. Бобцова [2—4] и др.
„Комбинированное управление особенно удобно применять, когда задающее воздействие вычисляется в ЦВМ" [5, 6], что соответствует рассматриваемым в настоящей статье цифровым следящим системам (ЦСС) .
Запаздывание всегда присутствует в прямой цепи ЦСС технологических (например, корабельных) АСУ. Если запаздывание вызвано только временем выполнения вычислений, его величина обычно много меньше постоянных времени непрерывной части (НЧ) ЦСС. В этом случае при расчете ЦСС запаздывание рекомендуется учитывать в „малых постоянных времени" [5].
Другое дело, когда величина запаздывания значительно превышает постоянные времени НЧ. В этом случае обеспечение высокого качества управления ЦСС становится сложной задачей, а достижимые результаты ее решения оказываются существенно ограниченными. Причина этого в „неминимально фазовых" свойствах НЧ, обладающей временным запаздыванием. Кроме того, физически невозможно существование элементов с временным опережением, позволяющим частично компенсировать временное запаздывание, подобно тому как форсирующие элементы частично компенсируют фазовое отставание инерционных элементов. В первую очередь, ограничено достижимое быстродействие ЦСС. Также может оказаться невозможным достижение необходимой точности отработки быстро изменяющихся задающих воздействий при существенном запаздывании в рамках управления по отклонению.
Использование предиктора Смита [7, 8], основанного на применении модели управляемого объекта с запаздыванием, позволяет „вывести" запаздывание из замкнутого контура управления и добиться высокого качества управления в замкнутом контуре. Однако сохраняющееся отставание реакции системы от задающего воздействия на время запаздывания существенно снижает точность отработки быстро изменяющихся задающих воздействий. Например, в режиме слежения с постоянной скоростью О ошибка слежения увеличивается на От, где т — время запаздывания. Уже при 0=30 °/с и запаздывании т= 0,3 с, что соизмеримо с постоянной времени исполнительного двигателя, получаем недопустимое значение От = 9°.
Вопросы повышения точности ЦСС при существенных значениях т методом комбинированного управления недостаточно рассмотрены в литературе и поэтому требуют дальнейших исследований.
Расчетная модель ЦСС. На рис.1 представлена структурно-динамическая схема линеаризованной модели ЦСС комбинированного управления с чистым запаздыванием в прямой цепи; здесь ИИЭ — идеальный импульсный элемент с периодом срабатывания, равным периоду дискретизации Т; ФНП — фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией (1-е-РТ)/Р; НЧ — непрерывная часть; ДФ — дискретный фильтр, описываемый дискретной передаточной функцией ф(*).
9вх[«Т|
ф(*)
ДФ
ИИЭ
ФНП
НЧ
?
9[п7]
01[п7] 1 "г Т
' ''
(1-е-рТ)/р
Шнч(р)
0вых(О
ФНП
ИИЭ
0вых[пТ|
(1 е-рТ)/р
_Т
е
Рис. 1
Передаточная функция НЧ в общем случае имеет вид
Шнч(Р) = К'}'Кг(Р) = гтрт +... + Г1Р +1, Qn_x{p) = цп_хрп~х +... + +1, т <п. (1) Рбп-1( Р)
Учитывая в дальнейшем только основные постоянные времени: Т1 — исполнительного двигателя, Т2 — усилителя мощности, положим ШНч (Р) = К / р(ТР + 1)(Т2Р +1). Время чистого запаздывания т=1Т, где I — целое число, учтено звеном с передаточной функцией
е-РХ.
Замкнутая ЦСС комбинированного управления имеет передаточную функцию [9]
Фк (*) = ©©^ = (1 + ф( * ))ф( *), (2)
©вх ( *)
где ©вых/вх (z) = 2{6вых/вх [nT]} — Z-преобразования решетчатых функций, описывающих задающее воздействие и управляемую величину; Ф( z) = W (z)/ (1 + W (z)) — передаточная функция замкнутой ЦСС с управлением только по отклонению; W (z) = z 1 • Wh4 (z) — передаточная
функция прямой цепи ЦСС, WH4(z) = Zj1—--WH4(p)[ = k—+ P1z + в0- — дис-
[ P J (z"1)(z"d1)(z— d2)
—T /T — T/T
кретная передаточная функция НЧ вместе с ФНП; d1 = e l, d2 = e 2; P2 = [T + (T + T2)(d1 + d2 — 1) — (T2d2 — T22d1)/(T1 — T2)], P1 =—(T + T + ад + d2) — (T + T2)(d1d2 —1)+
+2(T12d2 — T22d1 )/(T1 — T2 ), P0 = (T + T1 + T2 )d1d2 — (T12d2 — T22dx )/(T — T2).
Передаточная функция по ошибке ЦСС комбинированного управления
Ф0»= ©..(z©—© ■■■(z) =, _фk(z), (3)
©вх (z) ©вх (z)
где ©(z) = Z{0[nT]} — преобразование решетчатой функции, описывающей ошибку управления.
Используя (z), можно доказать следующее. Если в системе, приведенной на рис. 1, при т = 0 устанавливается постоянная нулевая ошибка управления 0[nT] = 0 и постоянная 01[nT] = const ^ 0, то и при т > 0 устанавливается такая же нулевая ошибка управления. Это очевидно и из физических соображений, поскольку постоянный сигнал 01 проходит в установившемся режиме через звено чистого запаздывания без изменения. Следовательно, для компенсации скоростной ошибки в ЦСС с запаздыванием в прямой цепи необходим дискретный фильтр с такой же передаточной функцией 9(z), что и при отсутствии запаздывания. Как известно, ДФ, описываемый передаточной функцией
Ф^т^—, (4)
KI z
добавляет к задающему воздействию его первую разность, чем и компенсирует скоростную ошибку ЦСС [1, 10, 11]. Однако, как известно [12], при отработке скачка 0вх[nT] = 1[nT]
ДФ увеличивает первое значение 0вх1[п!] ( 0вх1 [0]) на величину 1/ KT, что увеличивает перерегулирование о и время переходного процесса tIl. Это заставляет рассчитывать динамические характеристики ЦСС с учетом влияния ДФ.
Расчет ЦСС при компенсации скоростной ошибки. Для расчета ЦСС применим метод, предложенный В. А. Бесекерским [13], использующий передаточную функцию эквивалентной разомкнутой ЦСС Wu(z). Поскольку передаточная функция замкнутой эквивалентной ЦСС Фэ^) равна передаточной функции замкнутой ЦСС при комбинированном управлении
Ф^" (z) (2), очевидно
Ф э ( z ) _ Ф k ( z ) _ (1 + Ф( z )Ф ( z )
Wэ (z) =
1 — Фэ (z ) 1 — Ф/с (z ) 1 — (1 + Ф( z )Ф^ )
(1 + Ф( z )W (z ))/(1 + W (z )) = (1 + Ф( z ))W (z ) = 0 + KT — Wh4 (z )
1 — (1 + ф( z )W (z )) / (1 + W (z )) 1 — ф( z )W (z ) zi £z1 Wh4 (z )
т/Ф НЧ V /
KT z
(5)
Для использования частотного метода расчета ЦСС [5] необходима частотная передаточная функция Иэ (/1) , где X — абсолютная псевдочастота. С учетом выражения дискретной частотной передаточной функции НЧ
И-НЧ (/1) - И-НЧ (,)| / - К('-• /1Т/2)(1^'1т')(1 + .• /1т 2),
1-/1Т/2
/1(1+]ХТ')(1+/Щ)
(6)
где Т - Т' + ; т,- - Т' + , , -1, 2; gi — корни уравнения р222 + Р'2 + Р0 - 0 [9], из форму-
2 1- 1 лы (5) получаем
2 1- gi
Иэ(/1) - Иэ(2)\__ 1+/1Т/2 -11 + ^ 1-1 |Инч(2),
1-/1Т/2
КТ г
I 1 г -1 шг / \
г' -—-ИНЧ (г)
КТ г
1+/1Т/2 "1-]ХТ/2
К (1 + /1(Т /2 +1/ К ))(1 + ]ХТ1 )(1 + ]ХТ2 )
/1(1 + М )(1 + ) • [(1 - /1Т /2) / (1 + /1Т /2)]('+1) - /1(1 + ]Хт1 )(1 + ]\т2 ) - К (1 + /1(Т /2 +1/ К ))(1 + ]ХТ1 )(1 + ]ХТ2 )
/1{(1 + ]ХТ1 )(1 + ]ХТ2)е
/ 2(1 +1)аг^(1Т /2)
- (1 + ]ХТ1)(1 + /1т 2)}
(7)
В области низких частот агс1§(1Т/2) - 1Т/2. Так, при 1Т/2=0,3 агс1§(1Т/2)=0,2915. Таким образом, в области частот 1<0,6/Т погрешность приближения не превышает 3 %. При вполне реальном значении Т=0,02 с 1<0,6/0,02=30 с-1, и в области частот, определяющих устойчивость электромеханических ЦСС, можно принять
а/2(1 +1)агс1в(ХТ/2) „ (/ +1)%Т\
Ч »1
(8)
виде
Представим с учетом равенства (8) знаменатель частотной передаточной функции (6) в /1(1 + /1Т')(1 + ДТ2)е]1т -(1 + ]Хт1)(1 + /1т2) - /1{1 + 7Х(Т1 + Т2) + (/1)2Т^С +
+^(/1))-1 -(А)(Т1 + т2) -(/1)2Т1Т2} - ]Х{А(Т; + Т2 -Т1 -т2) + (71)2(Т1'Т2 -Т1Т2) +
+[1+/1(т;+Т2)+])2 адтт
(9)
где ¥(/X) - -1 - /1т^ (/1т), (/1) -1 + (/1т)/ 2!+ (/1т)2 / 3!+ (/1т)3 / 4!+...
- е/1т -1 -
Вынесем из выражения в фигурных скобках формулы (9) общий множитель /1 и, пренебрегая величинами т и т2 , имеющими третий порядок малости относительно Т, получаем
/1(1 + /1Т' )(1 + /1Т2 )е/1т - (1 + /1т1 )(1 + /1т2 ) -
I I
(/1)2 \Т.+ Т2 + т+(/1)
I I
— + (Т + Т2) т+Т1Т2
ЧАГ
т3 т2
т ' ' т ' '
—+(Т + Т2)—+ТТ т
3! 1 12
+...
... + С/1)"
т+1 т т-1
т ■ + 1-(Т1+ Т2) + - т
■Т1Т2
+...!
(10)
(т +1)! т! (т -1)!
В результате при тех же предположениях эквивалентная передаточная функция примет
вид
И (/1) -
К (1 + /1 / К)
I I
(/1)2(Т + Т2 + т)(1 + ^ 2(/1))'
где
¥ 2СА) = (71+ г2 + т)-1 /
... + (/к)т
_ + (71+ 72) т+7172
+( /к)2
т3 т2
— + (Т'+ т2) —+т{х2 т ,3! 2! 1 2
+...
т+1
т т-1
■+^ (т1+ т2) +- т
■Т1Т2
+...!
(т +1)! т! (т -1)!
Последний множитель в знаменателе передаточной функции представляет собой бесконечный ряд по степеням /к. При любом ограничении числа его членов сумма обратных ве-
личин корней соответствующего полинома оказывается одинаковой
и
равной
[т /2 + (71 + 72 )т]/(71 + 72 + т). Учитывая, что обратные величины корней представляют собой постоянные времени апериодических звеньев, заменим их последовательное соединение од-
1 1 _1 2 ' ' ' '
ним звеном с суммарной постоянной времени 7^ = (71 + 72 + т) [т /2!+ (71 + 72)т+7172].
Второй порядок астатизма эквивалентной системы — следствие компенсации скоростной ошибки реальной системы.
Если время чистого запаздывания т много больше постоянных времени НЧ (71 и 72 ), передаточную функцию (11) можно представить в виде
К (1 + /к / К)
Жэ (/к) = ■
(12)
т(/к^(1 + /кт /2)
Очевидно, что для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно выполнения неравенства 1/К>т /2 или К < 2/ т. В этом случае частота среза системы приближенно определяется из уравнения
Кк / К
тк2
= 1
и составляет
кср = 1/ т.
(13)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика системы (12) относится к типу 2 — 1 — 2 [5, 6].
Зависимость частоты среза системы кср от величины чистого запаздывания т объясняется тем, что в рассматриваемом случае быстродействие системы также определяется величиной т .
При расчете ЦСС в частотной области требования к ее устойчивости следует задать в
виде
М < Мд, Мд > 1, (14)
где М — показатель колебательности, его допустимое значение Мд определяется по допустимому перерегулированию од, если задано именно оно, а не Мд [5].
Согласно методике В. А. Бесекерского [5], для выполнения требования (14) необходимо удовлетворить систему двух неравенств:
М
> _1__
К ~ кТ М _ 1,
т 1 М — <--
2 кср М +1
(15)
(16)
Неравенство (15) можно выполнить, выбрав достаточно малой величину К, а неравенство (16) выполняется при любых М>1, т.е. для всех реально требуемых его значений.
Однако, учитывая допущения, принятые при выводе выражения передаточной функции, необходимо проверять и уточнять результат расчета системы методом моделирования. Кроме этого, необходимо учитывать, что приближенная формула, рекомендованная для пересчета допустимого перерегулирования од в допустимый показатель колебательности
V1
М д =
1 + От
2
+ Од
(17)
для цифровых следящих систем без запаздывания, может оказаться слишком оптимистичной. Частота среза, определяющая время переходного процесса Хп, оказывается заранее заданной, что ограничивает снизу достижимое значение .
В качестве примера рассчитаем ЦСС при 71=0,1 с, 72=0,02 с, 7=0,02 с, т=0,6 с (/=30), од=20 % при полной компенсации скоростной ошибки. Из выражения (17) определяем Мд:
V1
М д =
- + од
= + 0,2 21 + од 2 _у11 + 0,2
и из неравенства (14), приняв М = М = 1,21, находим
= 1,21.
— > —
К
М
кср М _ 1
или К < к
ср
М _ 1 М
1,21 _1 ■ = 0,2893 с_1.
0,6-1,21
Оценка времени переходного процесса дает
¿п « (1 * 1,5) - 2п - т «1,25 - 2 - п - 0,6 = 4,71 с.
Передаточная функции связи по задающему воздействию, т.е. передаточная функция дискретного фильтра (4)
1 г _ 1
1
г _ 1 „„^ _ 1 = 172,71-
К7 г 0,2895 - 0,02 г г
Исследование системы на ее цифровой модели, представленной на рис. 2, позволило получить переходную характеристику ЦСС Ъ({) (рис. 3) и ее реакцию на задающее воздействие £11 (рис. 4).
т 1
3 4
Рис. 3
7 /, с
0
2
5
6
С учетом переходной характеристики (см. рис. 3) находим о=21 %, =5,8 с, что оказывается несколько хуже расчетных значений (о=20 %, =4,7 с).
Отклик на 9вх = О!, 0 = 30° /с, показывает, что ошибка слежения стремится к нулю, но
достигает в переходном режиме максимального значения 21,805°, определяемого практически произведением 0т=30• 0,6=18°; значения, меньшие 0,5°, она принимает только при ! >10,3 с.
9
350 300 250 200 150 100 50
0
9ВХ \ - \ 9вых
9
10
t, с
4 6
Рис. 4
Увеличение К до 0,6 с-1 позволяет уменьшить время с 5,8 до 3,7 с при возрастании значения а с 21 до 42,6 %. Максимальное значение рассогласования при 9вх =0! практически не изменяется (21,6°), а время достижения рассогласованием значения 0,5° снижается с 21,6 до 4,1 с.
Расчет ЦСС при компенсация ошибки по ускорению. Усложнив передаточную функцию ДФ ф(г) (4), можно скомпенсировать и ошибку по ускорению. Для этого необходимо определить ее значение в ЦСС при компенсации скоростной ошибки. Это позволит определить дополнительный член передаточной функции ДФ, компенсирующий ошибку по ускорению 08.
Согласно выражениям (2)—(4) для ЦСС с компенсацией скоростной ошибки получены передаточные функции
ф* оо=^1+К^—1—:—„—г-^, (18)
(19)
K(в2Г2 +Pi*+Pq)г-l_
V KT Г J (Г - 1)( Г - di)(z - d2) + к (в 2 Г2 + Pi* + во) Г -
(Г) = 1 - Ф(Г) = (г -1)[(г - di)(* -d2) - (в2Г2 + Pi* + во)Г--1T-1 ^ Z (Г -1)(Г -di)(Г -d2)+K(в2Г2 + PI* + PQ)Г-
С учетом Z-преобразования равноускоренного задающего воздействия
0вх[nT] = I-[nT]21[nT], 0ВХ(Г) = Z(9BX[nT, 2 2(Г -1)
(20)
где 8 = const — постоянное ускорение, в результате преобразований определяем ошибку по ускорению
9е = lim(г - 1)Ф* (г)©вх (г) =
sT 2
T(1 - d1)(1 - d2) - Г--1(P2 + P1 + Pq)
Г -1
--lim
KT(P2 + P1 + Pq) г
z—
С учетом тождества [9]
T (1 - 4)(1 - d2) = (Р2 + Pi + Р о) в результате раскрытия неопределенности 0/0 по правилу Лопиталя находим
= sT Í + t + T1 + T2
s k v t
= — (t + T + T + T2). K 12
(21) (22)
Полученный результат показывает прямую зависимость ошибки по ускорению 08 от времени чистого запаздывания т.
Вычисление второй разности равноускоренного задающего воздействия (20) дает
А2евх[пТ] - евх[пТ]-20вх[(п- 1)Т] + евх[(п + 2)Т] - 8Т2. (23)
Для компенсации ошибки по ускорению в передаточную функцию ДФ ф(г) (4) необходимо добавить слагаемое, вносящее в закон управления член, пропорциональный второй раз-
^ 2
ности задающего воздействия т2Л евх[пТ] и равный ошибке по ускорению. Из равенства
т2 Л\х [пТ] - т2 8Т2 - К(т + Т + Т + Т2) находим необходимое значение коэффициента пропорциональности т2 :
- г+ТЦ+Ъ (24)
2 КТ2
Таким образом, с учетом (4) и (24) получаем 1
Ф(г)=т1 (1 - г-1) + т2 (1 - г-1)2, (25)
где т -•
КТ
Найденный результат относится к частному случаю. В общем случае передаточной функции НЧ (1) получение общего результата этим же способом вызывает определенные математические трудности. Обойти их удается, используя полученное в работах [14, 15] выражение передаточной функции ДФ для общего вида НЧ (1) при отсутствии запаздывания в прямой цепи ( т =0):
- Кг (1 - г-1) + (1 - г-1)2. (26)
По аналогии с рассмотренным частным случаем можно предположить, что при запаздывании в прямой цепи ( т ^ 0 ) функция ф(г) будет иметь вид
<р(.-) =¿0-:-1) + ^-+TF1('----')2■ (27)
Для доказательства справедливости формулы (27) рассмотрим режим отработки равноускоренного задающего воздействия (20). Предположим, что слежение происходит при нулевом рассогласовании (е[пТ] - 0) . Это означает, что дискретные значения выходного сигнала
НЧ (см. рис. 1) опережают значения евх1[пТ] на время запаздывания т. Для этого необходимо, чтобы выходной сигнал ДФ (27) опережал выходной сигнал ДФ (26) также на т, т.е. на I тактов.
Вычисление выходных сигналов ДФ (26) и (27) с учетом первой разности равноуско-
22 ренного сигнала (20) 8Т [2п -1]/2 дает соответственно 8Т {[2п +1] + 2(Т + ^ - г{)/ Т}/2КТ и
8Т2 {[2п +1] + 2(т + Т + ^ - г1)/Т}/ 2КТ - 8Т2{[2(п +1) +1] + 2(Т + ^ - г1) / Т}/ 2КТ, чем подтверждается опережение второго сигнала на I тактов.
Расчет ЦСС при компенсации скоростной ошибки и ошибки по ускорению. При компенсации скоростной ошибки и ошибки по ускорению ЦСС обладает свойствами систем с третьим порядком астатизма. В монографии [5] В. А. Бесекерский не рекомендовал использовать ЦСС с третьим и более высоким порядком астатизма вследствие их условной устойчивости, т.е. возможной потери устойчивости при уменьшении усиления прямой цепи. Вызывать
уменьшение усиления могут, например, элементы с насыщением. Однако к ЦСС комбинированного управления это не относится. Причина в том, что третий порядок ее астатизма обеспечен не наличием трех интегрирующих элементов в прямой цепи, а прямой связью по первым двум разностям задающего воздействия ф( г) (27).
Поскольку в работе [5] не приведены типовые частотные передаточные функции, а варьируемым параметром остается только коэффициент преобразования К, определяющий параметры связи по задающему воздействию, использовать стандартный частотный подход к расчету ЦСС не рационально.
Представляется целесообразным выбрать предварительное значение коэффициента преобразования К, обеспечивающее допустимый запас устойчивости по амплитуде замкнутого контура управления ЛЛ= К/Ккр, где Ккр — критический коэффициент преобразования, соответствующий колебательной границе устойчивости. Затем следует уточнить значение К на цифровой модели, добиваясь заданного качества переходной характеристики.
Не требуя высокой точности, определим Ккр по приближенным выражениям амплитудной и фазовой частотных характеристик разомкнутой ЦСС, полученным при 1(Т + Т2 + т /2) << 1:
А(1) - К^ 1 + (1Т /2)2 / "Ц1 + (1Т1)2 ^ 1 + (1Т2)2, ф(1) - - я/2 - 1т - аг^^Т ) - агс1§(1Т2 ) - аг^^Т /2) - - я/2 - 1(т+Т1 + Т2 +Т /2).
Определив из условия ф(1) - -п значение критической абсолютной псевдочастоты 1кр =п/2(т+Т1 + Т2 +Т /2) - л/2(0,6+0,1+0,02+0,01) - 2,1518 с-1, находим критический коэффициент преобразования
Ккр - ^ 1 + (1крТ1)2 V1 + (1крТ2)2^1 + (1крТ / 2)2 - 2,2026 с-1.
С использованием цифровой модели (см. рис. 2) при ф(г) - 0 экспериментально получены Ккр - 2,210 с-1, Юкр - 2,172 с-1 (1кр - 2/Т• 1§(юкрТ/2) - 2,1723 с-1), хорошо согласующиеся с соответствующими расчетными значениями.
При обычном запасе устойчивости ЛА=4 соответствующий коэффициент преобразования Кзу= Ккр/ЛА = Ккр/4=0,5525 с-1. На модели при ф(г) - 0 и К=КЗУ получены значения
о=0 %, /п =3,4 с. При евх - О/, О - 30 °/с ошибка слежения составляет 54,3°.
Выполнив вычисления по формулам (24) и (25), получим
т2 - " * ~, ф(г )=т! (1 - г-1) + т2(1 - г-1)2 -■ ' ' ^
т + Т + Т + Т2 37 . . , п -и , ,л -к2 1 38г2 - 75г + 37
-2-2--, ф(г)=т1 (1 - г 1) + т2 (1 - г 1)2---2-.
КТ2 КТ 1 2 КТ -2
г
С учетом компенсации ошибки по ускорению уточнена цифровая модель ЦСС (см. рис. 2) и проведено экспериментальное исследование ЦСС комбинированного управления. При моделировании переходной характеристики получены о=415,9 %, =3,43 с, а время достижения максимума переходной характеристики /т - 0,665 с. Попытки уменьшить недопустимое перерегулирование о, снижая К, показали, что значения а и /т практически не изменяются, а заметно уменьшается.
На рис. 5 представлены переходные характеристики ЦСС И(/) при К=КЗУ=0,5525 с-1 и К=КЗУ/10=0,05525 с-1. Из графика следует, что время /п при К=КЗУ/10 оказалось меньше и составило 1,21 с.
к(0 5 4 3 2 1
0
■ д-1- 1
КЗУ/10
0,5
1,5 Рис. 5
2,5
3 г„ с
Причины обнаруженного явления следующие. Сигнал обратной связи ЦСС отсутствует на входе ее НЧ в течение удвоенного времени запаздывания (2т) от момента приложения задающего воздействия. (При этом полагаем звено чистого запаздывания включенным до звена с передаточной функции НЧ, поскольку перестановка линейных звеньев допустима.) Дискретный фильтр превращает единичный скачок задающего воздействия 0вх [пТ] = 1[пТ] в сумму трех дискретных сигналов:
\2~
0вХ1[пТ ] = 1[пТ ] + 7
-1
' 7-1 + ' т1 -+ т2
г -1
г -1
= 1[пТ] + (т1 + т2 )5[пТ] + т2 5[(п - 1)Т], (28)
[1, п = 0,
где 5[пТ ] = < — дискретная дельта-функция.
[0, п ^ 0.
Таким образом, на НЧ в интервале т<<2т воздействуют постоянный единичный сигнал 1(1 - т) и два прямоугольных импульса: ( т1 + т2 )[1(^ - т) - - т - Т)] и -т2 [1^ - т - Т) - --т - 27)]. Уже при К=КЗУ=0,5525 с-1 имеем значения т =1/КТ =90,5 с и т2 =(т + Т + Т1 + +Т2)/КТ2 = 3348,4 с . Амплитуды импульсов при этом оказываются на 3,5 порядка больше постоянного единичного сигнала - т). Поэтому поведение НЧ при т<<2т определяется практически только действием этих двух прямоугольных импульсов. Так как коэффициенты передаточной функции ДФ ф(г) т{ и т2 (25) увеличиваются соответственно уменьшению коэффициента преобразования К, поведение НЧ, а следовательно, о и т практически не изменяются. Изменение ¿п, превышающего 2т, объясняется изменением характера свободного процесса уже в замкнутом контуре ЦСС.
Исследование процессов отработки 0вх = Оt, О = 30 °/с, при К=КЗУ и К=КЗУ/10 показало практическое совпадение максимальных значений рассогласования и моментов их достижения, составляющих соответственно 0т =18,82° и tm = 0,6315 с. Объясняется это так же, как и при скачке задающего воздействия. В этом случае
I Г 1 \2
г -1 , | г -1
т1
0вх1[пТ ] = ОпТ -1[пТ ] + 7-1
г -1 + ' т1 -+ т2
ОТг
(г -1)2
= ОпТ • 1[пТ] + ОТт1 • 1[(п -1)Т] + ОТт2 • 5[(п - 1)Т].
Значения, меньшие по модулю 0,5°, рассогласование 0 принимает при t> 4,165 с в случае К=КЗУ и при t > 1,006 с в случае К=КЗУ/10.
2 2
Исследование процессов отработки 0вх = 8t /2,8 = 30 °/с при К=КЗУ показало 0т =8,1426° и t т = 0,9924 с, а при К=КЗУ/10 — 0т =8,242° и т = 1,141 с. Очевидна близость максимальных значений рассогласования и моментов их достижения, что объясняется аналогичным образом. В этом случае
1
2
евх1[пТ ]
8 (пТ)2 1[пТ] +
+ 8 Т2 т1 {1[(п - 1)Т ] + 2(п -1) • 1[(п - 1)Т ]} + 8 Т2 т 2 {5[(п - 1)Т ] + 2 • 1[(п - 2)Т ]}.
Очевидно, что выходной сигнал ДФ не столь значительно превышает евх, как в предыдущих случаях. Это и объясняет весомую разницу между ет и / т при КЗУ и при К=КЗУ/10. Рассогласование е имеет значения, меньшие по модулю 0,5°, при / > 3,82 с в случае К=КЗУ, а в случае К=КЗУ/10 при / > 50 с. Объясняется это медленным протеканием переходных процессов в замкнутом контуре при 10-кратном уменьшении К.
Заключение. Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы.
1. В частных случаях быстро изменяющихся задающих воздействий, отрабатываемых ЦСС с большими постоянными в установившемся режиме ошибками слежения, комбинированное управление позволяет полностью их скомпенсировать.
2. При наличии времени запаздывния, значительно превышающем постоянные времени непрерывной части, частота среза ЦСС с компенсацией скоростной ошибки определяется его обратной величиной.
3. Предложена методика расчета ЦСС с запаздыванием, исключающая увеличение колебательности переходных процессов при отработке скачков задающего воздействия, вызываемых компенсацией скоростной ошибки.
4. Получена зависимость ошибки по ускорению от времени чистого запаздывания и параметров непрерывной части ЦСС, определена передаточная функция прямой связи по задающему воздействию, компенсирующая ошибку по ускорению.
5. Показано, что перерегулирование при отработке скачка задающего воздействия может достигать недопустимых значений, неограниченно растущих с увеличением времени запаздывания и не уменьшающихся при снижении усиления в прямой цепи линейной модели
6. Установлена причина независимости перерегулирования от усиления в прямой цепи ЦСС, состоящая в отсутствии сигнала обратной связи ЦСС на входе ее НЧ в течение удвоенного времени запаздывания от момента скачка задающего воздействия и в увеличении коэффициентов передаточной функции прямой связи соответственно уменьшению коэффициента усиления прямой цепи ЦСС.
1. Яворский В. Н., Бессонов А. А., Потапов А. М. Проектирование инвариантных следящих приводов. М.: Высш. школа, 1963. 428 с.
2. Лукьянова Г. В., Никифоров В. О. Алгоритм компенсации внешних детерминированных возмущений: операторный метод синтеза // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2003. № 10. С. 5—10.
3. Бобцов А. А., Лукьянова Г. В., Никифоров В. О. Алгоритм компенсации внешнего гармонического возмущения неизвестной частоты для систем активной виброзащиты // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 11. С. 39—43.
4. Никифоров В. О., Лукьянова Г. В. Следящая система комбинированного управления // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. Т. 76, № 6. С. 39—43.
5. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.
6. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.
7. Смит О. Дж. М. Автоматическое регулирование. М.: Физматгиз, 1962. 575 с.
ЦСС.
список литературы
8. Острем Л., ВиттенмаркК. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987. 480 с.
9. Коршунов А. И. Основы теории управления. Руководство к курсовому проектированию. Петродворец: ВМИРЭ им. А. С. Попова, 1998. 136 с.
10. Ермоленко А. И., Коршунов А. И. Повышение динамической точности цифровых следящих систем АСУТП методом комбинированного управления. Ч. I. Низкий темп вычисления рассогласования // Изв. вузов. Приборостроение. 2018. Т. 61, № 4. С. 309—316.
11. Ермоленко А. И., Коршунов А. И. Повышение динамической точности цифровых следящих систем АСУТП методом комбинированного управления. Ч. II. Высокий темп вычисления рассогласования // Изв. вузов. Приборостроение. 2018. Т. 61, № 12. С. 1036—1044.
12. Коршунов А. И. Основы теории управления. Ч. II. Основы теории и систем автоматического управления. Петродворец, 2017. 167 с.
13. Бесекерский В. А. Применение эквивалентной передаточной функции при расчете следящих систем комбинированного управления // Тр. I Междунар. конгресса Международной федерации по автоматическому управлению. М.: Изд-во АН СССР, 1961. Т. I. С. 154—165.
14. Ермоленко А. И., Коршунов А. И. Расчет цифровых следящих систем комбинированного управления с использованием предельной непрерывной модели. Ч. I. Построение предельной непрерывной модели // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 5. С. 411—417.
15. Ермоленко А. И., Коршунов А. И. Расчет цифровых следящих систем комбинированного управления с использованием предельной непрерывной модели. Ч. II. Расчет цифровой следящей системы // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 7. С. 602—609.
Сведения об авторах
Артем Игоревич Ермоленко — соискатель; Военно-морской политехнический институт ВУНЦ
ВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова"; кафедра радиоэлектроники
Анатолий Иванович Коршунов — д-р техн. наук, профессор; Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова"; кафедра радиоэлектроники; E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 01.06.2021 г.
Ссылка для цитирования: Ермоленко А. И., Коршунов А. И. Комбинированное управление в цифровых следящих системах при наличии запаздывания в прямой цепи // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 11. С. 896—908.
COMBINED CONTROL IN DIGITAL TRACKING SYSTEMS IN THE PRESENCE OF DELAY IN THE DIRECT CIRCUIT
A. I. Ermolenko, A. I. Korshunov
Military Educational and Scientific Center of the Navy "Naval Academy Named after Admiral of the Fleet of the Soviet Union N. G. Kuznetsov", Naval Polytechnic Institute,
196604, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
Combined control in a digital tracking system is considered for the first order astatism and time delay in the direct circuit, which allows to fully compensate for both the speed and acceleration errors. A method for calculating the digital tracking system with a delay is proposed, which excludes an increase in transients oscillation when working out jumps of the driving force caused by compensation of the velocity error. The transfer function of the coupling by the setting effect is determined, compensating for the velocity error and the acceleration error. Impossibility to reduce overshoot by reducing the gain in the direct circuit when compensating for both errors is established, and the causes of this phenomenon are clarified.
Keywords: combined control, digital tracking system, time delay
REFERENCES
1. Yavorskiy V.N., Bessonov F.F., Potapov A.M. Proektirovanie invariantnykh sledyashchikh privodov (Design of Invariant Tracking Drives), Moscow, 1963, 428 p. (in Russ.)
2. Luk'yanova G.V., Nikiforov V.O. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2003, no. 10, pp. 5-10. (in Russ.)
3. Bobtsov A.A., Luk'yanova G.V., Nikiforov V.O. Journal of Instrument Engineering, 2007, no. 11(50), pp. 39-43. (in Russ.)
4. Nikiforov V.O., Luk'yanova G.V. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2011, no. 6(76), pp. 39-43. (in Russ.)
5. Besekerskiy V.A. Tsifrovye avtomaticheskie sistemy (Digital Automatic Systems), Moscow,1976, 576 p. (in Russ.)
6. Besekerskiy V.A., Popov E.P. Teoriya sistem avtomaticheskogo regulirovaniya (The Theory of Automatic Control Systems), Moscow, 1972, 768 p. (in Russ.)
7. Smith O.J.M. Feedback control systems, NY, McGraw-Hill Book Co., Inc., 1958, 694 p.
8. Ástrom K., Wittenmark B. Computer-Controlled Systems: Theory and Design, 1984.
9. Korshunov A.I. Osnovy teorii upravleniya. Rukovodstvo k kursovomu proektirovaniyu (Bases of the Theory of Management. The Management to Course Design), Petrodvorets, 1998, 136 p. (in Russ.)
10. Ermolenko A.I. Korshunov A.I. Journal of Instrument Engineering, 2018, no. 4(61), pp. 309-316. (in Russ.)
11. Ermolenko A.I. Korshunov A.I. Journal of Instrument Engineering, 2018, no. 12(61), pp. 1036-1044. (in Russ.)
12. Korshunov A.I. Osnovy teorii upravleniya. Osnovy teorii i sistem avtomaticheskogo upravleniya (Bases of the Theory of Management. Bases of the Theory and Systems of Automatic Control), Petrodvorets, 2017, 167 p. (in Russ.)
13. Besekerskiy V.A., Fedorov S.M. Trudy I mezhdunarodnogo kongressa Mezhdunarodnoy federatsii po avtomaticheskomu upravleniyu (Proceedings of the 1st International Congress of the International Federation on Automatic Control), Moscow, 1961, vol. I, pp. 154-165. (in Russ.)
14. Ermolenko A.I. Korshunov A.I. Journal of Instrument Engineering, 2019, no. 5(62), pp. 411-418. (in Russ.)
15. Ermolenko A.I. Korshunov A.I. Journal of Instrument Engineering, 2019, no. 7(62), pp. 602-609. (in Russ.)
For citation: Ermolenko A. I., Korshunov A. I. Combined control in digital tracking systems in the presence of delay in the direct circuit. Journal of Instrument Engineering. 2021. Vol. 64, N 11. P. 896—908 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-11-896-908
Data on authors
Artem I. Ermolenko
Applicant; Military Educational and Scientific Center of the Navy "Naval Academy Named after Admiral of the Fleet of the Soviet Union N.G. Kuznetsov", Naval Polytechnic Institute, Department of Radio Electronics
Anatoly I. Korshunov
Dr. Sci., Professor; Military Educational and Scientific Center of the Navy "Naval Academy Named after Admiral of the Fleet of the Soviet Union N.G. Kuznetsov", Naval Polytechnic Institute, Department of Radio Electronics; E-mail: [email protected]
