CC BY
20
УДК 681.3.681.5
Комбинированное решение однородных распределительных задач на основе модифицированного алгоритма Романовского и селективно-перестановочного алгоритма
Р. А. Нейдорф, А. А. Жикулин
(Донской государственный технический университет)
Ставится задача улучшения точностных свойств быстрых приближённых алгоритмов без значительного ухудшения их ресурсных свойств. Предложен подход комбинированного применения модифицированного алгоритма Романовского (МАР) и селективно-перестановочного алгоритма (СПА) для решения однородных распределительных задач (ОРЗ). Подход основывается на улучшении приближённого решения, полученного модифицированным алгоритмом Романовского, путём выборочного обмена заданиями между исполнителями. Осуществлён сравнительный анализ с такими приближёнными алгоритмами, как метод критического пути (МКП) и эволюционно-генетический алгоритм (ЭГА). Проведены вычислительные эксперименты при разных значениях параметров задачи. Комбинированное применение МАР и СПА для решения ОРЗ невысоких размерностей позволяет достигать достаточно высоких ресурсно-точностных показателей по сравнению с другими приближёнными алгоритмами. Однако на более высоких размерностях задач СПА ни разу не улучшил решения, полученные МАР, что, скорее всего, обусловлено высокими точностными характеристиками МАР. Поэтому целесообразность комбинированного использования МАР и СПА для решения ОРЗ высоких размерностей требует дальнейшего исследования.
Ключевые слова: теория расписаний, однородная задача, приближённый метод, улучшение решения, селективный подход, перестановочный алгоритм.
Введение. Однородная распределительная задача (ОРЗ) является одной из основных комбинаторных задач в классической теории расписания (КТР). Она представляет собой упрощённую и абстрактную форму любой распределительной задачи. Однако в своей общей постановке ОРЗ является ЫР-полной задачей с показательным ростом сложности при увеличении размерности.
Методы решения задач КТР делятся на две большие группы: точные и приближённые. Ресурсные возможности точных методов, имеющих экспоненциальную сложность решения, сильно ограничены. Поэтому в последние годы много внимания уделяется приближённым методам, которые даже при невысокой точности приближения к оптимальному результату остаются востребованными благодаря низкой ресурсоёмкости решения РЗ.
Одной из наиболее популярных и перспективных тем исследований в области ОРЗ является повышение точности работы приближённых алгоритмов, привлекательных высокой скоростью решения РЗ.
Постановка задачи. Общая математическая модель постановки и решения ОРЗ будет подробно описана в следующей работе. В данной работе ставится задача улучшения точностных свойств быстрых приближённых алгоритмов без значительного ухудшения их ресурсных свойств. Платформой для такой модификации приближённых методов послужил метод селективноперестановочного подхода [1], разработанный для улучшения решений РЗ, полученных другими алгоритмами. Использование этого метода позволит повысить точностные показатели приближённых решений РЗ и, возможно, получить алгоритм их оптимизации. Наиболее перспективным в этом плане является модифицированный алгоритм Романовского. Поскольку этот алгоритм обладает достаточно высокими ресурсно-точностными характеристиками по сравнению с другими приближёнными алгоритмами.
Селективно-перестановочный алгоритм (СПА) решения ОРЗ. В СПА основным механизмом улучшения приближённого решения РЗ является выборочный обмен заданиями между исполнителями.
В работе [1] для удобства математической обработки решения РЗ вводится понятие «распределительная матрица» (РМ). РМ формируется на основе уже существующей таблицы распределения заданий по исполнителям путём добавления дополнительных условных заданий с нулевыми ресурсами. РМ имеет следующий вид:
>п г12 . ■ гш
Г21 г22 . О -
м = пхт О • • • • ,5 •• . 0
1 о • Гп2 1 - О
где п — количество заданий, т — количество исполнителей, г& — ресурс задания, назначенного >му исполнителю.
Тогда ресурсной характеристикой РМ является матрица-строка
= [^1 ^2 ’ ’ ’ ] '
где /?; — загрузка >го исполнителя. Эта матрица-строка называется ресурсной строкой (РС) распределительной матрицы.
Каноническая форма распределительной матрицы (КРМ) должна удовлетворять следующим условиям.
1. Элементы каждого столбца РМ располагаются в порядке убывания ресурсов назначенных исполнителям заданий.
2. Столбцы РМ располагаются в порядке возрастания их ресурса загрузки .
3. При одинаковых ресурсах загрузки столбцы РМ располагаются в порядке возрастания их ресурсов в первых строках.
4. При одинаковых ресурсах заданий в первых строках столбцы РМ располагаются в порядке возрастания ресурсов заданий вторых строк и т. д.
СПА состоит из предварительного стартового этапа подготовки математической модели РЗ и трёх последовательно повторяющихся функционально ориентированных этапов преобразования и анализа РМ.
0. Стартовый этап состоит в получении таблицы распределения заданий и преобразовании её в исходную РМ, подлежащую оптимизации, и характеризующую её РС.
1. Преобразование РМ к каноническому виду.
II. Постолбцовый относительно РМ и поэлементный относительно столбцов РМ параметрический сравнительный анализ ресурсов заданий исполнителей, наиболее перспективных для улучшающей оптимизируемую оценку перестановки.
III. Принятие и реализация решения:
• либо о перестановке заданий в РМ,
• либо об отсутствии в анализируемом варианте КРМ дальнейших улучшающих перестановок и завершении работы алгоритма улучшения РМ.
Более подробно рассмотрим II основной этап работы алгоритма. Сравнительный анализ осуществляется в соответствии со следующими правилами (Пр.):
Пр. 1. Поэлементный анализ заданий начинается со столбцов загрузки (СЗ), которые имеют наибольшую и наименьшую загрузки. Эти столбцы условно называются СЗ-донор и СЗ-клиент соответственно.
Пр. 2. Для рассматриваемых СЗ выбирается пара заданий, которая удовлетворяет условию
Ъ-Кс>гш-г]с>0> С1)
где — загрузка СЗ-донора, Яс — загрузка СЗ-клиента, ги — ресурс задания СЗ-донора, г]с —
ресурс задания СЗ-клиента.
Если таких пар заданий несколько, то выбирается та пара, которая наиболее эффективно улучшает оценку решения РЗ.
Пр. 3. Если для рассматриваемых СЗ не найдена пара заданий, удовлетворяющих условию (1), то выбирается следующий для рассмотрения СЗ-клиент.
Пр. 4. Если просмотрены все СЗ-клиенты, то СЗ-донор помечается как бесперспективный и выбирается следующий СЗ-донор. И так до тех пор, пока не будут рассмотрены все СЗ-доноры. Сравнительный анализ эффективности алгоритмов решения ОРЗ. С целью изучения эффективности комбинированного решения ОРЗ на основе МАР и СПА осуществлён сравнительный анализ с такими приближёнными алгоритмами, как метод критического пути (МКП) и эволюционно-генетический алгоритм (ЭГА). Проведены вычислительные эксперименты при разных значениях параметров задачи. Такими параметрами являются: п — количество заданий, т — количество исполнителей, [г1;г„] — диапазон генерации ресурсов заданий. В ходе экспериментов были
случайным образом сгенерированы по 100 векторов ресурсов заданий в диапазоне [г1Г г2 \. В качестве эволюционно-генетической модели использовалась модель, описанная в работе [2]. Для анализа точностных характеристик рассматриваемых алгоритмов на малых размерностях ОРЗ использовался процент нахождения оптимальных решений Р0ПТ, а ресурсных — среднее время выполнения алгоритма £ф (в секундах) по 100 опытам (табл. 1).
Таблица 1
Результаты экспериментов на малых размерностях ОРЗ
/77 п Оі'^] МАР МАР и СПА МКП ЭГА
Ропт £ср Ропт £гр Ропт £ср Ропт £гр
2 12 [50, 55] 100 <0.001 100 <0.001 94 <0.001 100 0.171
2 12 [30, 65] 100 <0.001 100 <0.001 36 <0.001 100 0.207
2 14 [50, 55] 100 <0.001 100 <0.001 92 <0.001 100 0.239
2 14 [30, 65] 100 <0.001 100 <0.001 51 <0.001 100 0.196
3 13 [40, 60] 99 <0.001 100 <0.001 0 <0.001 99 0.245
4 12 [50, 55] 100 <0.001 100 <0.001 85 <0.001 100 0.221
4 12 [30, 65] 92 <0.001 99 <0.001 36 <0.001 89 0.264
4 14 [50, 55] 100 <0.001 100 <0.001 0 <0.001 96 0.280
4 14 [30, 35] 99 <0.001 100 <0.001 0 <0.001 70 0.333
По результатам, приведённым в таблице 1, видно, что СПА является достаточно эффективным средством улучшения решений РЗ, поскольку практически во всех случаях улучшал решения, полученные МАР. Также СПА продемонстрировал низкие требования к ресурсам. Благодаря вышеуказанным достоинствам СПА, комбинированное использование его с МАР показало значительно лучшие ресурсно-точностные показатели, чем другие алгоритмы. Поскольку при неблагоприятных условиях совместное применение рассматриваемых алгоритмов позволило получить оптимальные решения в 99 % случаев, тогда как МАР — в 92 % случаев, ЭГА — в 70 % случаев, а МКП ни разу не позволил получить оптимум.
Также проведены эксперименты на более высоких размерностях ОРЗ: m >3, п >31. В качестве показателя, оценивающего точностные характеристики алгоритмов, использовался процент решений Рмиш имеющих минимальную оценку по опыту (табл. 2).
По результатам, приведённым в таблице 2, видно, что СПА ни разу не улучшил оценку решений, полученных МАР. Скорее всего, это обусловлено тем, что МАР во всех экспериментах находил оптимальные решения, поскольку их оценка по минимаксному критерию (ММК) была минимальной по сравнению с решениями, полученными остальными алгоритмами.
Таблица 2
Результаты экспериментов на больших размерностях ОРЗ
m n [Z1'Z2] MAP MAP и СПА МКП ЭГА
Pчин tp Pчин trp Рчин £ср Рчин £ср
3 31 [50, 55] 100 0.023 100 0.023 0 <0.001 57 0.795
3 31 [30, 65] 100 0.001 100 0.001 0 <0.001 93 0.703
3 51 [50, 55] 100 0.018 100 0.018 89 <0.001 100 0.609
3 51 [30, 65] 100 0.002 100 0.002 73 <0.001 81 0.823
4 41 [40, 60] 100 0.092 100 0.092 0 <0.001 31 0.802
5 31 [50, 55] 100 0.010 100 0.010 0 <0.001 26 0.848
5 31 [30, 65] 100 0.001 100 0.001 0 <0.001 37 0.548
5 51 [50, 55] 100 0.087 100 0.089 0 <0.001 1 1.535
5 51 [30, 35] 100 0.002 100 0.002 0 <0.001 0 1.139
Выводы. Комбинированное применение МАР и СПА для решения ОРЗ невысоких размерностей (т <5, п< 51) позволяет достигать достаточно высоких ресурсно-точностных показателей по сравнению с другими приближёнными алгоритмами. Поскольку по результатам проведённых экспериментов совместное использование рассматриваемых алгоритмов позволило получить решения с минимальной оценкой по опыту в 99,9 % случаев, тогда как ЭГА — в 74 % случаев, а МКП — в 31 % случаев. Применение СПА для улучшения решений РЗ малых размерностей в некоторых случаях позволило повысить точность МАР на 7 %. Однако на более высоких размерностях задач СПА ни разу не улучшил решения, полученные МАР, что, скорее всего, обусловлено высокими точностными характеристиками МАР. Поэтому целесообразность комбинированного использования МАР и СПА для решения ОРЗ высоких размерностей требует дальнейшего исследования. Библиографический список
1. Нейдорф, Р. А. Селективно-перестановочный метод решения задач параллельного распределения заданий между исполнителями. Одинарные перестановки / Р. А. Нейдорф // Вестник ДГТУ.— 2011. —№ 8.
2. Будиловский, Д. М. Оптимизация решения задач теории расписаний на основе эволю-ционно-генетической модели распределения заданий: дисс. канд. техн. наук / Д. М. Будиловский. — Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2007.
Материал поступил в редакцию 15.06.2012.
References
1. Nejdorf, R. A. Selektivno-perestanovochny'j metod resheniya zadach parallel'nogo ras-predeleniya zadanij mezhdu ispolnitelyami. Odinarny'e perestanovki / R. A. Nejdorf // Vestnik DGTU. — 2011. — № 8. — In Russian.
2. Budilovskij, D. M. Optimizaciya resheniya zadach teorii raspisanij na osnove e'volyucionno-geneticheskoj modeli raspredeleniya zadanij: diss. kand. texn. nauk / D. M. Budilovskij. — Rostov-na-Donu: Izdatel'skij centr DGTU, 2007. — In Russian.
MULTIPLE-PURPOSE SOLUTION TO HOMOGENEOUS ALLOCATION PROBLEMS BASED ON MODIFIED ROMANOVSKY ALGORITHM AND SELECTIVE-PERMUTATION ALGORITHM
R. A. Neydorf, A. A. Zhikulin
(Don State Technical University)
The problem on improving precision properties of the fast approximate algorithms without sacrifice of their resource properties is set. A multiple-purpose approach to the application of the modified Romanovsky algorithm (MRA) and the selective-permutation method (SPM) for solving homogeneous allocation problems (HAP) is proposed. The approach is based on the approximate solution improvement obtained by the modified Romanovsky algorithm through the selected operation exchange between executors. The comparative analysis with such approximate algorithms as the critical path technique (CPT) and the evolutional genetic algorithm (EGA) is carried out. The computational experiments at different problem parameter values are conducted. The combined application of the MRA and SPM for the modest dimension HAP solution permits to reach rather high resource-precision figures in comparison to other approximate algorithms. However, at the higher problem dimensions, the SPM not even once improved the solutions obtained by the MRA, which most likely, is caused by the MRA high precision properties. That is why the appropriateness of the MRA and SPM application to the high dimension HAP solution invites further investigations. Keywords: scheduling theory, homogeneous problem, approximate method, solution improvement, selective approach, permutation algorithm.
