Комбинированная аналитическая модель динамического состояния объекта авиационной техники при ударе о твердую преграду Текст научной статьи по специальности «Физика»

2007 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №123

Серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники

УДК 629.7069.001.25:531.66

КОМБИНИРОВАННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ ПРИ УДАРЕ О ТВЕРДУЮ ПРЕГРАДУ

В.В. ФИРСАНОВ, В.В. ТИШКОВ

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-08-01005).

Предлагается аналитическая модель расчета динамического состояния объекта авиационной техники продолговатой формы, например, фюзеляжа самолета или космического летательного аппарата, при продольном ударе о твердую преграду. Головная область объекта представляется в виде пластически деформируемой оболочки вращения, нагруженной сосредоточенной силой удара в полюсе, а остальная часть объекта - упругим стержнем с дискретно изменяющейся по его длине жесткостью, учитывающей влияние “приборного наполнения”. Упругая часть решения для стержня строится на основании волновой теории Сен-Венана и преобразовании Лапласа. Проведен расчет перегрузок приборного контейнера, дан анализ влияния пластических деформаций и проведено сравнение с результатами, полученными с помощью регрессионной модели, построенной на основании уникальных экспериментальных данных

1. Постановка задачи

Рассматривается объект авиационной техники (ОАТ) как система, состоящая из конструктивных элементов и аппаратурных блоков, геометрически представляющий собой продолговатое тело, например, фюзеляж самолета, в жизненном цикле которого возможны ситуации, связанные с отклонением условий функционирования от допустимых, называемые далее внештатными ситуациями (ВШС).

Рассматривается такая ВШС, следствием которой стало “лобовое” столкновение ОАТ с массивной твердой преградой, в результате которого возможны разрушения взрывопожароопасных элементов, вызывающих тяжелые последствия. Анализ статистики летных происшествий для самолетов показывает, что 60% ВШС случаются при взлете и посадке, что может привести к падению самолета на взлетно-посадочную полосу или его столкновение с некоторой преградой.

Оценка последствий подобного столкновения для указанных элементов предполагает наличие информации о распределении параметров динамического состояния, например, перегрузок, по длине объекта в различные моменты времени протекания ударного процесса.

Прогнозирование динамического состояния при ударе о твердую преграду с помощью экспериментальных исследований [1] для крупногабаритных ОАТ связано со значительными техническими трудностями и материальными затратами. Поэтому предлагается аналитическая модель, основанная на представлении ОАТ как незакрепленного продолговатого тела, испытывающего продольный удар.

При рассматриваемой ВШС головная область ОАТ при скоростях соударения порядка нескольких десятков м/с претерпевает пластические деформации [2], поэтому для их учета предложена комбинированная модель (рис. 1): головная область ОАТ, находящаяся в пластической области деформирования, моделируется оболочкой вращения, нагруженной сосредоточенной силой удара в полюсе, а оставшаяся часть, находящаяся в упругой области деформирования, стержнем с дискретно изменяющейся по длине жесткостью, продольный удар которого описывается уравнениями волновой теории Сен-Венана [3].

у^ІТпасгтіческая оболочка

о V вращения составной стержень X

с внутренней "начинкой"

. !Г > /

пластин есшя упругая

облаеть облаетъ

Рис. 1. Комбинированная модель ОАТ

2. Стержневая модель

Рассмотрим вначале стержневую часть модели. Как правило, упруго-массовые характеристики конструкции ОАТ непрерывно изменяются по его длине. Однако учет особенностей подобного рода приводит к значительному усложнению моделей. Поэтому стержень с дискретно изменяющейся жесткостью, которая для каждого участка определяется как средневзвешенная по его длине, упрощает решение поставленной задачи. Основные результаты изложены в работе [4] на примере двухсоставного стержня, т.к. обобщение на случай большего количества участков не представляет принципиальных затруднений.

При построении модели принимались следующие допущения: не учитывается “отскок” стержня от преграды после начального контактного взаимодействия; не рассматривается процесс отражения волн при прохождении участков разной жесткости; стержень выполнен из изотропного металлического материала, при этом “внутренняя начинка” приводится к эквивалентной жесткости; рассматривается только прохождение первой волны сжатия.

3. Пластически деформируемая оболочка вращения

Рассмотрим теперь оболочечную часть модели. При решении задачи вводятся следующие допущения: размер головной части в продольном направлении и его масса достаточно малы в сравнении с соответствующими параметрами всего объекта (это позволяет не учитывать инерционные свойства головной части объекта); геометрия головной части такова, что она представляет собой оболочку вращения; конструкционный материал несжимаем (коэффициент Пуассона у=0,5); конструкционный материал пластичный, диаграммы растяжения и сжатия совпадают; справедливы основные гипотезы теории упруго-пластических деформаций [2].

В соответствии с первым допущением, для головной части ОАТ задача решается в статической постановке. Тогда для определения упругой и пластической составляющих решения предлагается использовать безмоментную теорию оболочек (осесимметричный случай) в форме, предложенной В.З. Власовым [5] и удобной для рассмотрения задачи о напряженно-деформированном состоянии (НДС) оболочки, находящейся под действием сосредоточенной нагрузки.

Далее исследуются пластические деформации оболочки вращения, находящейся под действием сжимающей силы, приложенной в полюсе, с использованием теории упруго-пластических деформаций. На основании полученного решения находится продольная сила в поперечном сечении на стыке пластической и упругой областей или головной части и остального объекта. По величине этой силы производится пересчет значений входных параметров стержневой части модели.

Таким образом, рассматривается класс безмоментных оболочек, очерченных по поверхностям вращения, уравнение которых задается в форме

г (х) = Л- хт,

(1)

где 1 и т - постоянные действительные числа, определяющие параметры плоской кривой; прямая Ох образует ось вращения, а г(х) - расстояние рассматриваемой точки оболочки до оси вращения.

Давая в (1) параметрам 1 и т различные положительные значения, будем иметь параболоиды вращения различных порядков, а также оболочки нулевой гауссовой кривизны -цилиндрическую и коническую, т.е. представлением (1) охватывается достаточно большой класс оболочек вращения, описывающих геометрию головных областей современных ОАТ.

Дифференциальные уравнения равновесия оболочки имеют вид

а г т№

—(тМ,)-т'М,= 0, -—2N + М,= 0, (2)

ах 1 + т

где Кх, N9 - нормальные усилия в оболочке (рис. 2).

К уравнениям (2) добавляется уравнение равновесия для части оболочки, расположенной выше горизонтальной плоскости Х=СОПБ1

2р

| Ыхт соб ф—Ь + Рх = 0, (3)

0

где ф - угол наклона касательной к меридиану в точке х=сопб1 к оси вращения Ох.

Решая систему уравнений (2) и (3) с учетом (1), найдем выражения для усилий, разделив которые на толщину оболочки И, найдем соответствующие напряжения

S =--------

x 2pAh

УІЯгМг +

P.

im(i -u)

i

2ph

P.

(4)

Далее из уравнения закона Гука легко определить меридиональную ехи тангенциальную Ее деформации в оболочке

р- ,

' А

Є =

2nEhx<\ A2 u

2 + x2(1“u)

—(a m+x2(1 m")+vAu(u-1)

eq =

P.

2pEhxj A2m2 + x2(l~m)

Afi(m- 1)+A (Am + x 2(1 u))

(5)

Затем используя геометрические уравнения [6] в виде

1 du r" r' 1

----------г W = Єх, — U + W = Єв

Adx A3 x A Ar q

(6)

где и, w- составляющие вектора полного перемещения точки срединной поверхности (рис. 2); А - коэффициент первой квадратичной формы.

Подставляя в уравнение (6) деформации из соотношения (5), после некоторых преобразований первое уравнение из уравнений (6) приводится к виду

ёп а2^2 (1 -т)

дх

■(A2m2 + x2(1-u))

u = Q( x),

(7)

где

Q( x) =

P.

2pEhx

2-m

2vAju{m-1) - - (A2M2 + x2(1-m) - Am (U21 ’ A^ > A2u2 + x2(1^

Неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами, каковым является уравнение (7), интегрируется с помощью системы компьютерной математики Maple 7.0. В результате получим следующее выражение для перемещения u:

(

U =

x

2(1-u)

A2u2 + x

20-u)

P. ■ x

-2-3 u

2pEhAjx2(1-u) (A2u2 + x2(1~u))

-x

x(2x4uu4A4 (v-1) + 2x4uu3A4 (1 -v) + 2x2(1+u)u2A2 (v -1)

(8)

x4uu2A4 - 2x2(1+u)uA2v- x4) dx + C

где С - произвольная постоянная.

Решение (8) существенно зависит от параметра т оболочки и поэтому окончательное выражение для и здесь не приводится. Величину С находим из граничного условия, выражающего отсутствие продольных перемещений на линии стыка оболочки со стержнем. Так как головная часть имеет жёсткость на один-два порядка меньше, чем остальная часть ОАТ, то моделирование стыка между ними в виде жёстко защемленного края является вполне обоснованным. После того, как продольное перемещение и определено, прогиб w находим из второго уравнения из уравнений (6).

1

x

Задача об определении НДС упругой оболочки решалась в напряжениях, поэтому была проведена проверка выполнения двух уравнений неразрывности [6, с. 633] срединной поверхности. В результате было установлено, что для многих типов оболочек они тождественно удовлетворяются; для некоторых типов оболочек они оказываются в большей или меньшей степени нарушенными. Однако такое нарушение допускается в безмоментной теории при определении НДС в зонах, достаточно удаленных от мест быстрого изменения внешней нагрузки, в данном случае сосредоточенной силы Рх.

При увязке упругого и пластического решения выяснилось, что их граничная плоскость находится на достаточном удалении от полюса (х=0). Этот факт подтверждает применимость уравнений безмоментной теории и метода решения в напряжениях.

Рассматривая головную оболочку объекта, как безмоментную оболочку вращения, нагруженную сосредоточенной силой в полюсе и подвергающуюся пластическим деформациям на всю толщину оболочки, для которой будем полагать, что схематизированные диаграммы растяжения конструкционного материала не имеют упрочнения (диаграмма идеального упругопластического тела).

Как известно [2], статические и геометрические уравнения для пластической задачи имеют тот же вид, что и при упругом решении, т.е. вид (11) и (15). Физические уравнения за пределами упругости для рассматриваемой оболочки можно записать в виде

2&г ( \ 2&г , , 2ог , ,

о-о = ~зе(е-е);°в~°о = ~зе(е-е); о-о = ^(е-е), (9)

где О; - величина интенсивности напряжений; е - величина интенсивности деформаций; о0 - среднее напряжение; е0 - средняя линейная деформация.

Величины о;, £;, о0 в уравнениях (9) определяются соотношениями теории пластичности

о (о -°е)2+К - о )2+(о - о )2; (10)

е = ^V (е - е )2+(е -ег )2+(е -е )2; (11)

О0 = (Ог +°в+°Х )/3. (12)

Так как материал оболочки несжимаем, то в инженерных расчетах можно полагать

е = 0. (13)

Так как в безмоментной оболочке вращения радиальное относительное удлинение равно нулю, т.е. ег=0, то из условия несжимаемости (13) следует, что

е=-е (14)

Принимая во внимание, что напряжения в безмоментной оболочке постоянны по ее толщине, уравнения равновесия (2) можно переписать, выразив их в напряжениях

а гг№

— (г°х)- г'°в= а -——2 О + °в= 0. (15)

ах 1 + г

На основании условия несжимаемости (13) первое уравнение из системы (9) даёт

О0 =Ог. (16)

Подставляя это значение среднего нормального напряжения в формулу (12), имеем

О0 =О =(°в+°х )/2 (17)

С учетом формулы (17) оставшиеся неиспользованными физические уравнения из системы (9) приводятся к виду

4о 4о

°е-°х = е; О-Ов=^ех. (18)

3е 3е

Преобразуем уравнения (18), используя значения величин интенсивности напряжений и деформаций. Формула (10) с учетом формулы (17) преобразуется к виду

О = Л (Ох-0е)/2. (19)

Аналогично формула (11) на основании равенства (13) даёт

ег = 2у1ьвх /3. (20)

При отсутствии упрочнения условие Хубера-Мизеса возникновения пластических

деформаций может быть представлено в виде

О = °Т , (21)

где От - предел текучести материала при растяжении.

Внося формулы (20) и (21) в уравнения (18), с учетом равенства (19) физические уравнения приводятся к виду

ое-ох = 2у[3от /3; ох -ое = -2-$Ъот / 3. (22)

Из первого уравнения системы (22) можно найти

ое=ох + 2-Л>от / 3 . (23)

Нетрудно заметить, что с помощью соотношения (23) второе уравнение из системы (22) также тождественно удовлетворяется.

Подставим значение ое из формулы (23) в первое уравнение системы (15). В результате имеем

—х(ГОх)-г Ох =-г — от . (24)

Подставим в последнее уравнение функцию г(х) в форме (1). В результате после преобразований вместо уравнения (24) получим следующее уравнение:

ёох 2^3 -!

~г=—тх от . ах 3

Интегрируя это уравнение, находим

г ( х Л

ох = 2*43 от 1п — + С1 /3, (25)

V хт у

где хт - координата, определяющая границу пластической области головной оболочки и С1 -произвольная постоянная.

Из второго уравнения системы (15) имеем

//

гг

Ое = + / 2 Ох ,

1 + г

или подставляя в это соотношение выражение ох из равенства (25), находим

2л13 я2т2 (1 -т) (, х л

3 Хтг + у2'-т)ГУт

1п — + С1

V ут У

Постоянные С1 и хт определим из граничных условий на параллели, разделяющей упругую и пластическую области головной оболочки

О =оех ■;О1е =0} ¡де х = хТ. (26)

В равенстве (26) и далее всюду индексом “П” отмечены компоненты пластического НДС, а индексом “е” - компоненты упругого НДС, которые находятся по формулам (4), (5) и (8). Удовлетворяя условиям (26), находим формулы для пластических напряжений

I 2>/з х

ах =—М°т1п— 3 хт

с = 2 -т)

* л2т+х2[1~т)

^¡л2т2+х2т(1~м)

2кЛИ

Р.

х

2л/3 . х

А1МУт 1п—

^л2т2+х2{1 2

(27)

3 1 хт 2ккхт

Р

Нетрудно видеть, что с помощью соотношений (27) второе граничное условие из равенств (26) тождественно удовлетворяется.

Постоянную величину хт определим из второго граничного условия (26), используя другую форму представления напряжения Св . С этой целью перепишем выражение (23), подставляя в

него а\ из (25). В результате находим

С =

2>/3

3

с

1+т1п—

кт У

Р 4хт2+х?^

2кЛИ хт

Тогда рассматриваемые граничные условия приводятся к виду

Р.

2кЛИхт

Vл2т2+х2т(1~м) +

л2м(1 -т)

-у/л2 2+х21~м)

2^3

з

(28)

Возведем правую и левую части последнего равенства в квадрат, приведем к общему знаменателю и после некоторых преобразований получаем уравнение

х

2(2-2)

3

р2

-х412+л2т2х2т ---

,2(1-2)

3 л2т2Р2х

= о,

(29)

1 С. ,—2 1 27 2 2 т ^ т о _2 1Г,2_2 т 1 , 2т2_2

16 К Л П ст 8 К П ст 16 К П ст

из которого определяем величину хт.

Решение уравнения (29) можно найти с помощью системы компьютерной математики Мар1е 7,0 при конкретном значении коэффициента 2.

Определим предельное значение силы удара Р/ , при котором пластическая область

деформирования захватывает всю головную оболочку объекта. Для этого перепишем условие (28), положив в нем хт=1Г, откуда определяем

■¡л2 2 +1?-2'

Р1

4^3

кЛЫ~а

/20-т)

(30)

л 2 + 1А

Величины напряжений в предельном состоянии находим по формулам (27), полагая в них по-прежнему хт=1г. Полученные формулы можно упростить, подставив в них значение силы Р/ из соотношения (30). В результате можно найти следующие формулы:

2л/3

с =

( 12..2 . /2(1-2)

3

V л 2 + 1А

2(1-2)

I = 2>/3 л22(1 -2)

3 л22+х2(х~2^т

-ц1п —

1АУ

, х л22 + 1?~м) ^

2 и,

(31)

Далее находим значение силы Рх , приходящее на остальные отсеки ОАТ (рис. 1), полагая по-прежнему хт=1г. Искомую силу найдем из соотношения

¿.л

р И С (г ■ сое р)

в котором С определяется первой из формул (31).

1

[

о

х

Принимая во внимание выражения (1) и формулу для угла касательной с°б ^ = 1/^1 нетрудно найти

(Г • С°8^)|х=

+ Г

И;

2т+іТт)

С учетом последнего равенства имеем

л-т)

РХ _^-^лИ з

12(1-т)

А

(32)

1 т + 1А

т.е. формулы (30) и (32), как и следовало ожидать, совпадают.

Графики напряжений а!х по длине оболочки приведены на рис. 3 для случая 1=1 и следующих трех значениях параметра 1 : 1 = 2 (параболическая оболочка); 1 = 1 (коническая оболочка); 1 = 2 (параболическая оболочка отрицательной гауссовой кривизны).

0.05

х,м

і

- т_і

\

т_ 2

Рис. 3. Графики предельных напряжений

4. Пример расчета

В качестве примера расчета рассмотрим определение перегрузок в головном отсеке ОАТ массой т1=284 кг при его ударе о твердую преграду массой М=6000 кг со скоростью У0=64 м/с. Принимаем следующие исходные данные: -геометрические параметры оболочки: 1=0,27, 1=0,5, 1Г=0,28 м, Ь=0,01 м; - предел текучести материала ат=780 МПа; -геометрические и жесткостные характеристики стержня: (ББ)1=2,84 ГН, (ББ)2=1,26 ГН, 11=0,571, 12=0,431; - скорость распространения волны в материале а=5080 м/с.

Сила удара определяется по формуле

ф=еж»1бП

а

Максимальная перегрузка может быть определена из соотношения Ф/(т^). Подставляя в эту формулу значение Ф, можно найти

„=ЕЖ »5633.

ш1 ga

С помощью формулы (41) вычислим значение

р = ^3,14-0,010'27- 0.2^л/0.27г0.52+-|0.28г<|-"Д 780,10б » 7,4// . х 3 0,2720,5 + 0,282< 5)

Сравнивая значения сил Ф и Рхм, можно установить, что за счет пластических деформаций

произошло уменьшение нагрузки на стержень более, чем в два раза. Полагая, что скорость динамического контактного взаимодействия пропорциональна силе удара, можно сделать вывод, что для стержня скорость У0 также уменьшится примерно в два раза. С учетом этого изменения скоростей по вышеприведенной формуле можно построить изменение максимальных перегрузок по длине контейнера, графики которых приведены на рис.4. На этом рисунке линия 1 соответствует удару двухсоставного стержня о твердую преграду, линия 2 -удару трехступенчатого тела, а маркеры - соответствуют экспериментальным данным [1].

Рис. 4. Результаты расчета и эксперимента

Заключение

1. Построена комбинированная модель для проектировочных расчетов динамического и

напряженно-деформированного состояний ОАТ, представляемых массивным продолговатым упруго-пластическим телом с дискретно изменяющимися по его длине жесткостными характеристиками, при продольном ударе со средними скоростями встречи с твердой

преградой (<100 м/с). Показано удовлетворительное соответствие результатов расчета “приборного контейнера” массой »300 кг с данными, полученными при экспериментальных исследованиях.

2. Аналитическая модель позволяет оценивать влияние формы и пластических деформаций головной области ОАТ на его динамическое и напряженно-деформированное состояния. Расчеты показали, что при средних скоростях соударения (»50^60 м/с) крупногабаритного объекта массой 300 кг возникают значительные перегрузки (порядка 5000^6000). Учет пластических деформаций головной области ОАТ приводит к значительному снижению перегрузки.

3. Предлагаемый расчетный аппарат может быть использован для прогнозирования динамического состояния и оценки безопасности ОАТ в аварийных ситуациях типа “падения” и “столкновения”.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тишков В.В., Фирсанов В.В. Проектный метод расчета вибродинамического состояния объектов авиационной техники для оценки безопасности авиационных комплексов в аварийных ситуациях// Вестник МАИ, 1999. - Т. 6, № 2.

2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести: Учебник для студентов вузов. - М.: Машиностроение, 1968.

3. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. - Киев: Наукова думка, 1976.

4. Тишков В.В., Фирсанов В.В. К вопросу о построении модели продольного удара по составному стержню для исследования безопасности авиационных комплексов в аварийных ситуациях // Вестник МАИ, 2004. - Т. 11, № 2.

5. Власов В.З. Избранные труды: В 3-х т. Т.1: Очерк научной деятельности. Общая теория оболочек: Статьи. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

6. Прочность. Устойчивость. Колебания: В 3-х т.: Справочник; Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. Т.1. -М.: Машиностроение, 1968.

THE ANALYTICAL MODEL OF A DYNAMIC STATE OF AN AERONAUTICAL ENGINEERING OBJECT FOR IMPACT ABOUT A FIRM BARRIER

Firsanov V.V., Tishkov V.V.

The analytical model of calculation of a dynamic state of an aeronautical engineering object of the oblong shape, for example, a fuselage of an airplane or a space flight vehicle is offered, at longitudinal impact about a firm barrier. The head area of object is represented as plastically deformable rotational shell loaded with concentrated impact force in a pole, and other part of object - by an elastic rod with the rigidity discretely changing on its length which are taking into account influence of ‘instrumental filling”. The elastic part of the solution for a rod is under construction on the basis of wave theory of Saint-Venant and a Laplace transformation. Calculation of overloads of the instrumental container is executed, the analysis of influence of plastic deformations is given and comparison with results received with the help regression the models, constructed is executed on the basis of unique experimental data

Сведения об авторах

Фирсанов Валерий Васильевич, 1943 г.р., окончил Ростовкий-на-Дону государственный университет (1965), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Московского авиационного института, автор более 120 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.

Тишков Виктор Васильевич, 1967 г.р., окончил МАИ (1991), кандидат технических наук, доцент Московского авиационного института, автор 20 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.