Комбинаторные свойства систем разноразмерных 0,1-матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №2(24)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.6

КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ РАЗНОРАЗМЕРНЫХ 0,1-МАТРИЦ

Я. Э. Авезова*, В. М. Фомичев*’**

* Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва, Россия ** Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва, Россия

E-mail: avezovayana@gmail.com, fomichev@nm.ru

Исследованы комбинаторные свойства мультипликативной частичной полугруппы, порождённой системой разноразмерных неотрицательных матриц. Понятие примитивности распространено с систем квадратных неотрицательных матриц на системы разноразмерных матриц. Даны оценки экспонента системы разноразмерных неотрицательных матриц.

Ключевые слова: система разноразмерных матриц, частичная полугруппа, примитивная система матриц, экспонент.

Введение

Исследование экспонентов квадратных неотрицательных матриц относится к одному из классических направлений исследований в дискретной математике и криптологии. Важность этого направления в криптологии связана с применением матричнографового подхода к исследованию перемешивающих свойств композиций функций и, в конечном счете, с получением оценок стойкости криптосистем относительно методов последовательного опробования. Второе важное направление приложений — это исследование функций, распространяющих искажения.

В [1] понятие экспонента распространено с матрицы (графа) на систему квадратных неотрицательных матриц (систему графов). Ранее для систем квадратных матриц рассматривался также множественный экспонент [2]. Обзор известных результатов по экспонентам матриц (графов) и систем матриц дан в [3].

В данной работе понятие экспонента распространяется на новый класс алгебраических структур — множество систем неотрицательных разноразмерных (не квадратных) матриц. Таким образом, объект исследования здесь — мультипликативная частичная полугруппа матриц. Прикладное значение расширения объекта исследования определяется использованием в криптографических схемах композиций функций Xп ^ Xm, где n = m и, как правило, X = {0,1}. Например, в DES-алгоритме раундо-вая подстановка построена с использованием отображения расширения, реализующего функцию X32 ^ X48, и системы s-боксов, реализующей функцию X48 ^ X32.

Полученные результаты могут быть использованы как для анализа, так и для построения криптографических систем.

1. Определяющие свойства систем разноразмерных матриц

Пусть М = {Мх,..., Мр} — система разноразмерных 0,1-матриц, то есть матриц над множеством {0,1}, где матрица Мг имеет размеры тг хкг ив общем случае тг = кг, г = 1,...,р. Порядком системы разноразмерных матриц (СРМ), обозначаемым |М|, назовём число р составляющих её матриц.

Рассмотрим СРМ М как алфавит, в котором можно строить слова. Длиной слова называется число символов алфавита, составляющих слово.

Пару матриц (М\, М) назовем разрешённой (допустимой) биграммой (то есть разрешённым словом длины 2) в алфавите М, если кг = т^, г,] Е {1,... ,р}. Для разрешённой пары (Мг ,М]) определено произведение матриц MiMj, в противном случае произведение матриц не определено. Слово Мг1... Мг[ разрешённое (допустимое) тогда и только тогда, когда любая биграмма слова является разрешённой. Разрешённому слову Мг1 ... Мг1 длины I в алфавите М соответствует матрица р(Мг1 ... Мг1) размера тг1 х кц, являющаяся произведением матриц Мг1 ... Мг1.

Обозначим: М * —множество всех слов в алфавите М; 0(М *) —множество всех разрешённых слов в алфавите М; {М) —частичная полугруппа разноразмерных матриц (по умножению), порождённая системой М = {Мх,... , Мр}. Частичная полугруппа {М) состоит из матриц, соответствующих всем разрешённым словам в алфавите М, то есть {М) = р(0(М*)). При умножении двух матриц в полугруппе {М) сначала выполняется умножение этих матриц над множеством целых неотрицательных чисел, после чего все положительные элементы заменяются единицами.

На множестве 0(М*) определена частичная операция конкатенации слов. Конкатенация слов шх и ш2 (записывается как Ш\Ш2 ) является разрешённой, если последний символ слова шх и первый символ слова ш2 образуют разрешённую пару в алфавите М. Конкатенация пустого (то есть не содержащего символов) слова с любым словом является разрешённой. Заметим, что 0(М*) есть полугруппа относительно операции конкатенации и р есть гомоморфизм 0(М*) ^ {М).

Свойства СРМ удобно описывать с использованием композиционных графов.

Определение 1. Композиционным графом системы матриц М (обозначается Г(М)) назовём р-вершинный ориентированный граф, в котором вершина г биективно соответствует матрице Мг и пара (г,]) есть дуга графа Г(М) тогда и только тогда, когда (Mi,Mj) есть разрешённая биграмма в алфавите М, то есть кг = mj, г,] Е {1,...,Р}.

В частности, системе из р квадратных матриц порядка п соответствует полный р-вершинный ориентированный граф.

Далее считаем, что полугруппа {М) не пуста и граф Г(М) не содержит изолированных вершин.

2. Связность СРМ

Классифицируем СРМ по свойству связности композиционных графов.

Определение 2. Если композиционный граф Г(М) имеет одну (более одной) компоненту связности, то соответствующую СРМ М назовём связной (несвязной).

Подсистему М' несвязной СРМ М назовем компонентой связности системы М, если граф Г(М') —максимальный связный подграф графа Г(М) (то есть связный подграф, не являющийся подграфом другого связного подграфа графа Г(М)).

Определение 3. СРМ М назовём сильносвязной, если её композиционный граф Г(М) сильносвязный.

Пример 1. Проиллюстрируем связность на примере СРМ порядка 5.

Пусть М(1) = {М(1),..., М5(1)}, где М(1),..., М5(1) имеют размеры 8 х 9, 9 х 10, 10 х 8, 11 х 12 и 12 х 11 соответственно. Частичная полугруппа (М(1)) не является связной. На рис. 1,а приведён композиционный граф Г(М(1)).

Пусть М(2) = {М-[2),..., М5(2)}, где М-[2),..., М5(2) имеют размеры 8х9, 9х 10, 10х 11, 11 х 12 и 12 х 9 соответственно. Частичная полугруппа (М(2)) является связной, но не сильносвязной. На рис. 1,б приведён композиционный граф Г(М(2)).

Пусть М(3) = {М(3),..., М5(3)}, где М(3),..., М5(3) имеют размеры 7 х 8, 8 х 9, 10 х 8, 9 х 10 и 10 х 7 соответственно. Частичная полугруппа (М(3)) является сильносвязной. На рис. 1,в приведён композиционный граф Г(М(3)).

3 3 3

Рис. 1. Композиционные графы несвязной (а), связной (б) и сильносвязной (в) СРМ

3. Регулярность СРМ

Классифицируем СРМ по свойствам слов полугруппы П(М*).

Если конкатенация юу слов ю и V разрешена, то слово V называется продолжением слова ю. Продолжение слова ю называется нетривиальным, если V — непустое слово.

Например, если юуи — разрешённая конкатенация трёх слов, то V и уи — продолжения слова ю, и — продолжение слов V и юу.

Определение 4. Пусть ю 6 В(М*). Слово ю называется:

— нерегулярным, если длина любого его продолжения ограничена, то есть не превышает некоторой фиксированной числовой границы т;

— регулярным, если для любого натурального числа т найдётся продолжение слова ю, имеющее длину т;

— сильно регулярным, если любое его продолжение допускает дальнейшее нетривиальное продолжение.

Из определения 4 следует:

— множества регулярных и нерегулярных слов не пересекаются;

— сильно регулярные слова являются регулярными.

Определение 5. СРМ М называется:

— нерегулярной, если полугруппа Б(М*) не содержит регулярных слов;

— регулярной, если полугруппа Б(М*) содержит хотя бы одно регулярное слово;

— сильно регулярной, если Б(М*) состоит только из сильно регулярных слов. Теорема 1.

а) СРМ М регулярная тогда и только тогда, когда граф Г(М) циклический. В нерегулярной СРМ длина слов полугруппы (М) не превышает р.

б) СРМ М сильно регулярная тогда и только тогда, когда граф Г(М) не содержит вершин с нулевой полустепенью исхода.

в) Сильносвязная СРМ является сильно регулярной.

Доказательство.

а) В силу определения регулярной СРМ М, в полугруппе ^(М*) имеется регулярное слово ю. Тогда ю допускает продолжение сколь угодно большой длины. Так как алфавит М конечный, то слово ю содержит повторение символов алфавита, то есть граф Г(М) имеет цикл.

Обратно, если граф Г(М) имеет цикл, то соответствующее слово, состоящее из к-кратного повторения цикла, принадлежит полугруппе П(М*), к = 1, 2,..., то есть полугруппа П(М*) содержит регулярное слово.

Отсюда следует также, что нерегулярное слово не содержит повторяющихся символов, следовательно, длина его ограничена порядком р алфавита М.

б) По определению сильно регулярной СРМ М имеем, что любое слово из В(М*) сильно регулярное, то есть допускает дальнейшее продолжение. Это равносильно тому, что полустепень исхода любой вершины графа Г(М) отлична от нулевой.

в) Сильносвязный граф Г(М) не содержит вершин с нулевой полустепенью исхода. Отсюда по теореме 1,б СРМ М — сильно регулярная. ■

Пример 2. Рассмотрим композиционные графы сильно регулярных, регулярных и нерегулярных СРМ на примере СРМ порядка 5.

Пусть М(4) = |М-[4),..., М5(4)}, где м|4),..., М5(4) имеют размеры 2x5, 5x5, 5x5, 6х 6 и 3x6 соответственно. Данная СРМ является сильно регулярной, её композиционный граф представлен на рис. 2, а.

Пусть М(5) = {м|5) ,..., М5(5)}, где М(5\ ..., М5(5) имеют размеры 2 х 5, 5 х 5, 5 х 5,

6 х 7 и 3 х 6 соответственно. Данная СРМ является регулярной (например, М1М2 — регулярное слово), но не сильно регулярной (полустепень исхода вершины 4 равна 0), её композиционный граф представлен на рис. 2,б.

Пусть М(6) = {м16) ,..., М5(6)}, где М1 ,..., М5(6) имеют размеры 2 х 5, 5 х 6, 6 х 7,

7 х 8 и 8 х 3 соответственно. Данная СРМ является нерегулярной, её композиционный граф представлен на рис. 2,в.

а б в

Рис. 2. Композиционные графы сильно регулярной (а), регулярной (б) и нерегулярной (в) СРМ

4. Примитивность СРМ

Данное в [1] определение примитивности системы квадратных неотрицательных матриц порядка n (n-вершинных графов) распространено в [2] на СРМ. Приведём это определение в равносильной формулировке, удобной для дальнейшего изложения.

Система разноразмерных матриц M называется примитивной, если в полугруппе D(M*) найдётся слово w, такое, что p(w) > 0, то есть все элементы матрицы ^(w) положительны. Экспонентом системы матриц МЛ (обозначается exp M) называется наименьшая из длин слов w, таких, что ^(w) > 0. Если такого слова w не существует,

то полагаем р(ю) = то. Отметим, что такое определение экспонента является корректным и для множества несвязных СРМ.

Пусть X — частично упорядоченное или квазиупорядоченное множество, Ь — линейно упорядоченное множество. Функция f : X ^ Ь называется изотонной (антиизотонной) [4] (по другой терминологии — монотонной (антимонотонной)), если для любых х,х' € X из отношения х ^ X следует, что f (х) ^ f (X') (f (х) ^ f (ж')).

Обозначим М0(п х т) множество всех неотрицательных матриц размера п х т. Пусть А, А € М0 (п х т), где А = (а^), А1 = (а^). Положим А ^ А' тогда и только тогда, когда а^ ^ а^ для всех г = 1,... ,п, ] = 1,... ,т . Если при этом существуют такие г и ], что а^ > а^, то запишем А > А'. Бинарное отношение ^ обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности и, следовательно, является отношением частичного порядка.

Обозначим [М0] множество всех СРМ. Пусть М, и € [М0] , где М = {М1,... , Мр}, II = {и1,...,и^} — связные СРМ. Положим и ^ М, если при любом г = 1,... , э найдётся ] € {1,... ,'р}, такое, что и ^ М). Данное бинарное отношение рефлексивно и транзитивно, но не антисимметрично, следовательно, является отношением квазипорядка.

Рассмотрим экспонент как функцию [М0] ^ N.

Утверждение 1. Экспонент является антиизотонной функцией [М0] ^ N.

Доказательство. Пусть и ^ М и А1,... ,Аг € и. Тогда произведение А1 ■ ... х хА4 € (&). Так как и ^ М, то в СРМ М найдутся матрицы В1,... , Б4, такие, что Аг ^ Бг, г = 1,... ,Ь. Тогда А1 ■... ■ Аг ^ В1 ■... ■ Б4. Следовательно, если А1 ■... ■ Аг > 0, то и Б1 ■ ... ■ В4 > 0. Отсюда ехр М ^ ехр и. ■

Следствие 1. Экспонент является антиизотонной функцией М0(п х п) ^ N.

Доказательство. Пусть и и М — системы порядка 1, то есть и = {А}, М = {Б}, где А, Б € М0(п х п). Тогда отношение и ^ М равносильно отношению А ^ Б и ехр М = ехр Б, ехр и = ехр А. Тогда ехр Б ^ ехр А по утверждению 1. ■

Следствие 2. Если и С М, то ехр М ^ ехр и.

Доказательство. Если и С М, то и ^ М. Тогда ехр М ^ ехр и1 по утверждению 1. ■

Замечание 1. Из утверждения 1 и его следствий получаем:

— если СРМ М не примитивна, то любая её подсистема и тоже не примитивна;

— если подсистема и системы М примитивная, то СРМ М тоже примитивная; в частности, СРМ, содержащая квадратную примитивную матрицу, примитивна.

Утверждение 2. Если М1,... , Мг суть все примитивные компоненты связности

несвязной СРМ М, то ехр М = шт{ехр М1,..., ехр Мг}.

Доказательство. Так как СРМ М несвязная, то алфавит М разбивается на непустые блоки М -]_,..., Мг, соответствующие компонентам связности графа Г(М). Это разбиение индуцирует разбиение полугруппы П(М*) на подполугруппы О(М^),... , Д(М*). Следовательно, если наименьшая длина слова из Д(М*), такого, что <р(юг) > 0, равна ехрМг, г = 1,...,г, то кратчайшее слово ю из 0(М*), такое, что р(ю) > 0, совпадает с одним из слов ю1,... ,юг, и длина слова ю равна шт{ехр М1,... , ехр Мг }. ■

Разрешённое слово ю = Мг1 ... Мг1 длины I в алфавите М назовём правильным, если тг1 = кц. Если слово ю правильное, то <р(ю) —квадратная матрица порядка тг1

и определён ехр <р(ю). Обозначим через К(М*) множество всех правильных слов в алфавите М.

Утверждение 3.

а) Разрешённое слово ю = Мг1 ... Мг1 является правильным тогда и только тогда, когда ({]_,..., ц) есть цикл в графе Г(М).

б) Пусть К(М*) = {ю1, ю2,... }, тогда ехр М ^ шт{ехр ю1, ехр ю2,... }.

Доказательство.

а) Путь (г1,...,%1) в графе Г(М) является циклом тогда и только тогда, когда в Г(М) имеется дуга (¿¿,г1), то есть тг1 = кг1. Это равносильно тому, что слово ю правильное.

б) Любая степень матрицы р(юг) принадлежит полугруппе (Л1), г = 1, 2,... Если матрица р(юг) примитивная, то существует ехр р(юг), равный наименьшему натуральному ¿(г), такому, что (^(юг))*(г) > 0. Следовательно, ехр М ^ ¿(г) = ехр юг, г = 1, 2,... Отсюда получаем утверждение. ■

5. Эквивалентность СРМ

СРМ М и и называются эквивалентными (обозначим М « I1), если ехр М = = ехр и.

Утверждение 4. М « и, если и ^ М и М ^ и.

Доказательство. Если и ^ М, то ехр М ^ ехр и по утверждению 1. Если М ^ и, то по утверждению 1 ехр и1 ^ ехр М. Следовательно, ехр и = ехр М. ■

Пусть матрица А € М. Матрица А называется максимальной матрицей системы М, если из отношения А ^ А' следует А = А'.

СРМ М называется сокращённой, если она состоит только из максимальных матриц. Заметим, что любая СРМ может быть приведена к сокращённой СРМ удалением всех немаксимальных матриц.

Утверждение 5. Любая СРМ М эквивалентна своей сокращенной подсистеме.

Доказательство. Рассмотрим СРМ и = М \ V, где V — подмножество всех немаксимальных матриц системы М. По построению и С М, значит, ехр М ^ ехр и по следствию 2 утверждения 1.

С другой стороны, М ^ и в силу того, что СРМ и состоит из всех максимальных матриц системы М. Следовательно, по утверждению 1 ехр и ^ ехр М, то есть выполнено обратное неравенство. Отсюда М ^ и. ■

6. Универсальная нижняя оценка экспонента сильносвязных СРМ

СРМ М = {М1,... , Мр} поставим в соответствие (обозначим это соответствие ф) систему квадратных матриц М' = {М1,... , М^} порядка п, где п = шах{т1,..., тр}. Матрица М' получена из матрицы Мг размера тг х кг дополнением снизу п — тг нулевыми строками размера кг и справа п — кг нулевыми столбцами размера п, г = 1 , . . . , р .

Теорема 2. Если СРМ М сильносвязная, то:

а) шах{к1,..., кр} = п;

б) ф — гомоморфизм со свойством ф((М)) = (М');

в) если матрица А = М1 + ■ ■ ■ + М^ примитивная, то ехр М ^ ехр А.

Доказательство.

а) По определению числа n в СРМ М имеется матрица размера n х k, где k £ {k1,...,kp}. Пусть для определённости это матрица M1. В сильносвязном графе Г(М) имеется дуга (j, 1), где j £ {2,...,p}. Тогда матрица Mj имеет размеры mj х n, следовательно, max{k1,..., kp} ^ n.

Если max{k1,... ,kp} = n' > n, то в СРМ М имеется матрица размера m х n', где m £ {m1,... ,mp}. Пусть для определённости это матрица Mp. В сильносвязном графе Г(М) имеется дуга (p,j), где j £ {1,... ,p — 1}. Тогда матрица Mj имеет размеры n' х kj, отсюда max{m1,... , mp} = n' > n, то есть имеем противоречие с определением числа n. Следовательно, max{k1,... ,kp} = n.

б) Из правил построения матриц M'1,... , Mp и умножения матриц следует, что для разрешённой биграммы (MjMj) выполнено ф(MiMj) = ^(Mj)^(Mj), то есть ф — гомоморфизм полугрупп (M) ^ (Mi').

в) При любом натуральном t матрица A1 есть сумма матриц, соответствующих всем словам длины t в алфавите M', а именно

aA = Е ^(w)).

we(MY

Удалив из суммы все матрицы, соответствующие неразрешённым словам в алфавите Mi, выполним суммирование по словам длины t из полугруппы (M). Тогда

A > Е ^(w)).

we(M)‘n{M)

Если хотя бы одному разрешённому слову длины t соответствует положительная матрица, то A > 0. Вместе с тем матрица A может быть положительной, когда ни одна из слагаемых матриц не положительна. Следовательно, exp Mi ^ exp A. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 424 c.

2. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000. 448 c.

3. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 116-121.

4. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984. 567с.