CC BY
4
Veitali о/ GeoSdeacei, September, 2022, No. 9
Краткое сообщение • Short communication
УДК 548.0 DOI: 10.19110/geov.2022.9.5
Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150
Ю. Л. Войтеховский, Д. Г. Степенщиков
Геологический институт ФИЦ КНЦ РАН, Апатиты woyt@geoksc.apatity.ru, stepen@geoksc.apatity.ru
Краткое сообщение посвящено комбинаторному разнообразию фуллеренов С62-С150, полученному и охарактеризованному точечными группами симметрии с помощью оригинальных компьютерных алгоритмов. Установлено, что 28 допустимых для фуллеренов точечных групп симметрии реализуются уже в диапазоне С20-С140. Предложены критерии внутренней проверки результатов.
Ключевые слова: фуллерен, комбинаторное разнообразие, порядок группы автоморфизмов, точечная группа симметрии.
Combinatorial diversity of C62 to C150 fullerenes
Yu. L. Voytekhovsky, D. G. Stepenshchikov
Geological Institute of FRC KSC RAS, Apatity
We shortly report on the combinatorial variety of C62 to C^0 fullerenes, obtained and characterized by symmetry point groups using original computer algorithms. It is established that all 28 symmetry point groups allowed for fullerenes are already realized in the range C20 to C140. The criteria of internal verification of the results are proposed. Keywords: fullerene, combinatorial diversity, automorphism group order, symmetry point group.
Введение
После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20-С50 и формы с изолированными пентагонами С60-С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые кап-сиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (12 36) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (12 65) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].
Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке
генерирования [2, 3]: 35т1 — С20; 12т2 — С24; 6т2 — С26; 222,43т — С28; тт2, Т7)т2 - С30; 2,32, Зт - С32; т, Зт — С34; 1,42т, 6/ттт — С36; 3, ттт, 5т — С40; 4,23 — С^; 2/т — С48; 1 — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.
Методика и результаты
Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: 6 — С62; 3 — С68; 622 — С72; ml — С92; 235 — C140. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С20 — С140. Из них 6 некристаллографических: 52,10т2,5т, 12т2,235,35т. Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4,422,4/т, 4тт, 4/ттт, гексагональные — 6,6/т, бтт и кубические 432, тЗт.
1 Так как эта т. г с. некристаллографическая, Международный союз кристаллографов допускает для нее разные обозначения.
Для цитирования: Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150 // Вестник геонаук. 2022. 9(333). C. 37-40. DOI: 10.19110/geov.2022.9.5.
For citation: Voytekhovsky Yu. L., Stepenshchikov D. G. Combinatorial diversity of C62 to C150 fullerenes. Vestnik of Geosciences, 2022, 9(333), pp. 3740, doi: 10.19110/geov.2022.9.5.
Таблица 1. Числа фуллеренов С62-С^0 в разрешенных т. г. с.
Table 1. The numbers of C62 to C^0 fullerenes in allowed s. p. g.'s
п. г. а. 1 2 3 4 6 8 10 12 20 20 24 24 24 24 60 120 Всего Sum
т. г. с. 1 2 m 1 3 mm2 2/m 222 4 32 3m 6 3 mmm 42;/; 52 3;;; 6 m2 622 23 10;;;2 5 m 63m 6/mmm 162m ;;; 3 235 35m
n
62 2135 142 80 4 16 4 1 1 2 2385
64 2990 316 118 2 8 4 4 17 4 1 1 3465
66 4134 211 112 18 2 1 4478
68 5714 411 122 5 21 7 28 2 10 1 1 2 2 3 1 1 1 6332
70 7634 300 186 8 14 5 2 8149
72 10304 619 190 3 1 26 7 24 3 1 5 4 1 2 11190
74 13557 414 237 9 18 6 1 1 3 14246
76 18005 800 246 2 14 14 11 45 4 5 3 1 1 19151
78 23197 557 312 2 35 3 3 24109
80 30280 1146 371 5 15 28 16 39 1 12 2 2 2 2 2 1 31924
82 38548 742 380 15 28 5 39718
84 49590 1436 434 9 1 29 4 59 3 6 1 6 9 1 1 1 2 51592
86 62212 976 505 15 36 9 5 3 63761
88 79033 1945 596 10 24 43 16 52 1 8 5 4 1 81738
90 97936 1266 655 3 50 4 1 1 2 99918
92 123141 2412 646 12 20 38 13 80 5 19 2 2 4 4 5 3 1 1 1 126409
94 150939 1603 879 26 42 4 153493
96 187505 3200 972 20 4 28 16 70 9 2 3 3 1 1 2 3 191839
98 227934 2029 952 27 58 13 1 1 2 231017
100 280730 3801 1093 14 40 66 28 114 9 5 2 5 2 2 2 1 285914
102 337808 2542 1228 3 67 6 4 341658
104 412339 4954 1413 29 37 82 23 89 1 24 2 7 7 4 1 1 419013
106 492768 3126 1541 38 48 8 497529
108 596532 5872 1501 26 5 65 29 145 9 10 1 1 3 10 2 3 1 2 604217
110 707441 3846 1874 42 90 14 5 1 4 2 713319
112 850295 7403 2147 41 59 54 28 116 1 8 6 2 1 860161
114 1001569 4684 2079 7 88 9 5 3 1008444
116 1195728 8713 2238 44 49 76 22 169 7 34 2 4 1 10 12 5 2 2 1 1207119
118 1400184 5610 2609 54 84 12 1408553
120 1660007 10787 2921 52 10 139 51 157 3 11 5 8 8 2 2 1 4 1 2 1674171
122 1932981 6765 3008 59 90 21 1 1 3 1942929
124 2279671 12436 3119 59 80 63 30 221 11 10 6 12 2 1 2295721
126 2638922 8067 3729 10 125 11 1 1 2650866
128 3094318 15346 4065 83 78 69 42 178 1 38 2 1 1 3 3 4 4 3114236
130 3566798 9491 4131 79 124 11 1 2 3580637
132 4159762 17505 4164 74 13 148 54 279 15 20 4 7 13 5 4 1 1 2 4182071
134 4771426 11219 4818 77 134 25 10 1 5 4787715
136 5539717 21034 5515 106 108 154 49 226 4 16 11 7 1 1 5566949
138 6325855 13174 5482 16 157 12 2 6344698
140 7310743 24046 5545 98 100 163 74 336 22 46 7 2 2 2 6 6 3 2 1 7341204
142 8316868 15241 6668 106 142 8 8339033
144 9567654 28779 7318 144 20 122 54 269 1 18 2 12 8 1 2 2 1 4 9604411
146 10842497 17769 7050 108 168 31 2 2 4 10867631
148 12428537 32165 7470 137 146 138 53 387 15 8 12 21 3 12469092
150 14029812 20597 8493 24 216 16 7 2 3 4 14059174
Veitai о/ GeoSgieacei, September, 2022, No. 9
Обсуждение
Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.
В работах [5, 8] независимо (и до открытия фулле-ренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h2 + ht + t2, h » t = 0, 1, 2...2 Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 иt = hполучимТ = h2 иТ = 3h2,h = 1,2,3... — две серии фуллеренов с т. г. с. 35 т (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С20, С80 и С60 получены при генерировании ранее. Следующие за ними С180 и С240 выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С140, С260. Фуллерен С140 получен при генерировании в этом исследовании, С260 выходит за изученный диапазон.
Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20-С50 [2], перейти к С60-С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.
Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4-го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4,422,4/т, 4тт, 4/ттт и кубические 432, тЗт. т. г. с.
Невозможность гексагональных т. г. с. 6,6/m, 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-уголь-ников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-уголь-ников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 11, 12, 21 и 22. Построением проверяется, что в подтипах 11 (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4. на втором) и 2Х (n = 1 на первом шаге, 0,2,4... на втором) получаются фуллерены с т. г. с. 12т2 и (п = 2 на первом шаге, 0, 2, 4. на втором) 622, в подтипе 12 — с т. г. с. 6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5. на втором).
2 Здесь Ь и 1 соответствуют координатам конца ребра треугольной грани икосаэдра на гексагональной сетке с углом 60°. Другой конец ребра — в начале координат [1].
Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.
Заключение
Полный перечень фуллеренов диапазона С20-С^0, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G - C — Голдберга - Коксетера, S - W — Стоуна - Уоллеса [13], S - V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.
Авторы благодарят рецензентов за квалифицированные замечания, способствовавшие более строгому изложению результатов.
Литература
1. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. III. Кристаллография икосаэдрических вирусов // Вестник геонаук. 2020. № 4. C. 40-44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
2. Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С20- С60: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2002. 55 с.
3. Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С62-С100: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2003. 50 с.
4. Степенщиков Д. Г. О трансформации фуллеренов // Вестник КНЦ РАН. 2016. № 24. С. 32-37.
5. Caspar D. L. D., KlugA. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1-24.
6. Deza M., Dutour-Sikiric M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6 // Comm. Math. Comput. Chem. 2009. V. 61. P. 589-602.
7. Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995. 392 p.
8. GoldbergM. A class of multi-symmetric polyhedra // Tohoku Math. J. 1937. V. 43. P. 104-108.
9. Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules // Nature. 1986. V. 323. P. 703-706.
10. Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 // Nature. 1987. V. 329. P. 529-531.
11. Kroto H. W., Heath J. R., O'Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162-163.
12.Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen // Math. Ann. 1971. V. 192. S. 279-303.
13. Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Letters. 1986. V. 128. P. 501-503.
14. Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals // J. Chem. Soc. 1997. V. 93. P. 3289-3294.
References
1. Voytekhovsky Yu. L. Iz opyta prepodavaniya. III. Kristallografiya ikosaedricheskikh virusov (From teaching
Sccmínc геаАлуис, сентябрь, 2022, № 9
experience. III. Crystallography of icosahedral viruses). Vestnik of Geosciences, 2020, 4, pp. 40-44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
2. Voytekhovsky Yu. L., Stepenshchikov D. G. Fullereny C20-C60: katalog kombinatornykh tipov i tochechnykh grupp simmetrii (C20 to C60 fullerenes: combinatorial types and symmetry point groups catalogue). Apatity: K & M, 2002, 55 p.
3.Voytekhovsky Yu. L., Stepenshchikov D. G. Fullereny C62-C100: katalog kombinatornykh tipov i tochechnykh grupp simmetrii (C62 to C100 fullerenes: combinatorial types and symmetry point groups catalogue). Apatity: K & M, 2003, 50 pp.
4. Stepenshchikov D. G. O transformatsii fullerenov (On the transformation of fullerenes). Vestnik KSC RAS, 2016, 24, pp. 3237.
5. Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses. Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 1962, v. 27, pp. 1-24.
6. Deza M., Dutour-Sikiric M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6. Comm. Math. Comput. Chem., 2009, v. 61, pp. 589-602.
7. Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995, 392 p.
8. Goldberg M. A class of multi-symmetric polyhedral. Tohoku Math. J., 1937, v. 43, pp. 104-108.
9. Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules. Nature, 1986, v. 323, pp. 703-706.
10. Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70. Nature, 1987, v. 329, pp. 529-531.
11. Kroto H. W., Heath J. R., O'Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene. Nature, 1985, v. 318, pp. 162-163.
12. Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen. Math. Ann., 1971, v. 192, pp. 279-303.
13.Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species. Chem. Phys. Letters, 1986, v. 128, pp. 501-503.
14. Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals. J. Chem. Soc., 1997, v. 93, pp. 3289-3294.
Поступила в редакцию / Received 18.08.2022
Редакторы издательства: О. В. Габова, К. В. Ордин (английский)
Компьютерная верстка: Р. А. Шуктомов
Свид. о рег. средства массовой информации ПИ № ФС77-75435 от 19.04.2019, выданное Роскомнадзором. Отпечатано: 31.10.2022. Формат бумаги 60 х 841/8. Печать RISO. Усл. п. л. 5. Тираж 140. Заказ 1189. Учредитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Федеральный исследовательский центр «Коми научный центр Уральского отделения Российской академии наук» (ФИЦ Коми НЦ УрО РАН). Редакция, издательство, типография: издательско-информационный отдел Института геологии имени академика Н. П. Юшкина Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального исследовательского центра «Коми научный центр Уральского отделения Российской академии наук» (ИГ ФИЦ Коми НЦ УрО РАН).
Адрес: 167982, Республика Коми, Сыктывкар, Первомайская, 54. Тел.: (8212) 24-51-60. Эл. почта: vestnik@geo.komisc.ru На обложке использованы фото А. Соболевой, Ю. Глухова, В. Салдина, К. Романова.
