Комбинаторная лемма для разбиения Лебега-Брауэра куба в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 1

Физико-математические пауки

2008

УДК 519.6

КОМБИНАТОРНАЯ ЛЕММА ДЛЯ РАЗБИЕНИЯ ЛЕБЕГА - БРАУЭРА КУБА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Р. Р. Шагидуллт«

Аннотация

В статье излагается комбинаторная лемма для разбиения куба 3-мерного пространства 3-мерными замкнутыми прямоугольниками, при котором ни одна точка куба не принадлежит более чем 3 + 1 прямоугольнику (разбиение Лебега — Врауэра). Как следствие можно получить некоторый вариант теоремы Врауэра о неподвижной точке, приближенный метод нахождения этой точки, или обобщение игры «гекс» на п игроков. Литературой, посвященной этой игре, и подсказана эта лемма. Выявляются основные идеи, необходимые для обобщения леммы и проведения соответствующих доказательств п

Ключевые слова: комбинаторная лемма, неподвижная точка.

Изложение проведем для трехмерного куба ABCDA1B1C1D1 с ребром единичной длины. Пусть ребро AB направлено по оси х1, AD - то оси х2, AAi - по оси хз. Первый слой прямоугольников разбиения покрывает основание ABCD как

ABCD

проекция третьего слоя совпадает с проекцией первого и т. д.

Пусть две противоположные грани куба, перпендикулярные оси xi, помечены числом 1; две другие перпендикулярные к оси Х2 — числом 2; остальные — числом 3. Пусть множество прямоугольников, покрывающих куб. разбито на три непересекающихся класса, помеченных числами 1. 2. 3.

Лемма 1. При любом разбиении существует лента, состоящая только из прямоугольников одного класса и соединяющая грани куба, помеченные те,м. же числом, что и класс.

Под лентой понимаем последовательность прямоугольников из разбиения куба: Щ, П2,..., Щ , где соседние прямоугольники n¿, ni+1 пересекаются по невырожденному прямоугольнику меньшей размерности, принадлежащему их граням.

Доказательство. Рассмотрим граф G, к вершинам которого отнесем точки пересечения ребер прямоугольников, а к ребрам возникающие на сторонах прямоугольников отрезки, соединяющие вершины.

A

следующее условие. Мы движемся по ребру PE от P к E (рис. 2), если обход вокруг PE, совершаемый против часовой стрелки (если смотреть с конца вектора

PE PE

ющую последовательность номеров примыкающих прямоугольников: 1. 2. 3 или их четную перестановку. Если движение происходит по грани, помеченной i, полагаем, что с внешней стороны куба примыкает область, помеченная тоже числом i. Аналогичное соглашение формулируем для ребер куба.

В

Рис. 1

Первое наблюдение. Движение не может остановиться на внутренней вершине. Ибо, если мы попали в точку Е, то как легко усматривается из рис. 2 путем перебора номеров «кирпича», покрывающего Е, движение может быть однозначно продолжено с соблюдением нашего условия. Вообще при произвольном подходе к точке Е возможны две конфигурации исходящих из Е ребер. Будем ребра представлять векторами с началом в точке Е и выражающимися через единичные вектора ех, е2, е3 координатных осей (рис. 2).

Рассмотрим первую конфигурацию {—ех,ех ,е2} исходящих из Е векторов,

Е

сится к классу х. Пусть области вокруг «подводящего» ребра помечены как на рисунке (любой циклический сдвиг номеров не меняет рассуждения).

Если выходим из точки Е в направлении е2, то получаем обход примыкающих областей в порядке (1,х, 3). Если выходим в направлении —ех, то последовательность номеров классов областей, обходимых против часовой стрелки вокруг соответствующего ребра, есть (1, 2, х). Наконец, направление ех дает соответству-

ющую последовательность (x, 2, 3). Конкретному значению x, таким образом, соответствует одно и только одно направление возможного движения. Случай, когда вместо тройки {—ei, ei, e2} стоит тройка {—ei,ei, — e2}, разбирается аналогично.

Рассмотрим вторую возможную конфигурацию. Она возникает, например, когда приходим в точку E, двигаясь в направлении ei. Исходящие из E вектора, определяющие направления возможного движения, есть {ei,e2, —e3}. При подхо-E

порядке: 1 (как на рис. 2), 2, 3 (вместо 2 на рис. 2). Возможным направлениям выхода из E соответствуют последовательности номеров областей: ei ^ (x, 2, 3); e2 ^ (1, 2, x); —e3 ^ (1,x, 3). Снова заключаем, что движение однозначно про-должимо.

E

кости. Рассмотрение этой ситуации аналогично вышеизложенному. Отметим, что в этом случае можно также воспользоваться индукционным предположением о

x

окрестности рассматриваемой вершины, совпадающие с номером «накрывающего» упомянутые ребра прямоугольника, заменить на предшествующий помер в цикле: 1, 2, 3. '

Второе наблюдение. Тот же перебор возможностей дает, что траектория движе-

E

виутреишою для грани куба.

Поскольку ребер конечное число, наш путь обязательно закончится, при этом в точке D, B или Ai. Если от заканчивается в точке D, то прямоугольники класса 2 соединят грани 2. Если он заканчивается в точке B, то прямоугольники класса 1 соединяют грани 1, если он заканчивается в Ai, грани 3 соединяет лента из прямоугольников класса 3. Лемма доказана. □

Значение леммы проиллюстрируем выводом из нее вариации на тему теоремы Брауэра о существовании неподвижной точки у непрерывного отображения. Пусть дано непрерывное отображение у (x) точек x куба в евклидово пространство, в котором куб находится. При этом считается, что скалярное произведение перемещения у (x)— x точек x поверхности куба на соответствующую внутреннюю нормаль к поверхности положительно.

Произведем покрытие типа, рассмотренного в лемме, куба прямоугольниками, диаметр которых меньше заданного числа ön, n G {1, 2,...}. Полагаем, что lim Sn n ^ то.

Будем считать, что вектор перемещения у (p) — p не параллелен осям координат

xi, x2, x3 в узлах разбиения, изменяя, если необходимо, у (p) произвольно мало

p

знаков +, — то следующему правил у. Если [у (p) — p]i > 0, [у (p) — p]2 > 0 и [у (p) — — p]3 > 0, то приписываем тройку (+, +, +). В этом случае координаты xi,x2 и x3 точки p увеличиваются при отображении у .

Из аналогичных соображений приписываются остальные тройки знаков: (—, —, —), (+, + , —) ит. д. На рис. 3 показаны последовательности знаков у вершин куба.

В дальнейшем, знак "?" означает, что на месте этого знака может быть как так и "

Произведем разбиение прямоугольников на три класса. Прямоугольник включаем в первый класс, если первые знаки вершин графа G на этом прямоугольнике представлены либо только знаком либо только знаком " " . Ко второму классу отнесем прямоугольники, среди первых знаков вершин которых встречаются как

"+", так и но вторые знаки представлены только "+" или только "-". Оставшиеся прямоугольники образуют третий класс. Грани куба классифицируем как в лемме.

Согласно лемме существует лента из прямоугольников одного класса, соединяющая «свои» грани. Предположим, что есть такая лента для первого класса прямоугольников. Легко заметить, что все вершины ленты имеют тройки знаков только вида (+, ?, ?) или только вида (—, ?, ?). Достаточно рассмотреть два соседних прямоугольника ленты. Но это ведет к противоречию, ибо вершины, лежащие на гранях ADA1D1 и CBC1B1 имеют разные первые знаки. Аналогичные рассуждения проводим для ленты, состоящей из прямоугольников второго класса. В итоге приходим к выводу: грани DCD1C1 и ABA1B1 соединяет лента из прямоугольников третьего класса. Для каждого такого прямоугольника, если взять первые или вторые знаки их вершин, получим полный набор: {+, —}. Поскольку у вершин «на пути» от грани ABA1B1 до гран и DCD1C1 обязательно произойдет перемена третьего знака, то найдется прямоугольник, третьи знаки вершин которого дают набор {+, —}.

Итак, мы доказали, что найдутся шесть точек Aln, i = 1,..., 6 (возможно совпадающие), что, во-первых, попарное расстояние между ними меньше ön. Во-вторых,

(<р (An) - An> 0, (v (An+3) - An+3) < 0, i = 1,2,3. (1)

Знак равенства появляется, поскольку мы возвращаемся к исходному, «неисправленному» отображению

Используя условие lim ön = 0 и меняя в случае необходимости нумерацию, получаем, что

lim An = P, i = 1,...,6.

n—

Переходя к пределу в неравенствах (1), получаем

v (р ) = р.

Итак, из наших рассуждений следует известная теорема Брауэра в следующей форме:

Теорема 1. Пусть дано непрерывное отображение v(x) замкнутого куба в евклидово пространство E3, где куб находится. Пусть во внутренних точках x

ез

ез

а <-

в

/

в2

е1

с

А

в

с

а

б

Рис. 4

граней проекция вектора перемещения ф(х) — х на направление внутренней нормали к границе куба в точке х неотрицательна. Тогда в кубе существует неподвижная точка отображения ф.

В книге [1] излагаются классические варианты доказательства теоремы Брауэра.

Закончим статью следующими короткими замечаниями.

1. Проинтерпретируем проведенные в доказательстве леммы рассуждения, чтобы выявить «алгебру», необходимую для перехода к пространствам Еп, п > 3. Анализ показывает, что используемое разбиение Лебега-Брауэра обладает двумя замечательными особенностями.

Рассмотрим конфигурацию проекций прямоугольников, получаемую при сечении перпендикулярном к РЕ в точке Е\ близком к Е (рис. 2, 4, а).

Е

му другому ребру I, выходящему из Е, в окрестности I дает ту же конфигурацию проекций прямоугольников, примыкающих к Е. В общем случае п > 3 это утвер-

п

не зависит ни от выбора вершины, ни от выбора ребра. Для п = 4 конфигурация сечения определяется рис. 2.

Вторая особенность: построим правильный двумерный симплекс (треугольник) АБС (рис. 4, а). Симплекс ориентирован вектором е3, и пусть классы пря-

п > 3

сматриваем соответствующий (п — 1)-мерный симплекс £п-1. Пусть он ориентирован так, что индуцируемый порядок на единственную грань, перпендикулярную к одному из базисных векторов е1 ,...,еп, совпадает с уже выделенным, согласно индукционному предположению, порядком в Еп-1. По определению положим, что так определенная ориентация и соответствующая нумерация определяют движение в направлении е&, оде е& определяется условием перпендикулярности к одной из граней симплекса Еп-1. И теперь главное: группа вращений симплекса £п-1 однозначно определяет маркировку всех сечений для ребер, выходящих из рассматриваемой вершины Е. Так, например, сечение, перпендикулярное к е1 вблизи Е (для п = 3) имеет маркировку, указанную на рис. 4, б, то есть получается вращением симплекса АБС на 120°.

После установления этих двух свойств разбиения Лебега-Брауэра доказательство леммы не составляет труда и в общем случае пространства любой размерно-

2. Лемма может быть полезной не только в исследовании неподвижных точек

(п = 2)

тельству леммы, можно получить следующий результат: если перемещение точек

границы, вызываемое отображением меняет через шаг h по границе знак проекции на нормаль и при этом в вершинах квадрата (для всех граней) знак неположителен, то существует прямоугольник разбиения диаметра не превосходящего 4h, при движении по границе которого вектор перемещения представлен направлениями из любого квадранта фиксированной декартовой системы координат. Этот результат может быть использован при исследовании периодических структур в механике сплошной среды.

Summary

R.R. Shagidullin. Combinatorial Lemma for Lebesgue Brouwer Partition of Cube 011 Euclidean Space.

The purpose of this article is to present a new combinatorial lemma that can be used in fixed point theorem, for example, to prove Brouwer theorem. Partition of a three-dimensional cube used by Lebesgue and Brouwer in dimension theory is taken into consideration. Explanation is given for generalization of the lemma on Euclidean n-space, n > 3.

Key words: combinatorial lemma, fixed point theorem.

Литература

1. Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: Изд-во МЦНМО, 2004. 352 с.

Поступила в редакцию

26.10.07

Переработанный вариант

17.01.08

Шагидуллин Ростем Рифгатович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. E-mail: Rustem.ShagidullinQksu.ru