CC BY
9
Украшський державний лкотехшчний унiверситет
УДК 634. 0377. 2 Асист О.В. Боратинський - УкрДЛТУ
КОЛИВАННЯ НЕСУЧИХ КАНАТ1В П1ДВ1СНИХ Л1СОТРАНСПОРТНИХ СИСТЕМ
Наведено результати дослщження коливань несучих канат1в пщвюних систем. Виконано грaфiчний aнaлiз отриманих залежностей, сформульовано рекомендаци для вибору основних експлуатацшних пaрaметрiв пiдвiсних люотранспортних систем.
Assist. O. W. Boratynskyy - USUFWT Oscillation of bearing ropes of the suspended forest transportation systems
The results of the researches of bearing ropes oscillation of the suspended systems are presented. The graphic analysis of the received dependences is executed; the recommendations for the choice of basic operating parameters of the suspended forest transportation systems are formulated.
Шдшст канатш системи здобули визнання в ушх крашах свгту, як найбшьш прогресивний вид первинного транспортування деревини, при ос-военш прських лшв. Ефектившсть роботи таких установок, в основному, визначаеться мщшстю та довгов1чн1стю несучих канат1в, як найбшьш дорогого елементу. Дослщженням канатних установок та ïx окремих елеменпв присвячеш роботи [1-6], в яких при розрахунку несучого канату враховува-лися тшьки статичш навантаження.
Для визначення характеру змши напружень в канат та створення методики розрахунку з умови довгов1чносл необхщно розглянути коливання канату. При шдшманш вантажу i рус каретки систему, аналопчну несучому канату, можна розглядати, як консервативну з iмпульсною дiею сил [7]. Результати дослщжень коливальних процесiв в дискретних i дискретно-непе-рервних системах з лшшною та квaзiлiнiйною математичними моделями наведено в роботах [8, 9].
Однак, для конкретних умов експлуатаци, необхщно розглянути вщ-повщт розрaxунковi схеми, скориставшись наведеною методикою. Для виве-дення диференщального рiвняння поперечних коливань канату, розглянемо розрахункову схему на рис. 1.
Рис. 1. Розрахункова схема для виведення рiвняння коливання канату
Позначимо через д силу, вщнесену до одинищ довжини канату. Тодi на елемент канату аЬ будуть дiяти сили qdS i в точках а i Ь натяги Т0 i Т вщпо-вiдно.
Застосуемо до даного елементу другий закон Ньютона
mdSс = Т - Т0 + qdS, (1)
або, роздшивши на dS, отримаемо
дТ
та
дS
+ д.
(2)
При рус канату, який ми вважаемо щеальною однорiдною i нерозтяж-ною ниткою, положення i швидюсть кожно! його точки, а також натяг Т зале-жать не тшьки вiд дугово! координати S, але й вiд часу г. Тому, якщо г - радь ус-вектор деяко! точки, що знаходиться на рухомому канат^ а 3 i с - швидюсть i прискорення ще! точки, тодi будемо мати:
Т = Т (, г); г = г (S, г );3 = , г ) = - ;с = дЛ = Ц у ' дг дг дг2
(3)
Диференцiальне рiвняння (2) е основним рiвнянням динамiки нитки у векторнiй формь Проектуючи його на осi нерухомих декартових координат, отримаемо
т-
д 2 х
д
с
т
т-
дг2 дг2
д 2 г
дх
дS дS
Т
V дS у
л
+ дх
Т дУ.
дS
V
+ ду
У
д
дг2 дS
Т—
дS
+ дг
(4)
2. Лiсоексплуатацiя
65
УкраТнський державмий лiсотехнiчний умiверситет
До цих рiвнянь необхiдно приеднати рiвняння зв'язку
гдх v"дS
\2
+
' ду_ дS
\2
+
дг
а?
\2
1.
(5)
Диференцiюючи це рiвняння за часом г, отримаемо:
дх д
дS дг
дх дS
+
ду д ( ду
дS
дS дг
л дг д +
У
дS дг
дг дS
0.
або змiнюючи порядок диференщювання
дх д (дхду д (ду
дS дS
дг
у
дS дS
дг
дг д
+
у
дS дS
дг vдг у
= 0
Величини, що стоять в дужках, рiвнi вiдповiдним проекцiям швидкос-т 3, тобто
3 =дх 3 =дУ 3 =дг
1Ту —-,17у —-, (7/ —-.
х дг у дг г дг
або у векторнш формi т— = 0 .
дS
Тому остання рiвнiсть бере такою
дх д3х ду д3у дг д3
(6)
+
+ ■
= 0.
(7)
дS дS дS дS дS дS Диференцiальнi рiвняння руху нитки (4) повинш бути проiнтегрованi з врахуванням зв'язюв (5) i (7), а також граничних i початкових умов. Якщо кiнцi канату АВ закршлеш, то вiдраховуючи дугову координату вщ кiнця А, граничнi умови можна записати в наступному виглядг
Ха (0, г )=а^,уА (0, г )=Ьу, гА (0, г )=е, хв (I, г ) = а2,Ув (I, г ) = Ьг; 1в (, г )= С2;
де: I - довжина нитки; ак,Ьк,ек - постшт числа (к = 1,2 - координати точок закршлення А i В).
При дослщженш коливань канату вщповщно до загально! теори малих
ди ди
коливань [7, 9, 10], перемщення и i похщш —,— вважаються величинами
дх дг
першого порядку малостi.
Тодi, довжину дшянки нитки dS, можна представити як
dS
1 +
'ди^ 2
дх
dх.
(8)
\ил у
або нехтуючи квадратом похщно!
ди
Vдх у
порiвняно з одиницею
dS = dх = dS0
Складемо тепер диференцiйнi рiвняння руху нитки, прийнявши, що зовнiшнi сили piBHi нулю, а коливання нитки проходять в однш площинi, при цьому перемщення точок нитки перпендикулярнi ос х. 1з цього виходить,
що
д 2 x
dtг
0, а отже першi два рiвняння системи (4) наберуть вигляду
m
Звiдси отримаемо:
дх
dS
= cosa =
д дS г T ^ 1 дх/ =0
д 2u =д T дu 1 V дS J
дН 2 =дs^
1
(9)
2
+ tg а
1 +
^ 2
(10)
dS
Перше рiвняння системи (9) можна записати -
dT_
~dS
0.
Поставивши у друге рiвняння системи (9) значення T0 = const, отримаемо диференщальне рiвняння вiльних поперечних коливань канату
д 2u
2 д 2u
(11)
д^ дS2
де a - коефщент, що мае розмiрнiсть швидкостi i визначаеться з рiвняння, [5]
a = л То. (12)
Рiвняння (11) мае вiдповiдати двом початковим i двом граничним умовам. Початковi умови мають такий вигляд:
при
t = 0, u = f (х), — = F (х), (0 < х < l). дt
(13)
Перше з цих рiвнянь визначае форму, а друге характер розподшу швидкостi точок канату в початковий момент часу, форми f (х), F (х) задаш [10].
Так для несучого канату мобшьно! канатно! установки, на основi статичного розрахунку [6] встановлено, що
f (х )= дх(1 - х) +Qх(1 - х)
2H cos а Hl
де H = T cosa.
Граничш умови
u (0, t ) = 0; u (l, t )= 0, (14)
i показують, що перемщення точок закршлення канату в будь-який момент часу рiвнi нулю.
1
При необхщносп врахувати податливiсть опор, встановлюють закон змши перемiщення и i вносять його у граничш умови. Закон змши перемь щення и з врахуванням податливост опор можна вивести на основi дослщ-жень проф. М.Г. Адамовського [6].
Для розв'язування рiвняння (11) використаемо метод Фур'е [11, 12], згiдно з яким розв'язок шукаеться у формi двох функцш
и(х, г )=х (х )т (г), (15)
iз яких перша залежить тiльки вiд х, а друга - вщ г. Отримаемо:
д2и а2хтд2и а2тх
—2 =-Т т,—Т = —Т х . (16)
дх2 Ох2 дг2 аг2
Внесемо цi вирази для похщних в рiвняння (11), тодi
Х£Т = аг°^Х_т, (17)
аг ах
або
1 d2T 1 d2X
— (18)
a2T(() dt2 X (x) dx2 '
Така pÍBHÍCTb можлива, якщо обидва вiдношення представляють пос-тiйне число. Позначимо його через X , тодi pÍBHÍCTb (18) набере такого вигляду
1 d 2T 1 d 2 X = —X. (19)
a 2T dt2 X dx2
Звщки:
d 2T dt2
+ a 2X2T = 0, (20)
^ + X2X = 0. (21)
dx2
Загальний розв'язок piвняння (21) можна записати в наступному виг-
лядi
X(x) = Q cos Xx + C2 sin Xx. (22)
Скористаемося першою граничною умовою (14) i piвнiстю (15), тодi
u (0, t ) = X (0)T (t )= 0.
При будь-якому t ця piвнiсть можлива тiльки при X(0)= 0, отже з (22) знайдемо, що С1 = 0, а
X (x) = sin Xx. (23)
На основi друго! гранично! умови i залежност (15) отримаемо
sin Xl = 0. Це piвняння мае безлiч коpенiв
лк =П, (к = 1,2,3....).
(24)
Внесемо значення ЛК в рiвняння (22). Тодi його загальний розв'язок буде мати вигляд
ТК = аК соб
пак
г + ЬК б1п
. пак
г
(25)
I I
де аК, ЬК - довiльнi постшт.
Враховуючи значення ЛК з (24), отримаемо один з частинних розв'яз-кiв рiвняння (11)
и
пк
к
(х, г ) = Б1П-
I
X
аК соб-
пак
Т
г + ЬК б1п——— г
пак л
Т у
(26)
Тому що рiвняння (11) лiнiйне, загальний розв'язок буде складатися з частинних i запишеться у виглядi
и(х, г )= X б1п—
к=1 I
пкх ( пак , . пак л аК соб—:— г + Ьк б1п-г
к
V
I I
Продиференцiювавши рiвняння (27) за г, отримаемо
пак
ди ™ пак . пкхг -= X-Б1П-
дг к=1 I I
аК Б1П •
I
-г + ЬК соб
пак
г
I у
(27)
(28)
Скориставшись початковими умовами (26) i (27) при г = 0, i замшивши правi частини вiдповiдно на/(х) i ^(х) отримаемо
. пкх
/(х)= Xак Б1П—;^(х)= X—— Ь
пак, . пкх
к
Б1П-
(29)
к=1 I к=1 I I
Помножимо перше рiвняння на б1п ппх /1 i проiнтегруемо його вiд 0 до I
] / (х )б1п
0
ппх , ™ к . пкх . ппх -ах = X аК ] Б1П-Б1П-
I к=1 0 I I
ах.
(30)
Зпдно з формулою ортогональних тригонометричних функцiй, можна записати
0, к ф п
к . 7ткх . 7пх , ] Б1П-Б1П-ах =
0
I
I
I 2'
к = п
(31)
Скориставшись рiвняннями (30) i (31), отримаемо
а
2
. пкх
к
= — | / (х )б1п-ах; ЬК =-1 ^ (х)
. пкх
I
I
Б1П-
I
ах
(32)
0 1 пак 0
Знаючи натяг канату Т0, його погонну масу т i довжину I, а також по-чатковi умови (13), за формулою (12) знаходимо параметр а, шсля чого з рiв-нянь (32) обчислюемо коефiцiенти аК i ЬК, i вiдповiдно встановлюемо закон поперечних коливань будь-яко! точки М канату (27). Кожний член ряду це к-а гармошка, або стояча хвиля.
Амплiтуда коливань
Частота коливань
A
к
ак + ьк
а
к
пак
~Т
(33)
(34)
Основна частота а, буде при к =1 , тобто
а =
(35)
па = п То
/ / \ т
Наведена методика дае змогу отримати частоти i при бшьш високих гармонiках. Дослiдження характеру змши амплiтуди та частоти коливання канапв дасть змогу вибрати оптимальнi режими експлуатацй та уникнути явища резонансу.
В) Г)
Рис. 2. Графки змши натягу та прогишв несучого канату при вльних коливаннях: а) Т=/(О) при Q=16 кН; б) и=/(О) при Q=16 кН; в) Т=/(О) при
0=32 кН; а) и=/(О) при 0=32 кН
Для прикладу, виконаемо графiчний аналiз залежност (27), рис. 2, при наступних даних: канат ГОСТ 2688; 0 = 16кН, 32кН; / = 200м, 300м; /// = 1/20. Графжи побудовано для гармошк к = 1; 2; 3 при х = 0.25/; 0.5/; 0.75/. 1н-шi даш необхщт для розрахунку прийнято для установки ЛЛ-26 [2].
Аналiз отриманих аналiтичних залежностей i графiкiв показав, що частоти вшьних коливань несучих канапв значно перевищують частоти збуджу-ючого зусилля, яке визначаеться умовами роботи установки [4-6]. Тобто, для таких систем, вщсутня можливють виникнення резонансу. Це дае змогу реко-мендувати для пiдвiсних лiсотранспортних установок приймати швидюсть ру-ху вантажно! каретки до 7 м/с, а на шдшманш вантажу - до 3 м/с, що дасть змогу шдвищити !х продуктивнiсть зберiгши безпечнi умови експлуатацй.
Лггература
1. Качурин В.К. Теория висячих систем. - М.-Л.: Гостехиздат, 1962. - 224 с.
2. Дукельский А.И. Подвесные канатные дороги и кабельные краны. - М.-Л.: Машиностроение, 1966. - 484 с.
3. Белая Н.М., Прохоренко А.Г. Канатные лесотранспортные установки. - М.: Машиностроение, 1964. - 299 с.
4. Беркман М.Б. и др. Подвесные канатные дороги. - М.: Машиностроение, 1984. - 263 с.
5. Мартинщв М.П. Розрахунок основних елеменпв пщвюних канатних люотран-спортних установок. - К.: Ясмина, 1996. - 175 с.
6. Адамовський М.Г., Мартинщв М.П., Бадера Й.П. Пщвюш канатт люотран-спортш системи. - К.: 1ЗМН, 1997. - 156 с.
7. Савин Г.Н., Горошко О.А. Динамика нити переменной длины. - Киев: АН УССР, 1962. - 332 с.
8. Самойленко А.М., Перестюк Н.П. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием// Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1990. - 236 с.
9. Гащук П., Зорш Л. Лшшш моделi дискретно-неперервних мехашчних систем. -Львiв: Украшсью технологи, 1999. - 372 с.
10. Тисовський Л.О., Мартинщв М.П. Про визначення кшетично'1 енерги каната mдвiсноi люотранспортно! установки// Наук. вiсник УкрДЛТУ: Зб. наук.-техн. праць. - Львiв: УкрДЛТУ. - 2002, вип. 12.2. - С. 136-140.
11. Бутенин Н.В., Лупц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики, т.1, II. -М.: Наука, 1970. - 236 с.
12. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. - М.: Наука, 1971. - 346 с.
