CC BY
13
УДК 656.257-83:625.45
А. И. Липчанский
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ДИАГНОСТИРУЕМОСТИ ДЛЯ ГРАФОВЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
АППАРАТУРЫ
Рассмотрены вопросы вычисления количественных показателей диагностируемости для графовых моделей объектов электронно-вычислительной аппаратуры в процессе автоматизированного проектирования.
ВВЕДЕНИЕ
Методы технической диагностики получили широкое применение при разработке современной электронно-вычислительной аппаратуры (ЭВА) [1]. Однако, на протяжении последних лет развитие методов диагностики отставало от интенсивно прогрессирующей технологии микроминиатюризации элементной базы ЭВА. Преодоление имеющегося отставания возможно лишь на основе ускоренного внедрения компьютерных методов автоматизированного проектирования ЭВА и средств диагностирования как составной части технологических процессов создания ЭВА. Наиболее целесообразным является нисходящее проектирование ЭВА, начиная со структурного уровня и заканчивая конструкторско-технологическим уровнем. При этом процесс проектирования диагностического обеспечения должен быть неразрывно связан со всеми уровнями автоматизированного проектирования электронной аппаратуры [2]. В связи с этим вычисление показателей диагностируемости проектируемого устройства на структурном уровне на основе графовых моделей является актуальной задачей.
тируемости каждого устройства структуры, которые необходимо задать при расчете диагностируемости. Диагностируемость определим на основе двух количественных показателей - управляемости и наблюдаемости узлов графа. Управляемость каждого узла графа будем оценивать количественным критерием Бу, вычисленным как цена достижимости узла от активных контрольных точек; наблюдаемость - как цена контр достижимости Ку для каждого узла от пассивных контрольных точек графа.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Пусть задан орграф С(У, Е) структуры с т активными и п пассивными контрольными точками. Число внутренних узлов графа, непосредственно не связанных с системой диагностирования путями единичной длины равно:
К = VI - (т + п).
Считаем, что для каждого узла графа задано численное значение диагностируемости П^ в виде безразмерной нормированной величины
0 < Вг < 1, = 1, VI.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Целью данной работы является определение количественных оценок диагностируемости (на основе управляемости и наблюдаемости) для графовых моделей структурного уровня ЭВА в процессе автоматизированного проектирования. В этом случае возникает возможность показатели надежности, например, коэффициент готовности и др., связать функциональной зависимостью с количественными оценками диаг-ностируемости. Количественные оценки будем вычислять на основе достижимости и контрдостижимости [3] узлов моделирующего структурного графа. Исходными данными для определения общей диагностируемос-ти структуры являются величины собственной диагнос-
Каждой дуге графа /¿у, инцидентной узлу Vу и входящей в данный узел, поставим в соответствие вес дуу,
1 +
который вычисляется как дгу = —, где ру полустепень
Р+
захода (число всех входящих дуг) в узел Vу от всех других узлов Vi графа г = 1, |У|. Величина дгу имеет смысл вероятности существования дуги д^у, поэтому для дгу должно соблюдаться условие нормировки:
X дгу = 1.
Значение р+ вычисляется по матрице инциденций А узлов и дуг графа путем суммирования
+ Е -
Р+ = £ V = 1. / = 1.1Я
положительных единиц для каждой строки матрицы. Аналогично поставим в соответствие каждой дуге /.у
вес г.у = Р, где р-. - полустепени исхода (число всех Р{
выходящих дуг) из узла и.. Величина р. также вычисляется по матрице инциденций путем суммирования отрицательных единиц. т. е.
\Е\ _
Р-г = £ агк. ^ = -1, У = 1 V.
к = 1
Используя введенные выше веса для дуг графа. составим взвешенную матрицу инциденций орграфа А' размерностью VI х . каждый элемент которой равен:
а'г] = Яг]. если V. является конечным узлом дуги а'.у = -г.]. если V. является начальным узлом дуги /у; а'ц = 0. если узел V. не инцидентен дуге /у.
На рисунке 1 показан граф структуры ЭВА. а в таблице 1 соответствующая данному графу. взвешенная матрица А' инциденций узлов и дуг.
Для активных контрольных точек цена достижимости равна 1( ^ = 1). так как все узлы первого слоя достижимы от базового узла Vo путями длины 1. Аналогично контрдостижимость узлов последнего слоя равна 1 (Я8 = 1). так как эти узлы являются пассивными контрольными точками и также связанны с узлом Vo единичными путями.
Для внутренних К узлов графа цена достижимости может быть определена как следующая сумма
VI _
^ = £ 5ягрг. (У = 1, к). (1)
. = 1
100
где - цена достижимости ¿-го узла графа; Оу - собственная диагностируемость устройства. соответствующего .-му узлу графа.
С учетом цены достижимости 5у для каждого узла структуры ЭВА можно определить структурную диаг-ностируемость узла как произведение.
О* = О1Я1. (. = ). (2)
Для приведенного на рис. 1 примера структурного графа ЭВА получим систему линейных уравнений. решая которую можно определить цену достижимости каждого узла графа
1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 1. 2005
Таблица 1 - Взвешенная матрица А' инциденций узлов и дуг
1 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1
1 1/3 0 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 0 0 1/3 0 0 1
2 1/2 1 0 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 1/5 1/5 0 1 1/5 0 1/5 1/5 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 1 0 0
5 0 1/3 1 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 0 1/2 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 0 0
8 0 0 1/3 0 0 0 0 0 1/3 0 0 0 1/3 0 0 1 0
5 2 = 1 ( 51П2
53 = Б1П1;
54 = 1 ( ЗДН ^3);
55 = 1 ( 52П2 ^3П3+56П6);
56 = 1 (53П3- н Б7П7);
II 1 (53П3- 1-^4);
5 8 = 1 ( 55П5 н^П + Б7П7).
(3)
Вычислив значения Б2 ^ в соответствии с системой управлений (3), затем определяем структурную * *
диагностируемость П + для каждого узла графа по уравнению (2).
Для оценки общей диагностируемости всего устройства первоначально найдем среднюю диагнос-тируемость каждого пути на графе между активными и пассивными контрольными точками
П1 =
1
1П?"'"1
, (I = 1, 2,..., Ь), (4)
где Ь - общее число путей; V - число узлов на К-м пути; "1, если узел принадлежит 1-му пути;
[0, в противном случае.
Общая диагностируемость устройства П(О) равна взвешенному среднему значению диагностируемости путей структурного графа
Таблица 2 - Сводная таблица значений Пг, Б г, П*
V 1 2 3 4 5 6 7 8
П 0,8 0,75 0,8 0,75 0,8 0,75 0,8 0,75
Бг 1 0,72 0,8 0,72 0,53 0,556 0,59 0,438
* П* 0,8 0,54 0,64 0,54 0,424 0,417 0,472 0,329
По результатам расчетов табл. 2 можно определить диагностируемость каждого пути на графе и затем общую диагностируемоть устройства. Например, для пути с вершинами 1, 3, 6, 8 диагностируемость равна
П
1
1368
1
1
1
1 + _1_ _ _ _
4 0, 8^0, 64^ 0, 424 ^ 0,329
0, 48.
Расчет общей диагностируемости по приведенной выше методике определяется особенностями структурного графа - длиной каждого пути и общим их количеством. При наличии в графе сильно связной компоненты и стягивании ее вершин в узел Уу конденсации диагностируемость такого узла Пу(у^) будем вычислять как среднее арифметическое диагностируемостей всех вершин конденсации
У ) = П I П ^ ^
(6)
! = 1
где п - число вершин исходного графа О, стянутых в
узел V
Вычисление диагностируемости для каждого узла графа можно также осуществить на основе цены контрдостижимости узла, которая определяется следующим образом
IV!
КУ = I К^гуПг,
! = 1
(7)
П (О) =
1
(5)
1 Ь 1 Ь1 П
г = 1 Пг
Рассмотрим в качестве примера расчет диагнос-тируемости устройства, представленного структурным графом на рис. 1. Пусть заданы следующие значения исходной диагностируемости для узлов графа:
П1 = П3 = П5 = П7 = 0,8; П2 = П4 = П6, П8 = 0,75.
Достижимости каждого узла подсчитываем в соответствии с уравнениями (1). Аналогично структурная диагностируемость определяется по уравнению (2). Результаты расчетов представим в виде таблицы 2.
где Кг - цена контр достижимости г-го узла; Пг - собственная диагностируемость узла; Ггу - вес дуги, вычисленный с использованием полустепеней исхода.
Структурная диагностируемость узла с учетом уравнения определяется как
Пг = П1Ку, (г = 1, VI).
(8)
Для выбранной пары контрольных точек (одна активная и одна пассивная) общая диагностируемость структуры будет совпадать при вычислении ее по структурным диагностируемостям уравнений (2) или (8).
Рассмотрим теперь случай, когда имеется определенное множество (больше двух) контрольных точек. При этом целесообразно рассматривать матрицы управляемости и наблюдаемости диагностируемого
устройства. Элементом матрицы У управляемости яв-
*
ляется структурная диагностируемость узла графа О.у. вычисленная относительно каждой из т активных контрольных точек. Очевидно. что размерность такой матрицы будет т ■ к. где к = VI - (т + п) - число внутренних узлов графа:
По значению элементов данной вектор-строки У2 можно сделать заключение о необходимости модернизации структурной схемы устройства. например. увеличение числа активных контрольных точек. если
структурная диагностируемость внутреннего узла
*
меньше допустимого предела О диагностируемости
У=
Оц О12 ... О
* *
О21 О„ ... О
1к
22
2к
От1 О т 2 . О
тк
(9)
Данная матрица характеризует управляемость любого внутреннего узла относительно каждой активной контрольной точки. причем суммируя элементы матрицы по строкам или столбцам. можно получить обобщенные характеристики для каждого узла. Например. получим вектор-столбец У1 следующим образом:
У1 =
к
г *
I О1 у
У = 1 к
- *
I О2у
у = 1
к
. *
I О
у = 1
ту
(10)
Каждый элемент вектор-столбца У1 характеризует «ценность» соответствующей активной контрольной точки. т. е. ее способность диагностировать внутренние узлы графа.
Имея такую информацию. можно осуществлять целенаправленный выбор определенной совокупности контрольных точек по критерию
к
*
шт(шах) £ О.у при (. = 1, 2,..., т). (11)
у = 1
Аналогично. суммируя элементы каждого столбца. получим вектор-строку У2. которая характеризует структурную диагностируемоть внутреннего узла графа от всей совокупности контрольных точек
У2 =
£ °*1' £ О*2
О
.к
.=1
.=1
.=1
(12)
£ О* < О
.=1
* *
.у
(13)
Для обобщенной характеристики управляемости всего устройства. представленного структурным графом. целесообразно использовать аддитивный критерий
1 т к
Уср тк £ £ ^У.
. = 1 у = 1
(14)
который характеризует среднюю структурную диагнос-тируемость внутреннего узла графа при выбранных контрольных точках.
Аналогично матрице управляемости. составим матрицу наблюдаемости У структурного графа
У=
О11 О12 . О1 п О21 О22 . О2п
Ок1 Ок2 . Окп
(15)
размерность которой будет к ■ п. где п - число пассивных контрольных точек.
Из данной матрицы можно получить соотношения. аналогичные (10)-(14) для характеристики пассивных контрольных точек и общей наблюдаемости структуры.
Для оценки взаимной (корреляционной) диагнос-тируемости всего множества активных и пассивных контрольных точек введем матрицу к. которую получим как результат произведения матриц У и Н
К = У ■ Н =
а11 а12 . а1п
а21 а22 . а2п
ат1 ат2 . атп
(16)
где каждый элемент полученной матрицы а.у (. = 1, 2,..., т; у = 1, 2,..., п) характеризует значение диагностируемости между .-й активной и у-й пассивной контрольными точками. Фактически по матрице К можно определить «нагруженность» контрольных точек относительно друг друга.
Каждый элемент а.у матрицы к характеризует прохождение тестовых сигналов через некоторую сово-
102
1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 1. 2005
*
*
А. В. Неласая : МЕТОДЫ ЭКСПОНЕНЦИРОВАНИЯ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ
купность путей между .-й активной и у-й пассивной контрольными точками. Поэтому по матрице К можно осуществлять выбор контрольных точек при заданной структуре устройства. Из данной матрицы также можно получить обобщенную оценку диагностируемости для выбранных контрольных точек.
Do6 = — У У <
i = 1 j = 1
(17)
Отличие оценки диагностируемости по формуле (17) от (4) заключается в том. что Ооб учитывает как управляемость отдельного узла системы. так и его наблюдаемость. Поэтому такая оценка является более целесообразной для использования в системах диагностирования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решение поставленной задачи на структурном уровне на графовых моделях предусматривает использование оценок диагностируемости для двух предыдущих уровней (функционально-логического и схемотехническо-
го). Показатели диагностируемое™ для данных уровней могут быть получены на основе известных методов определения управляемости и наблюдаемости с учетом собственной диагностируемости отдельных логических элементов и взаимосвязей между ними.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Кривуля Г. Ф. Компьютерная диагностика сложных систем // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. - Харьков, 3, 4(2)/ 1996. - С. 24-29.
2. Кривуля Г. Ф. Автоматизированное проектирование диагностического обеспечения ЭВА // Арифметика, принципы организации, диагностика и формализованное проектирование вычислительных структур и устройств: Учебное пособие для вузов. - Киев: Вища школа, 1989. - С. 171-229.
3. Кристофидес Н. Теория графов. - М., Мир, 1978. -432 с.
Надшшла 11.10.04 Шсля доробки 30.04.05
Розглян-ymi питання обчислення тлътсних показнитв д1агностування для графових моделей o6'eKmie електрон-но-обчислювалъниих приладiв в прoцесi автоматизованого проектування.
The issues of computation of quantitative diagnosability factors for graph models of computing hardware objects under process of computer aided design are considered.
УДК 681.3.06
А. В. Неласая
МЕТОДЫ ЭКСПОНЕНЦИРОВАНИЯ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ
В статье рассматриваются методы экспоненцирова-ния точки эллиптической кривой, в частности методы с фиксированной точкой. Предлагается параллельный 2 -арный р-кратный метод, обеспечивающий лучшие скоростные характеристики по сравнению с существующими методами.
ВВЕДЕНИЕ
Повсеместное внедрение систем электронного документооборота. в том числе в государственные и коммерческие структуры. кроме обеспечения секретности передаваемых сообщений требует также обеспечения возможности подтверждения их подлинности. Средством предоставления такого сервиса является цифровая подпись. реализуемая криптоалгоритмами с открытым ключом. Современные методы двухключевой криптографии основаны на трудности решения определенных математических задач. В основе И8А-схемы лежит проблема факторизации целых чисел. Криптостойкость
системы Эль-Гамаля базируется на трудности задачи нахождения дискретного логарифма в конечном поле. В основе протоколов на эллиптических кривых лежит большая вычислительная сложность задачи дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой. Причем на сегодняшний день последние обеспечивают равную криптостойкость со схемами RSA и Эль-Гамаля при длине ключа меньшей в 6,4 раза. И хотя операции над точками кривой выполняются медленнее, чем модульное возведение в степень, в целом крип-топротоколы на эллиптических кривых оказываются более быстрыми. Их высокая эффективность обусловила принятие ряда стандартов цифровой подписи на эллиптических кривых, в частности [1, 2, 3].
В системах, основанных на задаче дискретного логарифмирования в конечном поле, основной криптографической операцией является модульное возведение в степень. В системах, основанных на эллиптических кривых, основной криптографической операцией является скалярное умножение базовой точки
