CC BY
38
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СТЕПЕНИ СТРУКТУРИРОВАННОСТИ ВОДЫ
© Епанчинцева О.М.*
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности,
г. Кемерово
Исследованы фрактальные свойства талой и обыкновенной воды с использованием метода модулей максимумов вейвлет-преобразования. Проведена количественная оценка степени структурированности воды.
Ключевые слова вода, вейвлет анализ, метод модулей максимумов вейвлет-преобразования, скейлинговый спектр, размерности Реньи.
Установлено, что многие естественные системы обладают мультифрак-тальной структурой.
Фрактальные объекты обладают самоподобными свойствами и демонстрируют наличие разнообразных сингулярностей (сильной изрезанности формы). Отдельной, важной областью применения фракталов является анализ временных рядов: последовательностей измерения физических величин, упорядоченных по времени. Как правило, информация о поведении сложных систем получается в виде экспериментальных данных. Фрактальные временные ряды возникают, в частности, при измерениях различных естественных процессов: солнечной активности, уровня разливов рек, шумов электронных приборов, геофизической и геомагнитной активности, физиологических характеристик организма человека и т.д.
В настоящее время существует повышенный интерес к изучению структуры воды. Так как живое функционирует в воде, то последней оставляли роль лабильной смазки. В последние десятилетия такое представление начинает меняться. Накапливается все больше фактов о значительном, если не равноправном, вкладе воды в формирование, стабилизацию и целесообразную изменчивость структуры биомолекул. Это вызывает повышенный интерес к изучению структуры воды. Можно отметить, что современная наука практически не обладает никакими аналитическими средствами в своем арсенале для определения структуры жидких тел, в отличие от твердых тел. Можно отметить, что структура минерала может быть изучена при помощи электронной микроскопии, что не применимо для изучения структуры воды.
Многочисленные исследования указывают на то, что питьевая вода и ее структура в близком или далеком будущем будет занимать центральное место как в научных основах медицины и естественных методов лечения, так и в развитии подлинно водной медицины, в которую включены различного
* Доцент кафедры Автоматизации производственных процессов и автоматизированных систем управления, кандидат биологических наук, доцент.
вида обработки воды. Для понимания особенностей структуры питьевой воды необходимо иметь более простые и информативные методики, чем рент-генострукгурный анализ.
Цель данной работы - исследование фрактальных свойств воды, на основе мультифрактального анализа, имеющего набор статистических параметров, которые могут быть использованы для количественного описания фрактальных структур. Исследование мультифрактальных свойства воды проводилось с использованием метода метода модулей максимумов вейв-лет-преобразования (ММВП), который основан на непрерывном вейвлет-преобразовании.
Главной характеристикой фрактального множества является его размерность. Однако стандартная процедура определения фрактальной размерности не позволяет обнаруживать различия между однородными и неоднородными (мультифрактальными) объектами. Для мультифрактальных объектов распределение точек множества внутри объекта неоднородно. Причина неоднородности - разные вероятности заполнения геометрически одинаковых элементов фрактала, или в общем случае несоответствие вероятностей заполнения геометрическим размерам соответствующих областей. Такие неоднородные фрактальные объекты в литературе называются мультифракталами, где вместо детерминированного способа построения в алгоритм их создания включается некоторый элемент случайности (как это бывает, например, во многих процессах диффузионного роста кластеров, электрическом пробое и т.д. Мультифракталы - неоднородные фрактальные объекты, для полного описания которых, в отличие от регулярных фракталов, недостаточно введения всего лишь одной величины, его фрактальной размерности Д а необходим целый спектр таких размерностей, число которых может быть бесконечным.
Наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми величиной Д мультифракталы обладают и некоторыми статистическими свойствами.
В начале 90-х годов в работах Мьюзи, Бакри и Арнеодо был предложен метод «максимумов модулей вейвлет-преобразования» (ММВП), имеющий ряд существенных преимуществ: анализ широкого класса сингулярно стей -не только самих сигналов, но и их производных, меньшая погрешность вычисления скейлинговых характеристик и т.д. Техника ММВП применяется в исследованиях структуры неоднородных процессов различной природы. Данный метод является популярной техникой для изучения особенностей сложного скейлинга в нестационарных и неоднородных процессах. Метод ММВП часто интерпретируют как обобщение классических алгоритмов покрытия множеств сферами, кубиками и т.п. с той лишь разницей, что вместо этих элементов покрытия используются вейвлеты. Существует мнение, что в настоящее время метод ММВП является, возможно, наиболее мощным инструментом статистического описания неоднородных процессов [1].
Алгоритм ММВП предполагает исследование нерегулярного поведения функции f(t) в два этапа. На первом этапе осуществляется вейвлет-преобра-зование по формуле
(i А Л
W(a,, = J" 7^) ^ [~Jdt = i f ^) ^ (t) dt, (!)
где ц (t) - вейвлет-образующая функция, из которой с помощью переносов (b - параметр сдвига) и масштабных преобразований (а - параметр масштабирования) строится базис вейвлетов, по которому и раскладывается сигнал f(t), W(a, b) - коэффициенты (амплитуда) вейвлет преобразования. В формуле (1) символом * обозначена процедура комплексного сопряжения.
Интегральное преобразование (1) называют непрерывным, если параметры масштаба a и сдвига b, в ходе обработки сигнала, принимают любые действительные значения. Оно избыточно по затратам времени на вычисления, но зато позволяет добиться наибольшей детализации при анализе сигналов. Оно ограничено лишь принципом неопределенности. Можно отметить, что W(a0, b) характеризует временную зависимость при фиксированном значении a0, тогда как зависимости W(a, b0) можно поставить в соответствие частотную зависимость при фиксированном значении b0.
Выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временной и в частотной области, поэтому иногда с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.
Наиболее важная информация содержится в «скелетоне» или линиях локальных экстремумов поверхности коэффициентов, поиск которых проводится на каждом масштабе a.
Выделением «скелетона» заканчивается первый шаг алгоритма ММВП. Теоретически, анализ выделенных линий локальных экстремумов или локальных максимумов модулей вейвлет-преобразования позволяет вычислять гельдеровские экспоненты и анализировать сингулярности функции ft). Однако такой подход является неточным - при увеличении масштаба сказывается влияние соседних нерегулярностей, что приводит к различным ошибкам. В теории мультифракталов предпочитают проводить расчеты на основе частичных функций Zq(a), позволяющих получать более надежные оценки вычисляемых характеристик. Поэтому второй шаг метода ММВП состоит в построении частичных функций по формуле
(a) = £\W (a, b)\q (2)
b,(a)
В данном случае суммируются максимальные значения |W(a, b)| вдоль каждой линии на масштабах, меньших заданного значения, значение q выбирается в диапазоне (-n, n), где n - целое число.
При малых а, частичная функция Z демонстрирует степенную зависимость Zq(a) ~ arq), количественно характеризующейся скейлинговой фунци-ей (экспонентой) - r(q), которая определяется как угол линий регрессии к зависимостям log2Z от log2a, для данного значения q. r(q) показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек. Вариация степеней q при построении частичных функций позволяет получить линейную зависимость r(q), для монофрактальных объектов (Н = dr/dq = const) и нелинейную зависимость r(q) = qh - D(h) с большим числом гельдеровских экспонент h(q) = drl dq = const в случае мультифракталов. Частичные функции Zq(a) при q < 0 характеризуют особенности скейлинга для малых флук-туаций, а при q > 0 - для больших[1].
Анализ нерегулярных функций, так же, как и анализ фрактальных мер, осуществляется в терминах спектра сингулярностей. Однако при рассмотрении функциональных зависимостей (нерегулярных сигналов) проводится смена используемых обозначений. Вместо спектраf(a) рассматривается аналогичная функция D(h): экспонента Гёльдера по смыслу соответствует a, a D(h0) представляет собой размерность подмножества анализируемых данных, которое характеризуется локальной экспонентой h0. Монофрактальные процессы характеризуются одним значением размерности, а мультифрак-тальные - целым их набором, а в общем случае - непрерывным спектром таких размерностей, называемых обобщенными фрактальными размерностями. Функция r(q) позволяет определить обобщенные фрактальные размерности Dq. Обобщенные размерности Dq, называемые также энтропиями Реньи, определяются соотношениями:
N
Dq = ух _ q In I pq при q * 1
N " (3)
Dq = _ ЫI Pi Ы Pi при q =1
i=i
Функция r(q) связана непосредственно с обобщенными фрактальными размерностями Dq выражением:
D, = '{"X_1 (4)
Параметры Dq дает возможность определить степень однородности и упорядоченности исследуемой системы. Параметр однородности можно охарактеризовать вероятностями pt заполнения геометрически одинаковых участков рассматриваемой структуры. При q ^ ж основной вклад в обобщенную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц nt и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероят-
ностью заполнения p. Наоборот, при q ^ -^основной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями p.
Производная функции r(q) равна локальной фрактальной размерности а:
a(q) = dr/ dq
Для монофракталов все указанные значения размерностей совпадают (а = Dq = const), и r(q) имеет вид прямой, а для мультифракталов зависимость r(q) оказывается нелинейной. Следовательно, по виду функции r(q) можно отличить монофрактал от мультифрактала.
В работе проведено исследование мультифрактальных свойств воды при помощи мультифрактального анализа существующим методом - использовался метод модулей максимумов вейвлет-преобразования (wavelet transform modulus maxima - (WTMM)). Этот метод часто называют мультифрак-тальным формализмом, подразумевая под этим термином подход, в рамках которого спектр сингулярностей fa) рассматривается как преобразование Лежандра спектра r(q). Cуществует глубокая аналогия между мультифрак-тальным формализмом и статистической термодинамикой. Величина r(q) играет роль свободной энергии, а величина q-роль обратной температуры. Роль энергии играет величина показателя Гельдера h, а роль энтропии-спектр сингулярностей fa).
Ряд строгих математических результатов, относящихся к мультифрак-тальному формализму, был получен в рамках теории динамических систем.
Наряду с функциями Dq и r(q) используют и так называемый спектр сингулярностей fa), представляющий собой размерности неких однородных фрактальных подмножеств исходного множества, которые дают наибольший вклад в моменты распределения при заданных q. Взаимосвязь между основными величинами, рассматриваемыми в рамках алгоритма ММВП, определяется преобразованием Лежандра:
a(q) = dr / dq f(a) = aq - r(q) (5)
Показано, что изменения структуры воды можно увидеть при исследовании динамических сигналов [4-7]. Для исследования динамических характеристик сформирован канал, который состоял из термопреобразователя сопротивления ТСП, измерителя регулятора ТРМ1А компании «Овен». Используя вейвлет преобразование, нестационарный случайный сигнал анализировался разложением по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа (материнского вейвлета) путем сжатия (растяжения) и сдвигов. В качестве базисной функции использовалась вейвлет-функция Морле, обеспечивающий минимальное значение частотно-временного разрешения. При больших масштабах не учитывается незначительное изменение в анализи-
руемых данных. Поэтому при построении линий локальных экстремумов задавался минимальный порог, для того, чтобы выявить незначительные изменения сигнала.
Масштабно временной скелет описываемых сигналов представлен на рис. 1.
а) Ъ)
Временной сдвиг, Ь
Временной стоит, Ъ
Рис. 1. Точки скелета локальных максимумов
На рис. 1 представлены скелетоны исследованных динамических сигналов для талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды при ~ -30 С° (рис. 1а) и для водопроводной воды, взятой из крана (рис. 1Ь).
Из рис. 1 видно, что происходит перераспределение локальных максимумов в сигнале. Измерения проводились по одному каналу, с одним и тем же термометром сопротивления и вторичным прибором. Погрешность канала не менялась.
На рис. 2 представлен результат расчета скейлинговых экспонент исследуемых сигналов т(д) для талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды при ~ -30 С° (рис. 2а) и для водопроводной воды, взятой из под крана (рис. 2Ь).
Из рис. 2 видно, что зависимости скейлинговых экспонент т(д) являются нелинейными, что характерно для мультифрактальных структур.
У талой воды (рис. 2а) происходит ослабление мультифракталь-ных свойств.
Характеристики Бд несут некоторую количественную информацию о термодинамических условиях формирования изучаемых структур. Большим значениям Бд соответствуют более неравновесные условия формирования структур.
Большие значения Бд соответствуют большим значениям энтропии. По изменению этих характеристик можно получать дополнительную информацию о темпах протекания процессов структурообразования, смене механизмов формирования структур и другом.
В связи с этим величина Бд может применяться в качестве эффективного средства при распознавании структур материалов, не различимых или слаборазличимых при использовании традиционных количественных методов [5].
<Я>
-16
Рис. 2. Скейлинговые экспоненты исследуемых сигналов
Показатель Ад отражает степень упорядоченности и нарушения симметрии для общей конфигурации исследуемой структуры в целом. Увеличение Ад (по модулю) для исследуемой серии структур показывает, что в структурах становится больше периодической составляющей и в них возрастает степень нарушения симметрии, например, для дендритных структур - более выраженный характер ветвления; для зеренных - появление дополнительных групп зерен со своими размерами и ориентировкой. Показатель отражает степень упорядоченности и нарушения симметрии для макроконфигурации исследуемой структуры [9].
Г>ч
4
5 -3 -1 2.5 4.5
Рис. 3. Спектры размерностей Реньи
Были определены размерности Dq для талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды при ~ -30 С° (рис. За) и для водопроводной воды, взятой из крана (рис. ЗЬ).
На рис. 3 представлен спектр полученных размерностей Реньи D(q).
Из рис. 3 видно, что зависимости Dq для талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды при —30 С° меньше, чем для просто воды, особенно при q < 1.
Так как величина Dq применяетсяся в качестве эффективного средства при распознавании структур материалов[9], то из рис. 3 можно сделать вывод, что структура обыкновенной воды и талой воды разная.
Также были определены размерности:
- D1 - информационная размерность, характеризующая скорость роста количества информации. Получаем D1, дифференцируя соотношение (4) по q. Имеем:
% = ^ + (Я-1) ^+а(я) (6)
и полагая в (5) q = 1, получаем, что а(1) = D1. Таким образом,
А =а(1 ) = / («(1)) (7)
- D2 - корреляционная размерность, характеризующая вероятность найти в одной и той же ячейке покрытия две точки множества;
- D200 - экстремальное значение Dq для водных систем (в данном случае q = 200);
- Дq - эффективные количественные характеристики упорядоченности.
-К - параметр меры беспорядка и разреженности фрактального пространства.
Некоторые мультифрактальные параметры для водных систем приведены в табл. 1.
Таблица 1
Мультифрактальные параметры для водных систем
Вода £>1 П2 П200 Дq К
из крана 1.26 2.0929 0.7939 ~0.5 1.8
талая 0.92 1.6563 0.81 ~0.1 0.67
Увеличение Дq (по модулю) для исследуемой серии структур показывает, что в структурах становится больше периодической составляющей и в них возрастает степень нарушения симметрии. Так как из данных таблицы 1 видно, что Дq для талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды при —30 С° много меньше, чем Дq для водопроводной воды,
поэтому кластеры талой воды должны иметь другую упорядоченность и симметрию, чем кластеры воды из водопроводного крана.
Структурированность талой воды будем оценивать по показателю упорядоченности и симметрии Ад, приведенными в табл. 1. Таким образом, структурированность талой воды полученной после замораживания водопроводной воды при —30 С°, изменяется приблизительно в 5 раз по сравнению с водопроводной водой.
Согласно гипотезе С.В. Зенина [10], вода представляет иерархию правильных объемных структур с основным структурным элементом воды -кластером из 57 молекул, образованный слиянием четырёх додекаэдров. Они имеют общие грани, а их центры образуют правильный тетраэдр. Из данных, подтверждающих мультифрактальность водных систем, а также подтверждающих изменение частоты колебаний кластеров воды [2, 3] можно сделать предположение о возможности изрезанной формы водного кластера. Так как при изменении упорядоченности и симметрии молекул воды не может сохранятся правильная форма кластера.
Таким образом, метод максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования дает возможность не только качественно оценить мультиф-рактальные свойства динамических сигналов, характеризующих состояние водных систем, но и количественно определить структурированность воды.
Список литературы:
1. Павлов А.Н., Анищенко В.С. Мультифрактальный анализ сигналов на основе вейвлет-преобразования // Известия Саратовского университета. -2007. - Т. 7, сер. Физика, вып. 1.
2. Епанчинцева О.М. Исследование структурных изменений питьевой воды // Актуальные вопросы современной науки. - 2014. - № 38. - С. 7-17.
3. Епанчинцева О.М.Фрактальные свойства талой воды // Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований. - 2014. -№ 11. - С. 20-25.
4. Епанчинцева О.М. Использование вейвлет-анализа для исследования сигналов при динамических измерениях // XXVI Международная научная конференция - ММТТ26. - Нижний Новгород, 2013. - С. 54-56.
5. Епанчинцева О.М. Исследование сигналов при динамических измерениях температуры // XXV Международная научная конференция -ММТТ25. - Волгоград, 2012. - С. 78-96.
6. Епанчинцева О.М. Применение вейвлет анализа для исследования динамических сигналов // I Международная научно-практическая конференция «Инновации в современном мире». - М., 2012. - С. 79-94.
7. Епанчинцева О.М. Использование вейвлет анализа для исследования сигналов при динамических измерениях // XXVI Международная научная конференция - ММТТ26. - Нижний Новгород, 2013. - С. 54-56.
8. Епанчинцева О.М. Исследование фрактальных свойств воды // XXVIII Международная научная конференция - ММТТ28. - М., 2015. - С. 21-23.
9. Витязь П.А., Хейфец МЛ., Сенють В.Т., Колмаков А.Г., Антипов В.И., Виноградов Л.В. Многоуровневый системный физико-химический, муль-тифрактальный и вейвлет анализ изображений структур наноматериалов и их свойств // Вестник Полоцкого государственного университета. - Серия С. -С. 14-25.
10. Зенин С.В., Тяглов Б.В. Гидрофобная модель структуры ассоциатов молекул воды // Ж. Физ. химии. - 1994. - Т. 68, № 4. - С. 636-641.
