Колебания вязкой трехслойной жидкости в неподвижном баке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38

БОТ: 10.18698/2308-6033-2019-7-1895

Колебания вязкой трехслойной жидкости в неподвижном баке

© Вин Ко Ко, А.Н. Темнов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Исследованы колебания трехслойной вязкой жидкости, приведена постановка задачи о свободных колебаниях вязкой жидкости, определены собственные частоты и коэффициенты затухания колебаний вязкой трехслойной жидкости в сосуде цилиндрической формы с использованием метода пограничного слоя и механического аналога. Колебания трехслойной вязкой жидкости рассмотрены как совместные колебания двух парциальных гидродинамических систем, одна из которых соответствует колебаниям верхней и средней жидкостей, а другая — колебаниям средней и нижней жидкостей. Определены коэффициенты вязкого сопротивления в парциальных гидродинамических системах двухслойной вязкой жидкости. С использованием механического аналога колебаний трехслойной жидкости выведено характеристическое уравнение для определения собственных частот исследуемой гидродинамической системы. Приведены расчетные зависимости собственных частот и коэффициентов затухания колебаний поверхностей раздела жидкостей от высоты среднего слоя и плотности верхней жидкости. Выполнен сравнительный анализ теоретических расчетов с результатами, полученными другими авторами, и с данными экспериментальных исследований. Приведены результаты экспериментальных исследований колебаний трехслойной жидкости в неподвижном цилиндрическом баке.

Ключевые слова: трехслойная вязкая жидкость, собственные частоты, механический аналог, коэффициент затухания, твердое тело

Введение. В машиностроении широко используют конструкции, в которых имеются объемы слоистой жидкости, например топливные баки объектов авиационной и ракетно-космической техники, резервуары для транспортировки жидкостей, а также для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, водонапорные башни и т. п. Неоднородная жидкость, заполняющая полости, значительно влияет на движение всей системы, особенно если масса жидкости гораздо больше массы сухой конструкции. В этих случаях движение жидкости может существенно изменить движение всей конструкции [1-6].

К настоящему времени отсутствуют теоретические и экспериментальные результаты о динамике слоистой жидкости, на поверхностях разделов которой имеются волны стационарной амплитуды. Дефицит исследований в данном направлении объясняется как сложностью возникающих математических проблем, так и трудностями постановки эксперимента, поскольку необходимо обеспечить возбуждение стоячих волн стационарной амплитуды в слоистой жидкости. Целью настоящей работы являются теоретическое и экспериментальное определение ос-

X) ¿0

¿1 \ ^УУУ/Л 1//////ХЪА / // / ///\ А

хГ2

х////// Х^УУ*2/

02 у

Рис. 1. Общий вид осесимметричного сосуда произвольной формы с вязкой трехслойной жидкостью

новных динамических характеристик свободных колебаний трехслойной вязкой жидкости, заполняющей круглый неподвижный цилиндрический бак, и сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими исследователями [7-11].

Постановка задачи для трехслойной вязкой жидкости. Рассмотрим малые волновые движения вязкой несжимаемой жидкости, которая состоит из трех слоев несмешивающихся жидкостей, имеющих соответственно

Рис. 1. Общий вид осесимметричного ПЛОТНОСТЬ р0, р1? р2, кинемати-

сосуда произвольной формы с вязкой ческую ВЯЗКОСТЬ У0, VI, V2 И трехслойной жидкостью

полностью заполняющих неподвижный осесимметричный сосуд произвольной формы. Введем неподвижные системы координат ,1 = 0,1, 2 (рис. 1), и обозначим через Г1, Г2 невозмущенные

поверхности раздела жидкостей, а через ^, I = 0,1, 2, смачиваемые поверхности жидкостей.

Постановка рассматриваемой задачи может быть описана следующими уравнениями:

• уравнениями движения жидкостей [12, 13]

ди(1) Ур(г)

дt

Р1

-- gk + V, Аи(); Шу и() = 0, I = 0,1,2;

(1)

• равенствами нормальных и касательных напряжений на поверхностях раздела жидкостей

А (р(0) - р(1))(Р0 -Р1) = 2

д(Р(1) - Р(2)) + (Р1 — р2) = 2

' д2и« Э^ 1Р1 Эх1Эt °Р° дх0дt

на Г1; (2)

■ э 2иХ2) э 2иХ1)

V2р2^f-—V1р1 1

дх2 дt

^1Р1

Н* ди (1)

- + -

дх1

= 2 V оРо

'К +диТ

дz дхг.

дх^

у

на Г1;

на Г ?; (3)

(4)

да^ ди (1)

х1

VlPl

+——

ду дх1 дг дх

V 1 У

'ди!1) ди(1} Л

:уоРо

диХ0) ди(0)

х0

+

х1

■+-

у

ду дх1

V 2Р2

ду дхо

У

'Ч2) + ди<2)'

дг дх2 ди (2) ди(2)

на Г1;

на г2;

^2р2

х2

■+-

V 1 / V

кинематическими соотношениями

ду дх2

на Г

2

и

(0) = и(1)

на Г ; и

(1) = й(2)

на Г ;

12 условиями прилипания на смачиваемых поверхностях

= 0 на &, г = 0,1,2,

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

где и(г), р(г) — вектор скорости и давление г-й жидкости соответственно.

Решение задачи о свободных колебаниях трех вязких жидкостей будем искать в виде

■еХ'и()(хг,у,7); р(г) = вХ'Р(г)(хг,у,г), г = 0,1,2, (10)

и

(г)

где X — собственное число задачи; и(г) и р(г) — функции координат (Х{, у, г ).

Метод решения поставленной задачи. Для решения поставленной задачи воспользуемся следующим приемом. Будем рассматривать колебания трехслойной вязкой жидкости как совместные колебания двух парциальных механических систем, одна из которых соответствует колебаниям верхней и средней жидкостей, а другая колебаниям средней и нижней жидкостей. Для каждой парциальной гидродинамической системы определим коэффициенты затухания колебаний у1п, у2п (п — номер тона), воспользовавшись методом пограничного слоя.

Используя механический аналог колебаний двух жидкостей для парциальных гидродинамических подсистем [14], составим дифференциальные уравнения для обобщенных координат ^, 5П парциальных механических систем с учетом действия диссипативных сил Як, описываемых законом вязкого сопротивления

Як =-^к¥к, к = 1,2,

(11)

где ц к — коэффициенты вязкого

сопротивления; Ук — векторы скоростей точек, в которых приложены силы Як.

Затем, сравнивая уравнения колебаний парциальных гидродинамических и механических систем, определим коэффициенты цк и воспользуемся механическим аналогом колебаний трехслойной жидкости. Составив характеристическое уравнение, определим собственные частоты колебаний трехслойной вязкой жидкости.

Определение коэффициентов вязкого сопротивления в парциальных гидродинамических системах. Следуя приведенному методу решения задачи, определим сначала коэффициенты вязкого сопротивления в парциальных механических системах, эквивалентных парциальным гидродинамическим системам. С этой целью рассмотрим движение двух вязких несжимаемых жидкостей плотностью р1, р2 и кинематической вязкостью , V 2 в неподвижном произвольном сосуде (рис. 2).

Решение задачи о колебаниях двух вязких жидкостей найдем методом пограничного слоя, ограничившись при этом нулевым и первым приближениями и положив

и(г) = V ф(/) +еУк(г) + ^(г};

_ _ _ ' (12)

Р(г) = -р,^оФ(г) - ер7- (Хок(г) + X,ф(/)) + 5(г),

Х = Х0 + 8Х1, г = 1, 2, (13)

где ф(г), к(г) — потенциалы смещений г-й жидкости соответственно

при нулевом и первом приближении; ^(1), ^(2), 5(1), 5(2) — функции типа пограничного слоя; 8 — малый параметр задачи.

Подставив выражения (12), (13) в задачу о колебаниях двух вязких жидкостей и воспользовавшись методом пограничного слоя [1], в результате получим:

Рис. 2. Схема сосуда с вязкой двухслойной жидкостью

Колебания вязкой трехслойной жидкости в неподвижном баке

Х =-(рЩ^ ' ^ + Р' ^ ); (14)

Л2 / = 2 2 ; Л12 / = 1 2 , (15) 7 |(Р1Ф(1)-р2ф(2) )2^Г2 7 |(Р1Ф(1)-р2ф(2) )2 ё Г2

Г2 Г2

где р2 , — парциальная частота колебаний поверхности раздела Г2.

Затем, подставив Х1 в формулу (13), получим окончательное выражение для собственного значения X ,:

X, = Хо +8X1 = ±/р2, -(1±2(рв2 ~р2)£ (р2Л2, + р1 Л12,), (16)

или

где

Х(2) =-У2, + /р,, (17)

Ъ = 9(р/2-тр1))£П2 (р2 А2,+р1 А12, ), £?! = (18)

К, = >/Е/ -У22, . (19)

(В формуле (18) индекс II относится к поверхности Г2 раздела средней и нижней жидкостей.)

Решив подобную задачу для средней и верхней жидкостей, аналогично получим

Х^-Ц, + /р,; (2о)

У1, = 0(р-|°)£'2 (ро А, + р1 А11, ), £2 = (21)

Р*, = #2/ , (22)

К^Ф(о) )2ёЗо |(^ф(1) )2ёЗ1

Л) / = 2 ; Ац / = 1 2 , (23)

У |(роФ(о)-р1Ф(1)) ёГ ^ | (роф(о)-р1Ф(1))2ёГ1 Г1 Г

где р1, — парциальная частота колебаний поверхностей раздела Г1.

Определив коэффициенты затухания для каждой пары жидкостей, запишем систему приближенных дифференциальных уравнений парциальных гидродинамических систем в виде

+2Уи6и+К-°и=0; . 10„

у = 1,2,3,..., (24)

62 у + 2 72 у 62 у +в2 у 62 у = а

где О1 у, О2у — обобщенные координаты волновых движений поверхностей раздела Г1 и Г2 соответственно.

Механический аналог колебаний трех вязких жидкостей, целиком заполняющих полость неподвижного твердого тела. Воспользуемся теперь упрощенным вариантом механического аналога колебаний двух идеальных средней и нижней жидкостей, целиком заполняющих неподвижную полость [14]. Уравнение движения в этом случае

\2

^ТТп +(Рии ) = 0,

д^мех _ д^мех/1 . д \/2

где КГ =1 ^ Мп (1п + °п)' Л (МГ, Ммих — масса

" г-1ш ц о ^мех . 1 ^мех п . 7 \2 ^2 1п 11п

ЬпМПи + М 1п (1п + Ьп ) /Оп

соответственно верхнего и нижнего маятника; 1п — длина невесомого стержня; Ьп — расстояние от центра механического аналога до верхнего маятника в невозмущенном состоянии, соответствующее п-му тону колебаний слоев жидкости; 8п — длина нити математического маятника, отвечающая п-му тону свободных колебаний поверхности раздела).

При действии сил Як вязкого сопротивления (см. формулу (11)) на математический маятник уравнение колебаний маятника, имитирующего колебания нижней поверхности раздела двух жидкостей, имеет вид

+ 2%^^ + (РмГ )2 = 0. (25)

В формуле (25)

М-Пп

Пип =

2 [ М Г + М Г (1п + Ьп )2/52

Здесь

МУех = V

1 у± 11п у п

2

Шы + Р1)- (Ро/оп +Р1)(/п + 2Ьп)

где /оп = М^А^^Л); = М^А УМК^).

Аналогично может быть составлено уравнение колебаний маятника, имитирующего колебания поверхности раздела верхней и средней жидкостей:

+ 2ц1п£ 1п + (рм;х )2 ^ = 0.

(26)

Здесь

Птп =

МТи

2М Мех

где МТПех = Кп (р0/0я + Р!).

Определим из уравнений механического аналога двух вязких жидкостей коэффициенты вязкого сопротивления (демпфирования) М-Тп, МТТп. Сравнив уравнения парциальных гидродинамических систем (24) и уравнения парциальных систем механического аналога (25), (26), получим

71 ] =птп ; 72] = пттп , п = ],

Тп

а1 ]; "ТТп

'2],

МТп = 271пМТпеХ; МТТп = 272п

Ммех + Мме

М ТТп + М Тп

(1п + Ьп )

2 Л

Далее воспользуемся механическим аналогом колебания трех идеальных несжимаемых жидкостей, целиком заполняющих полость неподвижного твердого тела [14]. Чтобы получить механический аналог колебаний трех вязких жидкостей, составим выражение дис-сипативной функции Рэлея:

1 2 1 ФЕ= 2 М ТТп^ТТп + 2 М Тп

(1п + Ьп )2,2 ,,2 + Ь

' "ТТп + "Тп

"Тп^ТТп

Используя уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения колебаний механического аналога трех вязких жидкостей, записанные в матричном виде:

а11 а12

а21 а22

Тп

'ТТп

+

Ь11 Ь

12

Ь21 Ь22

Тп

'ТТп

+

0

11

^22 0

Тп

'ТТп

: 0. (27)

Положим в уравнении (27) "Тп = А1е

ТТп

: Л2и запишем ха-

рактеристическое уравнение механической системы:

a0X + a{k + a2X + a3k + a4 = 0, (28)

где

a0 = a11a22 — a12a21; a1 = a11b22 + b11a22 — a12b21 — b12a21;

a2 = a11c22 + b11b22 + a22c11 — b12b21; a3 = b11c22 + b22c11 • a4 = c11c22•

2

a = Mмех • a = Mмех + Mмех (1+ bn ) • a = a = Mмех + •

a11 =M In ; a22 =M Iln +M In c2 ; a12 = a21 = M In c- ;

8n 8n

2

A = A = (ln + b) = ln + bn

b11 = Mln; b22 =Main +MIn „2 ' b12 = b21 = Min c-

8: 5И

c = m мех g • c = g

c11 =M In J ; c22 =5 ln 8n

n

^ 1 b ^ i/мех i/мех 1n + bn

M Iln M In

V

Можно доказать, что вещественные части корней характеристического уравнения (28) отрицательны либо равны нулю. Таким образом, корни этого уравнения могут быть трех видов:

1) Ч2 j = -a1 j ± «1 j*, ^3,4 j = -a2 j ± «2/

2) ^mj = -amj,m = 1 2 3 4;

3) ^1,2j = -a1 j ±«1/ ^3,4j = -a3,4j,

где am, romi- — вещественные положительные числа.

fry fry

Будем считать, что в рассматриваемом случае силы сопротивления достаточно малы, функция Рэлея определенно положительна. Поэтому корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженными с отрицательными вещественными частями:

Ч2 j = -a1mj ± «j ^3,4 j = -a2mj ± ®2m/

Комплексно-сопряженным корням отвечают затухающие главные колебания:

Smj = Ае~а'т/ Sin(«mjt + £mj ),

где Emj — начальная фаза.

Свободные колебания вязкой трехслойной жидкости в сосуде конкретной формы. Рассмотрим сосуд, имеющий форму прямого круглого цилиндра радиусом г0 и заполненный вязкой трехслойной

жидкостью с высотой каждого слоя соответственно ho, hj, h (рис. 3).

Потенциалы смещений каждой жидкости могут быть представлены в виде [14]:

Хо =ХФ(0) (X, г,Л)^1 ] (*);

Х1 = Е[Ф(/11) (х, г, пК ] (*)+Ф(12) (X, ', пК ] (*)_

Х2 =Еф(/2) (^,л)^2/ (*)

причем

(0) 31 (к.г) еИ (к/(*о - Н)))

Ф(/0) =—^(кД)—/^^бш п;

31(5 /)

БИ(к/Л0)

Ф^ =

ф(12) =■

31 (к/Г) 31(5/)

31 (к/Г) еИ(к/(х -Н^)) ^ ' 31(5/) еИ/)

еИ( к/х1)

\Ык .Н)--—бШ п;

7 1 БИ(к]Н[)

Бт п;

31 (к/Г)

(2) .. . еИ(к.х2)

Ф( = sin п,

31(5 /)

где г, Г| — полярные координаты в плоскости Оуг с центром на оси цилиндра; kj = ^ / г0; ^ — положительные корни произвольных функций Бесселя первого рода и первого

порядка

31 (к/Г) 31(5 /)

= 0, ] = 1,2,....

Для определения собственных частот колебаний вязкой трехслойной жидкости находим интегралы, входящие в выражения (15), (23) для коэф- Рис 3 Схема фициентов Аиу, Л12у, Ау\

круглого цилиндра с вязкой трехслойной жидкостью

/(У/ )2 dS0 = | (У/ )2 ^ + |(Уф(°' )2 dSщl;

^бок ^кр

/(Уф?))2^ - / (Уф?))2^^бок;

^бок

/ (Уф<;2) )2 = / (Уф«4 )2 ^^бок + / (Уф(/2) )2

дно'

Збок

где ^бок, £ £дно — площади боковой стенки, крышки и донной

кр' дно

части соответственно.

Подставив потенциалы ф(,о), ф^11-*, ф^12-*, ф^ в формулы (15) и (23), окончательно получим коэффициенты А0,, А11,, А12,, А2,:

Л) ,

А11/

У &

го2 (р1 + /о / Ро)

■ +1 , 1 - ¿0 /Го

МУ -1)

Х\\(к/ко) +

[еЬСк,Ао)]2

Го2 (р1 + Уо./Ро)

У +1 , 1 - ¿1 /Го

м/ -1)

ШкД) +

[сЬ(/0 ]2

а2

А -_

А12/ -

Г2 (Р1 + / )

У + 1 , 1 - ¿1 /Го

М/ -1)

^(кД) +

[сЬ(/0]2

го2 (р1 + ■)

У + 1 , 1 - ¿2 /Го

М/ -1)

Л(кД) +

Определив коэффициенты затухания у, у2, для каждой пары жидкости:

_ (Р1 -Ро)#

Т1 / -

72/ -

^^ №>о Ао/ ^Т^Трх ^1/); (29)

2(р2-Р')^Г2 (^Р2А2/ Р1 А11/), (30)

выразим параметры механической системы через параметры гидродинамической системы. Получим

М г = Уп (Р0.4, + Р1);

М мех

М ТТп

К

(Р2/1п +Р1)(р0.4, +Р1)еИ(кпН1)2 -Р2

(Р0Лп + Р1 ) СИ(кпН1)2

МТп = 2УтпКп (Р()/0п + Р1 ); Мттп = 2 УтТпКп ( Р2^п +Р1); Г0 {(Р2/1п +Р1 ) -Р2/[(р0.4, +Р1 ) сикпН1)2 ] - Р1 /снкпН1)}

(Р2 -Р1 )5п ^ (кпН1 ) Г0 (р0./0п +Р1 ) . Ь = 5пР1 - 1п (р0^п +Р1 ) еКкА).

(Р1 -Р0 КпЛ (кпН1 )' п (р0/0п +Р1 ) еИ(кпН1)

2ПГ031Ь ( кпН)

К

5п (5п2 -1) '

Результаты численных расчетов по формуле (28) при различных параметрах задачи приведены на рис. 4 и 5.

®2> с

аЬ а2> с

3,54 2,98 2,42

1,86 1,30

/ Ш2

»1

0 0,16 0,48 0,80 1,12 йь м а

-0,010 -0,015 -0,020

-0,025 -0,030

«1

«2

0 0,16 0,48 0,80 1,12 къ м б

Рис. 4. Зависимость собственных частот (а) и коэффициентов затухания (б) трехслойной вязкой жидкости от высоты Н1 слоя средней жидкости при Н0 = Н2 = 1,5 м

и Р0 = 0,1 • 103 кг/м3, Р1 = 0,5-103 кг/м3 для противофазных (-) и синфазных

( ) колебаний

I

п

Юь <о2, с

-1

аг103; а2-103, с"1

2,52 2,04 1,56 1,08 0,60

/

/ (х>2

-3,2 -4,4 -5,6 -6,8 -8,0

/

/ «2

«1

0 0,16 0,32 0,48 ро-10-3, кг/м3 а

О 0,16 0,32 0,48 ро-Ю"3, кг/м3 б

Рис. 5. Зависимость собственных частот (а) и коэффициентов затухания (б) трехслойной вязкой жидкости от плотности р0 верхней жидкости при й0 = к = ^ = 1,5 м

и р1 = 0,92 • 103 кг/м3

Сравнительный анализ полученных результатов. Для проверки достоверности результатов исследования приведем несколько значений коэффициентов затухания, полученных другими авторами.

В работе [1] Ф.Л. Черноусько формула для коэффициента затухания колебаний свободной поверхности жидкости, частично заполняющей цилиндрический сосуд, имеет вид

Re = ■

У

2л/2(ю11):

3/2 '

(31)

В работе [7] С.Я. Секерж-Зеньковича была получена следующая формула для коэффициента затухания поверхности раздела двух жидкостей, полностью заполняющих цилиндрический сосуд:

а

11

•у/2-3 V 2^111

Е (1 -Р)

(32)

В настоящей работе коэффициент затухания для двух жидкостей в цилиндрическом сосуде определяется по формуле (29).

Харрисон в работе [10] для бесконечного канала, заполненного двумя жидкостями, нижняя из которых имела бесконечную высоту слоя, а другая конечную высоту к1, получил следующую формулу для коэффициента затухания:

Н11 = -2к{

У1р1 еКУ^) + 2(У2р2 ~ ^1р1) вЬ(Л:1к1) р1 еЬ^к) + (2р2 ~ р1) вЬ(^1к1) '

(33)

Для двух вязких жидкостей, имеющих значения плотности и ки-

о _^ о

нематической вязкости р1 = 1,185 кг/м , = 1,51 10 м/с (воздух),

р2 = 1000 кг/м3, V2 = 1,006 10-6 м2/с (вода), на рис. 6, а представлены результаты расчетов коэффициентов затухания, определенных по формулам (31)-(33), а также по формуле (29), полученной в данной работе для цилиндрического сосуда радиусом г0 = 1 м. Для

этого же сосуда на рис. 6, б приведены результаты расчетов коэффициентов затухания, определенных по формулам в зависимости от плотности верхней жидкости.

з „-1

Нп- 1(Г; ReA.ii• 10 ; Уп-Ю , апЛ0\ с

Яц-103; Re^ll•103; уц-103; ац-103, с-1

-1,316 -1,332 -1,348 -1,364 -1,380

КдО 0 о о ( Ни

ReA.ii

-эН £

* Л У11 к

\ аи

0 -1 -2

-3 -4

Ни

ReA.ii

_

У11

— аи

0 0,3 0,6 0,9 1,2 йь м а

0

0,2 0,4 0,6 Р1-10"3, кг/м3 б

Рис. 6. Зависимости коэффициентов затухания от высоты / слоя верхней жидкости при /2 = 1,2 м, р1 = 1,185 кг/м (а) и от плотности р1 верхней жидкости при п = т = 1,

/1 = /2 = 1,2 м (б)

Экспериментальное исследование слоистой жидкости. Для подтверждения приведенных теоретических формул и полученных численных результатов было проведено экспериментальное исследование

Рис. 7. Общий вид экспериментальной установки

колебаний трехслойной вязкой жидкости. Подробное описание экспериментальной установки содержится в статье [15], общий вид представлен на рис. 7.

Значения частот, определенных по формуле (28) и полученных в результате эксперимента, приведены на рис. 8.

<ЙЬ с

-1

4,68 3,96 3,24 2,52 1,80

h э = 0,0 3 м, hj = 0,07 5 - hi

—-—

X

<*1, с

-0,13 -0,16 -0,19 -0,22 -0,25

-1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 йь м а

k = о,о: М, h2 = 0,07 5-Й!

/

/

/

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 йь м б

Рис. 8. Зависимости первой главной частоты (а) и коэффициента затухания (б) от высоты слоя средней жидкости, определенные по формуле (28) (—) и полученные

в результате эксперимента (** х)

Заключение. Были численно определены собственные частоты и коэффициенты затухания (динамические характеристики) колебаний трехслойной жидкости. Их сравнение с данными, полученными в проведенном эксперименте, показало удовлетворительное совпадение с теоретическими результатами, вытекающими из решений характеристического уравнения (28).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. Москва, ВЦ АН СССР, 1968, 232 с.

[2] Пожалостин А.А., Гончаров Д.А. Свободные осесимметричные колебания двухслойной жидкости с упругим разделителем между слоями при наличии сил поверхностного натяжения. Инженерный журнал: наука и инновация, 2013, вып. 12. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-12-1147

[3] Цветков Д.О. Малые движения вязкой стратифицированной жидкости. Межведомственный научный сборник «Динамические системы», 2007, вып. 22, с. 73-82.

[4] Моисеев Г.А. Движение твердого тела, имеющего полость, целиком заполненную двумя несмешивающимися жидкостями. В кн.: Математическая физика. Сб. ст. Киев, Наукова думка, 1972, вып. 12, с. 66-73.

[5] Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Свободные колебания вязкой стратифицированной жидкости в сосуде. Деп. в ВИНИТИ. Москва, 1983, № 4531-83 ДЕП, 45 с.

[6] Ганичев А.И., Качура В.П., Темнов А.Н. Малые колебания двух несмеши-вающихся жидкостей в подвижном цилиндрическом сосуде. В кн.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сб. науч. докл. Суверенев В.Г., ред. Новосибирск, НЭТИ, 1974, с. 82-88.

[7] Sekerzh-Zen'kovich S.Ya. The free oscillations of a viscous two-layer fluid in a closed vessel. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990, vol. 54, no. 1, pp. 39-45.

[8] Чашечкин Ю.Д. Дифференциальная механика жидкостей: согласованные аналитические, численные и лабораторные модели стратифицированных течений. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2014, № 6 (57), с. 67-95.

[9] Калиниченко В.А., Секерж-Зенькович С.Я., Тимофеев А.С. Экспериментальное исследование поля скоростей параметрически возбуждаемых волн в двухслойной жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1991, № 5, с. 161-166.

[10] Harrison W.J. The influence of viscosity on the oscillations of superposed fluids. Proc. London math. Soc., 1908, vol. 6-2, no. 1, pp. 396-405.

[11] Thorpe S.A. On standing internal gravity waves of finite amplitude. J. Fluid Mech., 1968, vol. 32, no. 3, pp. 489-528.

[12] Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. Москва, Наука, 1977, 815 с.

[13] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. Москва, Наука, 1986. 735 с.

[14] Вин Ко Ко, Темнов А.Н. Колебания дискретно-стратифицированных жидкостей в цилиндрическом сосуде и их механические аналоги. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2016, № 3, с. 57-69.

[15] Вин Ко Ко, Темнов А.Н. Экспериментальное и теоретическое исследования колебаний твердого тела со слоистой жидкостью. Инженерный журнал: наука и инновации, 2018, вып. 4. DOI: 10.18698/2308-6033-2018-4-1752

Статья поступила в редакцию 20.06.2019

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Вин Ко Ко, Темнов А.Н. Колебания вязкой трехслойной жидкости в неподвижном баке. Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 7.

http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-7-1895

Вин Ко Ко — стажер-исследователь кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: win.c.latt@gmail.com

Темнов Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: antt45@mail.ru

Оscillations of a three-layer viscous fluid in a stationary tank

Win Ko Ko, A.N. Temnov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

Due to the continued research into chemistry, biology, pharmaceutics and rocket space technology, interest in the study of the dynamics of layered fluids has increased significantly. The paper focuses on oscillations of a three-layer viscous fluid, gives the formulation of the viscous fluid free oscillations problem. Within the research, we determined natural frequencies and damping coefficients of oscillations of the three-layer viscous fluid in a cylindrical vessel by means of the boundary layer method and a mechanical analog. Oscillations of the three-layer viscous fluid were considered as joint oscillations of two partial hydrodynamic systems, one of which corresponds to oscillations of the upper and middle viscous fluids, and the other one - to oscillations of the middle and lower fluids. Then, we determined the coefficients of viscous resistance in partial hydrodynamic systems of a two-layer viscous fluid. Using the mechanical analog of oscillations of the three-layer liquid, we derived the characteristic equation for determining natural frequencies of the hydrodynamic system under consideration. Next, we calculated the dependency of natural frequencies and liquid-liquid interface damping coefficients on the height of the middle layer and the density of the upper fluid. Finally, we analyzed and compared theoretical calculations with the results obtained by other researchers and experimental investigation. The paper gives the results of experimental studies of oscillations of the three-layer fluid in a stationary cylindrical tank.

Keywords: three-layer viscous fluid, natural frequencies, mechanical analog, damping coefficients, solid body

REFERENCES

[1] Chernousko F.L. Dvizhenie tverdogo tela s polostyami, soderzhashchimi vyazkuyu zhidkost [Movement of a solid body with cavities containing a viscous fluid]. Moscow, CC USSR Academy of Sciences Publ., 1969, 230 p.

[2] Pozhalostin A.A., Goncharov D.A. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsiya — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, iss. 12. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-12-1147

[3] Tsvetkov D.O. Mezhvedomstvenny nauchny sbornik «Dinamicheskie sistemy» (Dynamic systems), 2007, no. 22, pp. 73-82.

[4] Moiseev G.A. Dvizhenie tverdogo tela, imeyushchego polost, tselikom zapolnyayushchuyu dvumya nesmeshivayushchimisya zhidkostyami [Motion of a solid body having a cavity completely filled with two immiscible liquids]. In: Matematicheskaya fizika. Sb. statey [Mathematical physics. Coll. papers]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1972, no. 12, pp. 66-73.

[5] Kopachevskiy N.D., Temnov A.N. Dep. v VINITI (Depositing of scientific papers in All-Russian Institute for Scientific and Technical Information), Moscow, 1983, no. 4531-83 DEP, 45 p.

[6] Ganichev A.I., Kachura V.P., Temnov A.N. Malye kolebaniya dvukh nesmeshivayushchikhsia zhidkostey v podvizhnom tsilindricheskom sosude [Small oscillations of two immiscible liquids in a movable cylindrical vessel]. In: Kolebaniya uprugikh konstruktsiy s zhidkostyu. Sb. nauch. dokl. [Oscillations of elastic structures with fluid. Coll. of sci. rep.]. Suverenev V.G., ed. Novosibirsk, NETI Publ., 1974, pp. 82-88.

[7] Sekerzh-Zen'kovich S.Ya. The free oscillations of a viscous two-layer fluid in a closed vessel. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990, vol. 54, no. 1, pp. 39-45.

[8] Chashechkin Yu.D. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Natural Sciences, 2014, no. 6 (57), pp. 67-95.

[9] Kalinichenko V.A., Sekerzh-Zen'kovich S.Ya., Timofeev A.S. Izv. AN SSSR. MZhG (Fluid Dynamics. A journal of USSR Academy of Sciences), 1991, no. 5, pp. 161-166.

[10] Harrison W.J. The influence of viscosity on the oscillations of superposed fluids. Proc. London math. Soc., 1908, vol. 6-2, no. 1, pp. 396-405.

[11] Thorpe S.A. On standing internal gravity waves of finite amplitude. J. Fluid Mech., 1968, vol. 32, no. 3, pp. 489-528.

[12] Sretenskiy L.N. Teoriya volnovykh dvizheniy zhidkosti [Theory of wave motion of a fluid]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 815 p.

[13] Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika. Tom VI. Gidrodinamika [Theoretical physics. Vol. VI. Hydrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 735 p.

[14] Win Ko Ko, Temnov A.N. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Natural Sciences, 2016, no. 3, pp. 57-69.

[15] Win Ko Ko, Temnov A. N. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsiya — Engineering Journal: Science and Innovation, 2018, iss. 4. DOI: 10.18698/2308-6033-2018-4-1752

Win Ko Ko, Research Assistant, Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: win.c.latt@gmail.com

Temnov A.N., Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: antt45@mail.ru