CC BY
6
UNIVERSUM:
, ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ_март. 2022 г.
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА
DOI - 10.32743/UniTech.2022.96.3.13303 КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ЖИДКОСТЬЮ
Аблокулов Шерзоджон Зокир угли
ассистент,
Ташкентский химико-технологический институт, Республика Узбекистан, г. Ташкент
Бутунов Жахонгир Рузикулович
ассистент,
Чирчикский государственный педагогический институт, Республика Узбекистан, г. Чирчик Е-mail: _ jaxongir. butunov@mail.ru.
№ 3 (96)
VIBRATIONS OF VISCOELASTIC CYLINDRICAL SHELLS WITH A LIQUID
Sherzojon Ablokulov
Assistant,
Tashkent Institute of Chemical Technology, Republic of Uzbekistan, Tashkent
Jahongir Butunov
Assistant,
Chirchik State Pedagogical Institute, Republic of Uzbekistan, Chirchik
АННОТАЦИЯ
В работе рассматриваются колебания цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью, при этом с увеличением давления частота увеличивается, так как оболочка становится более жесткой. Расчеты подтверждают известный вывод о том, что с увеличением скорости частота уменьшается. При дальнейшем увеличении одна из частот может обращаться в нуль, что приводит к потере устойчивости оболочки. Для коротких и тонких труб с ростом скорости вторая низшая частота уменьшается быстрее, чем первая. У длинных труб, наоборот, первая низшая частота достигает нуля быстрее, чем вторая.
ABSTRACT
The paper considers the vibrations of a cylindrical shell with a flowing liquid. that in this case, with increasing pressure, the frequency increases, since the shell becomes more rigid. Calculations confirm the well-known conclusion that with increasing speed, the frequency decreases. With a further increase, one of the frequencies can vanish, which leads to the loss of stability of the shell. For short and thin pipes, as the speed increases, the second lowest frequency decreases faster than the first. In long pipes, on the other hand, the first lowest frequencies reach zero faster than the second.
Ключевая слова: оболочка, давление, частота, тонкие трубы, усилия и деформация.
Keywords: shell, pressure, frequency, thin pipes, forces and deformation.
Введение
Для сравнения результатов расчетов прямолинейных и криволинейных трубопроводов рассмотрим уравнение движения цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью [1; 6], находящихся в упругой среде. Уравнения равновесия элемента оболочки сведем к одному разрешающему уравнению в
перемещениях. Для этого исключим из уравнения равновесия усилия Т2, (2 , S и используем соотношения между усилиями и деформациями, а также между деформациями и перемещениями. Рассматривая малые перемещения, можно отбросить все нелинейные слагаемые, в результате чего придем к уравнению:
Библиографическое описание: Бутунов Ж.Р., Аблокулов Ш.З. КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ЖИДКОСТЬЮ // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 3(96). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13303
№ 3 (96)
A UNI
/ш. те)
UNIVERSUM:
технические науки
март, 2022 г.
а3u ,2 а3
+ h
3 v ~ Л3
ав
*+а *
ав
r • p а *2 r • p
+
Eh а в3 Eh
ph +
Р ж •r
а3 u а* —- + —- +
а3ю
22
а^аг2 а^аг2 ав2 аг
+
а
+
2pжr2v а
у
3
Eh ав2 аг
ав
\
-Тт (p ж • V2 + Р)
Eh
а 3ю
+
дw
VMJ
= 0
(1)
где h =
h
•л/12(1 -v2)
Методы
Приступая к решению (1), отметим, что все перемещения и углы поворота можно представить через с. Разделяя переменные, примем С в виде ряда:
ю
■ = совшв, (2)
п т
где С - круговая частота свободных колебаний.
Тогда:
Ж Ж 1 Ж (Ж 1
* = II - fmn № sin тв; u = -YI — Ц (f)e" cos тв;
т
т
(3)
т2 -1
* =-II fmn (frM sin тв; * =-Il4 fi (frM cos тв
n т n т
Подставляя (2) и (3) в уравнение (1) и используя алгоритм метода Бубнова-Галеркина,
f L * cosкШв = 0 (к = 1,2,..., т)
(4)
где Ь * - левая часть уравнения (4), получим систему уравнений для определения искомых функций /тп (¿), причем коэффициенты этой системы при
к Ф т обращаются в нуль:
II (4„ ) + «тт/: (4 ) + ЬГ (¿0 ) + Отт/т, ^0 ) = 0 (5)
Здесь /тп - функция переменной ¿0 = Ъ~ изменяющейся в пределах:
о; lo
о <4< l
Коэффициенты системы уравнений (5) опреде^ ляются выражениями:
атп =
h2 Eh
ph +
Р ж •r
со2 + т4 —Г-— (p V2 + p);
Ehh2 VPж Р)
2Рж •r2 • V 4 b = i—^-т ю;
Ehh
Стт = т 4 (т 2 - 1)(т 2 + Р* - 1)-
Ehh
V
ph +
p • r
(т2 + т4 )ю2
(6)
х
2
у
2
X
2
Ж Ж
П
r
?
r
2
у
1
V
2
у
где
= >2«-V.) E (h
Систему однородных дифференциальных уравнений (5) представим в матричной форме, используя операторную символику:
ln 0 0 о l22 о
0 0 l
№ 3 (96)
A UNÍ
/Ш. ТЕ)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март, 2022 г.
где X - линейные операторы, определяющие дифференциальные и алгебраические операции над функциями / :
L —
mm <
A11 ¿11 В12 ¿12 В13 ¿13
В21 ¿21 A22 ¿22 В23 ¿23
В31 ¿31 В32 ¿32 A33 ¿33
dû
+ с ()= 0(8)
mm
Отметим, что вид функции ) зависит от
граничных условий на торцах оболочки. Рассмотрим случай шарнирного закрепления обоих торцов. Представим функцию ) в виде тригономет-
рического ряда, заранее удовлетворив граничным условиям:
/„ (0, lo )=0; ru (0,10 )=0. (9)
Решение в виде:
/ (L) = D sin A4, (10)
J mn\30 / mn n ~0 ' v 7
где Àn —
nnr
lJk
удовлетворяет (9).
Подставляя решение (10) в (9) и применяя снова метод Бубнова-Галеркина для области интегрирования (о, / ), получим систему из п однородных
алгебраических уравнений. Условие отсутствия тривиальных решений приводит к равенству нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы:
A ¿ В„ ¿
В,
B„ ¿ В„
В1з ¿
В2з d23
d32 A33 d33
— 0
(11)
4
2
mm
где
A — À4 - a À2h + с ; В — À Жъ (j —1,2,...,n)
nn n mm n v mm ' m n\ v mm \J ' ' ' /
8т = 1о/2; 8п. = 0, когда п = ] или п]
четные или нечетные; в остальных случаях
X 2п1о .
8 =
Ж2 - j2 )
Результаты
Раскрывая определитель (11), получаем спектр частот свободных колебаний <^2 <^з < ••• <^п. Анализ полученных результатов показал, что влияние кариолисовой силы на частоту свободных колебаний мало. Поэтому в дальнейшем влияние этой силы не учитывается. Тогда выражение для определения квадрата частоты принимает вид:
Eh
m
Я - m4 -Т-г (pж • V2 + pÀh + m4 (m2 - l)(m2 + p* -1)
(12)
p +
P ж • Г 2h
À hv + m2 + m4
Члены, содержащиеся во второй скобке знаменателя (12), отражают влияние различных составляющих сил инерции. Все эти выше приведенные процедуры вычисления частот приведены в работе [5],
мы использовали их алгоритм для сопоставления результатов прямолинейных и криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью.
)
9
r
\
№ 3 (96)
A UNI
/Ш. ТЕ)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март, 2022 г.
Рисунок 1. Зависимость частоты свободных колебаний от Ь/й
со =
L
\
pF + p ж Fж
V2 • L (p F )
жж
(13)
EI
Анализ
Из формулы (12) и графиков на рис. 1 следует, что на частоту свободных колебаний оказывают существенное влияние соотношения геометрических И Ь
параметров (_ и_). При этом видно, что с увели-
г ё
Ь И чением_ и уменьшением _ частота резко падает,
ё г
труба становится менее жесткой, влияние концевых закреплений - менее ощутимым. Дальнейшее увеличение параметра к приводит к тому, что низшая
частота реализуется при т = 1, т.е. свободные колебания совпадают с первым тоном изгибных колебаний балки. Для этого случая (12) после преобразований результат совпадает с решением [4], полученным без учета давления жидкости. Для класса труб средней длины формула (13) не пригодна, так как она не учитывает влияние деформации профиля трубы, а инерционные силы учтены только в плоскости ее изгиба. Дальнейший анализ показывает, что при достаточно тонких стенках трубы на частоту свободных колебаний при т > 1 заметно влияет внутреннее давление жидкости. Естественно, что при этом с увеличением давления частота увеличивается, так как оболочка становится более жесткой. Некоторые результаты, отражающие зависимость с от внутреннего давления р, сведены в таблицу
(принято к = 5, т = 2, п = 1, V = 3 м / с)-Расчеты подтверждают известный вывод о том, что
с увеличением скорости V частота уменьшается. При дальнейшем увеличении V одна из частот может обращаться в нуль, что приводит к потери устойчивости оболочки. Для коротких и тонких труб с ростом V низшая частота при т = 2 уменьшается быстрее, чем при т = 1. У длинных труб, наоборот, низшие частоты при т = 1 достигают нуля быстрее, чем при т = 2. В заключение отметим, что формула (12), полученная на основе полу без моментной теории, позволила обследовать более широкий класс труб по сравнению с решениями, основанными на теории колебаний стержней. Для проверки алгоритма и программы сопоставили полученные некоторые частные решения с известными результатами [3]. Рассматривается тороидальная оболочка, на граничных контурах оболочки задавались условия жесткой задачи и = 3 = с = ^ = 0. В этом случае минимальной частоте соответствуют обе симметричные формы колебаний. Приведенные значения этой частоты в зависимости от величины я = с2/ Е0,
угол а0 приведены в таблице 1 (Я1 = 105Я). Полученное значение по нашей методике отличается от известных [1] до 10%. В работе [2] дана следующая формула для определения собственных частот кривых цилиндрических оболочек с учетом действия жидкости:
с
1
с 1 + Xn Рж S1
ph
или
1 _L_ Xn Рж S1
1+-ржг
72 П
n -
7 2 EI
№ 3 (96)
A UNI
/Ш. ТЕ)
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
март, 2022 г.
где
2па .
число узловых меридианов;
к - толщина; а - радиус оболочки. Значение коэффициента Хп зависит от / Ь). Если 0 < £ / Ь < 2,0,
тогда 1,2 < х < 0,2. Из анализов известных результатов
учет влияние жидкости, играют роль как присоединения масса. Значит, частота в этом случае принимает завышенное значение (давление с пустой оболочкой).
n
n
Таблица 1.
Приведенные значения частоты в зависимости от угла
Угол а
7Z/10 27/10 37/10 47/10 57/10 67/10
0,99 1,32 2,62 6,59 17,97 54,75
0,89 1,27 1,53 5,48 13,85 52,01
Обсуждение
Напорные трубопроводы из полиэтиленовых труб получили сегодня большое распространение для транспортировки газа, нефти, нефтепродуктов. Трубы, изготовленные из полиэтилена марки ПЭ 80 и ПЭ 100 с модулем упругости материала Е = 500МПа и коэффициентом Пуассона V = 0,3 , имеют внешние диаметры до 1200 мм с отношением толщины стенки трубы к радиусу срединной поверх-к 1 1
ности — = — ^ — и рассчитаны на внутреннее гидростатическое давление до 0,8 МПа. Криволинейные участки трубопроводов из полиэтиленовых труб изготовляются из секций с наружным диаметром до 630 мм и представляют собой тонкостенные тороидальные оболочки.
Заключение
Динамический расчет таких участков должен выполняться на основании теории оболочек. Исследование частот 60 по первым трем формам
собственных колебаний т = 1,2,3 криволинейных участков полиэтиленовых трубопроводов со значительно меньшим модулем упругости, чем у стальных, позволило выявить существенную зависимость значений частот колебаний от скорости потока жидкости. В соответствии с сортаментом на полиэтиленовые трубы [7] расчеты частот проводились для криволинейных участков трубопроводов с наружным диаметром 630 мм и с относительной толщиной к 1
стенки _ =__Исследовались собственные коле-
г 12,5
бания труб с относительной кривизной г =1 и 1
Я 10 50
и с изменением скорости потока жидкости (вода) м
от 0 до 30— .
с
Список литературы:
1. Математическое моделирование собственных и вынужденных колебаний криволинейных труб, взаимодействующих со средой : монография / И.И. Сафаров, М.Х. Тешаев, Н.К. Эсанов, З.К. Хдмроева. - Тошкент : Фан, 2009. - 161 б.
2. Рашидов Т.Р., Хожиметов Г.Х., Мардонов Б.М. Колебания сооружений, взаимодействующих с грунтом. -Тошкент : Фан, 1975. - 174 с.
3. СНиП 2.05.06-85*. Магистральные трубопроводы. - М. : Госстрой России, 1997. - 60 с.
4. Соколов В.Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости // Строительство трубопроводов. - 1981. - № 6. - С. 25-26.
5. Соколов В.Г., Березнев А.В. Решение задач о сводных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью // Известия вузов. Нефть и газ. - 2005. - № 1. - С. 80-84.
6. Удовенко В.Е., Сафронова И.П., Гусева Н.Б. Полиэтиленовые трубопроводы. - М. : Полимер Газ, 2003. - 50 с.
