КОЛЕБАНИЯ СУХОГО ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №1, 2022

25.00.29 ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ

УДК 551.51 (ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ)

Афанасьев И.С., Закинян Р.Г.

Северо-Кавказский федеральный университет, г. Ставрополь, Россия,

«Северо-Кавказский центр математических исследований», г. Ставрополь, Россия; * afanasevigor278@gmail.com

колебания сухого воздуха в атмосфере

DOI: 10.37493/2308-4758.2022.1.4

Введение. В статье рассматривается влияние рельефа местности и суточного

вращения Земли на колебательные процессы в атмосфере. Показано, что результатом наложения двух колебательных процессов, обусловленных как собственными колебаниями, так и вынужденными (суточное вращение Земли), могут быть биения и резонанс.

Материалы и методы

исследований. Рассматриваются колебания в атмосфере, изначально находившейся в состоянии статики, вызванные начальным превышением температуры вблизи поверхности земли, рельефом местности и суточным вращением Земли. Для их описания используется система, в которую входят уравнение движения в форме Эйлера и выражения, учитывающие распределение температуры и давления воздуха с высотой. Без учета влияния осевого вращения планеты получаем простейшие уравнения колебаний. Показано, что начальные условия определяются превышением температуры вблизи поверхности земли и рельефом местности (орографией). В качестве другого примера рассматривается случай, когда вращение Земли вокруг своей оси приводит к значимым периодическим изменениям температуры.

Результаты исследований

и их обсуждения. На первом этапе проводится анализ решений уравнений колебаний без учета влияния суточного вращения Земли, делая акцент на орографию. Вблизи наклонной поверхности воздушные частицы получают дополнительный импульс, что приводит к возрастанию амплитуды колебаний скорости и температуры воздушного потока. Второй этап — получение решения для колебательных процессов, когда учитываются суточные изменения температуры воздуха. Если частота Брента-Вяйсяля совпадает с частотой суточного вращения Земли или их разница незначительна, то возникают такие явления, как резонанс или биения.

Выводы. Показано, что в стандартной атмосфере осевое вращение плане-

ты не сказывается на колебательных процессах в атмосфере, при этом учитывается рельеф местности. Однако имеет место быть случай, когда разница между вышеуказанными частотами крайне мала или нулевая (это возможно при Ау << АКстанд). Тогда происходит возрастание амплитуды колебаний, т.е. биения или резонанс. В этих случаях орографию можно не брать во внимание: при рассмотрении колебаний скорости и температур: динамический нагрев оказывается очень малым, а собственные амплитуды скорости значительно больше скоростей вертикальных воздушных потоков, вызванных рельефом.

Ключевые слова: частота Брента - Вяйсяля, разность температур, разность градиентов температур, динамический нагрев, скорость, восходящие потоки, амплитуда, биения, резонанс. _

Afanasyev I.S., North Caucasus Federal University, Zakinyan R.G. Stavropol, Russia

Oscillations of dry Air in the Atmosphere

Introduction. The article examines the influence of the terrain and the daily rotation of

the Earth on the oscillatory processes in the atmosphere. It is shown that as a result of the superposition of two oscillatory processes, caused both by natural oscillations and forced, due to the daily rotation of the Earth, they lead to beats and resonance.

Materials and research

methods. Oscillations in the atmosphere, which was initially in a state of static,

caused by the initial temperature rise near the earth's surface, the terrain, and the Earth's daily rotation are considered. To describe them, a system is used, which includes the equation of motion in the form of Euler and expressions that take into account the distribution of temperature and air pressure with height. Without taking into account the daily rotation of the Earth, we obtain the simplest equations of oscillations. It is shown that the initial conditions are determined by the temperature rise near the earth's surface and the terrain (orography). As another example, we consider the case when the rotation of the Earth around its axis leads to significant periodic changes in temperature.

Research results and

their discussion. At the first stage, the analysis of solutions to the equations of oscillations is carried out without taking into account the influence of the diurnal rotation of the Earth, with an emphasis on orography. Near an inclined surface, air particles receive an additional impulse, which leads to an increase in the amplitude of fluctuations in the speed and temperature of the air flow. The second stage is to obtain a solution for oscillatory processes, when daily changes in air temperature are taken into account. If the Brent-Vaisala frequency coincides with the frequency of the Earth's daily rotation or their difference is insignificant, then such phenomena as resonance or beats occur.

Conclusions. It is shown that in a standard atmosphere the axial rotation of the planet

does not affect the oscillatory processes in the atmosphere, while the terrain relief is taken into account. However, there is a case when the difference between the above frequencies is extremely small or zero (this is possible at Ay << AyCTaHfl). Then there is an increase in the amplitude of the oscillations, i.e. beating or resonance. In these cases, orography can be disregarded: when considering fluctuations in speed and temperatures: dynamic heating turns out to be very small, and the natural amplitudes of the velocity are much higher than the velocities of vertical air flows caused by the relief.

Key words: Brent-Vaisal frequency, temperature difference, temperature gradient

difference, dynamic heating, velocity, ascending flows, amplitude, beats, resonance.

науки о земле

Колебания сухого воздуха в атмосфере Афанасьев И.С., Закинян Р.Г.

Введение

Актуальность выбранной темы заключается в том, что в атмосфере периодически наблюдаются колебательные процессы высокой интенсивности. Особую роль играет рельеф местности, влияние которого достаточно хорошо изучено [2, 6]. Однако недостаточное внимание уделялось воздействию осевого вращения Земли на атмосферные колебания.

Особенно интересен случай, когда вертикальный градиент температуры очень близок по значению к сухоадиабатическому. Тогда, помимо уже известного ранее роста амплитуды скорости, при определённых условиях происходят также изменения режима колебаний температуры. Влияние рельефа местности при этом минимизируется, однако, если происходит синхронизация колебательного режима атмосферы с осевым вращением Земли, то наблюдаются такие явления, как биения и резонанс [10, 12].

Широкое применение для описания атмосферных процессов получили методы математического моделирования движения воздушной частицы. Их основу составляют уравнения, описывающие динамику и статику воздуха, и выражения, характеризующие зависимость метеорологических величин от пространства и времени.

Атмосфера представляет собой стратифицированный газ, то есть в ней плотность почти всегда меняется с высотой. Для описания стационарной атмосферы используется уравнение статики. При возникновении возмущений частицы отклоняются от положения равновесия и происходят колебания, характеризуемые частотой Брента-Вяйсяля (или частотой плавучести). То есть на частицу единичной массы действуют две основные силы: сила тяжести g и сила Архимеда -^^р [1, 7].

Задачами исследовательской работы является получение решения системы уравнений, описывающих колебательное движение, как при учёте влияния осевого вращения планеты, так и без его учёта. Кроме того, решается задача о влиянии рельефа местности на режим колебания.

Цель работы - исследовать, как колебательные процессы в атмосфере зависят от её параметров и особенностей рельефа, беря также во внимание влияние осевого вращения Земли.

Таким образом, актуальность темы связана с рассмотрением колебаний в атмосфере, когда температурная стратификация близка к сухоадиабатической, что может также привести к сопоставимости частот Брента-Вяйсяля и суточного вращения.

Материалы и методы исследования

Основные уравнения

Будем рассматривать воздух как идеальную жидкость [4]. Его движение характеризуется уравнением Эйлера, записанного в инерциальной системе отсчета:

I

_ + (у,У)у = 8--Ур. (1)

от р

В состоянии статики уравнение (1) принимает вид [5]:

g-—УЛ=0. (2)

Ре

Пусть в атмосфере возникают малые возмущения, то естьр = ре + р', р' <<ре, р = ре + р', р' << ре .Тогда уравнение Эйлера принимает вид:

— =--V+ (3)

А Р

Соответственно, в проекции на ось 02, исходя из (2), справедливо выражение (сделаем также допущение, что нет горизонтального движения) [8]:

^ = (4)

& ре дг р

Рассмотрим взаимодействие потока воздуха с окружающей атмосферой, причём их давления взаимно компенсированы, т. е. р = ре илир = 0. Также считаем, что справедливо уравнение состояния сухого воздуха, и тогда получаем соотношение:

* = (5)

Р т.

Введём разность температур ДТ = Т - Те, и так как Т (и Ге) меняется с высотой по линейному закону [8], то выражение для АТ принимает вид:

АТ = А0Т-Ауг , (6)

здесь Ду = уа - у - разность сухоадиабатического и вертикального градиента температур [1], Д0Т = Т0 - Те0 - разность температур на высоте z = 0.

Здесь предполагается, что осевое вращение Земли не играет роли. Так как р' = 0 в рассматриваемом примере, то, подставляя соотношение (5) в уравнение движения (4) и дифференцируя (6) по времени, получим систему уравнений, описывающую колебательные процессы в атмосфере:

сЬУ . _ ёДГ .

— = аёАТ, —- = -Ауп. (7)

& д!

где а =-«--тепловой коэффициент расширения.

т т

Ое 0

Из системы (6) и (7) вытекают уравнения гармонических колебаний для вертикальной составляющей скорости ^ и для температурных колебаний ДТ:

(8)

где - частота Брента - Вяйсяля, задаваемая соотношением [11]:

^ = (9)

Влияние рельефа местности и суточного вращения Земли. Полученные зависимости будем использовать при рассмотрении влияния рельефа местности на колебания воздуха в атмосфере. Пусть поверхность, заданная на высоте 2 = 0, в некото-

рых точках ■ наклонена к горизонту, то есть введем угол между ними - фг-. Отметим, что начальная скорость вертикальных воздушных потоков w0 зависит от горизонтальной скорости

В качестве примеров возьмём несколько точек Gг■ с различными Woг■ , считая, что одинаковое отклонение температуры Д0Т наблюдается вблизи поверхности О повсеместно.

Рассмотрим также случай, когда вследствие вращения Земли вокруг своей оси возникают суточные колебания температур (по гармоническому закону) [12]. Тогда для разности температур, исходя из зависимости (5), получим:

здесь АТ0 — Т0—Те0 - разность амплитуды суточных колебаний температур потока воздуха Т0 и окружающей среды Те0; а>0 = ^т - циклическая частота суточного вращения Земли

систему уравнений, описывающую колебания воздуха в атмосфере, как это было сделано ранее в (7):

Уг : Wo = = Уг • tgф [6].

АТ = А0Г + АТ0 сое+ у/й)~ Ауг,

(10)

(Р = 24 ч = 86400 с);

начальная фаза, зависящая от времени суток (^0 = 0, если воздух наиболее нагретый).

Учитывая зависимость (10), аналогично получим

(11)

Тогда уравнения колебаний, учитывающие внешние воздействия, имеют вид:

Результаты исследований и их обсуждение

Влияние рельефа местности

Рассмотрим колебательные процессы в атмосфере, считая, что суточное вращение не играет роли. Исследуем воздух вблизи поверхности G (z = 0), которая в некоторых точках О, наклонена к горизонту. Тогда начальные условия запишем в виде:

w (0) = wo,, ДГ(0) = ДоГ.

Соответственно, решениями уравнений колебаний (8), характеризующие зависимости w0i (t) и ДДО, являются выражения:

AT^t)=ATWOiicos(Nmt+ <р0) = iJ(A0T)2+(AT^2- cos{NBVt+<p0), (13) = sin(iVBVi + = д/(wmax0)2+(w0i)2- sin (NBVt +<p0), (14)

где w0i - скорость вертикальных воздушных потоков вблизи поверхности, обусловленная орографией (определяется крутизной поверхности tg ф) [6];

wmaxo- NBVhT0 — 0Т - амплитуда колебаний скорости w (t)

на горизонтальной поверхности, т. е. при w0i = 0;

и Ао Т

пто=-^р - уровень выравнивания температур вертикального

воздушного потока и окружающей атмосферы; (р0= arctg - начальная фаза;

_ ^ЩКщ - дополнительная надбавка к температуре, возникающая вблизи склонов. Назовем ее динамическим нагревом.

Тогда амплитуды колебаний разности температур и скорости принимают вид:

Из формулы (15) следует, что амплитуда скорости вертикальных воздушных потоков wi зависит от w0г■ , Д0Т, а также в большей степени от Ду (этот параметр может варьироваться на несколько порядков). На склонах, согласно (16), колебания ДТ также усиливаются, т. к. w0i Ф 0.

Ключевую роль здесь играет параметр разности градиента температур Ду. Если Ду— 0, то при Д0Т Ф 0 возникают существенные вертикальные воздушные потоки wmax ■, причём wmax 0 >> w0i при обычных условиях (когда w0i < 20 м/с и Д0Т < 20 К, только их и будем рассматривать) (15). Параллельно с этим уменьшается величина динамического нагрева ДТФ , (16). Тогда в (15)-(16) для амплитуд колебаний получаем следующие равенства:

АТ^=А0Т, ^ при Ду - 0. (17)

Значит, при малых Ду орография не влияет на амплитудные значения температуры и скорости. Соответственно, как на горизонтальной поверхности = 0), так и при Ду — 0 уравнения колебания (13) - (14) принимают вид ( (р0 — агс^ 0 ~ 0):

АГ(/) = А0Гсо8(^) , (18)

^(О^тахоН^ВуО . (19)

При значениях Д0Т = 0 и Ду << Дустанд (для стандартной атмосферы вблизи поверхности земли Дустанд = 0,004 К/м и станд = 0,012 с-1 при вариации Те0 от 260 К до 300 К) получаем wmax ■ = w0i и ДТтах ■ = ДТФ , т. е. амплитуды колебаний разности температур и скорости в этом случае полностью зависят от орографии.

Положение частиц воздушного потока можно определить из выражения (14), учитывая, что = ^ :

Ж,

^ (0 = [с08 % ~ 0055 + % )] =

I-2 Ы )2 (20)

= д/(Лго )2 + ^^ [С055 % - СО{5 (^ВУ* + <Ро )]

Таким образом, частицы воздуха колеблются с амплитудой

(21>

V а8АГ ^Ау

то есть на склонах их периодические отклонения от положения равновесия усиливаются.

Как и в предыдущих примерах, ключевую роль играет Ау. При Ау ^ 0 наличие даже малой крутизны поверхности tg ф приводит к тому, что w0i Ф 0, а значит, происходят отклонения частиц на большие расстояния от положения равновесия (21). То же самое происходит при АТ Ф 0. В целом, для возникновения колебаний необходимо: 1) Ау Ф 0; 2) АТ Ф 0 или Woг■ Ф 0.

Построим графики зависимостей wi (¿) и АТ (^), когда рассматривается воздух вблизи горизонтальных и наклонных участков Gi и сравним эти случаи. Также зададим Ау ~ Аустанд и Ау << Аустанд то есть исследуем, что происходит при Ау ^ 0. Пусть А0Т = 1 К (во всех примерах), w01 = 0 (горизонт), w02 = 9 м/с (склон), Ау1 = 4 • 103 К/м (Ау1 = Аустанд ), А72 = 10-5 К/м (Ау2 = ). Из рисунка 2 видно, что на горизонте в обоих случаях зависимости описываются выражениями (18) - (19). На склонах при Ау ~ Аустанд стоит учитывать возникающие вертикальные воздушные потоки вблизи поверхности w0i и динамический нагрев АТф, , т.е. wi (¿) и АТ характеризуются (13) - (14). Если же Ау << Аустанд , то получаем графики, описываемые в целом (18) - (19), однако лишь с той поправкой, что начальная скорость равна w0i , которая не сказывается заметно на сдвиге фаз и суммарной амплитуде. Значит, рисунок 1 подтверждает, что при Ау ^ 0 орография всё слабее влияет на амплитудные значения температуры и скорости.

Можно заметить, что при уменьшении Ау период колебаний будет возрастать, т.к. частота уменьшается, что видно из (9). Кроме того, при фиксированных начальных условиях, когда Ау ^ 0, суммарное значение амплитуды скорости будет резко возрастать, а разности температур - убывать до значения А0Т, что видно из выра-

ЩЪ, К

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

а)

начальная скорость нулевая атмосфера стандартная начальная скорость равна 3*«!, атмосфера стандартная

начальная скорость нулевая, Ду в 400 раз меньше начальная скорость равна 3*«!, Ду в 400 раз меньше

w (t), м/с

начальная скорость нулевая атмосфера стандартная начальная скорость равна 3*wL атмосфера стандартная начальная скорость нулевая, Ду в 400 раз меньше начальная б) скорость равна 3*«!, Ду в 400 раз меньше

Рис. 1. Колебания разности температур и скорости на различных

типах поверхностей (когда атмосфера стандартная и когда Ду^ 0): а) колебания AT(t); б) колебания w,(t).

Fig . 1. Oscillations of the temperature difference and velocity on various types of surfaces (when the atmosphere is standard and when Ay^0): a) oscillations AT(t); b) oscillations w,- (t).

жений (15) - (16) и рисунке 1. А это значит, что даже на склонах при Д0Т = 0 колебания разности температур будут практическими нулевыми (18).

Влияние суточного вращение Земли

Теперь учтём суточные колебания температур, обусловленные вращением Земли вокруг своей оси, с частотой а0 ~ 7,27 • 105 с-1. Иначе говоря, планета будет подвергаться воздействию со стороны Солнца, периодически меняющееся в течение суток [10, 12]. Тогда решениями уравнений колебаний (12), характеризующие зависимости н (¿) и ДТ(¿), являются выражения:

Щ^АТ^соь^+ер^- 2АГ0со8(бу+4 (22)

= +■ ^о)-^0 2 а8АТо + Фо). (23)

Аву-^о

Так как = , то зависимость координат частиц от времени из (23) равна:

= zmaxi[cos cos 2 [cos i^o-cos (fitf + $,)]. (24)

■"BV

Для стандартной атмосферы вращение Земли вокруг своей оси не играет существенной роли при рассмотрении колебаний разности температур и скорости, то есть выражения (22)-(23) переходят к виду (13) - (14). Однако это сказывается на движении частиц воздуха.

Можно показать, что при NBV - а0 ^ 0 происходит возрастание амплитуд колебаний, что видно из выражений (22) - (24). Рассмотрим колебания разности температур AT (t) при наличии внешних воздействий более подробно (22), в том числе биения и резонанс, для которых справедливы следующие соотношения:

NBV = а0 + Аа, |Аа/а0| << 1 - наблюдаются биения, (25)

где Аа -

разница между а0 и NBV , которая очень мала;

NBV = ю0 - условие возникновения резонанса. (26)

Введём резонансную разность градиента температур из равенств (9) и (26):

А у . (27)

/рез ag

Например, при Т0е = 273 К (а = 1/Т) получаем значение

Дурез~ ~ 1,443 • 10-7 К/м. Положим в настоящей работе, что а = const.

Сделаем замечание: для биений и резонанса Ду ~ Дурез, причём Дурез << Дустанд, т. е. выполняются условия, соответствующие Ду ^ 0 (17).

Отметим также, что при рассмотрении резонанса (26) выражение (22) теряет смысл. Поэтому решение 1-ого уравнения (12), с учётом (26), принимает вид (будем для удобства считать, что ф0 = 0) [3]:

сол

AT(/)=ArMcos(fflbí)-^-A2'0cos(fflb/)= ДТ^-^-АТо cosfoí). (28)

2

Ш

2

При рассмотрении биений (25) получаем, что Niv = (й)0 + A0)f 2Ú)0Á6D,

и тогда выражение для колебаний (22) принимает вид:

ЩО =AT^cos^)- ^АГ0со8ЦГ), (29)

Определим роль величины Ду при рассмотрении колебаний. Её удобно сравнивать с Дурез, то есть отнимем (9) и (27)

друг от друга: _Nlv-G)l

1 /рез _ ag .

Учитывая связь (27), удобно ввести параметр е:

„_Ау-Аурез_ N2bv-(q2o (30)

АУрез 0)1

Для биений (25) получаем:

АГ6иен-АГрез 2А(0 << 1 (31)

биен =-Щ-- * ПРИЧеМ биен << 1. (31)

В общем случае выражения (22), (28) - (29) удобно представить в виде:

ЩО = А^тах cos^í)--^ АГ0 cos^ (32)

где при е = 0 (резонанс) делается замена £ —> £рез

(28); при остальных значениях е определяется выражениями (30) - (31).

Проанализируем, когда происходит возрастания амплитуды. Рассмотрим биения на примере, когда амплитуды складываемых колебаний равны:

Л^шах = или АТ0 =£биев0 АТ^, (33)

биенО

где параметр £биеи0 - это такое значение £биев , при кото-

ром справедливо (33).

При фиксированных ДТ0 и ATmax - £5шва = const. Иначе говоря, при единственном значении Дубиен0 происходят биения с равными складываемыми амплитудами (30), (33), т.е. £"биено - ключевой параметр.

Тогда выражение (29) принимает вид [9]:

__/д \

Ar(í)=AZ^fcos^BvíJ-cos^íj = 2АГшах sin —t sin(*y), (34)

\ ^ j

Период биений: Acó 2 n

^биен r\ rp

T

биен

An 4 n Ъл-Ау 1

биен Acó f-^teM) o)Q Ay-Av

рез

В общем, при уменьшении Дю, Ду - период биений растёт. Амплитуда биений при равных амплитудах: ДГперем (0 = 2ДГтах Sin (^ t). Если же складываемые амплитуды не равны (Дубиен ± Дубиен0), то удобно ввести коэффициент соотношения

(АП

u

ц _ V °биен J _ ^биенО _ ^ШбиенО _

^^шах ^биен ^^биен ^У<5иен ^Уп

АГ6иен0~АГ,

рез

рез

где ^«w, =

_ АП_

биенО ДУ

- ^биен при равных амплитудах (щ = 1),

что следует из (33). Тогда выражение (34) принимает вид:

[cos (Nj) - tj cos(fi^)],

(36)

Рассмотрим подробнее примеры при различных щ, но постоянных ДТ0 и ДТтах (т. е. ебиен0 = const). Перезапишем выражение (36) виде:

г ( л \

cos 1+1 ¿¡у -rjcos(ú)0t)

vv /

А T{t) = ATm из (25), (31) и построим графики.

Пусть £бИено = 0,1 (Д7 = 1,587 • 10-7 К/м) и ДГтах = 1 К. На рисунке 2 видно, что если уменьшать ебиен (или Дт/а, Ду ^ Дурез), то амплитуда возрастет в п ± 1 раз, и будет колебаться в этих пределах [3]. Поэтому при п >> 1 график биений напоминает гармонические колебания с большими (но при этом практически постоянными) амплитудами, т. е. зависимость (36) принимает вид:

АТ^ъ-чАТ^ со8(йу), (37)

Значит, резонанс не наступает, т. к. амплитуда в течение времени меняется не более, чем в 2 два раза (что происходит при ебиен = £биен0). Также видно, что период биений обратно пропорционален - ебиен, т. е. возрастает, что было указано выше (35).

в)

■ IH

г)

Рис. 2.

Сравнение биений (г = 0,025 и г = 0,00625 при £0 = 0,1) разности температур:

а) общий вид, £6иен0 = 0,1, Лурез = 1,447 • 10-7 К/м;

б) П = 1; £биен = 0,1, ЛУрез =

в) П = 4, £6иен = 0,025, £6иен ;

1,587 • 10-7 K/м, 40 сут. (период); = 0,1, Лурез = 1,479 • 10-7 K/м, 160 сут.;

r) n = 16, £6„SH = 0,00625, Ay = 1,452 • 10-7 K/M, 640 cyT.

Fig . 2 . Comparison of the beats (e = 0,025 and e = 0,00625 at e0 = 0,1) the temperature difference:

a) general view, £5„eH0 = 0,1, Aype3 = 1,447 • 10-7 K/m;

b) n = 1; £&.eH = 0,1, AYpe3 = 1,587 • 10-7 K/m, 40 days . (period);

c) n = 4, £6„aH = 0,025, £6„eH = 0,1, AYpes = 1,479 • 10-7 K/m, 160 days . ;

d) n = 16, £6„eH = 0,00625, Ay = 1,452 • 10-7 K/m, 640 days .

10

-6

б)

б)

АЩ, K

80 60

40 20 0 -20 -40 -60 -80

АЩ, K

Рис. 3.

Колебания при:

ДГо = 1 K, A7"max = 10 K, Nbv = w„, a) t < tp; б) t >> 2tP.

Fig . 3 . AT0 = 1 K, A7"max = 10 K, Nbv = ш0, a) t < tP; б) t >> 2tP.

8

6

4

Основное условие резонанса: Ду = Дурез = 1,443 • 10-7 К/м. Также для его наступления необходим некоторый промежуток времени (28). Покажем это подробнее.

Введём коэффициент соотношения п - д^". Тогда (23) выра-

жение:

лг(г) = ДГ0

п-

сое

ко .

Соответственно, АТперем

(0 = АГо

п-

=АТп

п--

(38) Ш

где Р = 24 ч - период осевого вращения Земли.

Амплитуда колебаний будет уменьшаться в течение некоторого времени 1Р = п/п сут. и затем поменяет знак (рис. 3). Резонанс происходит при:

*»|»сут. (39)

В этом случае допустимо приближение:

ДГ(*)«-^А70со8ЦО.

то есть спустя значительное время соотношение п не играет какой-либо существенной роли, важно только значение амплитуды суточных перепадов температур

дто.

Таким образом, мы рассмотрели изменение амплитудных характеристик колебаний при различных частотах #Ву, которая зависит от Ду. Реальные колебания гораздо сложнее, так как в них происходят колебания с переменными частотами, потому что на различных высотах может быть своё значение Ду. Осевое вращение Земли играет особую роль при Ду, которые порядка Дурез, т. к. происходят биения и резонанс.

Если же ЛВу << ю0, то колебания происходят только за счёт вращения планеты вокруг своей оси (табл. 1).

Таблица 1. НАБЛЮДАЕМЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТОТАХ

БРЕНТА-ВЯЙСЯЛЯ И ГРАДИЕНТАХ ТЕМПЕРАТУР Table 1. Observed phenomena at different Brent-Vaisal frequencies and temperature gradients

Частоты ay Явление

NBV >> Шо ДУ >> ДУрез суточные перепады температуры не играют роли

NBV ~ Шо Ду ~ ДУрез биения

NBV = ДШо ДУ = Д/рез резонанс

Nbv << Ш ДУ << ДУрез колебания происходят за счёт суточных перепадов температуры

Выводы

Показано, что в стандартной атмосфере осевое вращение планеты не сказывается на колебательных процессах в атмосфере, при этом учитывается рельеф местности. Однако имеет место быть случай, когда разница между вышеуказанными частотами крайне мала или нулевая (это возможно при Ду << Дустанд). Тогда происходит возрастание амплитуды колебаний, т.е. биения или резонанс. В этих случаях орографию можно не брать во внимание при рассмотрении колебаний скорости и температур: динамический нагрев оказывается очень малым, а собственные амплитуды скорости значительно больше скоростей вертикальных воздушных потоков, вызванных рельефом. В целом, можно выделить следующие закономерности:

1) Частота Брента-Вяйсяля связана с разностью

градиента температур Ду зависимостью (9), и при стандартных условиях эти величины равны ДУстанд = 0,004 К/м и Nвv станд = 0,012 с-1. Следовательно, вращение Земли вокруг своей оси обычно не сказывается на атмосферных колебаниях скорости и разности температур, так как её циклическая частота ~ 7,27 • 10-5 с-1, т. е. << ю0.

2) При рассмотрении воздуха вблизи поверхности земли особое внимание уделяют рельефу. Он влияет на колебательные процессы следующим образом: чем больше угол наклона поверхности к горизонту ф, тем выше скорость восходящих потоков а значит, тем сильнее динамический нагрев ДГфЬ что приводит к возрастанию амплитуд ДТтах , и ^тах

3) В случае, когда Ду ??? Дурез (или Ду ^ 0), особенностям поверхности земли можно не придавать значения из-за малого динамического нагрева ДТф{ при стандартных скоростях

4) Соответственно, при ^ 0 происходит возрастание амплитуды, что сначала приводит к биениям (Ду ??? Дурез), а затем, при дальнейшем уменьшении этого соотношения, к резонансу (Ду = Дурез). Их условия возникновения определяются выражениями (25)-(26), то есть зависят от Да (также, соответственно, от Ду, что видно из (30)-(31)). Кроме того, для наступления резонанса необходимо время (41).

Благодарности

Работа поддержана Северо-Кавказским центром математических исследований по соглашению № 075-02-20211749 Министерства науки и высшего образования Российской Федерации.

Библиографический список

1. Блейк Д ., Робсон Р Физические основы динамики атмосферы и метеорологии . Долгопрудный: Интеллект, 2016 . 159 с .

2 . Дашко Н . А . Курс лекций по синоптической метеорологии,

Владивосток: ДВГУ, 2005. 523 с .

3 . Ландау Л .Д ., Лифшиц Е . М . Механика . 4-е изд ., испр . Моск-

ва: Наука . Гл . ред . физ . -мат. лит., 1988 . 215 с . (т. I) .

4 . Ландау Л .Д ., Лифшиц Е . М . Теоретическая физика . Гидро-

динамика . 3-е изд ., испр . Москва: Наука . Гл . ред . физ . -мат. лит. , 1986. 736 с . (т. VI) .

5 . Матвеев Л . T. Курс общей метеорологии . Физика атмосфе-

ры . Л .: Гидрометеоиздат, 2000 . 752 c .

6 . Полянская Н . Е . , Закинян Р. Г. Исследование влияния ре-

льефа Ставропольского края на динамику тепловой конвекции // Наука . Инновации . Технологии . № 2 . 2013 . С . 3542

7 . Рабинович М . И ., Трубецков Д . И . Введение в теорию коле-

баний и волн . Москва: Наука, 1984 . 432 с .

8 . Рыжков РД ., Аванесян К. С . , Смирнова Л . Н . , Закинян Р. Г.

Двумерная модель тепловой конвекции сухого воздуха в атмосфере // Наука . Инновации . Технологии . №1. 2019 . С.117-130.

9 Савельев И В Курс общей физики Т 1: Механика, колебания и волны, молекулярная физика Москва: Наука, 1970. 517 с.

10 Сидоренков Н С Небесно-механические причины изменений погоды и климата Москва: Геофизические процессы и биосфера . 2015, №3, Т. 14 . С . 5-26 . 11. Симахина М . А . Условия возникновения и методика расчета параметров конвекции в атмосфере: диссертация кандидата физико-математических наук: 25. 00 . 30 [Место защиты: Высокогор . геофиз . ин-т] . Ставрополь, 2010 . 181 с . 12 . Sidorenkov N . S . The interaction between Earth's rotation and geophysical processes . Weinheim . WILEY-VCH Verlag GmbH & Co . KGaA, 2009 . 317 p .

References

1. Blake D ., Robson R . Physical foundations of atmospheric dynamics and meteorology . Dolgoprudny: Intellect, 2016. 159 p .

2 . Dashko N .A. Course of lectures on synoptic meteorology,

Vladivostok: FENU, 2005 . 523 p .

3 . Landau L. D . , Lifshits E . M . Mechanics . 4th ed ., Rev. M . : Sci-

ence . Ch . ed . phys . -mat . lit . , 1988 . 215 p . (vol . I) .

4 . Landau L . D . , Lifshits E . M . Theoretical physics . Hydrodynam-

ics . 3rd ed ., Rev. M .: Science . Ch . ed . phys . -mat . lit . , 1986 . 736 p . (vol . VI) .

5 . Matveev L . T. General Meteorology Course . Physics of the at-

mosphere . L . : Gidrometeoizdat, 2000 . 752 p .

6 . Polyanskaya N . E ., Zakinyan R . G . Research of influence of a

relief of Stavropol Krai on dynamics of thermal convection // Science . Innovations . Technologies . № 2 . 2013 . P. 35-42 .

7 . Rabinovich M . I., Trubetskov D . I . Introduction to the theory of

vibrations and waves . - Moscow: Nauka, 1984 . 432 p .

8 . Ryzhkov R. D . , Avanesyan K. S . , Smirnova L . N ., Zakinyan

R G To the two-dimensional model of heat convection of dry air in the atmosphere // Science Innovations Technologies №1. 2019 . P. 117-130 .

9 . Saveliev I . V. General Physics Course . Vol . 1: Mechanics, os-

cillations and waves, molecular physics . M . : Nauka, 1970 . 517 p .

10 . Sidorenkov N . S . Celestial-mechanical factors of the weather and climate change Moscow: Geophysical Processes and the Biosphere . 2015, № . 3 . , Vol . 14 . P. 5-26 . 11. Simakhina M .A . Conditions of occurrence and method of calculating the parameters of convection in the atmosphere: dissertation of the candidate of physical and mathematical sciences: 25. 00 . 30 [Place of protection: Vysokogor. geophysis . in-t] . Stavropol, 2010 . 181 p . 12 . Sidorenkov N . S . The interaction between Earth's rotation and geophysical processes . Weinheim . WILEY-VCH Verlag GmbH & Co . KGaA, 2009 . 317 p .

Поступило в редакцию 28.12.2021, принята к публикации 25.01.2022

Об авторах

Афанасьев Игорь Сергеевич, студент направления 03. 04 .02 Физика, физико-технического факультета Северо-Кавказского федерального университета . Телефон 8-906-469-86- 97 E-mail: afanasevigor278@gmail . com .

Закинян Роберт Гургенович,

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической и математической физики физико-технического факультета Северо-Кавказского федерального университета Телефон (8652)330660 E-mail: zakinyan@mail ru

About the authors

Afanasyev Igor Sergeevich, student of the direction 03 .04 .02 Physics,

Faculty of Physics and Technology of the North Caucasus

Federal University.

Phone 8-906-469-86- 97

E-mail: afanasevigor278@gmail . com .

Zakinyan Robert Gurgenovich,

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Theoretical and Mathematical Physics of the Faculty of Physics and Technology of the North Caucasus Federal University Phone (8652)330660 E-mail: zakinyan@mail ru