CC BY
29
Динамика конструкций и сооружений
КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКОГО КУПОЛА ПЕРЕКРЫТИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК
А. Г. ШЕВЛЯКОВ, канд. техн. наук
Московский государственный университет природообустройства
Для эффективного развития строительной индустрии страны важную роль играют научно-конструкторские и технологические исследования и разработки в области строительства, архитектуры и жилищно-коммунального хозяйства. В этой связи актуальным является развитие новых методов динамических расчетов строительных конструкций и сооружений, испытывающих действие воздушных ударных волн, возникающих при детонации обычных химических взрывчатых веществ (ВВ). К настоящему времени в этой области выполнены обширные теоретические и экспериментальные исследования, составляющие теоретическую основу рационального проектирования строительных сооружений наземного расположения. Так в работе [1] в пространственной постановке построена механико-математическая модель многослойного полусферического купола свода, воспринимающего кратковременные интенсивные нагрузки осе-симметричного типа. Теоретическую основу расчетной модели составляет система точных трехмерных уравнений динамической теории упругости. Результаты прочностного расчета представлены графиками зависимости компонентов напряжений в строительной конструкции для различных моментов времени и для фиксированных характеристик железобетона. Изучены формы вынужденных поперечных колебаний полусферического железобетонного купола для разных (фиксированных) моментов времени. Получены законы изменения напряжений и перемещения различных точек купола, вызванные действием сил собственного веса (в статике).
Приближенная постановка задачи, при которой все характеристики напряженно-деформированного купола перекрытия отнесены к срединной поверхности, предложены в работе [2]. Вопросы повышения прочности и надежности несущих элементов строительных конструкций в форме сферических куполов изучались также авторами работ [3-9].
Новые методы расчетов динамических нагрузок на элементы конструкций представлены в монографиях [10-13]. Показано, что воздушная ударная волна (ВУВ) характеризуется весьма малым временем действия на поверхность сооружения и имеет порядок (10"3-И0"2) с. При таких воздействиях в строительной конструкции могут возникнуть взрывоопасные динамические напряжения, вызывающие разрушение конструкций. Поэтому вопросы прогнозирования появления опасных напряжений являются одними из главных при рациональном проектировании сложных технических систем. Методы динамических расчетов специальных строительных сооружений изложены в работах [14,15]. Комплекс правил по динамическому расчету сооружений специального назначения представлен в справочном руководстве [16]. В работах [18-20] исследованы защитные мероприятия от разрушения строительных конструкций, выполненные на базе подробного анализа напряженных и деформированных состояний и образования зон повышенного нагружения. Методы интегральных преобразований в нестационарных (динамических) задачах волновой механики изложены в монографиях [22, 23]. Проблемы безопасности строительных конструкций при воз-
никновении чрезвычайных ситуаций (ЧС) в строительной индустрии обсуждаются авторами работ [24-26].
Важно отметить, что исследованию динамических проблем строительной механики посвящено большое количество работ, включая обширные монографии, труды различных конференций и многочисленные журнальные статьи. Их подробный литературный обзор выходит за рамки настоящей работы.
Основной целью данной работы является построение математической модели взаимодействия воздушной взрывной волны с наружной поверхностью сферического купола перекрытия, позволяющей прогнозировать параметры напряженно-деформированного состояния как в отдельных точках, так и в сечениях, в которых возникают опасные динамические напряжения. В качестве рабочего инструмента используется интегоальное шэеобоазование Лапласа.
---- 1 * *
Предположим, что в точке О в некоторый момент времени произошла детонация сосредоточенного заряда, которая генерирует в воздушном пространстве волну сжатия о ,пис. IV
Рис. 1. Геометрия задачи: система сферических координат в, <р; 0<д<а, 0< <р<2п, с центром в точке С; точка О - центр взрыва
В некоторый момент времени, принимаемый за начальный I = 0, фронт взрывной волны достигает наружной поверхности сферического купола и начинает взаимодействовать с ним. В качестве закона изменения взрывного давления на конструкцию часто принимают полуволну синусоиды (или треугольный закон). Вместе с тем в монографии [13] на основании обработки многочисленных опытных данных приводится закон изменения избыточного давления, представленный на рис. 2. Эту скачкообразную экспериментальную зависимость впредь будем аппроксимировать затухающей экспонентой.
Совместим центр купола с началом сферической системы координат в точке С и будем рассматривать купол в форме сферического сегмента, полураствор а которого определяется неравенством 0<в<а; координатный угол <р (угол долготы) изменяется в пределах 0 < <р < 2к. Ось Сг направим вверх. Положительное направление взрывного давления q{t) совпадает с направлением внутренней нормали. Относительно вертикальной оси задача обладает симметрией, по-
этому все искомые функции не зависят от угловой координаты <р. Угловая координата в отсчитывается от оси Сг вправо.
Рф _
О
Рис. 2. Изменение давления в воздухе во времени t (*>0) в фиксированной точке пространства г - const при прохождении фронта взрывной волны [13]
Напряженно-деформированное состояние сферического купола описывается следующей системой дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами [2]
1
sin в дв
(Ng sin e)-N(pctg0 = phR
д2и dt2
,d2w
(1)
Ne+N<p=pkR—— + Rq(t), 0<9<а,0й<р< In.
dt
Здесь Nff(0,t) и внутренние нормальные усилия в стенке сфери-
ческого купола; они направлены вдоль параллели и меридиана; R и h - радиус срединной поверхности купола и его толщина; р - плотность материала; и(в, t) и w(d, t) - тангенциальная и нормальная компоненты вектора перемещения произвольной точки срединной поверхности перекрытия; q{t) - нормальное давление во фронте воздушной волны, задаваемое в форме затухающей экспоненты
<7(0 = Яо exp(-^i) при t > 0, у > 0 , (2)
где <7о и у - амплитуда максимального давления в падающей волне сжатия и параметр затухания её амплитуды.
Продольные усилия в стенке купола Ng и Nv через компоненты вектора
перемещения выражаются следующими формулами
Na=-
Eh
до-
•У2)
ди ~дв
+ wwctg0+(l + v)w
Ntp =
Eh
R( 1
-v2)
ди /, Mctgtf + v — + (1 + u)w дв
h
Nm
(3)
Здесь Ей V- модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона железобетона. В дальнейшем задачу будем решать в безразмерных величинах; в качестве единиц измерения используем радиус сферического купола, плотность его материала р и время Т:
_ и _ * ъ \-у2) ъ Я9(\-у2)
и = —, >к - —, N/3 =-, Лгт =---,
А А ЕЪ 9 Ек
_ яТ2 Я =
/*2
(4)
После этого система определяющих уравнений (1) относительно безразмерных переменных (черточки над буквами сверху опущены) запишется в виде
д2и лди . ж 2Лч „ 1 д2и
двл с2 Ыл
1
ди Л 1 д у/ о(0 Л . л
дО (1 + У)с2 дГ Лс (1 + V)
Первое уравнение этой системы принадлежит к гиперболическому типу и потому в плоскости переменных (в, /) имеет действительные характеристики, по которым распространяется волновое возмущение в железобетонном куполе.
Принимается, что сферический купол по периметру 6 = а, 0<<р <2я оперт на упруго податливый контур с параметром податливости к. В полюсе в = 0 выполняются граничные условия симметрии задачи
Ив=к-и при в = а, 0<<р<2я-, и = 0, — = 0 при 0 = 0. (6)
дв
При формировании граничных условий на опорном контуре будем исходить из того, что опорные закрепления элементов конструкций реальных сооружений, как правило, обладают определенной податливостью, которую не всегда можно игнорировать в расчетных моделях.
Известно, что упругое опирание является одной из простейших схем упругого основания. Принимается гипотеза, что упругие свойства такого основания определяются коэффициентом жесткости к так, что в точках опорного контура выполняется граничное условие (6). В предельном случае к -> оо получается граничное условие жесткого закрепления опорного контура в = а .
Начальные условия задачи, соответствующие состоянию покоя купола свода до начала действия на него фронта взрывной волны
и = -н> = й = -н> = 0 при /<0,0<в<а. (7)
Полученную начально-краевую задачу решаем с помощью одностороннего преобразования Лапласа по времени с параметром з (Яе^>0). При этом система уравнений (5) в частных производных обращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно трансформант м(#,$) и м>{в, s) следующего вида
¿О2 <М ¿0 \с)
(¡и « 4 . . я 5 УУ 9(5)
и,
<М (1 + у)с2 (1 + у)Ис2
Из второго уравнения после дифференцирования по угловой координате получаем равенство
dw = l d6~ 8
Г d1ü dü
+ — ctg0 —
S = 2 + -
(l + v)c¿
(9)
М2 М &т2ву
Подставляя это выражение в первое уравнение системы (8), получаем независимое дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции й с переменными коэффициентами
d4 de2
+ ctg0
dü
dd ó-l-v
v+c42e- 1+v
s sinz e
V2
\C)
m = 0. (10)
С учетом очевидного соотношения
1 + V
1 l+V-0
+-:— уравнение
Ssin2 в sin2 e 5sin20
/1 АЧ___________________________y.________________Л____
I IUI мижии IllJCilly 1<1ВИ I Ь H lüKUn JIVOMBiUlCn i пии шиимс
V Л 1 ' " » 1
d2ü de2
+ Ctg0-+
6 de
sin2 6.
и = 0,
P =
s4+sV(3 + v) + 2c4(l-v2)
(П)
Í2+C2(l-V2)
В дальнейшем полагаем ft = Л(Л +1), откуда Я^ = — 1/2 ± д/1/4 + /3 .
Общее решение однородного уравнения (11), выраженное через две произвольные постоянные интегрирования А\ и Ai, задается равенством
й(в, s) = Ах Pj (cos в) + А2 (cos в), (12)
в котором и - присоединенные функции Лежандра. Поскольку функция
о\ (cos в) в полюсе #=0 обладает сингулярностью, то коэффициент А2 следует
положить равным нулю (А2 =0).
Первое граничное условие (6) можно записать в такой эквивалентной форс/и
ме
de
+ vMctg#-(l + v)w = kü при в = а .
(13)
С помощью второго уравнения системы (8) его можно представить в таком
виде
f l + v
dü_ dB
-+
l + v
CtgSÜ-
Ф) She2
- kü при в - a
(14)
После подстановки сюда общего решения (12) получаем следующее выражение для произвольной постоянной интегрирования Л i
Ах =-91(s)51?ji(cosa) + ?ji(cosa)(52 ctga-A:)]"1,
.. q(s) р . l + v „ l + v (15)
BI=V-
She* $ 5
Из второго уравнения системы (8) получим выражение для радиального перемещения w точек срединной поверхности купола свода при ударе по нему фронта воздушной взрывной волны сжатия. Угол а раствора купола может принимать произвольные значения из интервала [0; я72]. Если угол а изменяется в пределах (я/2;л), то имеем дело со сферическим сосудом с круговым отверстием в окрестности полюса в -п .
Зависимости (3) позволяют вычислить внутренние силовые факторы Л^ и
л
Ир, определяющие развитие напряженного состояния в куполе перекрытия
при действии на него фронта воздушной ударной волны.
Следовательно, в пространстве изображений преобразования Лапласа построено точное аналитическое решение поставленной начально-краевой задачи в следующей форме
и = АХР]^ (совв\
<1Р\ (сов0)
W =
л/. = л.
tf "I
N0 = A{
-+f; (cos^ctgt»
de V 6
+ •
a(s)
dP\ (cos в)
au
j/P1 (roe ft~\cia ft
3. —- / --o-
dp] (cos в) , v——-+ p] (cos9)c\%e
dd
he (l+ v)
— Л 4- LAW
- (1 + v)\v.
(16)
Для построения оригиналов полученных изображений применяется метод численного обращения преобразования Лапласа с помощью смещенных полиномов Лежандра, по которым решение (16) раскладывается в сходящиеся бесконечные ряды [22,23]. Коэффициенты этих разложений вычисляются через равноотстоящие значения трансформант Лапласа вдоль вещественной оси s.
На базе построенных аналитических решений выполнены числовые расчеты перемещений и и w, скоростей и и w, ускорений й и w, а также нормальных усилий N д и Nv в различных сечениях свода 0 = const по меридиану.
Принимались следующие исходные данные задачи для железобетонного купола в форме полусферы (а = 90°): #=10 м; h= 0,2 м; v= 0,16; Е= 2 ГПа; р= 1800 кг/м3; q0= 0,28 ГПа; ¿=103 Па; у=0,1 с"1; т=10"2 с.
Через т обозначена длительность действия воздушной ударной волны на рассматриваемый конструктивный элемент. Числовые результаты работы представлены характерными эпю-U мс рами. Эволюция во времени вертикального перемещения полюса (0=0) перекрытия (положительный прогиб направлен вниз) изображается кривой на рис. 3. Её ход показывает, что на начальном этапе полюс купола совершает колебательное движение, которое характе-
D 0 6 0 ризуется наличием после-
Рис. 3. Зависимость от времени вертикального г
перемещения полюса полусферического купола довательности локальных 46
-0.03
экстремумов. Постепенное уменьшение амплитуды обусловливает приход в вершину купола фронта упругой волны, отраженной от упруго опертого кругового контура. Тенденция развития ускорения той же точки графически представлена кривой на рис. 4.
#,м/с2
3,0
1,5
-1,5
-3,0
Л Л
71
и
Л
П
Г\ Л
и и
мс
12,5
25,0
37,5
Рис. 4. Зависимость от времени вертикального ускорения полюса полусферического купола
После удара фронта скачкообразного давления в вершине купола формируется процесс высокочастотного изменения ускорения нормальных движений полюса и связанных с ним вертикальных инерционных сил, вызванных кратковременным ударным воздействием взрывной волны.
Силы инерции, развивающиеся при взаимодействии тонкостенного сферического купола с ударной воздушной волной, вместе с внутренними силами А/^и N у могут значительно уменьшить несущую способность строительной
конструкции (а в отдельных случаях и привести к её разрушению).
Закономерности развития во времени нормальных й и тангенциальных и
ускорений в сечении в = 45° полусферического купола (а = л¡2) представлены кривыми на рис.5. Амплитуды касательных ускорений в три с лишним раза меньше амплитуд нормальных ускорений, вследствие чего при решении нестационарных задач для строительных конструкций касательными силами инерции можно пренебречь. Нормальные же силы инерции могут быть сопоставимы с внутренними упругими силами в данном сечении. Поэтому и разрушение при динамических кратковременных воздействиях на строительные конструкции
—2 —1
происходит за короткие промежутки времени (10 +10 ) с. Это, в первую очередь, следует иметь в виду при прочностном обосновании проектных решений. Ход кривых на рис. 5 показывает, что на волновые ускорения накладываются ещё малые возмущения, обусловленные местными флуктуациями, происходящими на фоне волнового колебания сферического перекрытия.
Обратимся теперь к исследованию форм поперечных (нормальных) колебаний полусферического конструктивного элемента (рис.6) и рассмотрим их для последовательности возрастающих (фиксированных) моментов времени после удара ^=1 мс (кривая 1); Ь=2 мс (кривая 2); /З=3 мс (кривая 3); /4=4 мс
(кривая 4). Распределение амплитуд радиальных упругих колебаний по меридиану (Ойв <90°) показывает, что окрестности полюса формируется область с интенсивным ростом во времени радиальных прогибов. В средней части конструкции формируется зона, в точках которой перемещение направлено наружу
("зона выпуклости"). В окрестности опорного контура (#->90°) происходит деформация поверхности купола, направленная во внутреннюю сторону. При переходе от одного момента времени к другому происходит трансформация форм поперечных колебаний строительной конструкции.
и, м/с2
t, мс
t, мс
Рис. 5. Эволюция во времени тангенциальных и и нормальных w ускорений полусферического купола в сечении в = 45°
Динамическая прочность и несущая способность сферического перекрытия обусловлена внутренними силовыми факторами, возникающими в отдельных сечениях при воздействии импульсивных кратковременных нагрузок. Результаты расчетов ноомальных динамических усилий Nq и N^ в фиксированном
сечении 0 = 45° показаны кривыми на рис. 7. Цифрой 1 помечено продольное усилие Ng; нормальное усилие N^ показано цифрой 2. Сценарий развития напряженного состояния в строительной конструкции при гипотетическом воздушном взрыве в сечении в = 45° показывает, что на начальном этапе воздействия воздушной взрывной волны максимальными являются нормальные усилия N9 (Np >0 при растяжении). Следствием этого является возможность
появления трещин, распространяющихся в направлении меридианов <р - const. На более поздних этапах деформирования конструкции ведущую роль играют усилия Ng, вызывающие разрушение вдоль параллельных координатных осей.
В момент разрушения ортогональные трещины в обоих направлениях сливаются в одну магистральную трещину, которая достигает предельного уровня заданных размеров, устанавливаемого для каждой марки железобетона с заданным временным сопротивлением ударным нагрузкам. 48
w 0,0
-0,01
-0,02
2 / ^ ч s" />---
^L Ч . / _,—L-—--- /' /' ----- У
0,
22,5°
45,0U
67,5°
90,0
Рис. 6. Формы поперечных колебаний полусферического купола для фиксированных моментов времени
N0, кН/м N.
t, мс
Рис. 7. Эволюция во времени нормальных усилий и Л^ в сечении в = 45°
полусферического купола
Для определения несущей способности полусферического купола весьма важно правильно установить критерий прочности конструкции. Феноменологические критерии прочности представляют собой функции /(сг}, а 2 сгв)» гДе сг£- компоненты тензора напряжений (не обязательно главные напряжения) такие, что, если / < 1, то разрушение перекрытия не происходит (заданное внешнее давление конструкция выдерживает). При / = 1 происходит разрушение купола свода. В качестве функции / выбираем безразмерное выражение
■
<Jq +сГф -o-ffCTp , позволяющее найти наибольшее давление q -» шах и момент его достижения, которое ещё может выдержать купол перекрытия.
Для уменьшения уровня разрушающих напряжений необходима разработка эффективных инженерных методов гашения интенсивных ударных волн. В работах [18-20] в качестве защитных мероприятий предлагается энергопогло-щающее покрытие наружной поверхности упругой конструкции слоем сжимаемого пористого материала. В качестве сжимаемой среды используется газонаполненные пластические массы (пенополиуретаны, пенопласты и др.). Подбор физических свойств и толщина защитного слоя представляет самостоятельную задачу.
На базе построенного в настоящей работе алгоритма можно также решать широкие классы упругих ударно-волновых задач. Отметим, в качестве примера, задачу об ударе летательного аппарата (ЛА) - самолета, вертолета - о поверхность купола защитной оболочки реакторного отделения атомной электростанции с наиболее распространенным реактором ВВЭР-1000.
Для обеспечения безопасности действующих АЭС математическое моде-
деляющих уравнений (1) дополненных условием разрушения / = 1. Обозначим массу падающего ЛА через М, подлетную скорость к защитной оболочке реактора через У0. Тогда силу удара заданной массы по упругой защитной оболочке можно рассчитать по следующей формуле
сенной падающим ЛА непосредственно перед встречей с поверхностью защитного купола перекрытия реакторного отделения.
Необходимость прогнозирования уровня ударных напряжений связана с обеспечением достаточной прочности защитной оболочки, предназначенной для безотказной работы реакторного отделения с реактором существующего типа. Многие аспекты проблемы, исследованной в настоящей статье, обсуждались в работах [24-26], так же посвященных принципам расчета строительных конструкций, подверженных действиям аварийных взрывных и ударных нагрузок, а также пожарам.
Работа выполнена в рамках Программы "Безопасность народно - хозяйственных объектов при природных и техногенных катастрофах".
1. Булычев Г.Г., Сабодаш П.Ф., Шевляков А.Г. Динамика упругого многослойного полусферического купола// Сб. научн. тр. Нелинейные явления в открытых системах. Вып. №14. - М.: Гос. ИФТП, 2003. - С.26-47.
2. Сабодаш П.Ф., Шевляков А.Г. Динамика сферического купола перекрытия, нагруженного импульсной нагрузкой// Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Тез. докл. Международной научной конференции, Москва, 1-8 июня 2001 г. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С.65-66.
3. Лужин О.В. Осесимметричные колебания сферических куполов при различных граничных условиях// Исследования по теории сооружений. - М.: Госстройиздат, 1962. Вып. 9.
Как видно, ударная сила зависит от кинетическои энергии 2 - , запа-
V 2 ,
Литература
4. Киселева Л.В. Большие прогибы жесткопластического сферического купола с шарнирным опиранием края// Исследования и расчет строительных конструкций. - М.: Госстройиздат, 1983.
5. Голованов P.O., Лавров И.М., Шаблинский Г.Э. и др. Колебания защитной оболочки реакторного отделения с ВВЭР-1000// Сейсмостойкое строительство, безопасность сооружений. - 2004. N4.
6. Куперман А. И. К расчет)' купола изотермического резервуара// Исследования по технологии и монтажу резервуаров и трубопроводов. - М.: Стройиздат, 1987.
7. Берштейн ЛЯ. Трансверсально-неоднородный сферический купол, подверженный внутреннему и внешнему давлению// Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1967. N6.
8. Сенщкий Ю.А. Расчет пологой сферической оболочки на действие произвольной динамической нагрузки// Прикладная механика. 1968. Т.4. Вып.4.
9. Хорошун Л.П. и др. Деформирование сферического купола при импульсном на-гружении// Прикладная механика. 1984. Т.20. N3.
10. Ляхов В.Н.. Подлубный В.В.. Титоренко В.В. Воздействие ударных волн на элементы конструкций. - M.: хМашиностроение, 1989.
11. Голубинский А.И., Соколов КБ. Исследование распределения давления на поверхности плоских и цилиндрических тел при падении на них взрывной волны// Труды ЦАГИ. 1979. N1298.
12. Взрывные явления. Оценка и последствия, в двух томах. Книга 2/ Перевод с англ. под ред. академика Зельдовича Я.Б. и доктора физ.-мат. наук Гельфанда Б.Е. - М.: Мир, 1986.
13. Физика ядерного взрыва, том 1. Развитие взрыва. Центральный физико-технический институт МО РФ. - М.: Наука, физматлит, 1997.
14. Рабинович И.М. Основы динамического расчета сооружений на действие мгновенных и кратковременных сил. - М.: Госстройиздат, 1945.
15. Попов H.H., Расторгуев Б.С. Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений.-М.: Стройиздат, 1981.
16. Справочник проектировщика. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций. - М.: Стройиздат, 1986.
17. Шапошников H.H. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. - М.: Машиностроение, 1981.
18. Шамин В.М. Расчет защитных сооружений на действие взрывных нагрузок. -М.: Стройиздат, 1989.
19. Осипов Г.Л., Юдин Е.Я., Федосеева E.H. Звукопоглощающие и звукоизоляционные материалы. - М.: Стройиздат, 1966.
20. Осипов Г.Л. Защита зданий от шума. - М.: Стройиздат, 1972.
21. Исследование динамики сооружений// Сб. научн. трудов ЦНИИ строительных конструкций; под ред. Цейтлина А.И. - М.: ЦНИИСК, 1982.
22. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. - М.: Наука, 1974.
23. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Ленинград: Судостроение, 1970.
24. Фролов КВ., Махутов H.A., Забегаев Л.В. Основные принципы расчета строительных конструкций, подверженных аварийным ударным воздействиям// Проблемы безопасности при чрезвычайных ситуациях (ЧС). - М.: ВИНИТИ, 1994.
25. Безопасность России "Региональные проблемы безопасности с учетом риска возникновения техногенных катастроф". - М.: МТФ "Знание", под редакцией Фролова К.В., 1999.
26. Предупреждение и ликвидация ЧС, обусловленных террористическими акциями, взрывами и пожарами. Методическое пособие. - М.: Издательство МЧС, 2003.
THE VIBRATION OF SPHERICAL DOME CAUSED BY EXPLOSIVE LOADING
A.G. Shevlyakov
