Когомологические бирациональные инварианты четырехмерных алгебраических торов Текст научной статьи по специальности «Математика»

26 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83)

УДК 512.7

КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ

(?) 2011 Ю.Ю. Крутиков,1 С.Ю. Попов2

Настоящая работа является первым систематическим шагом в получении бирациональной классификации четырехмерных алгебраических торов. Мы вычислили все когомологические бирациональные инварианты данных торов. Описали все четырехмерные алгебраические торы, изучаемый инвариант которых нетривиален.

Ключевые слова: алгебраический тор, бирациональный инвариант, когомологии, каноническая резольвента, бирациональная классификация.

Введение

Пусть Т — алгебраический п-мерный тор, определенный над произвольным полем к. Тор Т является к-формой тривиального тора <С^_, т. е. группы Т к8

и ь изоморфны, где к8 — сепарабельное замыкание поля к с группой Галуа

0. Группа Т рациональных характеров тора Т является свободной абелевой группой ранга п, на которой естественно действует группа 0. Хорошо известно, что соответствие Т ^ Т определяет дуальность между категориями алгебраических к-торов и 0-решеток [1]. Напомним, как определить тор, исходя из 0-решетки Т. Представим группу Т в мультипликативной форме, и пусть кя[Т] — групповое кольцо, на котором группа Галуа действует ’’диагонально”. Тогда

Т = Брвс(к5[Т])°.

Пусть теперь X — гладкое проективное многообразие над полем к, содержащее тор Т в качестве открытого подмножества (такая проективная модель для тора существует над любым полем, и ее построение описано в следующем пункте), X = Xк3. Тогда 0-модуль Ріс X является решеткой. Если У — другая проективная модель к-тора Т, то существует изоморфизм 0-модулей Ріс Xф$і = Ріс У®$2, где $1, $2 — пермутационные 0-модули [2]. Модули Ріс X и Ріс У, связанные таким соотношением, называются подобными. Пусть [Ріс X] — класс подобия; он является бирациональным инвариантом к-тора Т. Решетка Ріс X определяет тор Т с точностью до стабильной эквивалентности [2]. Возникает задача практического вычисления класса [Ріс X] по заданной 0-решетке Т. Эта задача легко сводится к случаю, когда действующая на Т группа является конечной. В самом деле, из

-'-Крутиков Юрий Юрьевич (yuri820710amail.ru), лаборатория ’’Математические методы защиты информации” Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2Попов Сергей Юрьевич (popov160575@yandex.ru), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

компактности группы G и дискретности решетки T следует, что подгруппа Gi, состоящая из элементов группы G, тривиально действующих на T, имеет конечный индекс в G. Пусть L = kGl — конечное расширение Галуа поля k с группой Галуа П = G/Gi. Поле L есть минимальное поле разложения k-тора T, то есть L — минимальное поле, над которым тор T разложим, а именно T L = G^^. Заметим, что решетка характеров T является П-модулем, и П действует на этой решетке точно. Таким образом, имеем целочисленное представление группы П, а выбор базиса решетки T, в котором будем вычислять матрицы действия элементов группы П на T, приводит нас к точному представлению <р : П ^ GL(n, Z), где n = dim T. Группу G = у>(П) называют группой разложения тора T; очевидно, что G = П и две группы разложения тора T сопряжены в GL(n, Z). Вернемся к классу Пикара теперь уже на конечном уровне. Вместо X можно взять Xl = = X L. При этом [PicX] = [PicXL]. Решетка PicXL, рассматриваемая как П-модуль, обладает свойством H-i(n, PicXl) = О, Уп ^ П. Назовем П-модули с таким свойством вялыми. Как известно [2], вложение T С X определяет точную последовательность П-модулей

О —> T —> T —> Pic XL —> О, (1)

где S — пермутационный П-модуль, порожденный простыми дивизорами из дополнения Xl\T. Пусть теперь

О —> T —> Si —> N —> О (2)

другая резольвента модуля T, где Si — пермутационный П-модуль, а N — вялый. В работе [2] показано, что [Pic Xl] и [N] совпадают. Будем обозначать класс [Pic Xl] символом pn(T) или просто p(T), если группа П зафиксирована. Всякую резольвенту П-модулей вида (2) называют канонической резольвентой, так как она позволяет находить основной бирациональный инвариант p(T) тора T. Заметим, что для любой подгруппы п группы П имеем класс pn (T), который также является бирациональным инвариантом тора T. Класс pn (T) равен [N], где N рассматривается как п-модуль.

Интерес к проблеме рациональности алгебраических торов, определенных над незамкнутым полем, не ослабевает уже более сорока лет. Эта проблема почти всегда редуцируется к вычислению основного бирационального инварианта p(T) алгебраического тора T. Один из важных результатов В.Е. Воскресенского состоит в том, что тривиальность этого инварианта равносильна стабильной рациональности алгебраического тора. Уже в момент появления этого результата была высказана гипотеза, что стабильно рациональный тор является рациональным над полем определения. В недавно вышедшей монографии [3] представлено доказательство этой проблемы. Заметим, что данный результат имеет весьма интересное прикладное значение в области торической криптографии: на группах точек рациональных торов, определенных над конечным полем, возможно построение криптосистем с очень хорошими параметрами. С результатами в данном направлении можно ознакомиться в работах [4-6].

Существует несколько направлений исследования рациональности алгебраических торов. Один из них связан с рассмотрением максимальных торов без аффекта в связных полупростых алгебраических группах. В работе [7] впервые В.Е. Воскресенский и Б.Э. Кунявский разобрали случай максимальных торов без аффекта в присоединенных и односвязных классических группах. Их результаты получили обобщение в работе А.А. Клячко [В], в которой он установил выполнение принци-

па Хассе и слабой апроксимации для максимальных торов без аффекта в полу-простых алгебраических группах, определенных над полем алгебраических чисел следующих типов: внутренние формы Шевалле, односвязные группы, присоединенные группы и простые группы. Частные результаты, касающиеся рациональности максимальных торов без аффекта в исключительных алгебраических группах, можно найти в работах [9; 10]. Другой подход — это последовательное изучение торов размерности 1, 2, и т.д. Как известно, все алгебраические торы размерности один и два являются рациональными над полем определения [2]. Первый пример нерационального алгебраического тора — трехмерный тор с биквадратич-ным полем разложения — был найден Б.Э. Кунявским. Он же получил полную бирациональную классификацию трехмерных алгебраических торов [11]. Уже по поводу четырехмерных торов мало что известно: частные результаты можно найти в работах [9; 10].

Настоящая работа является первым систематическим шагом в получении бира-циональной классификации четырехмерных торов. Напомним, что наряду с основным бирациональным инвариантом p(T) алгебраического тора T важное значение имеет и производный когомологический инвариант H 1(k, Pic X), так как вычисление этой группы позволяет установить выполнение принципа Хассе и слабой апроксимации, а значит, имеет важное значение не только для бирациональной геометрии алгебраических торов, но и для их арифметических приложений. Для трехмерных алгебраических торов все когомологические бирациональные инварианты были вычислены в статье [9]. Мы же получаем аналогичный полный перечень для четырехмерных алгебраических торов. Отметим также, что, решая данную задачу, мы доказали нерациональность максимального алгебраического тора без аффекта в связной полупростой алгебраической группе, определенной системой корней типа F4.

1. Каноническая резольвента и методы ее построения

Во введении мы напомнили определение канонической (вялой) резольвенты

Воскресенского для алгебраического к-тора Т с минимальным полем разложе-

ния Ь, П = Оо,1(Ь/к). Кратко опишем алгебраический способ ее нахождения, пользуясь следующим соглашением: для всякого П-модуля М будем обозначать через

М = Иош(М, Z) двойственный к М П-модуль.

Т Т о Т

Имея эпиморфизм П-модулей Б ^ Т , где Б — некоторый пермутационный П-модуль, рассматриваем гомоморфизмы Т ^ (Т )П для всех подгрупп п группы П. Добавляя, если необходимо, прямые пермутационные слагаемые к Т, можно добиться того, что данные отображения станут сюръективными для любой подгруппы п. Тогда рассмотрим точную последовательность:

-—0 - -о

0 —> N —> Т —> Т —> 0, (3)

которая в свою очередь индуцирует точную последовательность когомологий

^ ^ 0 -—-о

0 ^ N )П ^ ТП ^ (Т )П ^ Н 1(п, N ) ^ 0.

А это в свою очередь будет означать, что Н1 (п^ ) = 0, Уп ^ П. Так как

H 1(n,N) = H 1(n,N ) = 0, то, обратив по двойственности точную последовательность (3), мы получим каноническую резольвенту.

В статье [17] мы обосновали, что для построения канонической резольвенты

достаточно проверить условие сюръективности только для подгрупп П, получаю-

- о

щихся в результате работы следующего алгоритма, примененного к M = T .

Алгоритм 1.1 (оптимальный перебор подгрупп). Пусть M — Z-модуль без кручения конечного ранга, на котором действует конечная группа П.

i. Для каждого элемента g группы П находим Z-подмодуль инвариантов M ^, создаем из них список List.

ii. Пусть List' = List, тогда в List добавляем все возможные попарные пересечения элементов списка List'. Если множества List' и List совпадают, то переходим к следующему шагу, иначе повторяем шаг ii.

iii. Для каждого элемента Ki G List вычисляем подгруппу n(Ki), состоящую из всех элементов группы П, тривиально действующих на Ki. Получаем список подгрупп {п(К)}.

2. Четырехмерные торы

Пусть Т — произвольный четырехмерный к-тор с минимальным полем разложения Ь и П = Оа1(Ь/к). Пусть О — группа разложения тора Т, она является конечной подгруппой в СЬ(4, Z). Согласно теореме Жордана, О содержится в одной из максимальных конечных подгрупп Ш в СЬ(4, Z). Таких подгрупп конечное число; все они описаны в статье С.С. Рышкова [13]. Если мы построим каноническую резольвенту с вялым модулем N для алгебраического тора с максимальной группой разложения, то ограничение на подгруппу О даст нам каноническую резольвенту и для тора Т, а значит, мы вычислим и Н 1(О,1). Заметим, что нам достаточно рассмотреть неразложимые максимальные подгруппы, так как в противном случае рассматриваемый тор Т является прямым произведением торов меньшей размерности, для которых бирациональная классификация уже проведена [2; 9; 11].

В данной работе мы использовали алгебраический способ нахождения канонической резольвенты; мы просто предъявляли соответствующий модуль Т, доказывая, что он удовлетворяет необходимым требованиям. Кроме того, известный результат [15] (гл. 4, §6) говорит, что р-компонента группы Н 1(О,1) содержится в группе Н 1(Ор,1), где Ор — силовская р-подгруппа в О. Таким образом, мы будем рассматривать не сами максимальные подгруппы в СЬ(4, Z), а только их силовские подгруппы, выделяя подгруппы с нетривиальным инвариантом, если такие найдутся. Далее для групп, содержащих выделенные подгруппы в качестве силовских, мы будем вычислять одномерные когомологии. Резюмируя все вышесказанное, мы приходим к следующему плану вычисления когомологических бирациональных инвариантов четырехмерных алгебраических торов:

I. рассматриваем все неразложимые максимальные подгруппы в СЬ(4, Z), пользуясь классификацией Рышкова;

II. для их силовских подгрупп строим канонические резольвенты;

III. для каждой подгруппы п изучаемой силовской группы вычисляем одномерные когомологии Н 1(п,1) средствами гомологической алгебры;

1у. создаем список подгрупп п из пункта ш с Н1 (п,1Т) = 0;

V. находим группы, содержащие подгруппы пункта IV в качестве силовских, и средствами гомологической алгебры вычисляем одномерные когомологии для них.

Заметим, что в некоторых случаях удалось установить тривиальность основного бирационального инварианта, что означало тривиальность и соответствующего когомологического инварианта.

В обозначениях статьи [13] максимальные конечные подгруппы в СЬ(4, Z) являются группами автоморфизмов следующих квадратичных форм:

2 | 2 | 2 | 2 С 4 . Х1 + Х2 + Х3 + Х4,

2222 б4 : Х1 + Х2 + Х3 + Х4 — Х1Х2 — Х2Х3 — Х3Х4,

Т : 4x1 + 4х2 + 4x3 + 4х^ + 2Х1Х2 — 4х1 хз — 4Х1Х4 — 4Х2Х3 — 4Х2Х4 + 2Х3Х4,

Р4 : 4x1 + 4x2 + 4х| + 4х^ — 2x1x2 — 2x1x3 — 2x1x4 — 2x2хз — 2x2x4 — 2x3x4,

2222 В : Х1 + Х2 + Х3 + Х4 — Х1Х2 — Х3Х4,

2222 Q4 : Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х1Х2 — Х1Х3 — Х1Х4 — Х2Х3 — Х2Х4.

Торы с этими группами разложения будем обозначать так же, как обозначаются сами квадратичные формы, а их группы разложения — Шо,ШБ,ШТ,ШР,Ш В и WQ соответственно.

3. Случай С4

Как известно [12], тор С4 с кубической решеткой характеров является рациональным и его основной бирациональный инвариант нулевой.

4. Случай S4

Как и в предыдущем случае, тор Б4 уже был изучен в гораздо более общей ситуации. В совместной работе [7] изучались максимальные торы без аффекта в присоединенных группах типа Ап. Случай п = 4 — это и есть случай Б4. Объясним почему. Если О — это внешняя форма типа А4, а Т — максимальный тор без аффекта в О, то Т = /4 <8> /2, здесь I.\ — стандартное обозначение для ядра пополняющего гомоморфизма е : Z[Si+l/Si] ^ Z, а группа П = 85 х 82. Пусть fl, ...,/5 — естественный пермутационный базис для Z[S5/S4], а е1,е2 — базис Z[S2]. Тогда, выбирая в качестве базиса решетки Т элементы (/1 — /2)<8>(е1 — €2), (/2 — /з) ® (е1 —

— €2), (/з — /4) ® (е1 — €2), (/4 — /5) <8> (е1 — €2), вычисляем группу разложения тора Т. Эта группа сохраняет квадратичную форму Б4, более того, она совпадает с ее группой целочисленных автоморфизмов. Итак, у торов Т и Б4 есть общая группа разложения, а значит, р(Т) = р(Б4). В работе [7], показано, что р(Т) = 0, значит, все когомологические бирациональные инварианты тора Б4 тривиальны.

5. Случай Р4

Данный тор также был изучен ранее. Так как группа ШР получается из ШБ

^ о

транспонированием ее элементов, то модуль Р4 изоморфен Б4 . С другой стороны, для случая Б4 мы показали, что П-модуль Б4 изоморфен решетке корней Q(A4), на которой действует группа автоморфизмов А(А4) = S5 х S2. Известно [14], что

двойственной к Ш(А4)-модулю Б4 является решетка весов Р(А4), на которой действует группа Ш(А4) = S5. Значит, Р4 и Р(А4) изоморфны как S5-модули. Последнее означает, что существует квадратичное расширение Г основного поля к такое, что Р4 Г можно рассматривать как максимальный тор без аффекта в односвязной полупростой группе типа А4. Этот случай был изучен Ле Брю-ном [16]. Он показал нерациональность данного тора, а также тот факт, что он является прямым множителем в рациональном многообразии. Последнее означает тривиальность его когомологических бирациональных инвариантов.

6. Случай Т

Пусть Х1,Х2,Хз,Х4 — базис решетки Т такой, что образ соответствующего матричного представления П в СЬ(4, Z) есть ШТ. Группа ШТ порождается следующими элементами:

91

( -1 -1 -1 -1

0 0 0 - 1 0 0 0 / -1 0 0 0

-1 1 1 1 -1 1 1 0 1 -1 0

0 0 1 , 92 — 1 0 1 0 , 9з -1 0 0 1

0 1 0 - 1 0 0 1 \ 0 0 -1 0

/ -1 0 1 0 \ / -1 0 0 1\

0 0 0 -1 0 0 -1 0

94 -1 0 0 0 , 95 0 1 -1 0

\ 0 1 0 -1 ) \ -1 0 0 0

Порядок группы ШТ равен 144 = 24 • 32, поэтому имеется две нетривиальные силовские подгруппы: силовская 2-подгруппа ШТ2 = {91,92,93) и силовская 3-подгруппа ШТз = {94,95).

Найдем каноническую резольвенту в случае ШТ2. Соответствующий ШТ2-модуль рациональных характеров обозначим ТБ. Если действие некоторого элемента из ШТ2 на ТБ задается матрицей 9, то действие этого же

элемента на двойственном модуле ТБ1 в двойственном базисе Х^Х^Х^Х4 задается матрицей, получающейся обращением и транспонированием матрицы 9, то есть (д2)-1. Поэтому можем считать, что на ТБ действует группа ШТЦ = {д\ ,д2, д3). Так как орбита второго базисного элемента равна

о(х2) = ±{Х2, (Х2 — Х3), (Х2 — Х4), (Х1 + Х2 — Х3 — Х4)}

о

и порождает ТБ1 , то в качестве накрывающего можно взять модуль ранга 8

Б — Z[WT2/Stab(x1)].

Имеем точную последовательность

0

N

Б!

ТБ

(4)

причем можно выбрать пермутационный базис С1,..., С8 модуля Б так, что

‘(С1) = х2, ‘Ж2) = х2 — х3, ‘(С3) = х2 — х4, ‘(С4) = х1 + х2 — х3 — х4,

‘(С5) = —х2, ‘(С6) = —х2 + х3, ‘(С7) = —х2 + х4, ‘(С8) = —х1 — х2 + х3 + х4,

и для него элементы д\ ,д2, д3 можно представить подстановками из группы S8:

д1 = (18)(26)(37)(45),д2 = (18)(27)(36)(45),д3 = (1243)(5687).

0

Применяя алгоритм оптимального перебора, получаем 9 подгрупп п. Ниже в таблице представлены вычисления, показывающие, что последовательность (4) удо-

- 0 -—0

влетворяет требованиям сюръективности отображений (Б )П ^ (ТБ )П:

№ п/п п Є ШТІ; ----.0 В — базис (ТБ )п 0 Прообраз В в (§ )П

1 (9і ,9і2 } -Х і + Хз + х4 -С4 - Сб

2 (9і! (9з )з92} -Х і - 2х4 Сз + С4

-2Х2 + Хз Сб + С6

3 99з} Х і -С2 + С4 - Сб + С7

хз 6 С + С

4 (9292, (92)2} Х і - 2х2 + Хз + Х4 Сі - С2 - Сз + С4 + С6 + С7

5 (9і(9з)29І} х і - х2 + хз С і + С2 + С4 + Сб + 2С6 + С8

-х2 + х4 С7

6 (9і 92,9*2 9зз} Х і С і + С4 + С6 + С7

7 (9!(92)292} Х і - 2хз -Сз + С4 + Сб - С6

-Хз + х4 7 С + 2 С

8 (9і 92,9з} Х і + 4х2 - 2хз - 2х4 С і + С2 + Сз + С4

9 (92,9\9з} Х і - 2хз С2 + С4 + Сб + С7

Переходя к точной последовательности двойственных модулей, получаем каноническую резольвенту:

0 —> ТБ § —> N —► 0, (5)

здесь ц>*(хг)= Хг ◦ ф- Найдем базис ф*(ТБ):

ф*(Хі) = С4 - ^ ф*(Х2) = Сі + 6 + £з + ^4 - & - £б - Сг - ^ ф*(Х3) = С2 - С4 + С6 + С8, ф*(Х4) = С3 - С4 + С7 + &.

Следовательно, ф*(ТБ) = С - С8, Сі + С2 + Сз + С4 - Сб - Сб - С7 - С8, -С2 - С4 + Сб + + С8, -Сз - С4 + С7 + С8^= (Сі- Сб, С2 - Сб,Сз - С7,С4 - С8}- Ввиду точности последовательности (5), N ~ Б/ф*(ТБ). Возьмем в качестве базиса § = (Сі, С2,Сз,С4,Сі -

- Сб,С2 - Сб,Сз - С7,С4 - С8}, тогда N = ([Сі], [С2], [Сз], [С4 ]}, где [С*],* = 1...4 — классы смежности соответствующих элементов. Покажем, что N является пермутацион-ным ^Т2-модулем:

Зі [Сі] = [діСі] = [С8] = [С4], ді [С2] = [Сб] = [С2],9і[Сз] = [С7] = [Сз],9і[С4] = [Сб] = [Сі],

02 [Сі] = [С8] = [С4], 92 [С2] = [С7 ] = [Сз], 92 [Сз] = [Сб] = [С2],З2[С4 ] = [Сб] = [Сі],

дз[Сі] = [С2],9з[С2] = [С4],9з[Сз] = [Сі],9з[С4] = [Сз].

Таким образом, [!§] = 0, а соответствующие когомологические бирациональные инварианты нулевые.

Найдем каноническую резольвенту в случае ^Тз- Соответствующий

. -—0

^Тз-модуль рациональных характеров обозначим ТБ. На ТБ действует

группа ^Тз = (94, 9б}- Пусть Хі,Х2,Хз,Х4 — двойственный базис Т . Так как орбиты элементов Хі, -Хі + Х2 и -Хі - Х2 + Хз соответственно равны

о(хі) = {Хі, Х2, -Хз, -Х4, -Хі + Хз, -Хі + Х4, -Х2 + Хз, -Х2 + Х4, Хі + Х2 - Хз - Х4}, о(-Хі + Х2) = {-Хі + Х2, -Хі + Х2 + Хз,Хі - Хз - Х4},

о(-хі - Х2 + Хз) = {-Хі - Х2 + Хз, -Хз + Х4, Хі + Х2 - Х4},

то они порождают ТБ . Тогда в качестве накрывающего можно взять модуль ранга 15

Б0 = Z[WTз/Stab(х1)] 0 Z[WTз/Stab(-x1 + х2)] 0 Z[WTз/Stab(-х1 - х2 + х3)]-

Имеем точную последовательность

-~-0 -0 V 0

0 —> N —► 5 ТБ —► 0, (6)

1 15 5 0

причем можно выбрать пермутационный базис С1,---,?15 модуля 5 так, что

‘Ж1) = х1, ‘(С2) = х2, ‘(С3) = -х3, ‘Ж4) = -х4, ‘Ж5) = -х1 + х4,

‘(С6) = -х2 + х4, ‘(С7) = -х2 + х3, ‘(С8) = -х1 + х3, ‘(С9) = х1 + х2 - х3 - х4,

‘(С10) = -х1 + х2,‘(С11) = С1 - х3 - х4, ‘(С12) = -х2 + х3 + х4,

‘(С13) = -х1 - х2 + х3, ‘(С14) = -х3 + х4, ‘(С15) = х1 + х2 - х4,

и для него д4, д5 можно представить подстановками из группы Я15:

#4 = (1, 8, 3)(2,4, 6)(5, 9, 7)(10,11,12)(13,14,15), д5 = (1, 5,4)(2, 3, 7)(6, 8, 9)(10,11,12)(13,15,14)-

Алгоритм оптимального перебора дает с точностью до сопряжения две подгруппы п. Ниже в таблице представлены вычисления, показывающие, что последовательность (6) удовлетворяет требованиям сюръективности отображений 00 (5 )п ^ (ТБ )п:

№ п/п п £ ШТ^ ----.0 В — базис (ТБ )п 0 Прообраз В в (Б )п

1 (д4(д5 )2) -х1 + х2 С10

-х1 + х3 + х4 -С11

2 (д4 д5) -х1 - х2 + х3 С13

124 -х1 - х2 + х4 -С15

Переходя к точной последовательности двойственных модулей, получаем каноническую резольвенту:

0 —> ТБ Б —> N —> 0, (7)

здесь ‘*(хг)= хг ◦ ‘ Найдем ‘*(ТБ):

¥>*(х1) = 6 - С5 - С8 + 6 - С10 + Си - С13 + С15,

‘*(х2) = С2 - Сб - С7 + С9 + С10 - С12 - С13 + С15,

‘ (х3) = ^3 + & + & - & - Си + ^12 + ^13 -

‘ (х4) = -& + С5 + Сб - С9 - С11 + С12 + С14 - С15-

Следовательно, ‘*(ТБ) = (^ - С5 - ^8 + 6 - С10 + С11 - С13 + £15,6 - Сб - £7 + 6 + С10 -

- С12 - С13 + С15, -С3 + С7 + С8 - С9 - С11 + С12 + $13 - СБ4, -54 + С5 + & - С9 - Си + Ь + &4 -

-С15). Ввиду точности последовательности (7), N ~ Б/‘*(ТБ)- Возьмем в качестве

базиса Б = (С5, ---,Ы,‘*(х1 ),‘*(х2),‘*(х3),‘* (х4)), тогда N = (^5],---, [65]), где [Сг],* = 5,---, 15, — классы смежности соответствующих элементов. Выясним, как ШТ3 действует на N:

д4&] = Ы^Кб] = &] = [Сб] + Ы - Ы - К10] + [Ы + [Ь] - [С15],д4Ы = &],

д4[С8] = [С3] = Ы + Ы - [С9] - [С11] + [С12] + [С13] - ^14^4^ = ],д4[С10] = [£и],

94[£и ] = [£і2],д4[£і2] = [£іо],д4[£із] = [^и],9а[^и ] = [£і5],94[£і5 ] = [£із];

95[&] = [^4] = [£б] + Кб] - [Ы - Кіі] + [£і2] + [£і4] - [£і5],05 Кб] = [£в];

95[£г] = [К2] = Кб] + [£г] - [К9] - Кі0] + Кі2] + [£і3] - [£і5],95[&] = [&],95 [^9] = [Сб],

95 Кі0] = [£іі],95[£іі] = [£і2],95[£і2] = [£і0],95[£і3] = [£і5],95[Кі4] = [Сі3],

95[£і5] = Кі4]-

Найдем его бирациональный инвариант Н1(WTз,N). Воспользуемся последовательностью "ограничение-инфляция”:

0 —► Н1^Тз/(94), N<94)) -^ Ні(ШТз,ІЧ) ^ Н).

Так как Ні((94),Т) =0 в силу вялости модуля N, и ШТз/(94) = (95), имеем

Ні((95), Nдї) = Н\ШТз,М).

Решая уравнение 94а = а, находим базис инвариантного ^подмодуля:

N{9і) = (ті = [К5 ] + [Кг] + [6], Т2 = [Кіо] + Кіі] + [Ы, тз = [Кіз] + [Км] + [Ы,

т4 = [&] - [К9] - Кіі] + Кі3],т5 = Кб] - [&] - Кі0] + [Сі4])-

Имеем следующее действие 95 на N(94):

95(ті, Т2, тз, Т4, Т5) = (ті + 2т2 - 2тз + 3т4 + 3т5, Т2, Тз, -Т2 + тз - Т4 - Т5, Т4).

Так как (95) циклическая, то Ні((95),Т(94)) = Н-і((95),К^94)) = Кег(^\ + 95 + + в)/їш(95 - е). Вычисления приводят к результатам:

Кег(9І + 95 + е) = Іт(95 - е) = (т2 - тз + 3т4, т4 - т5).

Следовательно, Н 1(WT3,N) = Ні((95),Т^94)) = 0.

7. Случай В

Пусть Хі,Х2,Хз,Х4 — базис решетки В такой, что образ соответствующего матричного представления П в СЬ(4, Z) есть WB. Группа WB порождается следующими элементами

/ -1 0 0 0 \ / -1 0 0 0 \ -1 0 0 0 \

-1 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0

9і = 0 0 -1 0 , 92 = 0 0 -1 0 , 9з = 0 0 1 0

\ 0 0 -1 1 \ 0 0 0 -1 ) 0 0 0 1

/ 0 0 -1 0 \ / -1 1 0 0\ / -1 1 0 0 \ \

0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0

94 = -1 0 0 0 , 95 = 0 0 -1 1 9б = 0 0 0 -1

\ -1 1 0 0 ) \ 0 0 -1 0 \ 0 0 1 -1 )

Порядок ШВ равен 288 = 25 • 32, поэтому имеется две нетривиальные силовские подгруппы: силовская 2-подгруппа ШВ2 = (д1,д2,д3,д4) и силовская 3-подгруппа ШВ3 = (д5,дб). Проведя вычисления, аналогичные предыдущему случаю, можно убедиться, что для каждой из подгрупп ШВ2 и ШВ3 вялый модуль N является пермутационным ШВ2- и ШВ3-модулем соответственно. А значит, когомологические инварианты тривиальны.

8. Случай ^4

В статье [13] последняя неразложимая максимальная группа — это группа целочисленных автоморфизмов квадратичной формы:

^4

2222 : жі + Х2 + Хз + Х4 + жіж2 - хіхз - ХіХ4 - Х2Х3 - Х2Х4.

Эта группа имеет порядок |Шф| = 27 • 32. В статье [9] рассмотрена другая максимальная конечная подгруппа ШЕ в СЬ(4, Z) того же порядка, сохраняющая квадратичную форму

Е4 : х\ + х2 + х3 + х\ + Х1Х4 + Х2Х4 + Х3Х4.

Эта группа является точным целочисленным представлением группы Вейля системы корней типа Е4, вычисленным в базисе стандартной решетки ^ (см. [14]), которая и является решеткой корней (= решеткой весов) для Е4. Группы WQ и ШЕ целочисленно эквивалентны. В статье [17] полностью изучен случай ШЕ. Таким образом, случай Q4 рассмотрен и с учетом результатов работы [9] о трехмерных алгебраических торах мы можем приступить к формулировке основного результата работы. Прежде примем следующее соглашение. Каждой матрице из 0(4, Z) поставим в соответствие четырехмерный массив, каждый элемент которого показывает, на каком месте в соответствующем столбце матрицы стоит

/ -1

±1. Через т обозначим такую матрицу 2

1 -1

-1 -1 -1 -1

100 0

0 0 1 000

1/2 1 0 1/2 1/2 1/2

-1 1

-1 1 11

а через Т

обозначим матрицу перехода от базиса стандартной решетки

£ к базису стандартной решетки £2. Покажем на примере, как по обозначению в нижеследующей теореме восстановить элемент WF.

(-2 4 3 1)т =

( 0 0 0 1 -1 1 1 -1

-1 0 0 0 1 -1 -1 -1 -1

0 1 0 0 2 -1 1 -1 1

\ 0 0 1 0 1 1 -1 -1

/ 1 0 0 0\

= 1 0 -1 -1 0 0 0 -1 Є WF.

\ -1 1 -1 0

= А^Т-іАТ =

Теорема. Пусть Т — четырехмерный алгебраический к-тор с группой разложения Ш, X — гладкая проективная модель тора Т, X = X <8> к8. Тогда

1. когомологический бирациональный инвариант Н 1(Ш, Р1е X) = Z2 тогда и только тогда, когда

1.1. тор Т = Т1 х ьТ3, где Т1 — произвольный одномерный к-тор, а Т3 — трехмерный к-тор, группа разложения которого целочисленно эквивалентна одной из следующих групп:

10 -1 0 0 -1

0 1 1

0 1 -1 \

1 0 -1 ]), (|

0 0 1

-1 0 0

0 -1 0

0-11

1 -1 0

0 -1 0

0 0 1

1

/01 -1 \ /-100\

^ 10 -1 , -10 1 )

0 0 -1 -1 1 0

или

ьп. группа Ш целочисленно эквивалентна одной из следующих групп в обозначениях соглашения выше

№ п/п Порядок подгруппы W Система образующих W

1 4 (-1 - 234), (-12 - 3 - 4)

2 4 (-12 - 34), (-1432)

3 8 (-12 - 34), (1 - 23 - 4), (-1432)

4 8 (-143 - 2), (-12 - 34)

5 8 (-12 - 34), (1432), (-1 - 23 - 4)

6 8 (1 - 4 - 32), (-1 - 2 - 34)

7 8 (34 - 1 - 2), (-12 - 34)

8 16 (-143 - 2), (123 - 4), (-12 - 34)

9 16 (-2341), (1 - 23 - 4)

10 16 (34 - 1 - 2), (-1432), (-12 - 34)

11 16 (34 - 1 - 2), (-1 - 234), (-21 - 43)

12 16 (-2341), (14 - 32)

13 32 (-2341), (-1432), (1 - 23 - 4)

14 48 (2431) • т, (-1 - 234)

15 48 (-2341), т

16 96 (-12 - 34) • т, (-2341)

И. когомологический бирациональный инвариант Н Р1е X) = Z2 ® 2^ тогда и только тогда, когда группа Ш целочисленно эквивалентна одной из следующих групп в обозначениях соглашения выше

№ п/п Порядок подгруппы W Система образующих W

1 8 (34 - 1 - 2), (2 - 1 - 43)

2 24 2) 1 4 - 3 -( т, 1) 3 - 4 -(2

ш. в остальных случаях Н Р1е X) = 0.

Авторы статьи благодарят В.Е. Воскресенского за постоянное внимание и поддержку, а также Б.Э. Кунявского за полезные замечания и исправления.

Литература

[1] Borel A. Linear algebraic groups. N. Y.; Amsterdam, 1969.

[2] Воскресенский В.Е. Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.

[3] Воскресенский В.Е. Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп. М.: МЦНМО, 2009.

[4] Rubin K., Silverberg A. Algebraic tori in cryptography, in High Primes and Misdemeanours: lectures in honour of the 60th birthday of Hugh Cowie Williams, American Mathematical Society, Providence: Fields Institute Communications Series; Rhoad Island. 2004. P. 317-326.

[5] Rubin K., Silverberg A. Torus-Based Cryptography // Advances of Cryptology — Crypto 2003, Lecture Notes in Computer Science 2729, Springer. 2003. P. 349-365.

[6] Dijk M. van, Woodruff D. Asymptotically Optimal Communication for Torus-Based Cryptography, M. Franklin (Ed.): CRYPTO 2004, Lecture Notes in Computer Science 3152. 2004. Springer. P. 157-178.

7] Воскресенский В.Е., Кунявский Б.Э. О максимальных торах в полупростых алгебраических группах // Деп. в ВИНИТИ, 1984. № 1269.

8] Клячко А.А. Прямые слагаемые перестановочных модулей и бирациональная геометрия. Арифметика и геометрия многообразий. Самара, 1992.

9] Попов С.Ю. Решетки Галуа и их бирациональные инварианты // Вестник Самарского государственного университета. 1998. № 4(10). С. 71-83.

10] Белова Л.А. Модули четверной группы Клейна и их когомологические инварианты // Вестник Самарского государственного университета. 2008. № 6(65). С. 59-70.

11] Кунявский Б.Э. О трехмерных алгебраических торах // Исследования по теории чисел. Саратов: СГУ, 1987. С. 90-111.

12] Воскресенский В.Е. Проективные инвариантные модели Демазюра // Известия АН СССР. Сер. Математическая, 1982. Т. 46. Вып. 2. С. 195-210.

13] Рышков С.С. Максимальные конечные подгруппы целочисленных n х n матриц // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 1972. Т. 128. С. 183-211.

14] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Системы корней. М.: Мир, 1972.

15] Алгебраическая теория чисел // под ред. Дж. Касселса и А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

16] Le Bruyn L. Generic norm one tori // Nieuw Arch. Wiskd. IV. 1995. Ser. 13. P. 401-407.

17] Крутиков Ю.Ю. Бирациональные инварианты тора без аффекта в исключительной группе типа F4 // Вестник Самарского государственного университета. 2009. № 6(72). C. 57-68.

Поступила в редакцию 26/VI/2010; в окончательном варианте — 26/VI/2010.

THE COHOMOLOGICAL BIRATIONAL INVARIANTS FOR 4-DIMENSIONAL TORI

© 2011 Yu.Yu. Krutikovf S.Yu. Popov4

This paper is the first systematic step to obtain the birational classification of 4-dimensional tori. All the cohomological birational invariants of this tori are calculated. All the 4-dimensional tori with nontrivial invariants are described.

Key words: algebraic torus, birational invariant, cohomology, flasque resolution, birational classification.

Paper received 26/VI/2010.

Paper accepted 26/VI/2010.

3Krutikov Yuri Yurievich (yuri820710amail.ru), Laboratory of Mathematical Methods for Information Security, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.

4Popov Sergey Yurievich (popov160575ayandex.ru), the Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.