Когнитивно-регрессионный подход к построению функциональной модели температурных полей оконных блоков со стеклопакетами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.001.57

КОГНИТИВНО-РЕГРЕССИОННЫИ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ОКОННЫХ

БЛОКОВ СО СТЕКЛОПАКЕТАМИ

© 2003 г. И.А. Кацко, В.Д. Таратута

Цель настоящей работы - анализ теплозащитных свойств оконных блоков из различных материалов с однокамерными стеклопакетами и выявление критических температурных режимов их эксплуатации.

Исследование основано на базе экспериментальных данных испытательной лаборатории «Строй-эксперт» Кубанского государственного аграрного университета (КГАУ), полученных при проведении испытаний по определению сопротивления теплопередаче оконных блоков по ГОСТ 26602.1-99.

В качестве объекта исследований были приняты блоки одного класса по приведенному сопротивлению теплопередаче (класс Д 2 с Я^ от 0,35 до 0,39 м2 °С / Вт) в соответствии с ГОСТ 23166-99.

Материал блоков - полихлоридные (далее ПВХ) профили различных систем, деревянные из клееного бруса, из алюминиевых сплавов. Стеклопакеты - однокамерные типа СПО - 4М1-16-4М1 по ГОСТ 24866-99.

Для удобства обработки результатов испытаний фактические экспериментальные значения приведенных сопротивлений теплопередаче оконных блоков были пересчитаны на одинаковый коэффициент остекления в = 0,7.

Граничным условием применения оконных блоков является недопустимость образования конденсата на внутренней поверхности изделий при изменяющихся параметрах как внутреннего микроклимата помещений - температуры 4 и относительной влажности фв, так и температуры наружного воздуха 4.

Учитывая то обстоятельство, что сопротивление теплопередаче светопрозрачной части оконного блока - однокамерного стеклопакета существенно меньше сопротивления теплопередаче светонепрозрачной части, критические температуры на внутренней поверхности оконного блока тв, равные температуре точки росы 4 , будут первоначально образовываться на внутренней поверхности стеклопакета.

Соответствующие температуры точки росы 4 при любых сочетаниях 4и фв определяются по стандартным таблицам максимальной упругости водяных паров, например [1].

Анализ и построение зависимостей - одна из основных проблем прикладной статистики и науки вообще. В классической постановке проблема сводится к оценке по результатам наблюдений некоторой линейной модели

Уг = ßo + £ß jXj 1 + Е

0 т Zj jj 1 т ч

j=1

(i = 1,2,...,n),

(1)

где у, - наблюдаемые значения входной переменной; Рь Р2,- -, вт - неизвестные постоянные; еь е2,...,ет -ошибки; {Ху} - известные значения наблюдений переменных Ху.

Модель (1) имеет общий характер и в зависимости от значений {Ху,} может описывать три различные схемы [2]:

а) если Ху = {0;1}, то (1) - модель дисперсионного анализа;

б) если Ху пробегает непрерывное множество значений (например, время t, температура Т), то (1) -модель регрессионного анализа;

в) если Ху, совмещает переменные а) и б), то (1) -модель ковариационного анализа.

Входные переменные Ху можно разделить на ненаблюдаемые (латентные) и наблюдаемые (явные). Среди последних выделяют контролируемые и управляемые переменные. Посредством управляемых переменных проводятся активные (планируемые) эксперименты. Контролируемые переменные позволяют провести только пассивный эксперимент.

В нашем случае практически все переменные пробегают некоторое непрерывное множество значений (кроме Я П - приведенного сопротивления теплопередаче), и их можно только контролировать, поэтому рассматриваемой задаче соответствует схема регрессионного анализа - б).

Важным моментом при построении искомой зависимости является отбор факторов Ху, существенно влияющих на результативную переменную у. Известно достаточно много путей отбора, условно их можно разделить на два класса: количественные, или формальные, и качественные, или содержательные (семантические или смысловые) [3].

Достаточно эффективным методом отбора переменных, например для построения функциональной (физической) модели, является когнитивный анализ. Когнитивный анализ (КА) как метод исследования был разработан в институте управления РАН. Идеология КА основывается на построении и последующем анализе некоторого ориентированного графа - когнитивной карты, представляющей собой структурную модель процесса. Когнитивная карта (карта познания) содержит элементы двух типов: концепты и причинные связи. Концепты - это элементы изучаемого объекта (системы), они представляются в графе вершинами. Причинно-следственные связи изображают направленными дугами, соединяющими концепты. Связи могут иметь три значения: +, -, 0 (т. е. увеличение «причинного» концепта либо увеличивает, либо уменьшает, либо не влияет на концепт «следствие»).

Когнитивная карта - это вид математической модели, представленной в виде графа, описывающего субъективную оценку знаний о каком-либо объекте или функционировании системы. Существует целый ряд подходов к построению когнитивных карт. Условно их можно разделить на две группы: лицо, принимающее решение (ЛИР), строит само когнитивную карту, используются различные формы экспертного опроса [4].

Анализ когнитивных карт можно проводить с использованием методики:

1) структурного моделирования (или путевого анализа);

2) метода Монте-Карло;

3) факторного и регрессионного анализа;

4) геометрического подхода (изучение симплици-альных комплексов);

5) разбиения графа на блоки;

В нашем исследовании рассматривались оконные блоки, классифицируемые по следующим признакам. Это одинарные оконные блоки, деревянные, из клееного бруса (евро), из ИВХ-профилей, из алюминиевых сплавов; с однокамерными стеклопакетами; одностворчатые; открывающиеся во внутрь помещения с распашным и поворотно-откидным открыванием (ОКР) и глухие, не открывающиеся (ОКГ); с двумя контурами уплотнения в притворах. В анализ результатов вошли также данные по испытаниям деревянных окон с раздельными переплетами и листовым остеклением. Все изделия изготовлены в основном фирмами-производителями на территории Краснодарского края, а также городов Ростова-на-Дону, Астрахани, Ставропольского края. Все оконные блоки по показателю приведенного сопротивления теплопередаче относятся, как отмечалось выше, к классу Д 2.

Испытания проводились при стационарных условиях теплопередачи, т. е. постоянном во времени перепаде температур 4 и 4 по обеим сторонам испытываемого образца. Иосле достижения этого условия измерялись температуры воздуха и поверхностей участка образца, а также теплового потока, проходящего через образец при стандартных условиях испытания, с последующим вычислением значений термического сопротивления и сопротивления теплопередаче. Частные значения температуры внутреннего воздуха по отдельным испытаниям колебались в пределах 4 е (12, 24 °С), температуры наружного воздуха 4е (-25, -17 °С). Кроме того, в ходе испытаний фиксировались температуры внутренней и наружной поверхностей светопрозрачной и светонепрозрачной частей оконных блоков по термически однородным зонам (твп. и тнп,) и относительная влажность внутреннего воздуха фв (результаты испытаний размещены на WEB-сайте КГАУ (Шр://^'^'^'/ kubagro.ru/public/)).

В общем случае процесс теплопередачи обусловлен температурами внутреннего и наружного воздуха 4 и 4, толщиной и теплотехническими свойствами материалов ограждающих конструкций. В нашем случае наиболее уязвимой частью оконного блока в теплотехническом отношении является светопрозрач-

ная часть, имеющая Я^ существенно меньше, чем

R.

пр

0 изделия в целом. В качестве расчетных температур на внутренней и наружной поверхностях стекло-пакетов принимались средние взвешенные с весами, пропорциональными площадям термически однородных зон, значений температур тв и тн.

Рис. 1. Схема теплопередачи

Процесс теплопередачи (рис. 1) в основном (согласно мнению экспертов) зависит от: 4 - температуры внутреннего воздуха; тв - средневзвешенной температуры на внутренней поверхности стеклопакета; 4 - температуры внешней среды; тн - средневзвешенной температуры на внешней поверхности стеклопакета; Я0 - приведенного сопротивления теплопередаче;

Д - температуры, передающейся посредством конвекции внутри стеклопакета.

Когнитивная модель процесса представлена на рис. 2, хотя она достаточно условна, однако позволяет увидеть ряд моментов. Во-первых, увеличение 4 приводит к увеличению тв (т.е. в возможном регрессионном уравнении коэффициент при 4 будет иметь знак «+»). Во-вторых, непосредственно на тв влияет Д - температура, передающаяся посредством конвекции внутри стеклопакета, пропорциональная разности (4 - 4), увеличение которой приведет к уменьшению тв (т.е. соответствующий коэффициент в регрессионном уравнении будет иметь знак «-»). (Условность когнитивной модели заключается в том, что на рис. 2 неявно предполагается необратимость процесса. В то же время, в известной мере, 4 влияет на тн и на 4 и, разумеется, 4 на 4. Но с точки зрения экспертов именно такая модель соответствует действительности.)

+

Тв

А ~ (/в - 4)

->

+

+

Рис. 2. Когнитивная модель процесса теплопереноса

В качестве альтернативного метода поиска значимых факторов применялся корреляционный анализ, который показал, что при уровне значимости а = 0,05

t

t

т

т

в

в

н

н

t

в

t

Т

н

н

для разных типов профилей существенно значимы корреляции тв с 4 и (4 - 4) (табл. 1). (Применялась интегрированная система STATISTICA®, предназначенная для комплексного статистического анализа и обработки данных в среде Windows®.)

Таблица 1

Результаты корреляционного анализа

Тип профиля 4 4 Тн ^в ^н

А1.ОКГ. 0,958 0,316 0,572 0,570

А1.ОКР 0,967 -0,696 -0,613 0,900

Дерев.е.ОКГ 0,928 0,508 0,080 0,528

Дерев.е.ОКР. 0,976 -0,138 0,223 0,750

Дерев.п.ОКГ 0,932 -0,634 -0,724 0,869

Дерев.п.ОКР 0,782 -0,288 -0,238 0,536

ПВХ.ОКГ. 0,886 0,146 0,256 0,596

ПВХ.ОКР. 0,903 0,172 0,487 0,627

Число значимых корреляций 6 0 0 3

Примечание. Цветом выделены значимые корреляции, при уровне значимости а = 0,05.

Представим модель (1) в матричном виде, для этого введем обозначения:

У1 1 хи x21 ...xm1 "ß0 " "e1 "

У2 1 х12 х22 ■■■ xm2 ß1 e2

Y = ,X = , ß = , e =

Уп _ 1 х1п х2п ■■■ xmn_ _ßm _ _en _

Теперь можно записать (1) в матричной форме:

Y = XP + е. (2)

МНТ - оценка вектора в:

b = (XT-X)-1 XT-Y,

где XT - траспонированная матрица; (XT X)-1 - обратная матрица размерности (m+1) х (m+1). Причем предполагается, что XT X - неособенная матрица, и для нее существует обратная.

У нас тв = Y, 4 = Xj, (4 - 4)=X2. Расчеты показывают, что переменные X1 и X2 коррелированны (наличие мультиколлинеарности). Поэтому матрица XTX плохо обусловлена (т. е. ее определитель близок к 0). И даже если выполняются остальные постулаты регрессионного анализа (см. замечание), то МНК - оценки вектора в становятся малоэффективными, т. е. дисперсии оценок будут большими.

Один из возможных путей оценки вектора в - это ридж-оценки (ridge - гребень, хребет), впервые введенные А. Гоэрлом. В общем виде ридж-оценка вектора параметров в модели (2) выглядит так [4]:

b(K) = (XT-X + K)-1XT • Y,

где K - неотрицательно определенная матрица размерности матрицы ХТ Х. Выбору матрицы K посвящено много работ (А. Гоэрл, Р. Кеннард, М.М. Лаврентьев, Н.Н. Лябах, И.Е. Моисеенко (Коваленко) и др.). Рассмотрим простейший случай. Пусть Z - центрированная и нормированная матрица X. Тогда для модели с m факторами (z1, z2,...,zm) оценки можно получить по формуле

bz (X) = (Z 'Z + XEm),

где Em - единичная матрица размерности m х m.

Возникает проблема определения X. Обычно рассматривают 0 < X < 1. Имеется достаточно много подходов к выбору X и обоснованию этого выбора. Однако большинство из них предполагает существование некоторой априорной информации о параметрах, например [2, 3]:

1) при X<0,01 более вероятны большие ßz;

2) при X>0,01 более вероятны малые ßz;

3) существуют некоторые ограничения на параметры типа ßzß < a2, где a2 = const.

Обычно строят графики S = S(X) = Еег2 - суммы квадратов отклонений как функции X и (ридж-след) оценок ß,(X) и выбирают X , менее которого соответствующий критерий стабилизируется. В нашем случае X можно принять равным 0,001(табл. 2, рис. 3-4).

Таблица 2

Выбор значений X

X Сумма квадратов отклонений, S ß0 ß1 ß2

0 62,8404 -3,177 1,2323 -0,284

0,00001 62,8404 -3,1775 1,23235 -0,2839

0,0001 62,8656 -3,18141 1,23195 -0,28369

0,001 63,1092 -3,22011 1,22798 -0,28096

0,01 65,415 -3,5833 1,19017 -0,25514

0,1 80,199 -5,67417 0,93459 -0,08953

1 114,9414 -4,39256 0,40643 0,11527

ß(X)

2,00 1,00 0,00 -1,00 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -6,00 -7 00 400000

0,00010 0,01000 1,00000 ■ ß0 -----ß1 -----ß2

Рис. 3. Ридж-следы координат вектора ß

S(X) 140 л 120 -100 -80 -

60 ---

40 20

0 А-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1—I—I—I X

0,00000 0,00010 0,01000 1,00000

Рис. 4. Сумма квадратов отклонений как функция X Выводы

1. Предлагается различать формальные и содержательные подходы к построению моделей сложных процессов.

2. Для построения содержательных моделей рекомендуется использовать когнитивный анализ.

3. Предлагается когнитивно-регрессионный подход к построению модели температурных полей на внутренней поверхности стеклопакетов оконных блоков при различных сочетаниях параметров внутреннего микроклимата и температуры наружного воздуха. Предлагаемый подход реализован для оконных блоков из ПВХ профилей с однокамерными стеклопаке-тами, имеющих класс по теплозащите Д 2.

4. Полученные модели применяются лабораторией «Стройэксперт» Кубанского государственного аграрного университета на практике и в научно-учебной работе.

Литература

1. Фокин К.Ф. Строительная теплотехника ограждающих частей зданий: 4-е изд., перераб. и доп. М., 1973.

2. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М., 1963.

3. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и мате-

матическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: 2-е изд. Ростов н/Д, 2002.

4. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: Научно-практическое издание. М., 1998. (Серия «Информационные технологии на пороге XXI века.»)

Кубанский государственный аграрный университет

12 ноября 2002 г

УДК 624.131.65

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ СО СЛОЖНЫМ ПОДЗЕМНЫМ КОНТУРОМ

© 2003 г. А.Г. Баламирзоев

В технической литературе однородным анизотропным называют грунт, коэффициенты фильтрации которого вдоль каждой прямой сохраняются постоянными. Частным случаем такого грунта является ортотропный грунт, а его наиболее распространенный представитель - грунт трансверсально изотропный. Эти грунты часто встречаются в основании возводимых гидротехнических сооружений. В качестве примера можно указать на грунты со столбчатой структурой (лесс), которые в вертикальном направлении имеют гораздо большую водопроницаемость, чем в горизонтальном; а также можно указать на грунт свирского девона, на слоистые грунты, где чередуются тонкие слои различной водопроницаемости, и т.д.

Рассмотрим плоскую задачу фильтрации в одной из плоскостей симметрии ортотропного грунта. Если выбрать в этой плоскости за оси координат Ь, П две главные оси фильтрационной симметрии грунта, составляющие угол а с координатными осями хОу (рис. 1, а), вдоль которых коэффициенты фильтрации равны ^ и к2, то в этом случае напор h определяется эллиптическим уравнением [1, 2]

^ 0 (!)

*1 ^ + * 2 1 2 2

дп2

= 0.

Исследование фильтрации в таком грунте заключается в решении дифференциального уравнения (1) с учетом граничных условий. Этим вопросом занимались многие авторы [2-9].

б)

Рис. 1. Расчетные схемы: а) - для действительного анизотропного основания; б) - для воображаемого изотропного основания