CC BY
19
УДК 537.52;0.3;0.4
КОЭФФИЦИЕНТ ТАУНСЕНДА И УБЕГАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ГЕЛИИ ПРИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
СКОРОСТЯХ
А. Н. Ткачев, С. И. Яковленко
Рассмотрен режим размножения электронов при больших напряженностях поля, когда электрон на длине размножения может набрать релятивистскую кинетическую энергию. Показано, что даже в таких сверхсилъ-ных полях Таунсендовский механизм размножения электронов справедлив, если расстояние между электродами достаточно велико. Получены значения коэффициента Таунсенда и дрейфовой скорости для таких полей.
1
На основе моделирования методом динамики многих частиц было выявлено [1 - 3], что если расстояние между электродами достаточно велико, то Таунсендовский режим ионизации реализуется даже в больших полях, при которых можно пренебречь ионизационным трением, и согласно традиционной точке зрения средняя энергия электронов должна непрерывно увеличиваться [4-6]. При этом коэффициент Таунсенда немонотонно зависит от отношения напряженности поля к давлению. Немонотонность коэффициента размножения приводит к двузначности кривых, разграничивающих область интенсивного размножения электронов и область ухода электронов без размножения (аналоги кривых Пашена). Эти представления приобретают дополнительную актуальность в связи с получением электронных пучков субнаносекундной длительности с рекордной амплитудой тока (в воздухе ~ 70 Л, в гелии ~ 200 Л) при атмосферном давлении [7].
Ранее были рассмотрены не очень большие напряжения, когда можно пренебречь релятивистскими эффектами. Поскольку стало возможно создание генераторов, в которых мегавольтные напряжения достигаются за наносекунду, представляет интерес рассмотреть вопрос о том, насколько применимо понятие коэффициента Таунсенда при
релятивистских скоростях электронов. Ниже этот вопрос рассмотрен на примере гелия.
Размножение и прилипание электронов
Использованная модель. Моделирование размножения и убегания электронов в гелии было проведено на основе одной из модификаций метода частиц [8]. Рассматривалось размножение и перенос электронов между плоскостями, расположенными на расстоянии (1, находящимися под напряжением С/ (напряженность поля Е = и /д). Напряжение считалось постоянным и поданным задолго до появления рассматриваемых электронов. Электроны рождались на катоде с хаотически направленной скоростью и начальной энергией, распределенной по Пуассону со средним значением £о = 0.2 эВ. На малых временных шагах решались уравнения движения всех электронов и с вероятностями, определяемыми сечениями элементарных процессов, разыгрывались упругие и неупругие столкновения.
Рис. 1. Зависимость сечения ионизации атома гелия от энергии налетающего электрона. Сплошная кривая - сечение, использованное в данной работе; пунктир - сечение, использованное в работе [1].
Использованные в работе сечения для различных элементарных актов приведен], в работе [1]. Однако, в отличие от работы [1], для сечения ионизации использовалась аппроксимация, учитывающая релятивистские эффекты:
, , ЛОР •/»(*) 2 18 1 + з - ю-6(£ - /)2
= Л(е) + /г(^) ' = (£_/) 1 + 0.009-(,-/)'
/2(е) = 2.05-10
272 1
7 + 1 £
, е /7 + 1 /1 1 0 1 (7-1)2
Здесь е = тес2(7—1) - кинетическая энергия налетающего электрона (за вычетом массы покоя), выраженная в эВ\ I — 2АэВ - энергия ионизации атома гелия; 7 = (1—г^/с2)-1/2; г> - скорость электрона. Отметим, что сечение имеет минимум при е « 4тес2 яз 2-106 эВ (рис. 1).
Траектория электрона. Пусть электрическое поле напряженностью Е направлено по оси ж, а электрон в начальный момент времени £ = 0 имеет координаты х(0), у(0) и г(0) = 0и импульсы рх( 0), ру(0) и рг(0).
Решение уравнений движения ^ = ¥ = еЕ, дает для импульса в произвольный момент времени I
р*(<) - Рх(0) = ^ • Ц ру{1) - Р„(0) = 0; ргЦ) - рг(0) = 0.
(1)
Скорости выражаются через импульсы с помощью справедливого для любого момента времени I соотношения [9]:
р(0 •
(2)
где
= с • ^т2с2 +р2(г)
(3)
- энергия частицы в момент £.
Координаты получаются интегрированием скоростей по времени. В результате интегрирования получаем для произвольного момента времени
\
х(<) - *(0) = - Ж(0)],
У(0 - У(0) = —р- Ь ^л(о) + с • рх(0)'
(4)
*Ю ~ *(0) - —р-ЬЩ0) + С.Ш
В [10] этот результат получен более громоздким методом.
Формулы, удобные для вычислений. Выражения (1) - (4) полностью решают задачу, но для численного счета они не слишком удобны. Дело в том, что в случае малых скоростей (импульсов) вычисление координат (4) будет приводить к ошибкам из-за ошибок округления. Поэтому (4) лучше тождественно преобразовать с тем, чтобы выделить главные члены по импульсу. Для этого в (4а) сделаем тождественное преобразование
- 1У(0)
- ъг(о)) ■ (ичо +и^о)) ж2(г) - 1^2(о)
выразим квадраты энергий через импульсы и приведем подобные члены. Выражение под логарифмом в (46) преобразуем с помощью цепочки
+ с ■ Рх{1) цг(г) - ж(о) + ж(о) + с • Рх(1) - с ■ Рх(о) + с ■ Рх(0)
Ж(0) + с-рх(0)
= 1 +
И^О) + с • р,(0)
- и/(о) + с • ^ ■ I
ИЧ0) + с-р*(0) и выразим Ж(£) — И^(0) через х(^) — х(0) по формуле (4а).
В результате для координат получим пригодные для счета выражения:
х(*)-х(0) =
с2 ЫО - р*(0)) • (рЛ) + Рх(0))
1 +
+ що)
1 +
+ с • Рх(0)
г ■ (х(*) - х(о)) + с • г ■ г
И/(0) + с-рг(0)
(5)
ni' n2P' n2S
О 4 8
л f(e),a.u.
12 х, см I6
4*106 8*106 1,2*107 1,6* 107 £,eV
Рис. 2. Характеристики размножения электронов в Таунсендовском режиме в зависимости от расстояния до катода х при следующих параметрах: N = 3.2 • 1018 см~3 (р = 100 Topp), U = 15 MB, d = 15 см, Е — 1 МБ/см, (Е/р = 7.7 MB ¡см ■ атм). а) Количество рожденных ионов п, (кружки) и атомов, возбужденных в состояние 21Р (п2р, ромбы), и в состояние 215 (n2S, квадраты), пунктир -зависимость 20 ехр(0.53х/сл<). Соответственно а,- = О.бЗсл«"1, aid « 8; б) Отношение потока электронов в данной точке j(x) к потоку электронов с катода jo- Пунктир - зависимость 1.7-ехр(0.53х/см); в) Проекция их скорости электронов на ось х, направленную по электрическому полю (кружки), и модуль скорости 6 плоскости, перпендикулярной оси х (квадраты); г) Средняя энергия электронов. Установившаяся средняя энергия е* и 1.5 МэВ и 3тес2 много меньше eU = ХЪМэВ; д) Функция распределения электронов, достигших анода (произвольные единицы) по энергии (эВ).
Результаты расчетов
Таунсендовский режим ионизации. Как известно, Таунсендовский режим ионизации газа во внешнем электрическом поле характерен двумя моментами. Во-первых, число актов ионизации экспоненциально растет с расстоянием до точки, где родился первым электрон. Во-вторых, средняя скорость и средняя энергия электронов не зависят от этого расстояния. Соответственно, как и в работах [1-3], коэффициент размножения Таунсенда определялся по наклону зависимости логарифма электронного тока от расстояния до катода (рис. 2). Тот же наклон имеет место для логарифма числа актов ионизации, прилипания и возбуждения. Разумеется, расстояние между электродами должно превышать обратный коэффициент Таунсенда (длину размножения а,7').
Расчеты показывают, что при достаточно больших расстояниях между электродами с1 > а"1 таунсендовский режим ионизации имеет место и в том случае, когда средняя скорость и энергия электронов становятся релятивистскими е* ~ тес2 ~ 0.5 • 10ь эВ. Основные характеристики этого режима выглядят качественно так же, как в случае нерелятивистских скоростей (рис. 2). С ростом расстояния от катода х имеет место экспоненциальный рост числа рождений электронов, а также числа актов неупругих столкновений. При этом устанавливаются независящие от х значения: средней энергии электронов £*; средней проекции скорости на направление поля их] средней проекции скорости на плоскость, поперечную полю, и±. Максимум функции распределения электронов, долетевших до анода, приходится на малые энергии е* << е[/. Таунсендовский режим ионизации устанавливается на некотором расстоянии от катода х ~ а,г', соответствующем характерной длине размножения.
Как и следовало ожидать, зависимость коэффициента Таунсенда а, от Е/р (рис. 3) после прохождения максимума при Е/р яа 200 кВ/(атм • см) (выявленного в работе [1]) резко падает, но затем, ввиду ограничения средней скорости, выходит на посто янное значение. Это происходит при Е/р « 5 МВ/(атм ■ см), когда е" кз 0.5 МэВ. их « 2.3 • Ю10 см/с ~ с.
Кривая ухода. В работах [1 - 3] в отличие от обычно принятого подхода [4-6], предложено считать, что убегающие электроны начинают преобладать в тОм случае, когда расстояние между электродами д. становится сравнимым с характерной длиной размно жения, т.е. обратным коэффициентом Таунсенда а,-1. При а,с? < 1 убегающие электроны преобладают и в спектре электронов, долетевших до анода. Соответственно, критерий, определяющий граничное значение напряженности поля ЕСТ имеет вид: а1(ЕСТ1р)ё = 1.
а-/р, l/(cm-atm), V;/p, l/(ns-atm) ,, ux, ui,cm/s 5 Б*, keV
Е/р, kV/(cm^tm) Е/р, kV/(cm.atm) Е/р, kV/(cm.atm)
Рис. 3. Зависимость ионизационных и дрейфовых характеристик от приведенной напряженности поля Е/р. Точки получены при различных значениях напряженности поля при р — 100 Topp, а) Нормированные на давление значения коэффициента Таунсенда оц/р (сплошная кривая) и частоты ионизации i\/р (пунктир); б) Средняя проекция скорости электронов на ось х, направленную по электрическому полю их (сплошная), и средний модуль скорости и± в плоскости, перпендикулярной оси х (пунктир); в) Средняя энергия электронов.
Выделим в коэффициенте Таунсенда множителем давление или плотность газа, и используем то, что оставшийся множитель является функцией только приведенной на пряженности поля Е/р\ cti(E,p) = р ■ ((Е/р). Для плоских электродов Е — U/d, при этом Ecr = Ucr/d. Тогда критерий ухода электронов из промежутка между плоскими электродами приобретает вид:
pd ■ i(Ecr/p) = 1 или pd ■ £{U,cr/pd) = 1. (б)
Последняя формула (6) дает неявную зависимость критического напряжения Ucr(pd) от произведения расстояния между электродами на давление pd (рис. 4). Кривая ухода электронов Ucr{pd) разделяет область эффективного размножения электронов и область, в которой электроны покидают разрядный промежуток, не успев размножиться. Она является универсальной для данного газа.
На кривой ухода электронов UCT(pd) можно выделить три ветви (рис. 4). Две нижние ветви аналогичны ветвям кривой ухода, полученным при нерелятивистоком рассмотрении [1]. Появление на верхней ветви нерелятивистской кривой ухода точки поворота при pd ~ 0.3 а тм ■ см и, соответственно, дополнительной по сравнению с нерелятивистским случаем третьей ветви, связано с возрастанием сечения ионизации при больших энергиях из-за релятивистских эффектов. Отметим, что при pd > 0.3 атм ■ см, в отличие от
МО"4 МО"3 001 0 1 1 10
рс1, а1птст
Рис. 4. Универсальная кривая исг(р<1), разграничивающие области ухода и размножения электронов. Интенсивное размножение соответствует внутренней области, уход без существенного размножения - внешней области.
нерелятивистского случая, размножение электронов происходит при любых значениях напряжения на разрядном промежутке, превышающих пороговое значение, определяемое нижней ветвью кривой ухода.
Итак, в данной работе рассмотрен режим размножения электронов при больших напряженностях поля, когда электрон на длине размножения может набрать реляти вистскую кинетическую энергию. Показано, что даже в таких сверхсильных полях Таунсендовский механизм размножения электронов справедлив, если расстояние между электродами достаточно велико.
I
ЛИТЕРАТУРА
[1] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖЭТФ, 77, вып. 5, 264 (2003).
[2] Т к а ч е в А .Н., Яковленко С. И. Письма в ЖТФ, 29, вып. 16, 54 (2003).
[3] Б о й ч е н к о А. М., Ткачев А. Н., Яковленко С. И. Письма в ЖЭТФ, 78 (11), 1223 (2003).
[4] Бабич Л. П., Л о й к о Т. В., Цукерман В. А. УФН, 160 (7), 49 (1990).
[5] Королев К). Д., Месяц Г. А. Физика импульсного пробоя газов. М., Наука, 1991.
[6] Р а й з е р Ю. П. Физика газового разряда. М., Наука, 1992.
[7] Т а р а с е н к о В. Ф., Яковленко С. И., Орловский В. М., Ткачев А. Н., Шунайлов С. А. Письма в ЖЭТФ, 77, вып. 11, 737 (2003).
[8] Tkachev A. N., Yakovlenko S.I. Laser physics, 12(7), 1022 (2002).
[9] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля. М., Наука, 1988.
[10] Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике. М., ГИФМЛ, 1962.
Институт общей физики
им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 25 декабря 2003 г.
