Кодовые шкалы на основе композиции нелинейных рекуррентных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МИКРОЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

УДК 621.3.085.42

А.А. Ожиганов1, П.А. Прибыткин2

КОДОВЫЕ ШКАЛЫ НА ОСНОВЕ КОМПОЗИЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий,

1

механики и оптики , Открытое акционерное общество «Авангард» (Санкт-Петербург)2

Предложены кодовые шкалы для фотоэлектрических цифровых преобразователей угла, строящиеся на основе нелинейных рекуррентных последовательностей. Сформулирован принцип композиции рекурсивных кодовых шкал. Приведён пример построения кодовой шкалы.

Ключевые слова: кодовая шкала, считывающие элементы, цифровой преобразователь угла, преобразователь угол-код, рекурсивная кодовая шкала, рекуррентная последовательность, псевдослучайная последовательность.

Введение

Фотоэлектрические цифровые преобразователи угла абсолютного типа основаны на методе считывания с пространственным кодированием [1]. ФЦПУ содержат кодовый (модулирующий) диск и систему считывания, состоящую из излучающей (передающей) и приёмной частей. Излучающая система содержит источник излучения, а приёмная — индексную диафрагму и приёмники излучения. Кодовый диск и диафрагма представляют собой диски из оптически прозрачного материала, расположенные соосно и параллельно, на обращенных друг к другу поверхностях, на которых методом фотолитографии нанесены маски с соответствующим рисунком. Код сформирован в виде системы прозрачных и непрозрачных участков на кодовом диске. Рис. 1 иллюстрирует один из вариантов построения оптической системы преобразователей. Источник излучения освещает одну сторону кодового диска. Приёмники подсвечиваются через узкие щели в неподвижной диафрагме. При вращении кодового диска меняется площадь перекрытия прозрачных участков дорожки диска и окна диафрагмы, т.е. модулируется величина светового потока от излучателей к фотоприёмникам.

Основными требованиями к цифровым преобразователям угла (ЦПУ) в общем и к ФЦПУ в частности являются точность преобразования, быстродействие, надёжность, стойкость к внешним воздействующим факторам и др. Достаточно хорошо изучены основные методы получения высокой точности и разрешающей способности, если нет ограничений в габаритах преобразователей. Но в ряде применений ЦПУ актуальна задача увеличения точности и разрешающей способности при одновременном уменьшении габаритов [2].

Достижение этих технических требований во многом зависит от применяемой в ФЦПУ кодовой шкалы (КШ), которая определяет число кодовых дорожек (КД), а также число и размещение считывающих элементов (СЭ). Среди разных типов построения кодовых шкал для ФЦПУ [1] наибольшее распространение получили КШ, выполненные в обыкновенном двоичном коде - регулярные КШ, в циклическом коде - в коде Грея и в специальном

© Ожиганов А.А., Прибыткин П.А., 2010.

коде. Наиболее перспективными являются кодовые шкалы с применением теории рекуррентных последовательностей - рекурсивные кодовые шкалы (РКШ) [3], позволяющие строить однодорожечные ФЦПУ [4], двухдорожечные нереверсивные ФЦПУ с двумя СЭ и реверсивные ФЦПУ с подготовительными квантами [5], встречающиеся в литературе как «квазиабсолютные», а также КШ с возможностью формирования корректирующих кодов [6].

Сигналы с фотоприёмников Рис. 1. Функциональная схема оптической части ФЦПУ

До настоящего времени рассматривалось построение ФЦПУ на основе РКШ с одной или двумя дорожками. С практической точки зрения применение РКШ для построения высокоразрядных малогабаритных ФЦПУ связано с рядом ограничений конструктивного и особенно технологического характера, накладываемых минимальным размером градации кодовой шкалы, чувствительностью и размерами СЭ.

Различают КШ на основе линейных рекуррентных последовательностей (РП) и КШ на основе нелинейных РП в зависимости от свойства линейности или нелинейности (по отношению к оператору суммирования по модулю 2) рекуррентного соотношения, используемого для построения РП. Особенностью КШ на основе линейных РП является то, что они имеют информационную ёмкость 2п — 1, п = 1,2,3,... значений кода - несовместимую со многими техническими системами, в которые встраивается ЦПУ. К недостаткам КШ на основе нелинейных РП относится единственность размещения СЭ вдоль шкалы — с шагом в один квант. При конечных размерах СЭ (фотоприёмников в ФЦПУ) этот недостаток существенно ограничивает разрядность КШ.

В связи с этим, актуальной задачей является разработка кодовых шкал с учётом обозначенных ограничений, которые позволят создавать высокоразрядные малогабаритные ЦПУ. Такие кодовые шкалы в сравнении с классическими КШ должны иметь высокую информационную ёмкость при малом числе кодовых дорожек.

Далее условимся понимать под подвижным растром кодовый диск, а под неподвижным — диафрагму, являющиеся конструктивными элементами ФЦПУ; под кодовой шкалой будем понимать совокупность кодовых дорожек (КД) подвижного растра, под считывающим элементом — прозрачную щель или группу щелей неподвижного растра и фотоприёмник, под градацией — элементарный участок кодовой шкалы (дорожки), содержащий признаки одного символа двоичного кода из {0,1}.

Теория построения кодовых шкал на основе рекуррентных последовательностей

Известны сдвигающие регистры, или регистры сдвига с обратной связью, - электронные переключательные схемы специального вида, перерабатывающие информацию, заданную в форме соответствующим образом представленных элементов поля Галуа ОЕ (2) [7]. В общем виде п -позиционный регистр сдвига состоит из п последовательно соединённых триггерных ячеек. В результате действия к + 1 тактовых импульсов, где к — целое неотрицательное число, состояние каждой ячейки (ак, г,..., ак+п_ ^ е{0,1} сдвигается в соседнюю ячейку. При введении обратной связи

Д*0, Х1,.-. , Хп-1) = С0Х0 + СЛ + .■■ + Сп-1Хп-П С е ОЕ(2) (1)

сдвигающий регистр оказывается в режиме непрерывной смены состояний.

С помощью булевой функции обратной связи (1) можно определить п -е состояние регистра (после п тактов работы): ая = I(а,а>.••>а„-1)•

Таким образом, символы двоичной последовательности на выходе регистра сдвига удовлетворяют рекуррентному соотношению [3]

ап+ у = кп—1 ап-1+у + кп—2ап-2+у + . + к1ау+1 + ау , (2)

где к е ОЕ(2), у = 0,1,.

Для работы регистра необходимо задать начальное состояние триггерных ячеек (а, а,. • •, ап_!), причем нулевая комбинация является запрещённой, так как порождает последовательность с одними нулями.

Функцию обратной связи (1) можно представить также в форме полинома порядка п с коэффициентами из поля Галуа ОЕ(2) , называемого характеристическим полиномом,

к( х) = кпхп + К_гхп—1 + . + Кх + К, (3)

где к0 = кп =1, К е ОЕ(2).

Любая однородная рекуррентная последовательность с линейной функцией вида (1) может иметь максимальный период 2п — 1, т. е. 2п возможных состояний регистра за исключением нулевой комбинации. Такую последовательность называют псевдослучайной последовательностью максимальной длины над полем ОЕ (2) (ПСПМД), или М -последовательностью. Для её построения необходимо и достаточно, чтобы характеристический полином являлся примитивным полиномом [7] над полем ОЕ(2), а начальное состояние — отличным от нулевого. Кодовые шкалы на основе ПСПМД имеют информационную ёмкость 2п — 1 и носят название псевдослучайные кодовые шкалы (ПСКШ).

М -последовательности относятся к классу циклических кодов и могут задаваться с помощью порождающего полинома [7]

8 ( х) =

х2"—1 +1

к( х)

где к( х) — характеристический полином, задаваемый (3).

Для каждой ПСПМД длиной М = 2п — 1 существует ровно 2п — 1 различных циклических сдвигов, которые могут быть получены путём умножения порождающего полинома 8(х) на х1, где I = 0,1,.,М — 1. Порядок размещения на ПСКШ п считывающих элементов определяется путём циклических сдвигов, т. е. СЭ с номером т (т = 1,2,.,п) ставится в

соответствие /т циклический сдвиг х/т^(х) М -последовательности. Тогда полином, определяющий порядок размещения на шкале п СЭ, имеет вид [3]

г(х) = х'1 + х 2 +... + хп, 4 е 0,1,.., М — 1. (4)

Между тем, псевдослучайные последовательности с нулевой комбинацией получаются с помощью регистра сдвига с нелинейной функцией обратной связи, т. е. в регистре, где символы последовательности нелинейным образом зависят от предыдущих символов:

/ (х0, Х1,- • •, Хп—1) = С0Х0 + СЛ + • • • + Сп—1Хп—1 + Х1Х2 "•Хп—\, (5)

где Х является дополнением х ; с е ОЕ(2).

Такие последовательности имеют период 2п и являются частным случаем последовательностей де Брейна.

Символы последовательности удовлетворяют рекуррентному соотношению

Ь = к Ъ ^ + к 9Ъ ^ .+...+кЪ + Ъ + Ъ ^ Ъ • А,, (6)

п+] п—1 п—1+ ] п—2 п—2+ ] ч у+1 ] п—1+ ] п—2+ ] ? ^ '

где ] = 0,1,„.

Начальные символы последовательности ЪЪ •••Ъп_1 выбираются произвольно. Рекуррентное соотношение (6) отличается от соотношения для линейных псевдослучайных последовательностей (2) только наличием последнего слагаемого — произведения значений п — 1 символов.

Кодовые шкалы на основе нелинейных рекуррентных последовательностей имеют разрешающую способность 2п и носят название нелинейные кодовые шкалы (НКШ). Для их построения характеристический полином вида (3) так же, как и в случае ПСКШ, должен являться примитивным над полем ОЕ (2).

Размещение СЭ на НКШ, в отличие от ПСКШ, в силу нелинейных свойств применяемых последовательностей может происходить только единственным образом: с шагом, равным одному кванту, т. е. в соответствии с полиномом размещения

г(х) = 1 + х + х2 + •.. + хп—1'. (7)

Единственность такого размещения отражает существенный недостаток НКШ, ограничивающий их применение для построения малогабаритных высокоразрядных преобразователей.

Композиция кодовых шкал на основе рекуррентных последовательностей

Преобразователи считывания представляют собой систему из I параллельно работающих N -разрядных преобразователей угла. Такой подход позволяет комбинировать кодовые дорожки, основанные на разных базовых методах пространственного кодирования, на каждой из которых происходит преобразование перемещения в соответствующую группу разрядов выходного кода [2].

Пусть ФЦПУ имеет р кодовых дорожек в порядке от старшей, с которой считывается старший по весу разряд, до младшей, с которой считывается младший по весу разряд. Период функции преобразования каждой кодовой дорожки - , где I = 1, р . В случае кругового ФЦПУ с диапазоном изменения угла от 0 до 360° для первой кодовой дорожки ^ = 360°, а

для каждой последующей =— ^, где N - число уровней квантования I -й кодовой

^1

дорожки.

Информационная ёмкость преобразователя N пропорциональна числу уровней кван-

р

тования каждой дорожки: N = П N . Период функции преобразования каждой дорожки:

1=1

^=360°/ПN .

/ 1=1

Пусть старшая КД строится в соответствии с символами рекуррентной последова-

тельности (линейной или нелинейной) длиной Д . Пусть следующая кодовая дорожка также строится в соответствии с символами линейной или нелинейной РП длиной Д, причём в угловом секторе, соответствующем одному символу последовательности старшей КД, укладывается один период последовательности младшей дорожки, т. е. последовательность длиной Д на младшей дорожке имеет Д периодов: = ^ /Ы1 = 360°/Д . Такое построение аналогично структуре регулярных двоичных КШ, в которых одному символу из {0,1} старшей дорожки соответствует последовательность 01 младшей дорожки.

К достоинствам такой кодовой шкалы, представляющей собой композицию РКШ и регулярных КШ, в которой одному символу старшей КД ставится в соответствие один период РП на следующей КД, относится возможность рационального размещения СЭ с возможностью существенного уменьшения числа КД по сравнению с классическими КШ.

Пример построения кодовой шкалы на основе композиции нелинейных рекуррентных последовательностей

Рассмотрим принцип построения кодовой шкалы на основе композиции нелинейных рекуррентных последовательностей на примере пятиразрядной КШ, содержащей двух- и трёхразрядную НКШ.

Возьмём нелинейную РП длиной Д = 22 (пх = 2), для построения которой будем использовать примитивный полином к(х) = х2 + х +1, начальные значения Ъ{рх зададим как 00. Рекуррентное соотношение последовательности согласно (6) примет вид

Ъ2+у = Ъу + Ъ1+у + Ъ+у .

Сгенерированную таким образом последовательность 0011 используем для построения кодовой дорожки ФЦПУ. При размещении двух считывающих элементов вдоль этой дорожки получим 22 = 4 значения кода. Эту двухразрядную дорожку возьмём в качестве старшей дорожки Т ФЦПУ, тогда период второй дорожки будет = 360°/4 = 90°. Это же значение является дискретностью преобразования (квантом) первой дорожки.

Следующую дорожку Т2 большего диаметра выполним в соответствии с символами последовательности длиной Д = 23 (п2 =3), полученными с помощью рекуррентного соотношения

Ъ3+у = Ъу + Ъ1+у + КА+у .

Для его построения используется примитивный полином к(х) = х3 + х +1. При начальных значениях ЪЪЪ = 000 последовательность будет иметь вид 00010111.

Дорожка Т2 будет содержать 4 периода последовательности:

00010111000101110001011100010111. При рассматриваемом подходе каждый период последовательности будет заполнять дугу окружности диаметра второй дорожки с центральным углом ¥2, соответствующим одному

символу старшей дорожки Т. Тогда шаг размещения СЭ вдоль второй дорожки, благодаря тому, что она содержит четыре периода последовательности, составит «360°/4 + 360°/32, ае {0,1, ...,22 —1} . Коэффициент а выбирается при проектировании ФЦПУ из конструктивных соображений и позволяет наиболее рационально и технологично осуществить компоновку СЭ вдоль кодовой шкалы преобразователя.

Линейная развёртка рассматриваемой в примере КШ приведена на рис. 2. ФЦПУ с такой кодовой шкалой, состоящей из двух дорожек, обладает разрешающей способностью 25,

т.е. имеет 32 значения кода угла. На рис. 3 показана круговая КШ с одним из вариантов размещения считывающих элементов.

СЭ 1.1 СЭ 1.2

□1

Рис. 2. Линейная развёртка пятиразрядной кодовой шкалы

СЭ 2.2

Рис. 3. Круговая пятиразрядная кодовая шкала

В табл. 1 приведены двоичные значения кодов, снимаемые считывающими элементами с дорожек Т и Т2, в положениях кодовой шкалы р и соответствующие этим значениям десятичные эквиваленты р'.

Таблица 1

Последовательность кодовых комбинаций пятиразрядной кодовой шкалы

Р 21 Т 1 2 р' Р 11 Т 1 2 р' Р Т, Т 1 2 р' Р Т: Т Т 2 р'

0 00 000 0 8 01 000 8 16 11 000 24 24 10 000 16

1 00 001 1 9 01 001 9 17 11 001 25 25 10 001 17

2 00 010 2 10 01 010 10 18 11 010 26 26 10 010 18

3 00 101 5 11 01 101 13 19 11 101 29 27 10 101 21

4 00 011 3 12 01 011 11 20 11 011 27 28 10 011 19

5 00 111 7 13 01 111 15 21 11 111 31 29 10 111 23

6 00 110 6 14 01 110 14 22 11 110 30 30 10 110 22

7 00 100 4 15 01 100 12 23 11 100 28 31 10 100 20

Выводы

Предложенный в данной работе принцип построения кодовых шкал позволяет строить на своей основе высокоразрядные цифровые преобразователи угла в уменьшенных габаритах с учётом технологических и конструктивных ограничений, таких как минимальная ширина градации и шаг размещения считывающих элементов. Кодовые шкалы, основанные на композиции рекурсивных кодовых шкал, широко используются в ОАО «Авангард» для создания фотоэлектрических преобразователей угла. Такие КШ позволили создать 18- и 20-разрядные ФЦПУ повышенной надёжности и стойкости к внешним воздействующим факторам с диаметрами всего 80 мм и 120 мм соответственно.

Библиографический список

1. Домрачеев, В.Г. Цифровые преобразователи угла: принципы построения, теория точности, методы контроля / В. Г. Домрачев, Б. С. Мейко. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 328 с.

2. Асиновский, Э. Н. Высокоточные преобразователи угловых перемещений / Э. Н. Асиновский [и др.]; под ред. А. А. Ахметжанова. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 128 с.

3. Азов, А. К.Рекурсивные кодовые шкалы / А. К.Азов, А. А. Ожиганов, М. В. Тарасюк // Информационные технологии.1998. № 6. С. 39-43.

4. Ожиганов, А. А. Кодовые шкалы на основе нелинейных последовательностей для преобразователей угловых перемещений / А. А. Ожиганов, П. А. Прибыткин // Научно-технический вестник. СПбГУ. ИТМО. 2010. Вып. 4. С. 81-84.

5. Ожиганов, А. А. Использование нелинейных последовательностей при построении двухдо-рожечных кодовых шкал для преобразователей угловых перемещений / А. А. Ожиганов, П. А. Прибыткин // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53. № 7. С. 39-44.

6. Ожиганов, А. А. Анализ возможностей применения корректирующих кодов в рекурсивных кодовых шкалах / А. А. Ожиганов, П. А. Прибыткин // Сб. научных трудов аспирантов, соискателей и студентов магистерской подготовки ОАО "Авангард". 2010. Вып. 2. С. 70-77.

7. Лидл, Р. Конечные поля. В 2-х т.: пер. с англ. / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. - М.: Мир, 1988. Т. 2. - 822 с.

Дата поступления в редакцию 15.10.2010

A.A. Ozhiganov, P.A. Pribytkin

CODE SCALES BASED ON THE COMPOSITION OF NON-LINEAR RECURRENT SEQUENCES

A type of code scales for absolute-type optical encoders based on the composition of non-linear recurrent sequences is suggested. A principle of composition of recursive code scales is defined. An example of constructing code scale is given.

Key words: rotary encoder, shaft encoder, code scale, recursive code scale, reading elements, pseudo-random sequence, recurrence sequence, de Brujin cycle, nonlinear sequence.