Кодирование конечной целочисленной решетки в классе отображений ограниченного искажения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Kuribayashi A. and Komiya K. On Weierstrass Points of non-hyperelliptic compact Riemann surfaces of genus three // Hiroshima Math J. 1977. No. 7. P. 743-768.

2. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Berlin; Heidelberg; New York: Springer Verlag, 1993.

УДК 519.174

КОДИРОВАНИЕ КОНЕЧНОЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ РЕШЕТКИ В КЛАССЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ИСКАЖЕНИЯ1

А. А. Евдокимов

Пусть е и 5 — натуральные числа из области определения метрик pa и рн, заданных на множествах вершин V(G) и V(H) графов G и H, а Sk(v) —шар с центром в точке v G V(G) и радиусом k. Скажем, что отображение f : G ^ H, действующее из V(G) в V(H), обладает свойством (е, 5)-ограниченного искажения, если

f (S<s(v)) С (S£(f (v))

для любой вершины v G V(G).

Скажем, что отображение f : G ^ H сохраняет (е, 5)-отделимость, если

Imf П S£(f (v)) С f (S^(v)).

Вложение f : G ^ H графа G в H называем (е, 5)-вложением, если f обладает свойством (е, 5)-ограниченного искажения и сохраняет (е, 5)-отделимость.

В отличие от аналогичных определений в [1-3], здесь выбраны (е, 5)-язык и окрестности (шары), чтобы подчеркнуть общность с определениями классической математики. При «малых» значениях параметров (е, 5)-вложение означает, что оно связные части не разрывает, а «далёкие» не становятся «близкими». Первое является дискретным аналогом непрерывного отображения, а вместе со вторым свойством — аналогом гомеоморфного вложения.

Пусть Nm = {0,1,... , m — 1} и = Nm х Nm — двумерная целочисленная решетка размера m х m с расстоянием

PN 2 (u,v) = |xi — X2| + |yi — У2 |

между ее вершинами (узлами решетки) u = (x1,y1) и v = (x2,y2).

В [3] описана конструкция (3, 2)-вложения целочисленной решетки N-j^ (плоского решётчатого табло) в булев гиперкуб I10 и показано, что наибольший размер решетки Nm для любого (3, 2)-вложения f : Nm ^ I10 равен 14 х 14; (3, 2)-вложение сохраняет все расстояния, не превосходящие 3, а вершины, находящиеся на расстоянии больше 1, не могут оказаться на расстоянии 0 или 1. Таким образом, изометричное 3 х 3 окно в классе обратимых кодирований двоичными словами длины 10 возможно для квадратного табло из 196 ячеек размера 1 х 1.

Теорема 1. Существует и эффективно строится конструкция (4,3)-вложения f : Nm ^ In целочисленной решётки размера m х m в булев куб In, избыточность

хРабота поддержана проектами РФФИ №09-01-00070 и 11-01-00997 и программой фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН.

которого асимптотически минимальна, а мощность решётки удовлетворяет неравенству

| N |> 2™-21°®2 га(1+£")

где £п ^ 0 при п ^ то.

Рассмотренные свойства вложений обобщаются на произвольные метрические пространства, хотя выше для простоты сформулированы для графов с обычной метрикой.

Найдены также оптимальные кодирования решёток, определяемые их 2-интерваль-ными вложениями, специальный случай которых для малых значений параметров рассмотрен в [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А. Метрические свойства вложений и коды, сохраняющие расстояния // Труды Института математики СО РАН. Новосибирск: Наука, 1988. Т. 10. С. 116-132.

2. Евдокимов А. А. Локально изометрические вложения графов и свойство продолжения метрики // Сиб. журн. исслед. операций. 1994. Т. 1. №1. С. 5-12.

3. Евдокимов А. А. Вложения графов в п-мерный булев куб и интервальное кодирование табло // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 15-19.

УДК 519.7

КОЛИЧЕСТВО БЕНТ-ФУНКЦИЙ НА МИНИМАЛЬНОМ РАССТОЯНИИ ОТ КВАДРАТИЧНОЙ БЕНТ-ФУНКЦИИ1

Н. А. Коломеец

Бент-функции — это булевы функции, максимально удаленные от класса аффинных функций. Впервые бент-функции были рассмотрены О. Ротхаусом [1]. Бент-функ-ции имеют огромное число приложений: в криптографии, теории кодирования, теории информации. Тем не менее для них до сих пор существует много нерешенных проблем. Одна из наиболее важных проблем — описание всех бент-функций, в частности нахождение конструкций для бент-функций.

В работе рассматривается получение бент-функций на минимальном расстоянии от квадратичной бент-функции. В [2] показано, что две бент-функции от 2к переменных находятся на минимальном расстоянии тогда и только тогда, когда они отличаются на аффинном подпространстве размерности к и обе функции на нем аффинны. В данной работе описываются все бент-функции на минимальном расстоянии от квадратичной бент-функции (ж1жк+1 ф х2хк+2 ф ... ф хкх2к), а также подсчитывается число бент-функций на минимальном расстоянии от произвольной квадратичной бент-функции.

Пусть Л — произвольная матрица; через а^) будем обозначать её г-й столбец. Будем описывать линейные подпространства с помощью базисов Гаусса — Жордана. Отметим, что в наших обозначениях базисные векторы являются столбцами базисной матрицы.

Определение 1. Пусть О — матрица с к столбцами, образованная векторами М(1),... , И(к) длины п. Через /(и^)) обозначим шт{_; : = 0}. Матрица О является

базисом Гаусса —Жордана подпространства размерности к в пространстве размерности п, если выполняются следующие условия:

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №11-01-00997) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0362).