CC BY
28
МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
УДК 621.771
Рубин Г.Ш., Шишов А.А., Чукин М.В., Гун Г.С.
КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНЫЕ МОДЕЛИ И ПЕРСПЕКТИВЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ОМД*
Клеточно-автоматные модели обеспечивают создание дискретной модели сплошной среды. Это исключает процесс аппроксимации континуальной модели и повышает точность моделирования. Прямое моделирование взаимодействия повышает скорость расчётов. Используя предложенную в статье зависимость, можно исследовать процессы неравномерности распространения деформации в среде.
Ключевые слова: клеточно-автоматная модель, дискретные модели, деформация.
The cellular automaton models contribute generation discrete models of continuum. Elimination of continuum model yields a large dividend in accuracy. The direct interaction model accelerates calculation. The functional connection, suggested in this work, allows the research of the deformation irregularity.
Keywords: cellular automaton models, discrete models, the deformation.
На данный момент наиболее популярные программные пакеты расчета напряженно-деформированного состояния металла в процессах ОМД основываются на сложной системе расчетов. Реальный физический процесс описан математически механикой сплошных сред. Математическая модель предполагает некоторые упрощения и, как следствие, погрешность результатов вычислений. К тому же модель состоит из системы двадцати девяти дифференциальных уравнений, решение которой аналитическими методами весьма затруднительно. Решение системы уравнений возложено на метод конечных элементов, который, в свою очередь, тоже накладывает свои ограничения и увеличивает погрешность результатов. Причем метод конечных элементов реализуется посредством последовательности итераций, и на каждой итерации происходит решение системы линейных уравнений большого порядка. Как результат, вычисление напряженно-деформированного состояния -достаточно долгий процесс, а расчет погрешности полученных результатов является еще одной сложной математической задачей.
Р. Курант, К. Фридрихе и X. Леви в 1928 г. в своей работе [1] рассмотрели возможности численного решения дифференциальных уравнений, используя конечно-разностные методы. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности решений для эллиптических, гиперболических и параболических дифференциальных уравнений. Их работа привлекла большое внимание и легла в основу современной модели расчета динамики газа и жидкости. Но их подход является одним из видов клеточных автоматов. В общем смысле клеточный автомат - дискретная
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение №14.В37.21.0068.
динамическая система, эволюция которой определяется локальными взаимодействиями составляющих ее элементов. Пространство клеточного автомата разделено на ячейки (или клетки), характеризующиеся конечным числом параметров состояния. Переход ячеек от одного состояния к другому обусловлен конечной таблицей простых законов локальных взаимодействий. Последовательность тактов изменения параметров состояния ячеек имитирует временную шкалу клеточного автомата. Необходимо также отметить достоинство клеточных автоматов в общей парадигме параллельных вычислений [2].
Первая созданная нами клеточно-автоматная модель представляла собой систему подвижных элементов клеточного автомата [3]. Среда представляла собой конечное количество элементарных элементов, взаимодействующих друг с другом по некоторому закону. В список параметров, характеризующих каждый элемент, входили координаты центра масс, масса и компоненты скорости. Варьируя закон взаимодействия элементов, можно было изменять свойства среды. Но эта система имела ряд недостатков, в частности потребность в гигантской вычислительной мощности ПК, поскольку приходилось рассчитывать взаимодействия каждого элемента с каждым, а количество тактов было слишком велико.
Вторая клеточно-автоматная модель представлена в виде двухмерной площадки размером Ьх№, разделенной на равные квадратные ячейки со стороной I = 1. Она представляет собой двухмерную матрицу с Ь строками и № столбцами.
Время Т представлено конечной последовательностью тактов одинаковой продолжительности / = 1 такт. Каждая ячейка характеризуется тремя параметрами: 5 -состояние ячейки, V и а - соответственно первая и вторая частные производные состояния ячейки.
Матрица вторых частных производных размером Ьх№хТ задается до запуска клеточного автомата (перед первым тактом) и определяет внешнее силовое
Клеточно-автоматные модели и перспективы их использования.
Рубин Г.Ш., Шишов А.А., Чукин М.В., Гун Г.С.
воздействие на эволюцию клеточного автомата на протяжении всего времени Т. С помощью этой матрицы возможно задавать источники возмущений в любых ячейках, как во внешних, так и во внутренних, на любом такте. Матрица первых частных производных имеет размер Ьх№. Матрица состояний ячеек перед первым тактом определяет начальное состояние среды.
Первые частные производные Vп (п = 1, 2, 3, 4) в ячейке с координатами (1, _/') на т-м такте находятся по следующим формулам:
VI = V.Г1 + к (^) +
/ / 1 \ 1 -1 1 1 -1 /
V,- = /+к2 (- с,‘)+ = /+к ()+ V;, = /+к4 (- с/)+
а ,
у1вн
т
а
(1)
а
а
Для граничных ячеек (1 = 1, 1 = Ь, ] = 1, ] = №) это выражение изменяется путем исключения слагаемых, соответствующих отсутствующим соседним ячейкам.
Состояние ячейки с координатами (1, /) на т-м такте находится по следующей формуле:
У
5
1 + V],
41
+ К + К + V.
У2
Уз
У 4
(2)
липса, а скорость распространения возмущении в разных направлениях различна. Каждый коэффициент однозначно определяет скорость распространения фронта возмущения в своем направлении, следовательно, эти скорости в противоположных направлениях равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. Форму фронта волны можно определить следующим образом. Так как форма фронта является эллипсом с осями, параллельными координатным осям ячеек, а значение скорости перемещения фронта можно определить, исходя из рис. 1, то, зная коэффициенты и количество пройденных тактов, легко найти расстояния, пройденные фронтом в направлении координатных осей, которые являются полуосями искомого эллипса. Большей из осей является та, которой соответствует больший коэффициент.
Основываясь на результатах численных экспериментов, можно сделать вывод, что коэффициенты к1 (1 = 1, 2, 3, 4) определяют свойства среды, а именно скорость распространения возмущений в разных направлениях (рис. 1). При равенстве коэффициентов к1, к2, к3 и к4 среда является изотропной, фронт возмущений - окружностью (рис. 2), а скорость распространения фронта возмущений одинакова во всех направлениях.
В случае, когда к1 = к2 и к3 = к4, среда является анизотропной, фронт возмущений имеет форму эл-
Рис. 1. Зависимость скорости распространения возмущений от коэффициента к,
Рис. 2. Распространение возмущения в изотропной среде
При к1 = к2и к3 = к4 сумма состояний всех ячеек остается постоянной на любом такте.
При к1 Ф к2 и к3 Ф к4 сохранение постоянства суммарного возмущения для ограниченного двумерного пространства нарушается.
Был проведен ряд вычислительных экспериментов при различных начальных значениях 5у. В ходе экспериментов было установлено, что характер распространения фронта волны не зависит от начального значения состояния ячеек. Скорость распространения фронта возмущений остается постоянной на протяжении всего эксперимента (рис. 3).
Следует обратить внимание на то, что при единичном воздействии (на протяжении одного такта) за первым фронтом возмущений образуются вторичные фронты возмущений меньшей амплитуды. Но в реальных процессах ОМД воздействие инструмента на заготовку длится некоторое время, следовательно, для большей адекватности модели следует выбирать длину такта таким образом, чтобы воздействие инструмента занимало несколько тактов.
Рассмотренная модель отображает распространение абстрактных возмущений в пределах ограниченной области от заданных источников. Это представляется наиболее общим подходом к моделированию физических взаимодействий в среде.
Скорость 1.4 (ячеек за такт)
О 200 400 В00 800 1000 1200
Время (тактов)
1.
Рис. 3. Изменение скорости распространения фронта возмущения
Обобщающий подход открывает широкие перспективы для моделирования процессов ОМД. В этом случае возмущением может быть изменение положения материальной точки, скорость материальной точки, сила, напряжения, деформации. Распространение любого из этих параметров может быть смоделировано описанной в настоящей статье схемой. Богатство модели обеспечивается выбором коэффициентов к1г к2, к3, к4 формуле (1). Их варьирование позволит моделировать анизотропную среду, среду с локальными особенностями и пр.
С точки зрения скорости вычислений клеточноавтоматная модель на порядок быстрее классических
вычислительных методов, поскольку последние основываются на итерационных методах решения системы линейных уравнений большого порядка.
Таким образом, клеточно-автоматная модель открывает широкие перспективы для разработки эффективных программ расчета напряженно-деформированного состояния заготовки в процессе обработки давлением.
Список литературы
Courant R., Friedrichs K., Lewy H. Uber die partiellen Differenzenglei-chungen der mathematischen Physik // Mathematische Annalen. 1928. T. 100. №1. S. 32-74.
2. Тоффоли Т., Марголус H. Машины клеточных автоматов: пер. с англ. М.: Мир, 1991. 280 с.
3. Рубин Г.Ш., ШишовА.А. Клеточно-автоматные модели деформируемой среды // Труды восьмого конгресса прокатчиков. Магнитогорск, 2010. С. 451-453.
Bibliography
Courant R., Friedrichs K., Lewy H. Uber die partiellen Differenzenglei-chungen der mathematischen Physik // Mathematische Annalen. 1928. T. 100. №1. S. 32-74.
Toffoli T., Margolus N. The cellular automaton mashints: translation from English. M.: Mir, 1991. 280 p.
Rubin G.Sh., Shishov A.A., Gun G.S., Chukin M.V. The cellular automation models of deformed area // Proceedings of the 8-th congress of mill-men. Magnitogorsk, 2010. P. 451-453.
1.
2.
3.
УДК 519.24:004.81
Парсункин Б.Н., Андреев С.М., Обухова Т.Г., Галдин М.С., Ахметов Т.У.
АДАПТИВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА ОСНОВЕ ИНС
Рассмотрен пример использования искусственной нейронной сети для определения теоретической линии регрессии на основе экспериментальных данных. Описан алгоритм обратного распространения ошибки. Приведен сравнительный анализ полученных результатов.
Ключевые слова: нейронная сеть, регрессионное уравнение, адаптивные модели, весовые коэффициенты, алгоритм обратного распространения ошибки.
An example of the use of artificial neural network for the determination of the theoretical regression line, based on experimental data. The procedure of the back propagation algorithm are reviewed. A comparative analysis of the obtained results.
Keywords: neural network, regression equation, the adaptive models, weight coefficients, the backpropagation algorithm.
В связи с интенсивным ростом вычислительных способностей персональных компьютеров (ПК) появилась реальная возможность программного моделирования мыслительного процесса человека при синтезе моделей исследуемых процессов.
Эффективным инструментом при решении таких задач являются искусственные нейронные сети (ИНС), содержащие несколько слоев взаимосвязанных нейронов, являющихся структурной единицей этих сетей .
Хайкин С. Нейронные сети: полный курс: пер. с англ. 2-е изд. М.: Вильямс, 2006. 1104 с.
ИНС, используемые для адекватного отражения реальных свойств исследуемых процессов, в своей основе являются адаптивными экспериментально -статистическими моделями, в которых объект исследования (управления) представляется «черным ящиком», т.е. процессом, о котором известны только входные и выходные параметры при полном отсутствии информации о внутренних взаимных связях между ними.
Среди многих интеллектуальных свойств ИНС наиболее удивительным и выдающимся является уникальная способность сети к обучению. Это в какой-то степени соответствует процессу интеллектуального
