Кластерный анализ групповой экспертной информации Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ГРУППОВОЙ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О.М. ПОЛЕЩУК, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р техн. наук,

Е.Г. КОМАРОВ, доц. каф. информационно-измерительных систем и технологии приборостроения МГУЛ, д-р техн. наук

[email protected], [email protected] ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса» 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, ул. 1-я Институтская, д. 1, МГУЛ

Для изучения структурного состава экспертной информации в статье разработана модель нечеткого кластерного анализа, которая позволяет кластеризовать мнения (критерии) экспертов при разных уровнях доверия. Поскольку при обработке экспертной информации достаточно часто приходится иметь дело с лингвистическими описаниями исследуемых объектов, то необходимо не только не игнорировать возникающую при этом нечеткую составляющую, но и использовать методы, позволяющие ее учитывать. Чтобы проанализировать экспертную информацию, недостаточно сравнить данные, полученные от одного эксперта, с данными, полученными от другого эксперта. Необходимо проанализировать структурный состав системы всех экспертных данных и определить место каждого индивидуального экспертного мнения в этой системе. Недостаточно определить количественные показатели сходства экспертных данных, необходима трактовка этих показателей на качественном уровне. Возможность предложенного в статье гибкого подхода к кластеризации экспертных мнений играет существенную роль, поскольку дает возможность принятия решений в зависимости от требований к надежности полученной экспертной информации. На практическом примере в статье показано, что разработанная модель нечеткого кластерного анализа может с успехом применяться для анализа групповой экспертной информации.

Ключевые слова: кластерный анализ, групповая экспертная информация.

Сравнительный анализ информации, поступающей от разных экспертов, будет неполным, если проводится только парное сравнение экспертных мнений, но при этом не рассматривается система мнений и не изучается ее структурный состав. Имеется в виду рассмотрение информации, поступающей от разных экспертов, как единой системы и выявление подгрупп (кластеров) похожих (отличающихся) экспертных мнений (критериев). Решить эту задачу может кластерный анализ. Учитывая, что эксперты, высказывая мнение или оценивая показатели, используют слова профессионального языка, тем самым внося нечеткость в информацию, речь в работе пойдет об использовании нечеткого кластерного анализа.

В основе нечеткого кластерного анализа лежит понятие нечеткого отношения.

Нечетким n-м отношением R между множествами X X ..., Xn называется нечеткое множество R такое, что V(x x ...,

xn)e XixX2X...xXn ^ ..., xn) e[0,1] Xi =

{x1}, X2 = {x2}, ..., Xn = {xn} - обычные множества [1].

Нечетким бинарным отношением R на множестве X называется нечеткое множество R такое, что V(x, y) e X x X pR(x, y) e [0,1].

Согласно [2] нечетким множеством A называется множество пар вида

где цл(х):Х-> [ОД] - функции принадлежности А.

Нечетким бинарным отношением R между множествами X, Y называется нечеткое множество R такое, что V(x, y)e X x Y p,R(x, y) e[0,1], X= {x}, Y = {y} - обычные множества.

Если множества X, Y конечны X = {x x2, ..., xn}, Y= {y1, y2, ..., ym}, то нечеткое бинарное отношение R может быть задано с помощью его матрицы отношения R, строкам и столбцам которой ставятся в соответствие элементы множеств X, Y, а на пересечении /'-ой строки и j-го столбца помещается элемент pR(x., y). Таким образом

R =

М'/г \Х2’У\) Ц/г \Х2’У2) И/г \х2’Ут) .

kVr (хя,Ti) Yr (хп,У2) \1Я (хя,утX

Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в задачах, решения которых опираются на методы теории нечетких множеств, и в задачах, решения которых традиционно опираются на классическую теорию множеств и на теорию обычных (четких) отношений [3-6]. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда взаимосвязи

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

75

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

носят дихотомический характер и, исходя из этого, могут быть интерпретированы в терминах «связь отсутствует», «связь присутствует». Либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы, и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду [1]. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами, либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу этих связей. Этого недостатка лишены методы анализа данных, основанные на теории нечетких отношений

[1], которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.

Нечеткое бинарное отношение R принадлежит нечеткому бинарному отношению R2, если для Vxe X, Vye Y

У) ^ Mx уУ

Нечеткое бинарное отношение R называется рефлексивным, если p,R(x, x) = 1, Vxe X.

Нечеткое бинарное отношение R называется симметричным, если p,R(x, y) = ^R(y, x), Vx, ye X.

Нечетким бинарным отношением сходства называется рефлексивное симметричное нечеткое бинарное отношение.

Нечеткое бинарное отношение R называется транзитивным, если ^R(x, z) > p,R(x, у)л л Му, z) Vx, y, z e X.

Нечетким бинарным отношением подобия называется транзитивное нечеткое бинарное отношение сходства.

В реальных условиях требование транзитивности чаще всего бывает трудновыполнимым. Если пользоваться экспертным опросом при построении отношения подобия, то необходимо требовать от экспертов транзитивных ответов. Однако многочисленные практические результаты [1] говорят о том, что реальные результаты экспертных опросов чаще всего не транзитивны. Тем не менее, в приложениях нечетких отношений

большое значение играют именно транзитивные отношения. Транзитивные отношения обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества, на котором они заданы. Например, если отношение R на множестве X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения (отношения подобия) обеспечивает возможность разбиения множества X на пересекающиеся классы (кластеры) подобия.

Одно из важных свойств нечетких бинарных отношений состоит в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных бинарных отношений, упорядоченных по включению и представляющих собой иерархическую совокупность отношений [1]. Разложение нечетких бинарных отношений на совокупность обычных бинарных отношений основано на понятии a-уровня нечеткого бинарного отношения.

Обычным (четким) бинарным отношением R между множествами X, Y называется подмножество декартового произведения Xx Y

R сXxY.

a-уровнем нечеткого бинарного отношения R называется обычное отношение R , определяемое для всех a следующим образом:

Ra = У) e XxYl У) ^ a}.

Согласно теореме о декомпозиции [1], нечеткое бинарное отношение R можно представить в виде

R= и aR„

ае[0,1]

или

Пусть R - отношение подобия. Тогда

[1] R = maxaxRa, где Ra - отношение эквивалентности в смысле обычной теории множеств.

Таким образом, для решения задач нечеткого кластерного анализа большой интерес представляет возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения

76

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

в транзитивное отношение. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания, которая впервые была рассмотрена в [5, 6].

Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения называется отношение

R = RuR2uR3uRku..., где отношение Rk определяется рекурсивно R2 = R ◦ R, Rk = R ◦ Rk-1, к = 3, 4, ...

В [1] доказано, что транзитивное замыкание R любого нечеткого отношения R транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим R, то есть RcR, и для любого транзитивного отношения T такого, что R ^ T следует R сГ.

Применение нечетких отношений в кластерном анализе впервые обсуждалось в работах [7, 8]. В [5] вскоре после этих работ была предложена процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании исходного отношения сходства, получаемого в результате опроса экспертов. В [4, 9] предложена процедура кластеризации на основе транзитивного замыкания нечеткого отношения сходства.

Нечеткая кластеризация экспертной информации

Будем предполагать, что информация, полученная от к экспертов, формализована по одному из методов [9-11] и соответственно построено k лингвистических переменных Xt,i = \,k с функциями принадлежности терм-множеств = \,т}, i = i,k (ця(х) = (aД a*,

aLa, aRa), [af, a2a] - интервал толерантности, концами которого являются абсциссы границ верхних оснований трапеций - графиков функций принадлежности, aLl1, aRl - соответственно левый и правый параметры нечеткости или длины соответственно левого и правого крыльев трапеций.

Построенные лингвистические переменные будем называть критериями экспертов оценивания некоторого качественного показателя.

Рассмотрим критерии i-го иj-го экспертов с функциями принадлежности терм-множеств = \,т^, = 1 ,т j;, i = 1 ,к, j = 1 ,к.

Определим показатель сходства ку и показатель согласованности к этих критериев

ic..=l-d(X„Xj), i = l,k,j = l,k,

где

1 т * __ ____

d(X„Xj) = -£ (х)-д., (x^dx , i = I,к, j = l,к,

^ 1 ™ Площадь n цу7)

i] m ^ Площадь и ц7/ )

Тогда нечеткие множества R R2 с функциями принадлежности соответственно Рл, {xi>xj)= S>14 (xi>xj)= Kij,* = 1»к, j = \,k,l = \,m задают на множестве экспертных критериев нечеткие отношения сходства.

Докажем для R1, R2 свойства рефлексивности и свойства симметричности.

14, (Х„Х,)=к„ = 1 -d(X.,X.) =

1 V

1 /=i о

(Х„Х,)=к» = 1уД°^(ц„пц„) = 1. 2' ' т ^Площадь (ц,;; и д)7)

Таким образом, R1, R2 рефлексивны. Докажем их симметричность.

1 т 1

*4 (х, y^~d(х, н—£ К(*Ь4(4**=

li=i о

1 т 1

=i-r£

li=1 о

(X у \ 1 "Площадъ^глу.^^

= 1 ^Площадь(иу/пщ7)^ , у

Площадях jt Ufil7) J

Таким образом, R R2 симметричны. Будем называть экспертные критерии X, X*, ..., X, q < к подобными (относительно отношения подобия R R2) с уровнем доверия а е (0,1), если для всех Xi,XJ,i = l,q,j = l,q выполняется соотношение 14 (хпх ,■)- а.

Составим для отношений R R2 матрицы отношений сходства г

R.

1 ^(хм ...^(хм'

Ч(Х1;Х2) 1 ...ixRp(X2,XN)

,/> = 1,2.

Очевидно, что в общем случае построенные отношения сходства не являются

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

77

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

транзитивными, поэтому построим их транзитивные замыкания. Пусть Rp,p = 1,2- транзитивные замыкания отношений сходства Rp,P = 1,2 с матрицами

( 1 {Х„х2) ...н

лр р

Rp=

А

(Х1,Х2) 1 ...ix,(X2,XN)

р

{xuxN)H{x2,xN)\\\ i

р

,Р = 1,2

После транзитивного замыкания нечеткие отношения R ,р = 1,2 становятся нечеткими отношениями подобия и матрицы отношений подобия Rp,p = 1,2 можно декомпозировать на отношения эквивалентности

г 1 812 • • 814Л

А = max ■ а 8,2 1 . • s2t

р а yPlk ^2 к ■ ■ К

где

8Й ={pz' = l,£,£ = l,£-

Таким образом, в зависимости от a-уровня множество экспертных критериев может быть разбито на классы (кластеры) подобных с уровнем доверия а.

Пример

Рассмотрим результаты оценивания пятью экспертами глубины научной проработки проектов в рамках лингвистической шкалы «тривиальная», «недостаточная», «средняя», «высокая», которые представлены в табл. 1.

Будем предполагать, что значения глубины научной проработки проектов меняются от нуля до единицы. Ноль соответствует полному отсутствию проработки, единица соответствует максимальной научной проработке. На основании метода [9] и данных табл. 1 были получены функции принадлежности индивидуальных критериев экспертов

II II

цп = (0, 0.063, 0, 0.126),

^12 = (0.189, 0.285, 0.126, 0.318),

h3 = = (0.063, 0.7465 , 0.318, 0.169),

Ц14 = (0.9155, 1 , 0.169, 0),

И21 = (0, 0.048, 0, 0.096),

^"22 = (0.144, 0.365, 0.096, 0.306),

^"23 = (0.671, 0.736, 0.306, 0.176),

Ц24 = (0.912, 1, 0.176, 0),

ц31 = (0, 0.0765, 0, 0.153), ц32 = (0.2295, 0.315, 0.153, 0.324), ц33 = (0.639, 0.7375, 0.324, 0.175),

^з4 = (0.9125, 1, 0.175, 0), ц41 = (0, 0.0685, 0, 0.137), ц42 = (0.2055, 0.3075, 0.137, 0.341), ц43 = (0.6485, 0.748, 0.341, 0.168),

Ц44 = (0.916, 1, 0.168, 0), ц51 = (0, 0.086, 0, 0.172), ц52 = (0.258, 0.3355, 0.172, 0.327), ц53 = (0.6625, 0.7725, 0.327, 0.151),

Ь* = (0.9245, 1, 0.151, 0).

Функции принадлежности задаются четырьмя параметрами. Первые два параметра - абсциссы соответственно левой и правой вершин верхнего основания трапеции, которая является графиком функции. Третий и четвертый параметры - длины соответственно левого и правого крыльев трапеции. Опираясь на формализованные критерии экспертов, представленные выше соответствующими функциями принадлежности, вычислим показатели парного сходства к,-, и парной согласованности к. критериев экспертов. Результаты вычислений занесены в табл. 2 и 3.

Анализ табл. 2 и 3 позволяет сделать вывод, что показатели парной согласованности меньше или равны соответствующим показателям парного сходства. Чтобы понять причину такого результата, нужно отметить, что показатель сходства определяет степень похожести двух экспертных критериев в рамках термов с наибольшими носителями (множествами, на которых соответствующие функции принадлежности отличны от нуля), а показатель согласованности определяет степень похожести двух экспертных критериев равномерно в рамках всех термов, независимо от величины их носителей.

Матрицы нечетких отношений R1, R2, которые определяются соответственно элементами табл. 2 и 3, не являются транзитивными, поэтому найдем их транзитивные замыкания R\ и

1 0.912 0.954 0.954 0.938

0.912 1 0.912 0.912 0.912

0.954 0.912 1 0.971 0.938

0.954 0.912 0.971 1 0.938

0.938 0.912 0.938 0.938 1

78

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

Таблица 1

Результаты оценивания экспертами глубины научной проработки проектов Results of the evaluation by Experts depth scientific study projects

№ экз. тривиальная недостаточная средняя высокая

1 24 55 45 18

2 25 44 60 13

3 25 50 46 21

4 24 50 49 19

5 21 50 46 25

Таблица 2

Элементы матрицы парного сходства к,у. критериев экспертов Elements of the matrix pair similarity к,у criteria Experts

1 0.890 0.935 0.954 0.882

0.890 1 0.901 0.912 0.882

0.935 0.901 1 0.971 0.938

0.954 0.912 0.971 1 0.926

0.882 0.882 0.938 0.926 1

Таблица 3

Элементы матрицы парной согласованности к,у критериев экспертов Elements of the matrix pair consistency к,у criteria Experts

1 0.819 0.875 0.923 0.792

0.819 1 0.812 0.834 0.768

0.875 0.812 1 0.938 0.884

0.923 0.834 0.938 1 0.858

0.792 0.768 0.884 0.858 1

1 0.834 0.923 0.923 0.884

0.834 1 0.834 0.834 0.834

0.923 0.834 1 0.938 0.884

0.923 0.834 0.938 1 0.884

0.884 0.834 0.884 0.884 1

Декомпозируем Д на отношения эквивалентности

(Т 1 1 1 1)

1 1 1 1 1

max- 0.912 1 1 1 1 1

а 1 1 1 1 1

1 1 1 У

"1 0 1 1 р (1 0 1 1 0>|

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0.938 1 0 1 1 1 ; 0.954 1 0 1 1 0

1 0 1 1 1 1 0 1 1 0

0 1 1 ч 1° 0 0 0 1J

(\ 0 0 0 0" Г1 0 0 0 0]

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0.971 0 0 1 1 0 ;1 0 0 1 0 0 >

0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

1° 0 0 0 ч 1° 0 0 0 ч

Множество критериев экспертов разбито на кластеры подобных (по отношению R^) между собой критериев при разных уровнях

доверия. Полученные результаты представлены в табл. 4.

Декомпозируем 1^ на отношения эквивалентности

(1

1

щ = max- 0.834 1

а 1

. у

(1 0 1 1 р

0 1 0 0 0

0.884 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1

0 1 1 ч

(\ 0 0 0 (А

0 1 0 0 0

0.938 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0

1° 0 0 0 ч

1 1 1 Г)

1 1 1 1

1 1 1 1 J

1 1 1 1

1 1 1 у

(1 0 1 1 o')

0 1 0 0 0

.923 1 0 1 1 0

1 0 1 1 0

1° 0 0 0 у

(\ 0 0 0 o']

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 >

0 0 0 1 0

1° 0 0 0 ч

Множество критериев экспертов разбито на кластеры подобных (по отношению R2) между собой критериев при разных уровнях доверия. Полученные результаты представлены в табл. 5.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

79

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

Таблица 4

Кластеры подобных (по отношению Д) критериев экспертов при разных уровнях доверия Clusters of these (relative Д) criteria expert at different levels of trust

Уровень доверия Кластеры

0.912 {1,2,3,4,5}

0.938 {1,3,4,5},{2}

0.954 {1,3,4},{2},{5}

0.971 {3,4},{1},{2},{5}

1 {1},{2},{3},{4},{5}

Таблица 5

Кластеры подобных (по отношению Д) критериев экспертов при разных уровнях доверия Clusters of these (relative Д) criteria expert at different levels of trust

Уровень доверия Кластеры

0.834 {1,2,3,4,5}

0.884 {1,3,4,5},{2}

0.923 {1,3,4},{2},{5}

0.938 {3,4},{1},{2},{5}

1 {1},{2},{3},{4},{5}

Таким образом, при достаточно большом уровне доверия к проведенным исследованиям структурный состав системы экспертных критериев можно считать однородным, а сами экспертные критерии подобными. Если необходимо сформировать комиссию из четырех экспертов, то в нее предлагается включить экспертов № 1, 3, 4, 5. Если необходимо сформировать комиссию из трех или из двух экспертов, то в нее предлагается включить соответственно экспертов № 1, 3, 4 или № 3, 4. Заключение Информация, поступающая от разных экспертов, может различаться. Чтобы ее проанализировать, недостаточно сравнить данные, полученные от одного эксперта, с ке экспертной информации достаточно часто приходится иметь дело с лингвистическими описаниями исследуемых объектов, то необходимо не только не игнорировать возникающую при этом нечеткую составляющую, но и использовать методы, позволяющие ее учитывать. В работе для изучения структурного состава экспертной информации разработана модель нечеткого кластерного анализа, которая позволяет разбить мнения (критерии) экспертов на кластеры подобных при разных уровнях доверия. Возможность гибкого подхода к кластеризации экспертных критериев играет существенную роль, поскольку дает возможность принятия решений в зависимости от требований к надежности этих критериев.

данными, полученными от другого эксперта. Необходимо проанализировать структурный состав системы всех экспертных данных и определить место каждого индивидуаль- Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ.

ного экспертного мнения в этой системе. Недостаточно определить количественные Библиографический список

показатели сходства экспертных данных, необходима трактовка этих показателей на качественном уровне. Поскольку при обработ- 1. Olga Poleshchuk and Evgeniy Komarov Expert Fuzzy Information Processing. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011. - 237 p.

80 ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ И ДРЕВЕСНЫХ ПРОДУКТОВ

2. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. Заде. - M.: Мир, 1976. - 165 с.

3. Литвак, Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений / Б.Г. Литвак. - М.: Патент, 1996. - 271 с.

4. Ashraf Darwish and Olga Poleshchuk New models for monitoring and clustering of the state of plant species based on sematic spaces / // Journal of Intelligent and Fuzzy Systems.- 2014.- Vol. 26. - P. 1089-1094.

5. Tamura S., Higuchi S., Tanaka K. Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. - 1971. - Vol. SMC-1. - P. 61-66.

6. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy orderings // Information Sciences. -1971. - Vol. 3. - P. 177-200.

7. Ruspini E.H. A new approach to clustering // Information and Control. - 1969. - Vol. 15. - P. 22-32.

8. Ruspini E.H. Numerical methods for fuzzy clustering // Information Sciences. -1970. - Vol. 2. - P. 319-350.

9. Полещук, О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств / О.М. Полещук // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2002. - № 5 (25). - С. 198-216.

10. Poleshchuk O. The determination of students’ fuzzy rating points and qualification levels // International Journal of Industrial and Systems Engineering. - 2011. -Vol. 9, № 1.-P. 3-20.

11. Полещук, О.М. Построение групповой экспертной оценки качественных показателей сложных технических систем / О.М. Полещук // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. -2012. - № 6 (89). -С. 37-40.

CLUSTER ANALYSIS OF THE GROUP EXPERT INFORMATION Poleshchuk O.M., Prof. MSFU, Dr. Sci. (Tech.); Komarov E.G., Assoc. Prof. MSFU, Dr. Sci. (Tech.)

[email protected], [email protected] Moscow State Forest University (MSFU), 1st Institutskaya st., 1, 141005, Mytischi, Moscow reg., Russia

A model of fuzzy clustering analysis has been developed for the study of the structural composition of the expert information. The model allows to cluster the expert information at different levels of confidence. Since the expert information processing often has to deal with linguistic descriptions of the objects, it is necessary not to ignore the arising fuzzy component, but to use methods that allow it to be considered. To analyze the expert information it is insufficient to compare the data obtained from one expert, with the data obtained from another expert. It is necessary to analyze the structural composition of all the expert data and determine the location of each individual expertise in this system. It is insufficient to quantify the similarity of expert data, аn interpretation of these indicators on a qualitative level is required. The possibility of a proposed flexible approach to the clustering of expert opinions is essential, because it allows decision-making according to the requirements of reliability. The numerical example has demonstrated that the developed model offuzzy clustering analysis can be used for analysis of expert group information successfully.

Keywords: clustering analysis, expert group information

References

1. Olga Poleshchuk and Evgeniy Komarov Expert Fuzzy Information Processing. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011. 237 p.

2. Zadeh L.A. Ponjatie lingvisticheskoj peremennoj i ego primenenie kprinjatiju priblizitel’nyh reshenij [Concept of a linguistic variable and its application to adoption of approximate decisions]. Moscow: Mir, 1976. 165 p.

3. Litvak B.G. Ekspertnye otsenki iprinyatie resheniy [Expert evaluation and decision-making]. Moscow: Patent, 1996. 271 р.

4. Ashraf Darwish and Olga Poleshchuk New models for monitoring and clustering of the state of plant species based on sematic spaces. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. 2014. Vol. 26. pp. 1089-1094.

5. Tamura S., Higuchi S., Tanaka K. Pattern classification based on fuzzy relations. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 1971. Vol. SMC-1. pp. 61-66.

6. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy orderings. Information Sciences. 1971. Vol. 3. pp. 177-200.

7. Ruspini E.H. A new approach to clustering. Information and Control. 1969. Vol. 15. pp. 22-32.

8. Ruspini E.H. Numerical methods for fuzzy clustering. Information Sciences. 1970. Vol. 2. pp. 319-350.

9. Polestahuk O.M. O razvitii sistem obrabotki nechetkoj informacii na bazepolnyh ortogonal’nyh semanticheskihprostranstv [On the development of fuzzy information processing systems on the basis of complete orthogonal semantic spaces]. Moscow state forest university bulletin - Lesnoy vestnik. 2003. № 1 (26). pр. 112-117.

10. Poleshchuk O. The determination of students’ fuzzy rating points and qualification levels. International Journal of Industrial and Systems Engineering. 2011. Vol. 9, № 1. pp. 3-20.

11. Polestahuk O.M. Postroenie gruppovoj jekspertnoj ocenki kachestvennyh pokazatelej slozhnyh tehnicheskih sistem [Creation of a group expert assessment of quality indicators of complex technical systems]. Moscow state forest university bulletin - Lesnoy vestnik. 2012. № 6 (89). pp. 37-40.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2015

81