Кластеризация микродефектов в кремнии при термическом окислении Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. П. Шаповалов, В. И. Грядун: КЛАСТЕРИЗАЦИЯ МИКРОДЕФЕКТОВ В КРЕМНИИ ПРИ ТЕРМИЧЕСКОМ ОКИСЛЕНИИ

дефектов. Действительно, кластеризация связана с интенсивной генерацией собственных междоузельных атомов. По завершению эмиссии междоузельных атомов процессы кластеризации начнут ослабевать, что должно отразиться на ходе рассматриваемой кривой, ход которой будет стремиться к некоторому стационарному состоянию.

Для нахождения паритеной толщины пленки диоксида кремния запишем выражения для общей поверхностной плотности микродефектов

у(х) = Щ(х) + Nc(х) . (7)

Подставляя (4) и (6) в (7), получим

у(х) = ¿К+11 -¡[К ехр[-! (х - х™ )2]. (8)

На рис. 2 представлена кривая (8) а также соответствующие экспериментальные результаты. Будем рассматривать точку перегиба кривой как соответствующую паритетной толщине окисла. Тогда приравнивая вторую производную этого выражения нулю и решая полученное квадратное уравнение

1 = (х - хт )2, (9)

получим расчетную формулу для паритетной толщины диоксида кремния

1

х = х +-.

Р т та

(10)

А ад

у3(х)

Рисунок 2. - Зависимость общей поверхностной плотности микродефектов в кремнии от толщины окисла.

Подставляя в (10) значения хт и а , получим численное значение паритетной толщины пленки диоксида кремния

х = 0, 327 мкм .

Р

Следует заметить, что аннигиляция собственных меж-доузельных атомов кремния и вакансий в условиях паритетной толщины слоя £¿02 , по-видимому, будет

зависеть от атмосферы и термодинамических условий термического окисления кремния. Действительно, в

работах [6,7] при сухом термическом окислении паритетная толщина £¿02 на кремнии составила величину

~0,45 мкм, что примерно на 25% больше значения, полученного нами и также является достаточно приемлемым по диапазону толщин £¿02 для решения практических

задач электроники по оптимальной минимизации микродефектов в поверхностном слое кремния.

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Исследована полученная экспериментально немонотонная зависимость поверхностной плотности микродефектов в кремнии от толщины пленки диоксида кремния, проявляющаяся в переходе от возрастания к резкому спаду количества наблюдаемых микродефектов, генерируемых в кремнии на границе раздела фаз S¿ - £¿02,

при его термическом окислении в диапазоне толщин окисла 0,25 - 0,5 мкм. Анализ происходящих при этом процессов показывает, что резкий спад рассматриваемой зависимости является результатом преобладания коагу-ляционных процессов в системе микродефектов над генерационными.

Причинами, порождающими уменьшение концентрации микродефектов в поверхностной области кремния при одновременном увеличении их размеров, можно назвать следующие:

1) поглощение микродефектов растущим окислом при движении границы раздела фаз S¿ - £¿02 в глубь кристалла;

2) диффузия микродефектов в глубь кристалла кремния вследствие роста их подвижности в неоднородном поле механических напряжений в системе S¿ - £¿02 ;

3) кластеризация микродефектов при достаточной их концентрации в приповерхностной области кристалла кремния;

4) геттерирование микродефектов вследствие появления геттерных центров, которыми могут быть преципитаты, кластеры и частичные дислокации.

Первый механизм лишь частично объястяет резкий спад плотности икродефектов на поверхности кремния. Действительно, скорость окисления кремния при постоянной температуре непрерывно уменьшается, поэтому поглощение микродефектов окислом также замедляется, оставаясь пропорциональным их поверхностной плотности, что ведет к монотонному замедляющемуся росту поверхностной плотности микродефектов.

Второй механизм, связанный с диффузией микродефектов в глубь окисляемого кристалла, обусловлен диффузионной активностью в дефектной области кристалла, подвергнутой упругим деформациям.

Третий и четвертый механизмы - решающие причины роста размеров микродефектов с одновременным умень-

8

х, ткт

РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

шением их общей концентрации в рассматриваемом диапазоне толщин пленки диоксида кремния при заданных условиях термического окисления кремния. Оба механизма хорошо объясняют спад общей концентрации микродефектов при одновременном укрупнении кластерных скоплений атомов и геттерных центров.

ВЫВОДЫ

Проведенные исследования позволяют оценить паритетную толщину пленки диоксида кремния в конкурирующих процессах аннигиляции и генерации вакансий и собственных междоузельных атомов кремния, как составляющую величину ~0,35 мкм.

Полученные результаты могут быть использованы в экспериментах и технологических процессах электроники, связанных с термическим окислением кремния, в частности, для формирования резких диффузионных примесных профилей с квантовыми характеристиками р-п-переходов, при проведении процессов диффузии в окна окисла паритетной толщины, а также при ре-

ализации защитных покрытий готовых кристаллов ИС, что значительно уменьшит плотность дефектов в приповерхностных слоях кремния и, тем самым, позволит повысить качество и надежность изделий электроники.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. The oxidation process and Si - S/O2 system properties / Claeys C. L, De Keersmaecker R. F., Declerck G. J. // Si - S/O2 Syst..

- Amsterdam atc., 1988. - P. 129-220.

2. Литовченко В. Г., бвтух А. А., Л!совський ¡. П., Кизяк А. Ю, Педченко Ю. М. // УФЖ. - 1998. - Т. 43, вип. 5. - С. 607-613.

3. Рейви К. Дефекты и примеси в полупроводниковом кремнии. -М.: Мир, 1984. - 472 с.

4. Шаповалов В. П., Грядун В. И, Токарев В. П. // ФТП. - 1993. -Т. 27, вып. 11/12. - С. 1851-1856.

5. Шаповалов В. П., Грядун В. И, Королёв Е. В. // ФТП. - 1995. -Т. 29, вып. 9. - С. 1995-2000.

6. Баграев Н. Т., Владимирская Е. В., Гасумянц В. Э., Кайданов В. И., Кведер В. В., Клячкин Л. Е., Маляренко А. М., Чайкина Е. И., Шалынин А. И. // ФТП. - 1995. - Т. 29, вып. 12. - С. 2133-2157.

7. Баграев Н. Т., Клячкин Л. Е., Маляренко А. М., Половцев И. С, Суханов В. А. // ФТП. - 1990. - Т. 24, вып. 9. - С. 1557-1573.

Надшшла 16.04.98

Н. И. Белая, H.A. Нечипоренко: ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ С ПОГРЕШНОСТЬЮ, УЧИТЫВАЮЩЕЕ

ИЛНФОРМАТИКА

УДК 519.65

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ С ПОГРЕШНОСТЬЮ, УЧИТЫВАЮЩЕЕ КАЧЕСТВЕННУЮ АПРИОРНУЮ

ИНФОРМАЦИЮ.

Н. И. Белая, H.A. Нечипоренко

Пропонуеться алгоритм сгладжування функцп, задано'( на cimv,i з похибкою, що враховуе таку в1дому тформащю про функщю як монотонтсть i опуклicmь, який дозволяе обчисляти першу похiдну функцп з прийнятною на практищ точтстю i забезпечуе збiжнicmь похiдноi при прагнент похибки в значеннях функцп до нуля.

Предлагается алгоритм сглаживания функции, заданной на сетке с погрешностью, учитывающий такую известную информацию о функции как монотонность и выпуклость, что позволяет вычислять первую производную функции с приемлемой на практике точностью и обеспечивает сходимость производной при стремлении погрешности в значениях функции к нулю.

The algorithm of the function smoothing determined on the grid with an error, taking into account such known information about function as monotonity and convexity, is suggested. It allows to calculate the first derivative of the function with appropriate accuracy in practice. This algorithm ensuresconvergence of the derivative at the error's following to zero.

Известно [1,2], что задача численного дифференцирования - это некорректная задача, то есть при наличии даже незначительных погрешностей в значениях исходной функции могут возникнуть довольно значительные погрешности в значениях производных. В связи с этим возникает необходимость в различного рода алгоритмах, которые повышали бы точность вычисления производной за счет учета какой-либо дополнительной информации о функции. Достаточно часто такой информацией является информация о выпуклости и, возможно, монотонности исходной функции, которая нарушается за счет погрешностей в заданых значениях функции.

Рассмотрим множество F определенных на отрезке [а,Ь]выпуклых (и возможно монотонных) функций^х), то есть функций, удовлетворяющих условиям

fx)< 0 (fx)> 0), x e [a, b] , (1)

и возможно условиям

f'( x )> 0 f( x )< 0), x e [ a, b ] . (2)

Будем предполагать также, что производная f'(x) ограничена на отрезке [а,Ь].

Если вместо f(x) e F известна функция fg(x) такая,

¡(f(X)-f5(x))2dx <s2,f5(x)e F ,

(3)

то естественно искать приближение к функции ^х) из класса Б, то есть искать функцию ф(х) такую, что

ь

|(ф(*) -/б(х))2ах < 82, ф(X) е F,

а

Как показано в работе [2], привлечение условий выпуклости обеспечивает стабилизацию первого порядка гладкости, то есть при условии ограниченности первой производной имеет место равномерная сходимость приближений функции и производной при 8 ^ 0 .

При задании функции на сетке {}, г = 1, ..., N,

построение приближений к функции ^х) сводится к решению экстремальной задачи

N

X /(X) -/8(х))2- (4)

г = 1

при ограничениях

к2 / _ 1 - 2/ +/г + 1 )< 0, (к2 = ±1) = 2, 3,., N (5) и, если функция монотонна, при ограничениях

к1{Т1 _ 1 -/)< 0, (к1 = ±1) ,г = 2, 3,., N. (6)

Причем, минимизация осуществляется до тех пор, пока не выполнится условие

N

X/ _/8(хг))2 <82.

г = 1

Предлагается для решения задачи (4) при ограничениях (5) и (6) использовать метод Хилдрета и Д'Эзопо [3]. Это асимптотический метод определения экстремума квадратичных функций, сущность которого состоит в решении двойственных задач. Метод прост в реализации, не требует знания начального приближения, удовлетворяющего ограничениям (5) и (6) , а учет особенностей указанных ограничений позволяет значительно сократить объем вычислений на каждой итерации и объем используемой памяти компьютера.

о

1НФОРМАТИКА

Приведем краткое описание алгоритма. Двойственной для задачи (4)-(6) является задача

шт\к'и + и Ои > 0 ,

гдеА - матрица ограничений задачи имеет вид:

; А =

А =

к1 А1

к2 А2

-1 +1 0 ... 0 0 0 -1 +1 ... 0 0

0 0 0 ... -1 +1

А1 =

1 -2 10 0 1 -2 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

-2 1 0 1 -2 1

и - вектор решения двойственной задачи размерности (2 N - 3) .

Решение начинается с точки иА = 0 . ир + 1 ,

р = 0, 1, 2, ... находят по формулам

ир + 1

0, мР + 1 |,г = 1, 2, ..., (2N- 3) , (7)

где

+1 =

8 г,

У 8 ир

V = 1

+1 + л

гГ/ 2 У

У 8иР

/ = г + 1 V

/8 = {/б( *1 Ь"/ ^)} л = -А/8

11

О = 1АА' = 4! 44

А1А'1 к1 к2А1А'2 к1к2А2А1 А2А'2

Здесь /8 - вектор размерности Ь - вектор

размерности (2N - 3), О - матрица размерности (2 N - 3 )х( 2N - 3) , и - вектор решения двойственной задачи размерности (2N- 3) .

Матрицы А и О не хранятся в памяти компьютера, вычисления по формуле (7) проводятся просто с учетом вида этих матриц. Поэтому, на каждой итерации для

вычисления 1 + 1 требуется 11 (2N - 3) арифметических операций. Проверку на окончание процесса можно осуществлять через несколько итераций по условию:

N

22 У (А'и)2 < 482 ,

г = 1

проверка которого требует 6Ы операций. Проведенные расчеты показали достаточно быструю сходимость итерационного процесса. Производную вычисляем по

разностным формулам, используя следующие значения

/г =

1

= /8(Хг) - 2(к1(иг - 1 - иг) + к2(иг - 2 + N- 2иг - 1 + N + иг + N) для г = 3,4,., N - 3, и следующие значения для крайних точек:

/1 = /8( х1) - (- к1 и1 + к2иИ)/2;

1

/2 = /8(х2) (к1(и1 - и2) + к2(- 2ин + + 1)) ;

1

/М - 1 =/8( - 1) -2! (к1( UN - 1 - иЫ) + к2( и2 N - 4 - 2и2М - ^);

/М= /8(х#) - (- к1 иМ + к2и2N - 3)Х2 . На рис. 1 и 2 приведены результаты расчетов для тестового примера, данные для которого получены

следующим образом: табулировалась функция у = 4~х, затем в значения функции вносилась случайная погрешность, которая нарушала условия выпуклости и монотонности функций, носила осцилирующий характер и делала невозможным вычисление производной по разностным формулам. Максимальное абсолютное значение погрешности равнялось 0,05 (20% от минимального значения функции и 5% от максимального), среднеквадратическая погрешность в значениях функции составляла 0,05. Погрешность сглаженных значений функции не превышает 0,01 (4% от минимального значения функции), а среднеквадратичная погрешность для сглаженной функции равна 0,27. Улучшение в значениях функции не так велико, однако, тот факт, что сглаженная функция стала монотонной и выпуклой, позволяет получить приближение производной этой функции с приемлемой точностью. На рис.2 погрешность восстановления производной не превышает 0,22 (9% от значения производной) для крайних точек, а среднеквадратичная погрешность равна 0,07.

Приведенный алгоритм использовался при изучении динамики процесса получения кремния и дал хорошие практические результаты.

1,2 п 1 -

0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

—♦—У точное ■ У с погрешностью а у сглаженное

Рисунок 1 - Приближение функции, заданной с погрешностью, с учетом монотонности и выпуклости