Классы полиномов, сохраняющих обобщенные точечные разбиения бесконечной области определения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь

Мещанинов Д.Г.1, Никитин И.В.2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент, 2аспирант,

ФГБОУ ВПО "Национальный исследовательский университет "МЭИ"

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №13-01-00684 КЛАССЫ ПОЛИНОМОВ, СОХРАНЯЮЩИХ ОБОБЩЕННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Аннотация

В статье рассматриваются замкнутые классы полиномов первой степени над кольцами А = Ж, Q, К, сохраняющих разбиения множества A, в которых ровно одно подмножество бесконечно, а число конечных подмножеств конечно. Устанавливается состав классов. Также доказывается алгоритмическая неразрешимость распознавания сохранения полиномом произвольной степени таких разбиений над кольцом TL .

Ключевые слова: функциональная система, полином, замкнутый класс, разбиение.

Meshchaninov D.G.1, Nikitin I.V.2

1PhD in Physics and Mathematics, 2postgraduate Student, MPEI CLASSES OF POLYNOMIALS PRESERVING GENERALIZED POINTLIKE PARTITIONS OF THEIR

INFINITE DOMAIN

Abstract

First-degree polynomials over rings A = Z, Q, Ж are considered. Closed classes of polynomials preserving partitions of the domain A into a single infinite subset and finite number of finite ones are analysed. Contents of such classes is

determined. As well it is proved that recognition of preserving these partitions by arbitrary-degree polynomials ower ring Zi is algorithmically unsolvable.

Keywords: function algebra, polynomial, closed class, partition.

1 ) данной работе мы продолжаем исследования функциональных систем P(A) полиномов с операциями суперпозиции на бесконечной области определения

А = Ъ, Q,M,C , начатые в [1-12]. Полиномом от переменных хг,■ ■.,Xn над кольцом A называется выражение

ct(ccl,...,ccn)xl1 ...ху ^ где а{(хх,..-,ссп) £ А

коэффициенты полинома f Максимальное значение

,ап<=7.+

^+... + ^и в этой формуле называется степенью полинома f Каждый полином f (Xj,..., xn ) над бесконечным

кольцом A задаёт ровно одну функцию An ^ A . Мы отождествляем полином f с задаваемой им функцией, а также со всеми полиномами, получаемыми из f переименованием (без отождествления) переменных, а также введением и удалением фиктивных переменных.

В дальнейшем используются обозначения X = (л^,..., Хп ), 0 = (0,..0) для элементов из А" .

Операции суперпозиции над функциями состоят в подстановке функции на места переменных функций, переименовании и отождествлении переменных. Функциональная система P(A) - это алгебра всех полиномов над кольцом A с операциями суперпозиции. Подалгебры функциональной системы называются замкнутыми классами. L(A) - это замкнутый класс в P(A), состоящий из полиномов только первой и нулевой степени.

Элементы X, y £ A называются эквивалентными относительно разбиения J, если они принадлежат одному

классу разбиения (обозначение: -X' ~ У). Векторы х = (х1,..., х„) и У = (УХ,...,У„) из An эквивалентны

( X ~ у ). если У ~ V, при всех / = 1,..А?, Функция fix) (мы отождествляем функцию f '■ А" -А А и

реализующий ее полином) из Р(А) сохраняет разбиение ./. если для всех Л', у £ А" из условия X ~ у следует, что

fix) ~ /Су) . Класс всех полиномов (и функций) из P(A), сохраняющих эквивалентности на A, равносильные разбиению множества A, является замкнутым.

В [4] найден состав классов сохранения так называемых точечных разбиений Jm '■ A = {m} yj {x £ A, X Ф , где m - фиксированный элемент из A . Эти разбиения выделяют одну точку в бесконечном множестве, образующей один из двух классов эквивалентности; второй класс бесконечен. Естественным представляется следующее обобщение таких разбиений: выделяем не одно, а несколько конечных подмножеств и оставляем одно бесконечное подмножество. В данной работе мы рассматриваем разбиения с произвольным конечным числом подмножеств произвольной конечной мощности и устанавливаем состав замкнутых классов сохранения этих разбиений в

функциональных системах L(Z), /XQ), . При выводе результатов существенным условием оказалось наличие

ровно одного бесконечного подмножества в разбиениях.

Подобные проблемы связаны с прикладными задачами. Так, А.И. Мамонтовым намечены пути использования функциональных систем L(A) при анализе, поиске и классификации информации [5,8]. Кодируя данные конкретной предметной области элементами числового множества A, можно считать эквивалентными числа, соответствующие содержательно близким данным (например, словам-синонимам). Успех в применении такого подхода будет зависеть

75

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь

от способа кодирования. Достаточно общий характер результатов настоящей работы открывает широкие возможности для дальнейших экспериментов.

Основные понятия

Пусть А - одно из множеств Z, O', R , Введем разбиение J (1) , где

JI={ma,...,mik},i = l,...,r, r> 1, Ja>=A\(J1^>---^>Jr).

Разбиение (1) линейно упорядоченного множества A будем называть симметричным, если

k> 2, щ <---<mk, для всех / = l,...,dfc/2t элементы Hij и

принадлежат одному классу Jiq), где l(i) £ {1,...,r}, и

щ+тк =т2 + тк1 = ■■■ = т х +mq при к = 2 q, q> 1, щ+тк =т2+ = ■■■ = 2 mq+1 при k = 2q + l,q>l.

Селекторной называется функция (полином первой степени) f(x)=x, тождественно равная x (или любой другой переменной из счетного алфавита).

Все константы из A, рассматриваемые как 0-местные функции, и селекторные функции сохраняют любое разбиение.

Разбиения/множества TL

Утверждение 1. Если fix) = ъ + 'Y^a{a)x( ^РМ),и

афЪ

d = НОД'</(£), О! А 0 \, ТПу ф b (mode/) при всех г = 1,.. ,,r, j = 1,.. ,,kj, mo полином f сохраняет разбиение J. (В этом случае все значения f (х) принадлежат ./, ).

Утверждение 2. Функция f (x) = ax + b, a A 0, из L(Z) сохраняет разбиение J тогда и только тогда, когда для всех i = 1,■■■, Г и всех j = 1,., ki выполняется одно из следующих условий:

У1) разность mj — b не делится на а;

У2) разность mij — b делится на а, причем существует l £ {1, • • •, Г} такое, что (mj — b) / a £ Jl и для всех

t = 1,..., kl выполняется включение f () £ J

Доказательство. Достаточность условия У1) для сохранения разбиения J следует из утверждения 1.

Пусть для всех i,j не выполняется ни одно из условий У1), У2). Тогда для некоторых i,j имеем: mj — b кратно а,

xi = im,j ~ b) ! е/ е Ж и Xj £ Jx . Значит, f (Xj) £ Jt . Множество fr бесконечно, поэтому найдется x2 £ ./.,

такое, что значение f ( X2) не принадлежит конечному классу J\ . Следовательно, Х1 ~ Х2 , но f (Хдг~ f (Х2) , поэтому функция f не сохраняет разбиение J.

Пусть для всех i,j не выполняется условие У1), но выполняется условие У2). Тогда каждое значение тц

принимается функцией f в единственной точке X = Xl(i, j) = (т,2 — b)/ a , причем Х1 принадлежит некоторому

классу Jt, номер l £ {1,., Г} которого определен однозначно. Если X2 ~ Х1, то Х2 £ Jl и f (Xl), f (Х2) £ Jr в

силу условия У2).

В этом случае функция/сохраняет разбиение J, что завершает доказательство утверждения.

Следствие 1. Если r=1 и Ji = {ml,..., тк }, то функция f(x)=ax+b, a A 0, из L(Z) сохраняет разбиение J тогда и только тогда, когда для всех i = 1,., к выполняется одно из следующих условий:

У1 ’) разность mt — b не делится на а;

У2’) разность mt — b делится на а, причем (mt — b) / a £ J1 и для всех t = 1,..., к выполняется включение

f (mt) £ J1-

В частности, симметричное разбиение сохраняется функцией Щ + ~ X.

Следствие 2 [4, утверждение 3]. Если г=1 и = {ш}, то функция f (х) = CDC + Ь, а А 0 , из L(Z) сохраняет разбиение J тогда и только тогда, когда m-b не делится на а.

76

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь

Следствие 3. Если kY — • • ■ — кг — 1 и •/, — {щ}3 — то функция ./(X) — ах +b,a Ф 0, из Z(Z)

сохраняет разбиение J тогда и только тогда, когда для всех i = 1,..., Г выполняется одно из следующих условий: У1 ’’) разность mi — b не делится на а;

У2") разность М, ~Ь делится на а, путчем (щ — V)! а = ТПt для некоторого I е {1,., г} .

Утверждение 3. Если f(xl,x2) = ауху + а2х2 +йе L(Z\ ага2 ^ О, d = НОД (с/,, а2), то функция / сохраняет разбиение J тогда и только тогда, когда для всех i = 1, Г и всех j = 1,., ki выполняется условие m = b (mod d). (2)

Доказательство. Достаточность приведенного условия для сохранения разбиения J следует из утверждения 1. Докажем его необходимость.

Пусть для некоторых i,j справедливо представление т„ ~Ъ =Md . где М G Z . Уравнения f(X\, -У ) = т„ и a1x1 + a2x2 = Md равносильны и имеют бесконечное множество решений. В частности, существует решение (*1, Х2) такое, что Ху, Х2 е Jx . В то же время в силу бесконечности класса Jнайдутся уг, у2 е Jx такие, что

f ОХ у2) е J . Получаем: хг ~ уг, *2 ~ ^ f Х2) ~ f (y1> M т. е. функция f не сохраняет разбиение J. Утверждение доказано.

Утверждение 4. Еболином f (X...хп) — ахХу +... + апхп +Ь при п > 2, ах • • • ап ^ О сохраняет разбиение J

в том и только том случае, когда для всех i,j и d = НОД(а^..., an ) выполняется условие (2).

Доказательство. Достаточность условия утверждения для сохранения разбиения J следует из утверждения 1. Покажем его необходимость, ограничиваясь, в силу утверждения 3, дополнительным условием n > 3 . Если функция f * Х2,..., xn ) сохраняет разбиение J, то его сохраняет и функция

^(Х1, Х2) = f 0) = а0 + а1Х1 + а2Х2 . При этом НОД(а:, а2) = d0 и d0 = 0(mod d) . Если

mij- = b(mod d), то mtj = b(mod d0) и функция g(Xj, Х2) не сохраняет разбиение J. Утверждение доказано. Следствием утверждений 3 и 4 является

Теорема 1. Класс U(J) Гл Ь(Ж) состоит в точности из следующих функций:

1) всех констант из 7L и селекторных функций;

2) функций ax+b таких, что для всех i = 1., Г и всех j = 1,., kt выполняется одно из условий У1) или У2);

3) всех функций П, П > 2, переменных вида а1 Ху + ...+ апХп + b , для которых НОД( а1,..., ап) = d и все значения mj удовлетворяют условию (2).

Теорема 2. В функциональной системе P(jP) проблема распознавания принадлежности произвольного полинома из Р(Ж) классу U( J) алгоритмически неразрешима.

Задача сводится к распознаванию разрешимости диофантовых уравнений f (х1,.,Хп) — mij. = 0 , т. е. 10-й

проблеме Гильберта, которая имеет отрицательное решение.

Несмотря на отрицательный смысл теоремы 2, существует достаточное условие сохранения отношений J

произвольным полиномом из Р( Z) - утверждение 1.

Частным случаем этих результатов при r=k=l являются теоремы 5-7 из [6].

Разбиения J множеств Q, К

Теперь всюду А - одно из множеств Q1, М .

Упростим обозначения, полагая Jy У)'"У) Jr ={ml,...,mk}.

Если к > 2, то Щ < • • • < тк.

Утверждение 5. Если k > 2, то функция f (x) = ах + b, а Ф 0 , из L(A), удовлетворяющая условию 3i е{1,..., k} Vj = 1,..., k (b Ф mt — amjj, (3) не сохраняет разбиение J.

Доказательство. Пусть Ху = (mt — b) / а. Тогда f (*1) = mt, а из условия (3) следует, что Ху е Jm . Класс J бесконечен, поэтому найдется Х2 е Jx такое, что Х2 Ф (mi — b) / а при всех i = 1,.,k , т.е. f (Х2) е Jx . Имеем Х1 ~ Х2, f (Х1) = mi,, f (Х2) е J», f (Х1) т6 f (Х2) . Утверждение доказано.

77

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь

Утверждение 6. Если А - одно из множеств Q, К и П>2,а1---ап^0> то полином /(х17 х2, ...,хп) = а0 + аххх + а2х2 + • • •апхп из L(A) не сохраняет разбиение J.

Доказательство. Покажем, что найдутся Х,у из А такие, что X ~ У. но ./ (•?) /./ ( J’). Положим

x2 = c2,•••,= cn, где cn - произвольные элементы множества A. Решим уравнение

f(x1,c2,...,cn) = m1.

Получим хг = (щ — а0 — а2с2------а„с„)/ а\ = • • •>сд-

Выберем c2,cn так, чтобы $ (x1, c2,..., cn ) G Jx . Для таких C2,•••, cn рассмотрим унарную функцию

g(x) = f(x, c,..., cn ) . Уравнение g( x) = m имеет ровно одно решение x = xi, при этом g(xi) G Jш .

Имеется бесконечное множество значений у таких, что g(y) G Jx. Среди них найдется yi с условием

Уг G Л,, Уг *xi-Тогда х = (х1,с2,...с„),у = (у1,с2,...с„).

Утверждение доказано.

Теорема 3. Если А - одно из множеств Q, К. и к >2, то класс L(A')r>iU(J') содержит в точности следующие полиномы:

1) все константы из A и селекторные функции;

2) функцию m + mk — X, если разбиение J симметрично.

Доказательство. Константы и селекторные функции сохраняют любое разбиение. Нетрудно также проверить, что функция m + mk — X сохраняет симметричное разбиение. Покажем, что других функций класс L(A) oU(J) не содержит. В силу утверждения 6 функция, сохраняющая разбиение J, должна зависеть не более чем от одной переменной. Рассмотрим такую функцию f (x) = ax + b. a ^ 0. Если она удовлетворяет условию (3), то, согласно утверждению 5, она не принадлежит классу L(A) o U(J) . Если условие (3) не выполняется, то решениями уравнений f (xi) = m^,■■■, f (x) = m являются различные элементы X1 = mj(^ • ••, xk = mj(k) множества {mi,., mk} . При a>0 получаем j(1) = 1,., j(k) = k , откуда a=1 и b=0. Если a<0, то

7(1) = к, 7(2) = к-1,..., j(k) = X a = -1,

ь = щ+тк =m2 + fflj4 = • • • и разбиение J симметрично. Теорема доказана.

Теорема 3 дополняется следующим результатом из [6] для частного случая г=к=Е При этом требование линейного упорядочения множества А излишне, и можно рассматривать также А = С ,

Теорема 4 [4]. Если А - одно из множеств (Q, К, С и r = k = \Jl= {т} , то класс L(A) oU(J) содержит в точности следующие полиномы:

1) все константы из A;

2) все одноместные функции f (x) = ax + m(1 — a), a G A .

Литература

1. Мамонтов А. И. Исследование структуры замкнутых классов в функциональной системе линейных полиномов с целыми неотрицательными коэффициентами // Вестник МЭИ. 2006. № 6. С. 83-90.

2. Мамонтов А. И., Мещанинов Д. Г. Проблема полноты в функциональной системе линейных полиномов с целыми коэффициентами // Дискретная математика. 2010. Т. 22. Вып. 4. С. 64-82.

3. Мамонтов А. И. Проблема относительной полноты в функциональной системе линейных полиномов с рациональными коэффициентами // Вестник МЭИ. 2011. № 6. С. 133-142.

4. Мещанинов Д. Г., Никитин И. В. Функционально замкнутые классы полиномов, сохраняющих некоторые эквивалентности на числовых множествах // Вестник МЭИ. 2011. № 6. С. 14-23.

5. Мамонтов А. И. Применение функциональных систем полиномов при классификации и поиске информации // Вестник МЭИ. 2012. № 6. С. 117-123.

6. Мещанинов Д. Г., Никитин И. В. Классы сохранения пороговых разбиений в функциональных системах полиномов // Вестник МЭИ. 2012. № 6. С.132-141.

7. Мещанинов Д. Г., Никитин И. В. Классы полиномов, сохраняющих разбиения области определения на промежутки равной длины // Вестник МЭИ. 2013. № 6. С. 147-153.

8. Мамонтов А. И. Организация классификации с использованием функциональных систем линейных полиномов // Вестник МЭИ. 2013. № 6. С. 37-42.

9. Мамонтов А. И., Мещанинов Д. Г. Алгоритм распознавания полноты в функциональной системе L(Z) // Дискретная математика. 2014. Т. 26. Вып. 1. С. 85-95.

78

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь

References

1. Mamontov A. I. Issledovanie struktury zamknutyh klassov v funkcional'noy sisteme lineynyh polinomov s celymi neotricatel'nymi koeffidentami // Vestnik MEI. 2006. № 6. S. 83-90.

2. Mamontov A. I., Meschaninov D. G. Problema polnoty v funkcional'noy sisteme lineynyh polinomov s celymi koefficientami // Diskretnaya matematika. 2010. T. 22. Vyp. 4. S. 64-82.

3. Mamontov A. I. Problema otnositel'noy polnoty v funkcional'noy sisteme lineynyh polinomov s racional'nymi koefficientami // Vestnik MEI. 2011. № 6. S. 133-142.

4. Meschaninov D. G., Nikitin I. V. Funkcional'no zamknutye klassy polinomov, sohranyayuschih nekotorye ekvivalentnosti na chislovyh mnojestvah // Vestnik MEI. 2011. № 6. S. 14-23.

5. Mamontov A. I. Primenenie funkcional'nyh sistem polinomov pri klassifikacii i poiske informacii // Vestnik MEI. 2012. № 6. S. 117-123.

6. Meschaninov D. G., Nikitin I. V. Klassy sohraneniya porogovyh razbieniy v funkcional'nyh sistemah polinomov // Vestnik MEI. 2012. № 6. S.132-141.

7. Meschaninov D. G., Nikitin I. V. Klassy polinomov, sohranyayuschih razbieniya oblasti opredeleniya na promejutki ravnoy dliny // Vestnik MEI. 2013. № 6. S. 147-153.

8. Mamontov A. I. Organizaciya klassifikacii s ispol'zovaniem funkcional'nyh sistem lineynyh polinomov // Vestnik MEI. 2013. № 6. S. 37-42.

9. Mamontov A. I., Meschaninov D. G. Algoritm raspoznavaniya polnoty v funkcional'noy sisteme L(Z) // Diskretnaya matematika. 2014. T. 26. Vyp. 1. S. 85-95.

Надарейшвили М.М.,* 1 Абрамишвили М.Г.,1 Квачадзе В.Г.,2 Цакадзе С.Дж.1.

1 Кандидат физ.-мат. наук, 2доктор физ.-мат. наук.

Тбилисский государственный университет, институт физики им.Э.Андроникашвили ПОСТРАДИАЦИОННОЕ НАКОПЛЕНИЕ F4 ЦЕНТРОВ В ГАММА-ОБЛУЧЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ LiF

Аннотация

Исследовано пострадиационное накопление F4 центров в гамма-облученных(1 -н 5x106R) кристаллах LiF после комбинированного (одновременного или последовательного) воздействия умеренным теплом (температура отжига 140-160 0С) и постоянным электрическим полем (1800-3000 V). Проведен анализ полученных результатов.

Ключевые слова: гамма облучение, центры окраски, F4 центры.

Nadareishvili M.M.1, Abramishvili M.G.1, Kvachadze V.G.2, Tsakadze S.J.1.

:PhD in Physics and Mathematics, 2PhD in Physics and Mathematics,

Tbilisi State University, E.Andronikashvili Institute of Physics POSTRADIATION ACCUMULATION OF F4 CENTERS IN GAMMA-IRRADIATED LiF CRYSTALS

Abstract

The postirradiation accumulation of F4 centers in gamma-irradiated (1-5106R)LiF crystals was studied. After gamma-irradiation, the LiF crystals were exposed (simultaneously or sequentially) to moderate temperature (140-1600C) and a static electric field (1,800-3,000V). The obtained results are discussed.

Keywords: gamma irradiation, color centers, F4 centers

1. Introduction

In the second half of the last century, by various investigation techniques, it was found that, in lithium fluoride monocrystals irradiated with high fluencies (>1018 N/cm2) in the reactor, metal particles 103 * *-104 oA formed. These values are proportional to nanoparticle sizes. Hence the investigation of the mechanisms of colloid particles aggregation will help us to produce metal particles in the medium of interest.

Of special note are the results of postirradiation annealing (400-5000C) of the LiF crystals irradiated in the reactor, particularly the color spots observed by using an optical transmission microscope [1]. By microspectrophotometric analyses of such crystals, absorption bands with maxima at wavelengths 462,487,515 and 525nm were recorded. According to K. Kubo, the above-mentioned color spots were due to the absorption of lithium particles of different sizes formed in the crystal.

At that time it was popular to study colloid particles and their precursors, quasicolloid ones, by annealing the samples irradiated in the reactor.However, the annealing failed to serve completely the function of selection for separating and investigating one or other process. First, the annealing was carried out at rather high temperature (>3000C) which could reduce the resources of color centers and hence limit the evolution of complex centers. At the same time, the particles formed were not uniform in size, etc.

Besides, the examination of colloid particles in the LIF monocrystals by the method of optical absorption is hindered by the fact that the optical absorption band of colloid particles (450-550nm [1]) is overlapped by that of complex color centers F4(Ni,N2) (Ni-517nm, N2-549nm[2]). Moreover, when the mechanism of aggregation of the colloid centers is considered, the F4 centers could be one of the elements in the formation of colloid centers. A comprehensive investigation of these centers has not been feasible so far, which is confirmed by the statement of the authors of work [2]. From the preceding, the necessity in the investigation of the above-mentioned problems by relatively novel methods is evident. We believe that the methods of the combined action of various external fields on colored alkaline halide crystals could be efficient in this field. The investigation results reported in work [3] argue in favor of this idea. In that investigation, colored crystals were exposed to UV radiation and the static electric field. In this manner, stable F2+centers, which usually disintegrate at rooms temperature, were obtained.

79