КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ НИЙЕНХЕЙСА С ФУНКЦИОНАЛЬНО НЕЗАВИСИМЫМИ ИНВАРИАНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.554.1

КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ НИЙЕНХЕЙСА С ФУНКЦИОНАЛЬНО НЕЗАВИСИМЫМИ ИНВАРИАНТАМИ

С. Д. Дегтярева1

В работе решена задача классификации трехмерных левосимметрических алгебр, удовлетворяющих следующему дополнительному условию: коэффициенты характеристического многочлена оператора вида L\ (x) = aiksxs, где a'lks — структурные константы алгебры, являются функционально независимыми полиномами от x1,...,xn.

Ключевые слова: левосимметрическая алгебра, оператор Нийенхейса.

The paper contains solution of the problem of classification of three-dimensional left-symmetric algebras satisfying the following additional condition: the coefficients of the characteristic polynomial of the operator Llk(x) = ^ a\sxs, where alks are the structural constants of the algebra, are functionally independent polynomials of x1,...,xn.

Key words: left-symmetric algebra, Nijenhuis operator.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-9

Классификация левосимметрических алгебр даже для малых размерностей является сложной задачей, которая решена лишь в некоторых частных случаях. В статье А.Ю. Коняева [1] получена классификация произвольных левосимметрических алгебр размерности два. Имеются также результаты о классификации левосимметрических алгебр, удовлетворяющих дополнительным условиям, например в [2] получена классификация алгебр Новикова, которые являются левосимметрическими алгебрами с некоторыми специальными свойствами. В настоящей работе решается задача о классификации трехмерных левосимметрических алгебр, удовлетворяющих следующему дополнительному условию: коэффициенты характеристического многочлена оператора вида Ьгк (x) = a\sxs, где aks — структурные константы алгебры, являются функционально независимыми полиномами от x1,x2,x3. Вопрос о классификации таких левосимметрических алгебр был поставлен в [3] в связи с изучением особых точек операторов Нийенхейса.

Определение 1. Пусть P — операторное поле на гладком многообразии M. Тензор Нийенхейса Np определяется на паре векторных полей v,w следующим образом:

Np(v,w) = [Pv,Pw] + P2[v,w] - P[Pv,w] - P[v,Pw],

где [, ] обозначает стандартный коммутатор векторных полей.

Определение 2. Операторное поле P называется оператором Нийенхейса, если тензор Нийенхейса Np тождественно равен нулю, т.е. Np = 0.

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные операторы Нийенхейса на вещественных аффинных пространствах, т.е. такие операторные поля P, для которых Np = 0 и которые линейно зависят от координат x1,..., xn: Pk = akjxj, где akj G R.

Пусть a — алгебра размерности n над R с умножением *. Определим правое действие на a по формуле RvС = С * П. Произвольная конечномерная алгебра над R имеет естественную структуру n-мерного аффинного многообразия. Рассмотрим точку п на этом многообразии. Касательное пространство в точке п естественным образом отождествляется с a. Тогда определим тензорное поле P типа (1,1) по формуле правого действия: для С G Tna

PC := RnС = С * п. (1)

Зафиксируем базис ег в a и обозначим через akj структурные константы a. Координаты п в этом базисе обозначим через пг: п = п%ег. Компоненты Rn запишутся как (Rn)k = akjrf, в частности они

1 Дегтярева Софья Денисовна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., e-mail: [email protected].

Degtiareva Sofia Denisovna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.

© Дегтярева С. Д., 2024 © Degtiareva S.D., 2024

С") I

являются линейными функциями от П • Таким образом, правое действие на а порождает операторное поле, линейно зависящее от координат.

Теперь предположим, что мы имеем операторное поле К^ на вещественном аффинном пространстве а с координатами П, линейно зависящее от них: (К^)к = акП. Тогда а имеет естественную структуру алгебры над К со структурными константами а^ = В итоге получаем биекцию между алгебрами и линейными операторными полями на вещественных аффинных пространствах.

Пусть а — алгебра размерности п над М с умножением *. Ассоциатор А — это трилинейная операция на а, определенная на произвольной тройке С,П,С € а следующим образом: А(С, п, 0 = (С*п)*(—С*(п<). Алгебра а называется левосимметрической, если А(С,П,() = А(п,(,() Ч£,п,( € а.

Отметим, что коммутатор [С, п] = С*П—П*С задает структуру алгебры Ли на левосимметрической алгебре а. Эта алгебра Ли называется ассоциированной алгеброй Ли.

Следующая лемма устанавливает связь между линейными операторами Нийенхейса и левосим-метрическими алгебрами.

Лемма 1 [4]. Пусть а — алгебра размерности п над М. Следующие условия эквивалентны:

1) а — левосимметрическая алгебра;

2) операторное поле, заданное на а формулой (1), является оператором Нийенхейса.

Мы будем рассматривать левосимметрические алгебры размерности три, для которых соответствующие (по лемме 1) операторы Нийенхейса имеют почти всюду функционально независимые коэффициенты характеристического многочлена. Алгоритм поиска таких операторов Нийенхейса основан на следующей теореме.

Теорема 1 [5]. Пусть Р — оператор Нийенхейса, а /ь/2,/3 — коэффициенты характеристического многочлена х(^) = • М — Р) = ¿3 — /1 ¿2 + — /3. Тогда в любой локальной системе координат х, у, г справедливо равенство

АР = МЛ, где А =

/ад ад адд

дх ду дх

ад ад ад

дх ду дх I д£я д/з д/з \ дх: ду дх /

М =

/1 —1 0 /2 0 —1 /з о 0

С помощью теоремы 1 мы можем восстанавливать операторы Нийенхейса по их инвариантам, т.е. по функциям /ь/2,/3. Заметим, что для линейных операторов Нийенхейса /1 — линейная функция, /2 — однородный квадратичный многочлен, а /3 — однородный кубический многочлен от координат х,у,г. Нам понадобится следующая лемма, доказательство которой мы опускаем.

Лемма 2. Пусть даны линейная функция /1(х,у,г) и однородная квадратичная функция /2(х,у,г), которые функционально независимы. Линейной заменой координат х,у,г ^ х',у',г' функции /1 и /2 можно привести к одному из следующих видов, где с € М:

/1 = х', /2

±у'2 ± г'2 + сх'2, ±у'2 + х'г', ±у'2 + сх'2, х'у' + сх'2.

Теперь сформулируем и докажем основной результат.

Теорема 2. Любой трехмерный линейный оператор Нийенхейса Р с почти всюду функционально независимыми инвариантами в некотором базисе имеет один из видов, представленных в табл. 1, причем каждый из этих 8 операторов не может быть сведен к другим линейными заменами координат.

Комментарий к табл. 1. В четвертом столбце указана алгебра Ли, ассоциированная с левосим-метрической алгеброй, соответствующей данному оператору Нийенхейса. Обозначения для алгебр Ли взяты из статьи [6].

Отметим, что случаи I, II, VI, VII соответствуют прямым суммам двумерных левосиммет-рических алгебр из работы [1] с одномерными алгебрами: I соответствует Ь-, II соответствует с+, VI — Ь+, VII — с-.

Доказательство. Рассмотрим матрицы А и М из теоремы 1 для /1, /2, /3, где /1 = х, /2 имеет вид из леммы 2, а /3 — произвольный кубический однородный многочлен: /3 = Т1х3 + Г2у3 + Т3г3 + т4х2у + т5х2г + т6у2х + т7у2г + т8г2х + т9г2у + т10хуг. Изучим случаи, когда /2(х,у,г) = ±у2±г2 + сх2.

Таблица!

Случай Инварианты p Алгебра Ли

I /1 = ж /2 = -У2 ~ z2 + \ж2 /з = -\xz2 -yz2 Пх 2у 2г\ Ь \x ~z \\z-\z 0 ) Аз,и

II /1 = ж /2 = -У2 ~ z2 + ±ж2 f0 — J_/r3-l__-_r3_2л/3 7 2 ~_J.zv.^.2_J./y»^2 J3 27 3^/3 3 " 3 " 3 l\x 2 у 2 z \ "7зУ lsx + 73z)

III /1 = ж /2 = -у2 - -г2 + §ж2 /з = ff^3 + ^z3 + ^y2z - \xy2 -1xz2 fix 2 у 2 z \ 73У + Аз,и

IV /1 = ж /2 = y2 z2 f3 = (y-z)2(2y-x) fx -2 у 2 z \ \y ж - 3у -ж + 2у + z\ \ух - 4у + z -ж + 3у J А3,и

V /1 = ж /2 = y2 z2 h = (y + z)3 / ж —2у 2г \ -Uv + z)~Uv + z) \-h + b l.(y + z) l.(y + z)J Аз,5

VI /l = Ж /2 = y2 - Z2 + ±ж2 /з = + y2z f±x-2у 2z \ [h 0 \±z у \x j Аз,и

VII /l = Ж ¡2=У2 -Z2 + \x2 f„ — J_/y.3__2_ 3 _ 2\/3 2 у 1 J.™,.2 _ J_™72 J3 27 3\/3 3 * '3 У 3 (\x -2 у 2 z \ \v*x\7sz i \3Z ~7з У 3X~^/3Z)

VIII /1 = ж ¡2=У2 -Z2 + ±X2 /3 = ^ж3 - ^z3 + + §жу2 - §ж,г2 f\x -2 у 2 z \ hl3X + 7sZ 12 11 \3Z 73У 3X~^Z) Аз,и

1 0 0 \ / x -1 0 \ / x - 2cx ^2y

Имеем A = | 2cx ±2y ±2z I , M = I ±y2 ± z2 + cx2 0 -11, MA = I ±y2 ± z2 + cx2 - а -в -y

а в Y ) V/s 00/ V /3 00

'x - 2cx T2y

p = D2i D22 D23 , где Dij = ai:jx + b^y + djZ, a = ——, /3 = ——, 7

dh p = д/з = df3

дх ' dy ' dz '

D31 D32 D33,

По теореме 1 должно быть выполнено равенство AP = MA. Заметим, что сразу однозначно определяются п и c: если приравнять коэффициенты при x2 в элементе (2,1) и при x3 в элементе (3,1) матриц AP и MA, то

fc - 3ri = 2c(1 - 2c), \ri = 3ri(1 - 2c).

Отсюда r\ = 0, с = 0, или г\ = 0, с = или г\ = ^f, с = Дальнейшие вычисления проводились с использованием программы Wolfram Mathematica. При некоторых комбинациях знаков в /2 и значениях c получаются решения, зависящие от параметра, например /1 = x, /2 = y2 - z2, /3 = a(y + z)3. Сделаем замену:

x=x, (41 = (cha sh aVyN

\z'J ysh a ch a) \zy

Тогда y2 - z2 = (y')2 - (z')2, a(y + z)3 = а ■ e-3a ■ (y' + z')3. При помощи такой линейной замены,

меняя a, можно получить любой параметр, имеющий тот же знак, что и а. Аналогично при замене

x' = x, y' = - ch a - sh a y

x = x, z' = sh a ch a z

будем иметь у2 — г2 = (у')2 — (г')2, а(у + г)3 = —а ■ е-3а ■ (у' + г')3 и получаем любой параметр, имеющий знак, противоположный знаку а. Полагаем а = 1. При рассмотрении оставшихся случаев для ¡2 из леммы 2 система уравнений относительно компонентов матрицы и коэффициентов /з оказывается несовместной.

Покажем, что случаи из табл. 1 не сводятся друг к другу линейными заменами координат. Инварианты имеют вид /1 = А1 + Л2 + А3/2 = Л1Л2 + Л2Л3 + А1Аз,/з = Л1Л2Аз, где Л1,Л2,Лз — собственные значения оператора Р. Положим А1 = Л2 = А3 = А. Тогда /1 = 3А, /2 = 3А2, /3 = А3 и инварианты связаны соотношениями /3 = 27/з, /2 = З/2. Для каждого случая решим эту систему, т.е. определим множество точек, где собственные значения соответствующего оператора одинаковы. Если эти множества разные для случаев из табл. 1, то все доказано, иначе изучим жорданову нормальную форму .] оператора Р для точек этих множеств. Результаты представлены в табл. 2.

Таблица2

Случай Решения J Инварианты при /1 = 0

I (x = 0 b = o [z = 0 /0 0 0\ 000 \oooy /1 = 0 h = -y2-z2 /з = -yz2

II \y = 0 \z = 0 /! oo\ OfO \0 0f J /1 = 0 h = -y2~z2 /з = -

III \y = 0 [z = 0 (f oo\ OfO voof J /1 = 0 h = ~y2~z2 Л = +

IV , (x = 0 Ay = 4 n 2) * /0 1 0\ /f 0 0\ 1) 001 2) Of 1 \o 0 0/ \0 0f/ /i = 0 h = y2~z2 /3 = 2y(y - z)2

V l)iX = 0 2)/*=" \y + z = 0 = /0 1 0\ /f 1 0\ 1) 001 2) Of 1 \o 0 0/ \0 0f/ /i = 0 /2 = y2 z2 h = {y + zf

VI 1 = 2 = ^ b = -i b = -i /I 0 0\ /f 0 0\ 1) Of 1 2) Of 1 Voof/ \00|У /i = 0 h = y2~z2 /з = y2z

VII \y = 0 \z = 0 /! oo\ OfO Voof ) /1 = 0 h = y2~z2

VIII \y = 0 [z = 0 (% oo\ OfO voof J /1 = 0 /2 = y2 z2

Из вида f2 следует, что случаи II, III линейными заменами координат не могут быть приведены к случаям VII, VIII, из вида f3 следует, что случаи II и III, а также VII и VIII различны между собой. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Konyaev A.Yu. Nijenhuis geometry II: Left-symmetric algebras and linearization problem for Nijenhuis operators // Diff. Geom. and its Appl. 2021. 74.

2. Burde D, de Graaf W. Classification of Novikov algebras // AAECC. 2013. 24. 1-15.

3. Bolsinov A., Matveev V.S., Miranda E., Tabachnikov S. Open problems, questions and challenges in finitedimen-sional integrable systems // Phil. Trans. Roy. Soc. A. 2018. 376.

4. Winterhalder A. Linear Nijenhuis-tensors and the construction of integrable systems // arXiv.org:9709008.1997.

5. Bolsinov A.V., Konyaev A.Yu., Matveev V.S. Nijenhuis geometry // Adv. Math. 2022. 394.

6. Короткевич А.А. Интегрируемые гамильтоновы системы на алгебрах Ли малой размерности // Матем. сб. 2009. 200, № 12. 3-40.

Поступила в редакцию 26.04.2023

УДК 519.722:512.13

НОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЭНТРОПИЙНОЙ ФУНКЦИИ

Вл.В. Прелов1

Доказываются новые неравенства для двоичной энтропийной функции.

Ключевые слова: двоичная энтропийная функция, неравенства, выпуклые функции, функция Ламберта W.

New inequalities for the binary entropy function are proved.

Key words: binary entropy function, inequalities, convex functions, Lambert W function. DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-10

Двоичная энтропийная функция h(x) = —x ln x — (1 — x)ln(1 — x), 0 ^ x ^ 1, играет важную роль в теории информации, теории вероятностей и математической статистике, поэтому получение различных и ранее неизвестных неравенств для нее представляет значительный интерес. Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Для любых натуральных чисел n ^ 1 и любых действительных чисел p и q, таких, что 0 ^ q ^ 1/2 ^ p ^ 1 и p + q = 1, справедливы неравенства

pn-lh(qn) ^ qn-lh(pn) (1)

и

pn(1 + qn — pn)h(qn) ^ qn(1 + pn — qn)h(pn). (2)

При этом правая часть в (1) при n = 1 и q = 0 определяется по непрерывности от q, т.е. 00h(1) = lim q0h((1 — q)n) = 0.

q^-0

Прежде чем привести доказательство этой теоремы, заметим, что гипотеза о справедливости неравенства (2) была высказана в работе [1].

Доказательство. Поскольку оба неравенства (1) и (2) справедливы при q = 0 для любых n ^ 1, то в дальнейшем будем считать, что q > 0 и p = 1 — q < 1.

1. Переходим к доказательству неравенства (1), которое можно переписать в виде

Pnh(qn) > Р , .

qnh(pn) ^ q 1 '

Сразу заметим, что для справедливости (3), а значит, и (1) достаточно доказать, что при любых

pnh(qn)

заданных q и р = 1 — q дробь ———- возрастает по п. так как в этом случае имеет место неравенство

qn h(pn)

pnh(qn) ^ р ■ h(q) р qnh(pn) ^ q ■ h(p) q

Введем обозначение B(n) для левой части неравенства (3). Нетрудно проверить, что после ряда

d 1 3

тождественных преобразований производная по n от B(n) будет иметь вид

dn n

'1=1

d 1 3

или, что эквивалентно, —— \пВ(п) = — у АЛп), где соответственно

dn n

г=1

1 Прелов Владимир Вячеславович — канд. физ.-мат. наук, e-mail: [email protected].

Prelov Vladimir Vyacheslavovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences.

© Прелов Вл.В., 2024 © Prelov Vl. V., 2024

[ссП

2V у h(qn) qn ' 3V у h(pn) pn

d

Таким образом, для доказательства возрастания В(п) по п, т.е. того, что —Bin) ^ 0, доста-

dn

3

точно убедиться в том, что сумма ^ Ai(n) имеет нужный знак:

i=1

„n ,,n 1 „n 1 „n „n I „ „n

kX + In - £££ In = F^) - F(JT) > 0, (4)

qn h(qn) qn h(pn) pn кч J u J ' w

где

. ж 1п ж 1 — ж 1п ж 1п(1 — ж) Еж = ; , . 1п--1пж =---, 0 < ж < 1.

п(х) ж п(х)

Заметим, что на интервале 0 < ж < 1 функция Е(ж) положительна и симметрична относительно прямой ж = 1/2 и для доказательства неравенства (4) необходимо убедиться лишь в том, что Е(ж) выпукла на данном интервале. Прямой путь доказательства приводит к громоздким выражениям как для первой производной Е'(ж), так и для второй Е"(ж). Однако существует способ избежать этого и доказать выпуклость функции Е(ж), воспользовавшись изящной находкой группы тегеранских коллег Ф. Топсо [2, теорема 1.1] — новым равенством

1 ж — 1

= <р(х) + <р(1 — ж), где <р(х) = —-, 0 < ж < 1.

Е(ж) ' 1пж

В [2] показано, что (ж) ^ 0, т.е. доказана вогнутость функции 1/Е(ж). Выпуклость нашей функции Е(ж) ^ 0 следует отсюда автоматически.

Теперь, пользуясь выпуклостью и симметричностью Е(ж), доказать неравенство (4), а значит, и исходное неравенство (1) совсем просто. Действительно, если 0 < дп ^ рп ^ 1/2, то Е(дп) ^ Е(рп) в силу монотонного убывания Е(ж) на интервале 0 < ж ^ 1/2, а если рп > 1/2, то Е(рп) = Е(1 — рп) ^ Е(дп) в силу симметричности Е(ж) относительно прямой ж = 1/2, очевидного неравенства 1 — рп ^ дп и монотонности Е(ж) на интервале 0 < ж ^ 1/2. Таким образом, доказано неравенство (4), а следовательно, и (1).

2. Докажем теперь неравенство (2). На самом деле оно является достаточно простым следствием неравенства (1). Действительно, с учетом неравенства (1) для доказательства (2) следует лишь показать, что

1 + дп - рп > д

1 +рп - дп ^ р' 1 '

11 — рп 11 — д

Имеем

1+ qn - pn = 1+ p • q =1+p•q

p 1 — p q 1 — q \ 1 n-2

---+ yv - qk)

p q k=1

п-2

= 1 + д — р + Л, где Л = р ■ д ■ ^(рк — дк) ^ 0.

к=1

Аналогично, заменяя р на д, а д на р, получаем

1+ рп — дп = 1+ р — д — Ао.

Поэтому, очевидно, имеем

1 + д-р + А0 > д 1 + р- д- А0 ^ р1

что и доказывает неравенство (5), а значит, и (2).

Замечание. Наряду с неравенством (5) можно доказать и более общее неравенство:

1 + да — ра др

- ^ —, если а ^ ап,

1+ ра — да рч 0

где, как и в вышеприведенной теореме, р и д — любые действительные числа, такие, что 0 ^ д ^ 1/2 ^ р ^ 1, р + д = 1, а

ИГ., Г-1^"12 Ш2Ч

а0 =-^---и 2, 64183.

— ln2

Здесь W-i(t) —дополнительная ветвь функции Ламберта W(t) (см. [3]), являющаяся действительным решением уравнения W-i(t)eW-l(t) = t, t E —1/e, 0), со значениями в интервале (—те, —1]. Доказательство этого утверждения выходит за рамки настоящей работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прелов В.В. О вычислении информации через вариацию и неравенствах для энтропийной функции // Пробл. передачи информ. 2010. 46, № 2. 24-29.

2. Tops0e F. Bounds for entropy and divergence for distributions over a two-elements set //J. Inequalities in Pure and Appl. Math. 2001. 2, N 2. 1-13.

3. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E.G., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function // Adv. Comput. Math. 1996. 5. 329-359.

Поступила в редакцию 26.04.2023

УДК 515.124.4+514.177.2

ОЦЕНКИ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО (ЕВКЛИДОВА) РАССТОЯНИЯ ГРОМОВА-ХАУСДОРФА

О. С. Малышева1

Для расстояния Громова-Хаусдорфа dOH (X, Y) хорошо известны ограничения сверху и снизу диаметрами множеств X и Y .В работе изучаются модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа и орбиты действия подгруппы группы изометрии в евклидовых пространствах. Оказывается, для рассматриваемого расстояния имеют место подобные ограничения, но чебышевскими радиусами представителей орбит. Как следствие приводится оценка расстояния между чебышевскими центрами компактов при их оптимальном совмещении.

Ключевые слова: евклидово расстояние Громова-Хаусдорфа, чебышевский радиус, оптимальное положение компактов.

The Gromov-Hausdorff distance dGH (X, Y) is well known to be bounded above and below by the diameters of the sets X and Y. In this paper, we study the modified Gromov-Hausdorff distance and the orbits of the action of the isometry group's subgroup in Euclidean spaces. It turns out that there are similar restrictions for it, but by the Chebyshev radii of the representatives of the orbits. As a consequence, we give an estimate for the distance between the Chebyshev centers of compact sets for their optimal alignment.

Key words: Euclidean Gromov-Hausdorff distance, Chebyshev radius, optimal positions of compacts.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-11

Введение. В настоящей работе рассматривается пространство компактных подмножеств евклидова пространства, наделенное модифицированным (евклидовым) расстоянием Громова-Хаус-

1 Малышева Ольга Сергеевна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Malysheva Olga Sergeevna —Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.

© Малышева. О. С., 2024

© Malysheva O.S., 2024

С") I