CC BY
63Научная статья УДК 330.4
doi: 10.47576/2949-1894_2023_2_130
КЛАССИФИКАЦИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕЧЕТКИХ РЕГРЕССИЙ
Исмагилов Ильяс Идрисович
Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия Алсаиед Гена
Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия
Аннотация. Регрессионный анализ представляет собой надежный метод определения влияния независимых переменных на зависимую переменную. Кроме того, регрессионный анализ является наиболее широко используемым методом среди всех статистических методов и имеет широкое применение для решения многих практических задач. Однако на практике могут возникнуть различные проблемы, особенно в случае коротких выборок. В связи с этим многие исследователи модифицировали концепции статистического регрессионного анализа с помощью концепций теории нечетких множеств. В статье предложена классификация регрессионных моделей. Основанием классификации служит тип коэффициентов регрессионной модели. С учетом этой классификации предлагается подход к построению нечетких линейных регрессионных моделей, позволяющий определить все коэффициенты регрессии модели в нечетком виде. Представлен один из вариантов реализации этого подхода на основе метода Танака, в котором коэффициенты описываются треугольными нечеткими числами. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессионной модели определяются на заданном уровне принадлежности h (h-срез). Представленный подход открывает новые возможности для содержательной интерпретации коэффициентов нечетких регрессионных моделей и предсказания на их основе.
Ключевые слова: регрессионная модель; регрессионное моделирование; четкая линейная регрессия; нечеткая линейная регрессия; треугольные нечеткие числа.
Для цитирования: Исмагилов И. И., Алсаиед Г Классификация регрессионных моделей и метод построения линейных нечетких регрессий // Инновационная экономика: информация, аналитика, прогнозы. - 2023. - № 2. - С. 130-138. https://doi.org/10.47576/2949-1894_2023_2_130.
Original article
CLASSIFICATION OF REGRESSION MODELS
AND A METHOD FOR CONSTRUCTING LINEAR FUZZY
REGRESSIONS
Ismagilov Ilyas I.
Kazan (Privolzhsky) Federal University, Kazan, Russia Alsaied Gh.
Kazan (Privolzhsky) Federal University, Kazan, Russia
Abstract. Regression analysis is a reliable method for determining the influence of independent variables on the dependent variable. In addition, regression analysis is the most widely used method among all statistical methods and is widely used to solve many practical problems.
However, various problems may arise in practice, especially in the case of short samples. In this regard, many researchers have modified the concepts of statistical regression analysis using the concepts of fuzzy multiple theory. The article proposes a classification of regression models. The classification is based on the type of coefficients of the regression model. Taking into account this classification, an approach to the construction of fuzzy linear regression models is proposed, which makes it possible to determine all the regression coefficients of the model in a fuzzy form. One of the implementations of this approach based on the Tanaka method is presented, in which the coefficients are described by triangular fuzzy numbers. Confidence intervals for the coefficients of the regression model are determined at a given membership level h (h-slice). The presented approach opens up new possibilities for a meaningful interpretation of the coefficients of fuzzy regression models and predictions based on them.
Keywords: regression model; regression modeling; clear linear regression; fuzzy linear regression; triangular fuzzy numbers.
For citation: Ismagilov I. I., Alsaied Gh. Classification of regression models and a method for constructing linear fuzzy regressions. Innovative economy: information, analysis, prognoses, 2022, no. 2, pp. 130-138. https://doi.org/10.47576/2949-1894_2023_2_130.
Регрессионный анализ (РА) является одним из самых известных инструментов статистического исследования с множеством успешных применений в различных областях, таких как экономика, медицина и инженерия [8]. Используется в качестве мощного метода оценки функциональной взаимосвязи между одной зависимой переменной (эндогенной переменной, регрессанта) и одной или группой независимых переменных (экзогенных переменных, регрессоров). Традиционный подход к регрессионному моделированию основан на четких данных и четкой взаимосвязи между зависимой переменной и независимыми переменными [14].
В многих приложениях эффективно показывают себя линейные регрессионные модели. При применении классической линейной регрессии в некоторых случаях моделирования социально-экономических процессов на практике выясняется ряд проблемных моментов. Например, оценка линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК) дает наилучшие оценки в статистическом плане только в том случае, если выполняются его предпосылки (условия Гаусса-Маркова) [10]. Кроме того, практические трудности могут возникать, когда набор наблюдений слишком мал, предположения о типе распределения вероятностей недостоверны или существует нечеткость между зависимыми и независимыми переменными [1]. В связи с этим после введения Л. Заде в 1965 г. концепции нечетких множеств различные исследователи пытались
расширить РА от четкой до нечеткой области [15].
Первые исследования возможного использования методов теории нечеткой множеств в регрессионном анализе были выполнены Тапака и др., которые предложили модель нечеткой линейной регрессии (НЛР) с параметром, который был нечетким числом, с применением метода линейного программирования для оценки параметров по критерию минимума индекса нечеткости [1; 13]. Предложено расширение симметричных треугольных нечетких коэффициентов до трапециевидных нечетких чисел для модели НЛР на основе метода Танаки [7]. В [9] нами предложен метод построения НЛР с использованием трапециевидных нечетких чисел на основе разделения выборки на две под-выборки регрессионной моделью, оцениваемой по МНК.
Модель нечеткой регрессии дает нечеткие функциональные отношения между зависимыми и независимыми переменными, при этом входные данные могут быть четкими или нечеткими. Таким образом, постановки задач нечеткого РА могут различаться в зависимости от нечеткости исходных данных и/ или параметров модели [10].
Отметим, что на практике метод НЛР в некоторых ситуациях дает один или несколько коэффициентов модели в четком виде. В [2] методом НЛР был проведен анализ объемов грузовых автомобильных перевозок в регионах Южного федерального округа (ЮФО). Получены модели, содержащие четкие и не-
четкие коэффициенты. В связи с этим предлагаем в случае, когда только свободный член является нечетким, провести более глубокий анализ факторов, влияющих на исследуемый показатель.
В [4] предлагается модель влияния технологий на уровень жизни в разных странах на основе НЛР. Построены модели, в которых коэффициенты оказались четкими числами, а свободный член оказался нечетким числом. С точки зрения автора, нечеткость модели обеспечивается за счет свободного члена. Так же как и в случае с четкой регрессионной моделью, свободный член можно интерпретировать как значение зависимой переменной в случае, когда значения всех регрессоров равны нулю.
Таким образом, анализ результатов ряда работ по нечеткому РА показал, что некоторые НЛР могут иметь некоторые коэффициенты регрессии в виде четких чисел. Очевидно, что это не позволяет провести содержательную интерпретацию всех коэффициентов в контексте решаемой задачи на уровне их доверительных интервалов. В качестве примера можно привести экономическую интерпретацию доверительных интервалов на заданном уровне значимости коэффициентов регрессии линейных регрессионных моделей, принятую в эконометрике [3]. Отметим, что в работе под доверительным интервалом нечеткого коэффициента регрессии будем подразумевать интервал достоверности нечеткого числа, определенного на заданном уровне принадлежности И (И-срез, -сечение, подмножество -уровня).
С учетом возникающих на практике нечеткого РА ситуаций нами предлагается следующая классификация линейных регрессионных моделей по типам коэффициентов модели:
- четкая линейная регрессия (все коэффициенты модели являются четкими);
- частично-нечеткая линейная регрессия (в модели хотя бы один нечеткий коэффициент);
- нечеткая линейная регрессия (все коэффициенты модели являются нечеткими).
Отметим, что такую же классификацию можно провести и в случае нелинейных регрессионных моделей. В данной работе предлагается подход к построению нечетких линейных регрессионных моделей, в кото-
рых все коэффициенты модели представляются в виде треугольных нечетких чисел. В представленном методе оценивания НЛР на основе этого подхода входные данные являются четкими числами, а предсказанные значения зависимой переменной описываются треугольными нечеткими числами.
В проведенных нами исследованиях по нечеткому РА были использованы три метода построения НЛР, краткое описание которых представлено ниже.
Метод Танака
В этом методе НЛР имеют следующий вид [12]: _
Yj = А0+ Ахху + ••• + Apxpj, (1)
где у иЛ, - нечеткие зависимая переменная и параметры модели;
х{ д < i < р - независимая переменная.
Для каждого j выполняется неравенство относительно функции принадлежности Уу:
И-Yjiyj) >h,
где h - некоторое заданное наперед пороговое значение.
Каждый нечеткий параметр л = о, -+ ад описывается симметричной треугольной функцией принадлежности. Здесь aj наиболее вероятное значение коэффициента (четкое значение нечеткого числа), - ширина его размытости.
Тогда у и меет следую щи й вид:
}} = (Zj е rj, Zj, Zj+rj) ,
где Zj = а0Ю YPi=l aixij ; ^ = b0 Ю YPi=l bt\xi} \ .
Суммарная мера нечеткости вычисляется по формуле:
г = E?=iTj = nb0 + Yljj-i Ef=i bi\xij \.
Задача нечеткой линейной регрессии сводится к следующей задаче линейного программирования:
Г = £"=i Tj = nb0 Ю X"=i Xf=i bt \xij \ ^ min;
У] > £f=o ЩХу е (i е К) Xf=o bi \xij \ , j = i,2.....n ; (2)
У] ^ Xf=o aixi] ю (i -h) £f=o bi \xiJ \ ' J = .....n;
bt> 0 , i = i,2,..., p.
Метод с использованием h-среза. Нечеткая функция уровня / определяется как четыре уровня четких функций: /„, Д fc, fd
[7]. Из соображений согласованности эти
четыре функции не могут пересекаться в области ввода, заданной как
№тт , хтах ] = ([(х\)тт , (хг)тах ] Х — Х [(xN)min , )тах ]):
ухе [хты , хтах ] .
га (X) < к (X) <!с (X) <гл (х).
Для определения функции экстремального уровня был использован модель Танаки с учетом разрешения (2) для /7 = 0:
Iа Ш = 1?=0 0-1**1 - ЕГ=0 \ ,
Ь = 1?=о а1*Х1 + 1Г=0 ь1*\х1 \
(3)
(4)
Уровни и и £ определялись решением (2) при И выбранном из интервала [0,1 [.
Метод на основе разбиения выборки на две подвыборки
Оценивание НЛР основано на формировании двух выборок с использованием исходной выборки. С этой целью предварительно оценивается МНК четкая линейная регрессия и вычисляются предсказанные значения зависимой переменной по ней. Формирование двух выборок проводится по следующим правилам [9]:
1. Наблюдения в первой выборке равны фактическим значения зависимой переменной, если они меньше или равны предсказан -ным значениям, а иначе равны им:
[Уг , Уъ<Уг
1 А А
^ , Уг > Уг
Первая выборка: у1г
2. Наблюдения во второй выборке равны фактическим значения зависимой переменной, если они больше или равны предсказанным значениям, а иначе равны им:
[У1 , Уг^Уг
1 А . А
^ , У1 < Уг
Вторая выборка: у21
где у- фактическое значение зависимой переменной;
у( - предсказание значений зависимой переменной по четкой регрессии.
По каждой выборки строим НЛР с использованием треугольных нечетких чисел. Среди методов оценивания НЛР следует отметить метод Танака.
Уравнение первой выборки включает в себя следующие функцию:
У11 - верхняя граница первого коридора; У12 - середина нечеткого первого коридора;
У13 - нижняя граница первого коридора.
Каждый нечеткий коэффициент имеет вид:
Ац = (аи - ьи, О.Ц, О.Ц + Ьц).
Уравнение второй выборки включает в себя следующие функцию:
У21 - верхняя граница второго коридора;
У22 - середина нечеткого второго коридора;
У23 — нижняя граница второго коридора.
Каждый нечеткий коэффициент имеет вид:
^ = («2! - ^, С^, С^ + Ь21).
Отметим, что ^ >ач .
У2\ — (/й) верхняя граница второго коридора;
У22 — (/с) середина нечеткого второго коридора;
У12 — (/¿, )середина нечеткого первого коридора;
У13 — (/я) нижняя граница первого коридора.
На основе построенных двух НЛР определяются значения зависимой переменной в виде трапециевидных нечетких чисел. Они определяются с использованием четырех функций:
Полученные нечеткие числа определяются трапециевидными нечеткими числами.
= («2г - ^, а-21, а-и, а-и + Ъи) = (щ, Ь1, с1, ^).
Метод построения агрегированной нечеткой линейной регрессии
В модели нечеткой регрессии в ряде случаев, как уже указывалось выше, часть коэффициентов оказывается четкой, а некоторые коэффициенты являются нечеткими. В этом случае для оптимизации нечеткости модели предлагается следующий подход. Он заключается в построении ряда частично-нечетких моделей с дальнейшим их агрегированием в итоговую нечеткую регрессию. При построении таких моделей, предлагаются дополнительные условия для построения частично-нечетких моделей.
На практике популярна НЛР с использованием нечетких треугольных чисел. Рассмотрим метод построения такой регрессионной модели на основе предложенного подхода. При этом в качестве базового метода оценивания частично-нечетких регрессий с коэффициентами в виде нечетких треугольных чисел используется метода Та-нака.
В случае, если модель НЛР Танака (1) име -ет частично-нечеткий вид, предлагаемый наш метод оценивания НЛР, является двух-этапной:
Этап 1. Построение частично-нечетких моделей с использованием метода Танака.
У = ^оу + + + Ар]хр], ] = 1<Р
где коэффициент АцЛ =} является нечетким треугольным числом, а остальные коэффициенты АцЛФ} являются четкими числам.
Этап 2. Агрегирование К,} = 1,р с использованием арифметического среднего.
Для выполнения этого шага используем операции над нечеткими треугольными чис-
лами [5; 6]. Таким образом, на основе агрегирования построенных частично-нечетких моделей определяется НЛР с коэффициентами в виде треугольных нечетких чисел.
Для демонстрации возможностей предложенного метода рассмотрим численный пример с двумя независимыми переменными. Исходные данные для моделированы получены из [11]. Выборка данных (набор тестовых данных) размерности 20 представлена в табл. 1.
Таблица 1 - Набор тестовых данных
No Y Х1 Х2 No Y Х1 Х2
1 133,6 29,5 79,99 11 460,68 49,5 60,57
2 137,63 31,3 75,63 12 477,96 50,1 58,23
3 147,86 37,6 69,25 13 474,02 50,2 58,03
4 196,76 39,9 62,75 14 466,8 49,9 57,53
5 220,53 39,9 64,66 15 466,16 50 55,68
6 223,25 40,3 63,09 16 469,8 50 55,24
7 233,19 41,5 61,51 17 468,95 50 54,51
8 265,67 43,6 60,07 18 476,24 50,9 50,08
9 335,16 45,7 58,22 19 499,39 53,1 50,05
10 411,29 47,8 58,43 20 521,2 55,2 49,72
Построим нечеткую линейную регрессию с использованием метода Танака ( и получаем следующую частично-нечеткую модель:
?! = -610,823 + 19,149 Х1 + (0,558; 1,401; 2,244) X, (5)
Адекватность исходным данным и точность данной модели характеризуются следующими показателями: =0,914, МАРЕ=14,31 %. Эти показатели определены на основе четких значений, предсказанных значения зависимой переменной, полученных дефаззификацией нечетких значений по методу центра тяжести. В дальнейшим таким образом будут вычислены эти показатели для нечетких моделей.
Отметим, что нами получена модель, которая совпадает с полученной автором работы [11]. Метод Танака дал свободный член и коэффициент регрессии при в четком виде , что приводит к частично-нечеткой модели. В этом случае можно оптимизировать нечеткость модели и получать модель, в которой все коэффициенты нечеткие.
Для оптимизации нечеткости модели и ее построения в которой все коэффициенты не-
четкие, модель строится при дополнительных условиях:
- ширина размытости нечеткого коэффициента по фактору Х1 не равна нулю: ^ ф о ;
- ширина размытости нечеткого коэффициента по фактору Х2 равна нулю: Аг = о.
В результате оценивания частично-нечеткой модель с использованием метода Танака ф=0) при этих условиях получена модель вида: ?2 =
(-727,483; -669,153; -610,823) +
+(19,146; 19,147; 19,148) х1 + 2,244 х2 . (6)
Адекватность исходным данным и точность данной модели характеризуется следующими показателями: R2 =0,896, МАРЕ=14,37 %.
Проведем агрегированию двух частично-нечетких моделей используя среднее арифметическое. Используя операции сложения треугольных нечетких чисел [5] на основе уравнений регрессии для и , получим следующую модель:
Ъ =
(-1338,31; -1279,88; -1221,65) +
+ (38,249; 38,295; 38,296) Х1 + (2,8034;3,6463;4,4891) . (7)
Деление (7) на 2 с использованием операции деления треугольных нечетких чисел на константу и получим следующую модель:
у =
'т
(-669,153; -639,908; -610,823) +
+ (19,1474; 19,1479; 19,1481) Х1 + (1,402; 1,823; 2,245) . (8)
Адекватность исходным данным и точность данной модели характеризуются следующими показателями: Н2=0,906, МАРЕ=14,34%.
Для сравнительной оценки качества регрессионных моделей представим ряд их основных показателей в табл. 2.
Таблица 2 - Показатели регрессионных моделей
Модель Коэффициент Средняя абсолютная множественной процентная ошибка детерминации (Я:) (\i4PE)
Частично -нечеткая модель Ч аст ич но -н ечет кая мод ель (Уг) Нечеткая модель ¡у ^ 0=914 14,31% 0,896 14,37% 0,906 14,34 %
Анализ представленных данных показывает, что значимого различия в проанализированных показателях качества регрессионных моделей в данной ситуации практически нет. Агрегированная НЛР занимает промежуточное положение между двумя частично-нечеткими моделями. Однако в содержательном плане относительно нечеткости эта модель является более информативной, так как позволяет построить доверительные интервалы - интервалы достоверности нечетких коэффициентов, определенных на заданном уровне принадлежности h ^-срез).
Доверительный интервал рассчитывается с использованием следующей формулы:
иК = [а1 - Ь1 (1 - К); а1 + Ь1 (1 -К)], 0 <К< 1
где нечеткий коэффициент имеет следуюЩИЙ вид: А, = (а, - bi.Oi.ai +
Доверительные интервалы для коэффициентов модели (8) для случаев, когда
Ь-срез=0.95, й-срез=0.5 и И-срех=0 ПРИВОДЯТСЯ В
табл. 3.
Таблица 3 - Доверительные интервалы для коэффициентов агрегированной нечеткой модели
Переменная Коэффициент Доверительные интервалы h-срез=0,95 Доверительные интервалы ^срез=0,5 Доверительные интервалы h-срез=0
Константа -639,988 (-641,44; -638,53) (-654,57; -625,40) (-669,15; -610,82)
19,14791 (19,1478; 19,1479) (19,147;19,148) (19,1474; 19,1481)
Х2 1,8231 (1,8021; 1,8442) (1.612; 2.033) (1,4017; 2,2445)
В зависимости от заданного значения найдены различные доверительные интервалы для коэффициентов нечеткой модели. Анализ полученных результатов показывает, что более узкий доверительный интервал в случае h=0.95 и более широкий доверительный интервал в случае h =0. Причина этого заключается в том, что чем больше h, тем меньше определенности, которую мы хотим получить для значения коэффициента.
Для сравнения моделей по прогнозным свойствам проведем разбиение имеющейся выборки С; = 1 ,20) на две части: обучающую и контрольную подвыборки. Обучающая под-выборка включает основную часть наблюдений О'= 1,19). Для контрольной подвыборки выбираем данные последнего наблюдения 0=20).
Построим нечеткую линейную регрессию с использованием метода Танака ф=0) для об -
учающей выборки размерности п=19. Получена следующая частично-нечеткая модель:
уи!. = -610,823 + 19,1484 х1 + (0,558; 1,401; 2,244) х2 (9)
Оцениваем частично-нечеткую модель с четким коэффициентом при Х2 на основе метода Танака ( Полученная частично-нечеткую модель имеет вид:
У?^ =
(-727,483; -669,153; -610,823) +
+(19,146; 19,147; 19,148) Хг + 2.244 Х2
(10)
Результат агрегирования этих двух моделей с использованием арифметического среднего - НЛР вида:
V =
(-669,153; -639,908; -610,823) +
+ (19,1474; 19,1479; 19,1481) Х1 + (1,4017; 1,8231; 2,2445) Х2 .
При сравнении прогнозных свойств моделей получены результаты, которые представлены в табл. 4. Интервальные прогнозы при этом определены как доверительные интервалы при h=0. Отметим, что фактическое значение У20 521,2.
Таблица 4 - Прогнозы и их относительные ошибки
Модель ?20 Границы интервального прогноза (й=0) Относительная ошибка %
Частично-нечеткая модель (?1 15) 515,86 473,96 557,77 1,02
Частично-нечеткая модель (?? к) 499,38 441 557,77 4,19
Нечеткая модель (?тг5) 507,48 457,48 557,77 2,6
Прогнозы моделей () и () достаточно близки к фактическим значениям. По всем моделям фактическое значение Y двадцатого наблюдения попадает в их интервальные прогнозы (доверительные интервалы при h=0). Отметим, что верхняя граница нечетких коэффициентов агрегированной регрессионной модели совпадает с верхней границей коэффициентов частично-нечетких моделей (9) и (10). Следовательно, верхние границы интервальных прогнозов для этих моделей, построенных по использованной тестовой выборке, совпадают.
При решении задач построения регрессионных моделей на основе известных нечетких методов в некоторых случаях результатом являются модели с разнотипными коэффициентами, которые описываются как четкими, так и нечеткими числами. В статье предложен подход к оптимизации нечеткости модели. Подход основан на получении частично-нечетких регрессионных моделей и их агрегировании для получения нечеткой регрессии, в которой все коэффициенты яв-
ляются нечеткими. Предложенный метод на основе этого подхода был использован для улучшения размытия нечеткой линейной регрессии, построенной с помощью метода Та-наки [11].
Анализ основных качественных показателей показывает, что все модели по использованной тестовой выборке, построенные на основе метода Танаки и предлагаемого метода, обладают высокими объясняющими и предсказывающими свойствами. Однако лишь агрегированная нечеткая регрессионная модель позволяет провести содержательную интерпретацию доверительных интервалов всех нечетких коэффициентов регрессии. При этом на степень нечеткости доверительных интервалов влияет выбор уровня функций принадлежности -величины Вышесказанное позволяет рекомендовать предложенный метод построения нечеткой линейной регрессии для практического использования при нечетком регрессионном моделировании изучаемых процессов в различных предметных областях.
Список источников
1. Алсаиед Г Моделирование валового регионального продукта на основе четких и нечетких регрессий // III Всероссийском экономическом форуме с международным участием "Экономика в меняющемся мире» (Казань, 17-26 апреля 2019 г.). Казань: КФУ, 2019. C. 235-238.
2. Богачев Т. В., Алексейчик Т. В., Харитонов И. А. Методика анализа и прогнозирования экономических показателей региональных транспортных систем методом нечеткой линейной регрессии // Вестник Ростовского государственного экономического университета. 2020. № 1 (69). С. 150-157.
3. Елисеева И. И., Курышева С. В., Костеева Т. В., Пантина И. В. Эконометрика: учебник для вузов. М. : Финансы и статистика, 2008. 576 с.
4. Зеленков Ю. А., Лашкевич Е. В. Нечеткая регрессионная модель влияния технологий на уровень жизни // Бизнес-информатика. 2020. № 3. С. 67-81.
5. Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб. : БХВ-Петербург. 2005. 736 с.
6. Салахутдинов Р. З., Исмагилов И. И. Моделирование и принятие решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер, 2005. 100 с.
7. Charfeddine. S.K., Zbidi. F, Mora-Camino. Fuzzy Regression Analysis using Trapezoidal Fuzzy Numbers. EUSFLAT - LFA. 2005. C. 1213-1218.
8. Hye-Young Jung, Woo-Joo Lee and Seung Hoe Choi, Fuzzy regression model using fuzzy partition. Journal of Physics Conference Series. 2019. Vol. 1334.
9. Ismagilov I. I., Alsaied Gh. Fuzzy Regression Analysis using Trapezoidal Fuzzy Numbers // Industrial Engineering & Management Systems. 2020. Vol.19. No.4. P. 896-900.
10. Ismagilov I. I., Alsaied Gh. Modeling Gross Regional Product Based on Crisp and Fuzzy Regressions // Revista Turismo: estudos e praticas. 2020. No. 5.
11. Liu Xilong, Chen, Yizeng. A Systematic Approach to Optimizing h Value for Fuzzy Linear Regression with Symmetric Triangular Fuzzy Numbers // Mathematical Problems in Engineering. 2013. No 6. P. 1-9.
12. Liudmyla Маlyaretz, Oleksandr Dorokhov, Liudmyla Dorokhova. Method of Constructing the Fuzzy Regression Model of Bank Сompetitiveness // Journal of Central Banking Theory and Practice. 2018. Vol. 7. No. 2. P. 139-164.
13. Mostafa Tahmasebi and Michel Rocca. A fuzzy model to estimate the size of the underground economy applying structural equation modeling // Journal of Applied Economics. 2015. Vol. XVIII. No. 2. P. 347-368.
14. Chukhrova N., Johannssen A. Fuzzy regression analysis: Systematic review and bibliography // Applied Soft Computing. 2019. Vol 84.
15. Seung Hoe Choi, Hye-Young Jung, Woo-Joo Lee, Jin Hee Yoon. Fuzzy regression model with monotonic response function. Commun. Korean Math. Soc. 2018. Vol. 33. No. 3. P. 973-983.
References
1. Alsayed G. Modeling of gross regional product based on clear and fuzzy regressions. In the III All-Russian Economic Forum with international participation "Economy in a changing world" (Kazan, April 17-26, 2019). Kazan: KFU, 2019. Pp. 235-238.
2. Bogachev T. V., Alekseychik T. V., Kharitonov I. A. Methodology of analysis and forecasting of economic indicators of regional transport systems by the method of fuzzy linear regression. Bulletin of the Rostov State University of Economics. 2020. No. 1 (69). Pp. 150-157.
3. Eliseeva I. I., Kurysheva S. V., Kosteeva T. V., Pantina I. V. Econometrics: textbook for universities. Moscow: Finance and Statistics, 2008. 576 p.
4. Zelenkov Yu. A., Lashkevich E. V. Fuzzy regression model of the influence of technologies on the standard of living. Business Informatics. 2020. No. 3. Pp. 67-81.
5. Lenenkov A.V. Unreadable modeling in MATLAB and fuzzyTECH. St. Petersburg: BHV-Petersburg. 2005. 736 p.
6. Salakhutdinov R. Z., Ismagilov I. I. Modeling and decision-making in economics based on the theory of fuzzy sets. Kazan: Hater, 2005. 100 p.
7. Charfeddin S.K., Zbidi. F, Mora-Camino. Fuzzy regression analysis using trapezoidal fuzzy numbers. EUSFLAT -LFA. 2005. Pp. 1213-1218.
8. Hye Yong Jung, Wu Joo Lee and Seung Ho Choi, fuzzy regression model using fuzzy partitioning. Journal of Physics. 2019 conference series. Volume 1334.
9. Ismagilov I. I., Alsaid G. H. Fuzzy regression analysis using trapezoidal fuzzy numbers. Systems of industrial engineering and management. 2020. Volume 19. No. 4. Pp. 896-900.
10. Ismagilov I. I., Alsaid G. H. Modeling of gross regional product based on clear and fuzzy regressions. Revista Turismo: estudos e praticas. 2020. No. 5.
11. Liu Silong, Chen, Yizeng. A systematic approach to optimizing the h value for fuzzy linear regression with symmetric triangular fuzzy numbers. Mathematical problems in engineering. 2013. No. 6. Pp. 1-9.
12. Lyudmila Malyarets, Alexander Dorokhov, Lyudmila Dorokhova. The method of constructing a fuzzy regression model of bank competitiveness. Journal of Theory and Practice of the Central Bank. 2018. Volume 7. No. 2. Pp. 139-164.
13. Mostafa Tahmasebi and Michel Rocca. Fuzzy model for estimating the size of the shadow economy using structural equation modeling. Journal of Applied Economics. 2015. Vol. XVIII. No. 2. Pp. 347-368.
14. Chukhrova N., Johannssen A. Fuzzy regression analysis: a systematic review and bibliography. Applied soft computing. 2019. Vol. 84.
15. Son Ho Choi, Hye Yong Jung, Wu Joo Lee, Jin Hee Yoon. Fuzzy regression model with monotonie response function. Commune. Korean mathematics. Op. 2018. Vol. 33. No. 3. Pp. 973-983.
Сведения об авторах
ИСМАГИЛОВ ИЛЬЯС ИДРИСОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры экономической теории и эконометрики, Институт управления, экономики и финансов, Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия, [email protected]
АЛСАИЕД ГЕНА - соискатель Института управления, экономики и финансов, Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия, [email protected]
Information about the authors
ISMAGILOV ILYAS I. - Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Economic Theory and Econometrics, Institute of Management, Economics and Finance, Kazan (Volga Region) Federal University, Kazan, Russia, [email protected]
ALSAIED GH. - Competitor of the Institute of Management, Economics and Finance, Kazan (Volga Region) Federal University, Kazan, Russia, [email protected]
