Классификация погружений графов в плоскость Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

55

УДК 515.162.6; 515.163.6

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРУЖЕНИЙ ГРАФОВ В ПЛОСКОСТЬ

Д. А. Пермяков

В заметке решается задача о классификации погружений графов в плоскость с точностью до регулярной гомотопии. Будем работать в кусочно-линейной категории. Кусочно-линейное погружение графа в плоскость — кусочно-линейное отображение, являющееся локальным вложением. В работе1 Рио Никкуни вычислил инвариант Ву для погружений графов в плоскость с точностью до регулярной гомотопии (см. определение 1) и показал, что два погружения регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда их инварианты Ву совпадают. Инвариант Ву определен в терминах взрезанного квадрата графа. В настоящей работе дано простое комбинаторное определение этого инварианта (см. определение 2), доказана теорема, аналогичная теореме Рио Никкуни, а также доказано, что все значения построенного комбинаторного инварианта реализуются погружениями. Основной результат работы — следующая теорема (являющаяся объединением теоремы 2 и теоремы 3).

Теорема 1. Инвариант и устанавливает биекцию из множества погружений графа С в плоскость с точностью до регулярной гомотопии в множество Н 1(С; Ъ) х (х^^!)!), не наделенное групповой структурой, где йг — степень 1-й вершины.

Определение 1. Регулярная гомотопия отображения графа G в плоскость — это такое отображение Н : С х [0,1] ^ М2 х [0,1], что

1) Н — кусочно-линейное погружение,

2) н(С, г) с (М2,г).

Например, гомотопия, изображенная на рис. 1, не является погружением, а потому не регулярна.

Отображения /о,/1 : С ^ М2 регулярно гомотопны, когда существует регулярная гомотопия Н, такая, что Н|^=о = /о и Н|4=1 = /1. рис. 1

Степень кусочно-линейного погружения окружности в плоскость — количество оборотов, которое делает вектор скорости при обходе по окружности (взятое со знаком). При этом при переходе через точку "излома" кривой считаем, что вектор поворачивает по наименьшему из возможных углов.

Хороше известно следующее утверждение.

Лемма 1 (теорема Уитни—Грауштейна). Два кусочно-линейных погружения окружности в плоскость регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда их степени отображения равны.

Определим инвариант и.

Определение 2. Для фиксированного графа С возможное значение инварианта и является набором следующих объектов:

класса одномерных когомологий графа;

циклических порядков ребер, выходящих из каждой вершины графа С. Теперь определим значение инварианта и для погружения графа С в плоскость. Выберем произвольно в графе остовное дерево. Каждое ребро вне максимального дерева единственным образом дополняется ребрами остовного дерева до несамопересекающегося цикла. Каждому такому циклу сопоставим целое число, являющееся степенью отображения этого цикла в плоскость. Сопоставление каждому из указанных циклов целого числа равносильно заданию класса одномерных когомологий графа С. Значение инварианта и для погружения графа С в плоскость является набором следующих объектов:

определенного выше класса одномерных когомологий графа;

циклических порядков ребер, выходящих из каждой вершины графа С, в котором эти ребра (отображенные в плоскость) следуют при обходе вершины против часовой стрелки.

Инвариант и устанавливает отображение из множества погружений графа в плоскость в множество Н!(С; Ъ) ф 1)!), не наделенное групповой структурой, где йг — степень г-й вершины.

Теорема 2 (инъективность инварианта и). Два погружения графа в плоскость регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда их инварианты и совпадают.

Доказательство. Необходимость в теореме следует из того, что каждый из объектов, составляющих инвариант и, сохраняется при регулярной гомотопии.

1Nikkuni R. On the Wu invariants for immersions of a graph into the plane. Department of Mathematics, School of Education,

Waseda University, Tokyo, 2000. Preprint.

56

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

Рис. 2

Перейдем к доказательству достаточности. Будем гомотопировать погружение графа, приводя его к некоторому стандартному виду.

Хорошо известно следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть задано такое кусочно-линейное отображение отрезка в плоскость, что в образе окрестности концов лежат на отрезке, соединяющем концы. Тогда существует регулярная гомотопия, постоянная на окрестностях концов отрезка, такая, что в полученном отображении образ отрезка будет отрезком с маленькими петлями.

Докажем следующее

Утверждение 1. Погружение графа можно регулярно прогомотопировать таким образом,, что его остовное дерево не будет иметь самопересечений.

Доказательство. Выделим одну вершину остовного дерева и будем считать ее корневой вершиной. Будем последовательно работать с ребрами, находящимися на все большем расстоянии от корневой вершины. Рассматривая каждое новое ребро, будем проводить гомотопию так, чтобы в результате оно не имело самопересечений, не имело пересечений с ранее рассмотренными ребрами и у ранее рассмотренной части остовного дерева не появилось самопересечений. Сначала гомотопируем ребро таким образом, чтобы оно стало отрезком с маленькими петлями, не пересекающимися друг с другом. Для этого прогомотопируем окрестности вершин, "поворачивая" концы ребра друг к другу. Затем прогомотопируем само ребро, чтобы на нем остались только непересекающиеся петельки. После этого последовательно снимаем эти петли с ребра, как показано на рис. 2.

Утверждение 2. Погружение графа можно регулярно прогомотопировать таким образом, что остовное дерево не будет иметь самопересечений, вершины графа будут расположены на некоторой окружности, а все остовное дерево будет вне этой окружности. При этом можно расположить остовное дерево некоторым образом, зависящим только от инварианта и погружения.

Доказательство. Прогомотопируем погружение остов-ного дерева, затем продолжим гомотопию на весь граф. Сначала прогомотопируем остовное дерево так, чтобы оно не имело самопересечений. Это можно сделать согласно утверждению 1. Чтобы расположить все вершины дерева на окружности, следует проводить гомотопию последовательно на ребрах разных уровней (см. рис. 3).

Завершим доказательство теоремы 2. Рассмотрим новый граф С', полученный из исходного графа С добавлением на каждое ребро вне остовного дерева по две вершины. В графе С' рассмотрим остовное дерево, состоящее из всех ребер, кроме середин исходного графа С. Прогомотопируем погружение графа С' так, как указано в утверждении 2. Далее прогомотопируем ребра вне максимального дерева в отрезки с маленькими петлями. Количество этих петель с учетом ориентации равно степени отображения несамопересекающегося цикла, состоящего из данного ребра и некоторых ребер остовного дерева, в плоскость. Значит, теперь и положение ребер вне максимального дерева зависит только от инварианта и.

Теорема 3 (инъективность инварианта и). Для любого графа и любого значения инварианта и существует погружение графа в плоскость с данным значением инварианта.

Доказательство. Построим погружение графа в плоскость с данным значением инварианта и. Выделим в графе остовное дерево. У каждого ребра вне этого дерева выкинем середину. Из исходного графа получится дерево Т. Изобразим дерево Т на плоскости таким образом, чтобы циклические порядки ребер, выходящих из каждой вершины, были такими, как требуется в инварианте и. Прогомотопируем дерево Т так, как описано в утверждении 2. Теперь построим погружение всего исходного графа. На дереве Т оно будет совпадать с построенным отображением. Недостающие серединки ребер будут отображаться в отрезки с нужным количеством маленьких несамопересекающихся петелек.

Автор приносит благодарность А. Б. Скопенкову за постановку задачи и обсуждения, а также Е. А. Кудрявцевой и А. Т. Фоменко за полезные замечания при написании работы.

Рис. 3

Поступила в редакцию 21.12.2007