CC BY
32
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
11. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. М. : Гостехиздат, 1953. 287 с. 18.
12. Иртегов В. Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск : Наука, 1985. 141 с.
13. Новиков М. А. О связи диагонализации и зна- 19. коопределенности пучка двух квадратичных форм // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3 (27). С. 233241 20.
14. Walker R. J. Algebraic Curves. Princeton, New Jersey : Univ. Press, 1950.
15. Уокер Р. Алгебраические кривые. М. : Изд-во 21. иностр. лит., 1952. 236 с.
16. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М. : 22. Наука, 1979. 255 с.
17. Новиков М. А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной
точки в задаче Бруна // ПММ. 1994. Т. 58. вып. 5. С. 261-265
Новиков М. А. О знакоопределенности аналитических функций // В кн. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск : Наука, 1988. С. 256-261 Белецкий В. В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21. вып. 6. С. 749-758. Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела // ПММ. 1956. Т. 20. С. 51-66.
Румянцев В. В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ. 1957. Т. 21. С. 339-345. Румянцев В. В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // ПММ. 1995. Т. 59. С. 916-921.
УДК 519.216.1 Кедрин Виктор Сергеевич,
к. т. н., доцент кафедры информационных технологий ИГУ (филиала в г. Братске),
тел. (3953)44-89-93, e-mail: kedrinvs@mail.ru Максимов Николай Николаевич, инженер радиолокации, радионавигации и связи Братского центра организации воздушного движения - филиала аэронавигации Восточной Сибири,
тел. (3953)44-89-93, e-mail: maksimovnn@yandex.ru
КЛАССИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ПРИ АНАЛИЗЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ РЕАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
V.S. Kedrin, N.N. Maksimov
CLASSIFICATION OF UNSTEADY BEHAVIOR OF PROCESSES IN THE ANALYSIS AND FORECASTING OF REAL DYNAMIC SYSTEMS
Аннотация. Предложена классификация нестационарного поведения реальных динамических систем. Выполнено рассмотрение классификации нестационарного поведения на примере простейшей реальной энергетической системы. Произведено сравнение методов сингулярного разложения с методами спектрального анализа применительно к задачам анализа и прогнозирования. Определены преимущества аппарата сингулярного разложения для анализа и прогнозирования нестационарной динамики.
Ключевые слова: нестационарная система, нестационарное поведение, несингулярная система, несингулярный процесс, постоянное нестационарное поведение, периодическое неста-
ционарное поведение, структурное нестационарное поведение, сингулярное разложение.
Abstract. The classification of non-stationary behavior of real dynamic systems is proposed. Review of the classification of time-dependent behavior in the simplest example of a real power system is completed. A comparison of methods of singular value decomposition with the methods of spectral analysis applied to problems of analysis and forecasting is made. The benefits of the singular value decomposition apparatus for analyzing and predicting the transient dynamics are identified.
Keywords: time-dependent system, transient behavior, non-singular system, a non-singular process, continuous time-dependent behavior, periodic
time-dependent behavior, the structural non-stationary behavior, singular value decomposition.
Современные процессы, происходящие в больших динамических системах, характеризуются наличием множества факторов влияния, что определяет сложную нелинейную динамику их развития. Поэтому системы, в которых наблюдается такого рода динамика процессов, следует относить к классам нелинейных и нестационарных, так как происходит существенное изменение их параметров в зависимости от режимов состояния и времени работы. Такого рода динамика процессов реальных систем затрудняет процесс исследования с помощью традиционных подходов, основанных на методах спектрального анализа и математической статистики, так как теряются необходимые для качественного анализа и прогнозирования свойства стационарности и линейности.
Имеется ряд работ по исследованию нестационарной нелинейной динамики, но пока не выработано единого мнения о типах нестационарного поведения, которые могут возникнуть в реальной системе, и рекомендаций по созданию их достаточно общей классификации. В то же время существуют лишь сравнительно узкие классификации с привязкой к конкретной области исследования. Поэтому в данной статье делается попытка классификации нестационарного поведения процессов, а также анализа применимости методов для исследования такого рода динамики.
Для облегчения понимания природы нестационарности определим понятие стационарности. Процесс считается стационарным, если все его многомерные плотности распределения вероятности/не зависят от времени:
f xl,tl,...,xn,tn =f x1,t1+T,...,xn,tn+T . (1)
По данному определению, применительно к дискретным методам анализа, стационарность процесса свидетельствует о постоянстве спектра мощности сигнала.
В работах [1-4] сформировано определение динамической стационарности, согласно которому наблюдается постоянство оператора эволюции системы, генерирующей временной ряд. Для исследования такого рода стационарности применяются методы, заимствованные из нелинейной динамики.
Общей чертой определений стационарности и динамической стационарности является неизменность линейных связей между сечениями временного ряда, характеризующего исследуемый динамический процесс. Существующие подходы к управлению нелинейной динамикой зачастую сводятся к линеаризации системы на каком-либо ог-
раниченном временном участке и рассмотрении режима ее функционирования как квазистационарного. Однако, как показано в работе [5], такая замена может привести к неконтролируемой ошибке.
Для разрешения указанных проблем необходимо применение методов, способных исследовать изменение оператора эволюции и анализировать нелинейные связи между сечениями временного ряда, характеризующего исследуемый динамический процесс. Другими словами, нужны методы, способные определять изменения параметров исследуемой системы и «понимающие» природу динамической нестационарности.
Определим понятие динамической нестационарности. Динамически нестационарными принято называть системы, могущие быть описанными дифференциальными уравнениями, коэффициенты (параметры) которых изменяются с течением времени [5, 6]. Однако на практике изменениям подвергаются не только параметры системы, но и количественный и качественный состав самих дифференциальных уравнений. Это может быть связано:
—со структурным изменением рассматриваемой системы;
—наличием в системе процессов, характерный временной масштаб которых больше длительности интервала наблюдения;
— влиянием внешних факторов воздействия;
— наличием переходных процессов;
—дрейфом параметров системы.
В целях учета таких изменений введем понятие нестационарного поведения системы. Под нестационарным поведением системы следует понимать изменение параметров системы или/и ее структуры с течением времени. При этом в каждый конкретный момент времени система характеризуется статическим набором собственных свойств. Другими словами, происходит смена квазистационарных состояний системы. Из этого следует, что нестационарную систему можно детерминировать упорядоченным множеством последовательно сменяющих друг друга квазистационарных систем. Такая предпосылка для исследования нестационарного поведения процессов рассматривалась в работах [1, 7, 8]. На основании данного подхода необходимо рассматривать исходную динамически нестационарную систему посредством анализа закономерностей смены её квазистационарных состояний. Для этого представим динамику исследуемого выходного процесса нестационарной системы в следующем виде:
У(0 = Су( , (2)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
где у(0 - исследуемый процесс; С - элементарный квазистационарный выходной процесс, характеризующийся функцией смены квазистационарных состояний у(0; у (0 - функция, описывающая процесс смены квазистационарных состояний системы.
Аргумент в выражении (2) можно рассматривать как нелинейное время пространства, в котором исследуемая нестационарная система будет являться квазистационарной. Однако следует учитывать, что функция, описывающая процесс смены квазистационарных состояний у(0, также может быть нестационарной. В таком случае в общем виде можно записать следующее:
У0) = С УоОМУгСУз(•••V,,(0-••)))) • (3) Аргумент уп(1:) в выражении (3) является де-терменированной квазистационарной функцией времени. В выражении (3) п^® для процессов, имеющих абсолютную несингулярность, т. е. процессов, которые принципиально невозможно свести к квазистационарным в силу абсолютной непредсказуемости поведения.
Несингулярность реальных процессов обусловлена условиями их исследования, приводящими к недостаточности априорных данных. При этом объем данных, которыми располагает исследователь, недостаточен для анализа всех необходимых характеристик, а следовательно, и мгновенных значений в произвольный момент времени. Из этого следует, что если бы существовал способ получения достаточного объема данных, то рассматриваемый процесс являлся бы сингулярным. Поэтому реальные несингулярные процессы следует считать условно- или квазислучайными. Таким образом, задача анализа исходного нестационарного процесса должна быть решена через анализ квазистационарного процесса уп(0.
В целях исследования стационарной функции у предлагается ввести следующую классификацию, отражающую природу нестационарного поведения реальных систем: -постоянное; -периодическое;
структурное. Постоянное нестационарное поведение -монотонное изменение параметров системы, которое наблюдается в течение всего периода функционирования системы. Например, старение или ухудшение характеристик элементов, составляющих систему.
Периодическое нестационарное поведение -изменение исследуемой системы, которое происходит под влиянием периодических факторов; при этом после снятия влияния указанных факторов происходит возврат к исходному состоянию. При-
мерами могут послужить сезонные изменения окружающей среды, влияние солнечной активности, фазы луны и т. д. Периодичность или/и продолжительность влияний может носить стохастический характер.
Структурное нестационарное поведение -изменение структуры системы, которое может выражаться в изменении численного и качественного состава её элементов, а также взаимосвязей между этими элементами. Носит преимущественно стохастический характер.
На практике нестационарное поведение реальной системы может являться комбинацией всех или некоторых из отмеченных выше видов.
Рассмотрим предложенную классификацию на примере простейшей реальной энергетической системы - электрического кабеля, зарытого в земле. Данная система служит для передачи электрической энергии от ее источника к потребителю. Выходным сигналом системы является значение электрической мощности, получаемой на потребителе.
Основным параметром оценки состояния электрического кабеля является электрическое сопротивление его изоляции Rиз(t). Будем искать функцию у(0, описывающую процесс смены ее квазистационарных состояний, из выражения (2). Характеристика Rиз(t) подвержена влиянию внешней среды, что проявляется в ухудшении свойств материала, из которого изготовлены оболочка и/или проводящие жилы кабеля. Ухудшение или деградация сопротивления изоляции Rиз(t) может быть представлена в виде следующей (эмпирической) графической зависимости (рис. 1) [9].
Рис. 1. Деградация сопротивления изоляции кабеля с течением времени
Изображенная на рис. 1 зависимость иллюстрирует постоянное нестационарное поведение системы, т. е. постоянное монотонное изменение параметра, в данном случае сопротивления изоляции Rиз(t) под воздействием окружающей среды.
Сезонные циклы приводят к колебательному характеру изменения рассматриваемого параметра (рис. 2). В холодное время года сопротивление
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
изоляции Лиз(0, как правило, увеличивается, в период оттепелей сопротивление снижается, однако летом происходит возврат к прежнему состоянию. В этом случае проявляется периодическое нестационарное поведение.
Рис. 2. Влияние сезонных циклов на сопротивление изоляции кабеля
В процессе эксплуатации производятся периодические регламентные работы, связанные с измерением характеристик данной системы. При снижении сопротивления изоляции Rиз(t) до определенного уровня кабель подлежит замене (рис. 3) [9]. При этом производится прокладка нового кабеля с, возможно, другими начальными параметрами. В этом случае имеет место структурное нестационарное поведение.
Рис. 3. Структурная нестационарность, вызванная заменой одного из элементов системы
В рассмотренных случаях (рис. 1-3) нестационарный выходной процесс системы является функцией стационарного изменения одного из её параметров, в данном примере - сопротивления изоляции Rи3(t). Например, для ситуации, представленной на рис. 1, нестационарность системы обусловлена стационарным влиянием степени кислотности и состава почвы. Для ситуации, изображенной на рис. 2, - циклическим процессом смены сезонов, обусловленным стационарным движением Земли вокруг Солнца. Ситуация на рис. 3 - есть производная от стационарного планового графика регламентных работ энергоснабжающей организации.
Таким образом, применительно к данному примеру простейшей энергетической системы, зависимость Rиз(t) есть искомая функция у(0, описывающая процесс смены ее квазистационарных состояний, участвующая в выражении (2).
Особенности классификации нестационарного поведения формируют требование разложения временного ряда на отдельные структурные составляющие, характеризующие тот или иной тип нестационарного поведения, соответствующий исходному процессу. Данное требование актуально при выборе методов анализа состояний реальных систем, которые дополнительно должны адаптивно менять параметры для учета изменений характеристик нестационарной динамики. Также необходима возможность обратного синтеза по отдельным элементам полученной структуры составляющих для решения задачи прогнозирования. С учетом этих позиций рассмотрена группа методов, применение которых позволяет физически интерпретировать исследуемые динамические процессы (см. рис. 4).
На основании проведенного сравнения отмечены следующие преимущества сингулярного разложения перед методами спектрального анализа:
1. Набор функций разложения порождается самой исследуемой функцией процесса ДО и длиной окна матрицы развертки.
2. Длина строки сингулярной матрицы развертки (параметр метода) позволяет легко варьировать качество и состав выделяемых составляющих.
3. Появляется возможность управляемого восстановления исходного процесса по интерпретируемым компонентам, в отличие от практически однозначных компонент фурье- и вейвлет-преобразований.
4. Сингулярный анализ, в отличие от вейв-лет-преобразования, не имеет чётко выраженного граничного эффекта по параметру сдвига, определяемого в случае вейвлет-преобразования жесткой фиксацией набора вейвлет-функций.
Указанные преимущества позволяют эффективно анализировать исходный нестационарный процесс. При этом представление отдельной собственной сингулярной функции в виде линейного фильтра показывает, что данные фильтры обладают не комплексной, как в случае Фурье, а действительной частотной характеристикой, что снимает проблемы, связанные с моделированием фазовых сдвигов между составляющими. Это качество позволяет осуществлять многовариантный прогноз, согласованный с одним из вариантов разложения на аддитивные элементарные компоненты.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Рис. 4. Сравнение методов сингулярного разложения с методами спектрального анализа применительно к задачам анализа и прогнозирования (в блоках плюсом отмечены преимущества метода, минусом - недостатки)
Таким образом, применение аппарата сингулярного разложения обладает достаточной адаптивностью и простотой реализации, что позволяет использовать его для эффективного решения задачи нахождения отдельных аддитивных структур при исследовании нестационарной динамики. Благодаря этому аппарат сингулярного разложения может быть выбран в качестве основы для создания комбинированного аппарата анализа и прогнозирования состояний реальных динамических систем наряду с разработкой физических критериев, позволяющих понять природу нестационарности, согласующуюся с предложенной в данной работе классификацией.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Manuca, R. Stationary and nonstationary time series analysis / R. Manuca, R. Savit //Physica D. 1996. Vol. 99. P. 134-161.
2. Kennel, M. B. Statistical test for dynamical nonsta-tionarity in observed time series data / M. B. Kennel // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. P. 316.
3. Yu Dejin, Space time-index plots for probing dynamical nonstationarity / Yu Dejin, Lu Weiping, Harrison Robert G. // Phys. Lett A. 1998. Vol. 250. P. 323-327.
4. Rieke, C. Measuring nonstationarity by analyzing the loss of recurrence in dynamical systems/ C. Rieke, K. Stemickel, R.G. Andrzejak, C.E. Elger, P. David, K. Lehnertz // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88, № 24.
5. Жиров М. В. Идентификация и адаптивное управление технологическими процессами с нестационарными параметрами / М. В. Жиров, В. В. Макаров, В. В. Солдатов. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. 203 с.
6. Цветков Э. И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. М. : Энергия, 1973. 128 с.
7. Schreiber Т. Classification of time series data with nonlinear similarity measures / Т. Schreiber, A. Schmitz // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79, No. 8. P. 1475-1478.
8. Диканев Т. В. Анализ нестационарности и выбор структуры уравнений при моделировании по временным рядам : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.04.03 / Т. В. Диканев. Саратов. гос. унт. им. Н.Г. Чернышевского - Саратов, 2005. 140 с.
9. ГОСТ 3345-76 (СТ СЭВ 2784-80) Государственный стандарт союза ССР. Кабели, провода и шнуры. Метод определения электрического сопротивления изоляции.
