CC BY
252
ТРАНСПОРТ
УДК 519.6: 656.13: 537.8
А.Ю. Кретов, магистр,
8-953-428-62-70, alex [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА
Представлены различные классификации клеточных автоматов, даны краткие описания правил детерминированных и стохастических моделей, используемых для исследования транспортных потоков.
Ключевые слова: клеточный автомат, транспортный поток, затор, микроскопические модели.
Введение
Микроскопическое моделирование дорожного движения в области моделирования потока всегда рассматривался как сложный процесс, связанный с детализацией модели, которая описывает поведение отдельно взятых транспортных средств. Около двадцати лет назад были разработаны новые микроскопические транспортные модели, основанные на парадигме программирования клеточных автоматов (КА). Их главным преимуществом было то, что в процессе компьютерного моделирования они демонстрировали эффективность и высокую производительность. Недостатком же оказалась относительно низкая точность в микроскопических масштабах. Причиной этого является то, что эти так называемые транспортные клеточные автоматы (TКA), являются динамическими системами, которые дискретны по своей природе - время представляет собой дискретную величину, а пространство разбито на клетки [1]. Величины дистанции и скорости напрямую связаны друг с другом. Дистанция между автомобилями измеряется в количестве клеток между соседними транспортными
449
средствами, а скорость - в количестве клеток, на которое может переместиться автомобиль за одну итерацию.
Классификация КЛ правил. Рассматриваемое пространство КА представляет собой поле (матрицу) разбитое на клетки. При рассмотрении достаточно большого поля для получения траекторий движения транспортных средств может потребоваться множество или даже бесконечное число итераций. Поэтому с целью повышения точности результатов размеры поля системы должны быть приняты бесконечно большими, но даже рассмотрение 1000 клеток двоичного элементарного клеточного автомата (ЭКА) приводит к увеличению размера рассматриваемого пространства до 21000 ~ 10300 конфигураций. Стивен Вольфрам эмпирически изучил множество конфигураций бинарных правил ЭКА, рассматривая поле состоящее
23
из трех ячеек, что составило 2 = 256 различных правил. В 1984 году на
основе этого исследования Вольфрам выделил четыре различных класса КА [2]:
Класс I: Развитие происходит с конечным числом итераций до уникального однородного состояния, то есть до предельной точки.
Класс II: Генерируются регулярные, периодические узоры, переходящие в предельный цикл.
Класс III: Структуры изменяются с определенным периодом, зависят от начальной конфигурации, их траектории лежат на хаотическом аттракторе.
Класс IV: В этот класс входят все КА, которые развиваются по сложным траекториям. Такие автоматы имеют возможность универсальных вычислений.
По утверждению Вольфрама эта классификация не совершенна, хотя и является основной и наиболее распространенной [3]. Тип классификации обеспечивают фенотипические свойства, по которым она базируется на различных характеристиках, в то время как генотипическая классификация может основываться на внутренней структуре правил в каждом классе.
Задача классификации правил по-прежнему остается открытой, о чем свидетельствуют проводимые исследования в динамических системах. Другие попытки классификации правил ЭКА включают следующее:
1) Кулик и Юи выделили формальные классы Вольфрама [4].
2) Ли и Паккард привели структуру пространства правил ЭКА в соответствие с некоторыми метрическими расстояниями, в результате чего появился пятый класс [5].
3) Брага и др. систематизировали модели на 3 класса, основанные на развитии узоров наблюдаемых в КА моделях [6].
Вуенш, благодаря использованию различных методов автоматического создания сложных правил, классифицировал правила динамики пространства [7].
4) Дубак и др. классифицировали КА модели по уровню их алгоритмической сложности путем измерения информационного наполнения местных саморегулирующихся переходов [8].
5) Фэйтс, используя макроскопические параметры, отделил хаотические правила ЭКА от нехаотических [9].
Все модели можно разделить на одноклеточные и многоклеточные. Одноклеточными называют автоматы, в которых транспортные средства занимают одну клетку пространства модели. Многоклеточные КА являются более сложными, но при этом более точно описывают взаимодействия различных транспортных средств, так как автомобили занимают несколько связанных клеток, и имеют различную длину, например автобус обозначен пятью клетками, в то время как легковой автомобиль одной.
Одноклеточные модели КА. В данном типе КА ячейка может быть либо пустой, либо занятой ровно одним автомобилем. Все транспортные средства имеют одинаковую длину L{ = 1 клетке. Поток считается однородным, то есть характеристики всех транспортных средств приняты одинаковыми. Рассмотрим следующие модели ТКА:
1) Детерминированные модели:
правило Вольфрама 184 (СА-184);
детерминированные ТКА Фукуи-Итттибаши (DFI-TCA).
2) Стохастические модели:
ТКА Нагель-Шрекенберг (STCA);
СТКА с круиз-контролем (STCA-CC);
Стохастические ТКА Фукуи-Ишибаши (SFI-TCA);
ТКА Эммериха-Ранга (ER-TCA).
Для других обзоров ТКА моделей, рекомендуем обратиться к работам Чоудхури и соавт. [10], Кносп и соавт. [11], Нагель [12], Нагель и со-авт. [13], Шадшнайдер [14, 15].
Детерминированные модели. Правило Вольфрама 184 (СА-184). Правило 184 может быть использовано как простая модель для дорожного потока на одной полосе дороги и представляет собой базу для большого числа усложненных моделей дорожного движения в клеточных автоматах. В данной модели частицы, представляющие автомобили, перемещаются в одном направлении, останавливаясь и проезжая в зависимости от наличия машин рядом с ними. Число частиц остается неизменным на всем протяжении моделирования. Из-за такого применения Правило 184 называется «Правилом трафика»
На каждом шаге автомат Правила 184 применяет к массиву ячеек определенный закон для определения нового состояния: 111- *11; 110 -*11; 101 - *10; 100 - *10; 011 - *01; 010 - *01; 001 - *00; 000 - *00, где 1 -клетка занятая автомобилем, 0 - свободная клетка, * - предыдущее состояние рассматриваемой клетки. При рассмотрении центральной ячейки пра-
451
вило может быть записано следующим образом:
Текущий шаблон 111 110 101 100 011 010 001 000
Новое состояние 1 0 1 1 1 0 0 0
Если интерпретировать каждую ячейку, содержащую единицу как частицу, эти частицы ведут себя во многом сходно с находящимися на одной полосе автомобилями: они перемещаются слева направо с постоянной скоростью, если перед ними существует открытое пространство (ноль в клетке справа) и останавливаются на один, если справа от него пространство отсутствует (единица в клетке справа). Несмотря на свою примитивность, Правило 184 демонстрирует некоторые типичные свойства реального потока: кластеры свободно движущихся автомобилей, разделенные открытыми участками дороги, когда поток разреженный, и волны “стоп-старт”, когда поток перегружен.
ТКА Фукуи-Ишибаши (DFI-TCA) [17]. В 1996 году Фукуи и Иши-баши разработали свое правило на основе КА-184 ТКА. Хотя их модель является и стохастической, мы сначала обсудим ее с точки зрения детерминированной. Идея Фукуи и Ишибаши была двоякой: с одной стороны, максимальная скорость движения была увеличена с 1 до Vmax клеток/шаг по времени, с другой стороны, транспортные средства могут мгновенно ускоряться, чтобы двигаться с максимально возможной скоростью. В соответствии с определениями правила набора ТКА модели, КА-184 по правилу 1 (Пр.1), изменяется следующим образом:
Пр.1, ускорения и торможения
VI <7) ^ min{gs. ^ - Г), Кщах ).
где gSi(t - 1) - расстояние до следующего впереди автомобиля на предыдущем шаге, Vmax - максимальная скорость.
Как и прежде, автомобиль должен избегать столкновения, учитывая дистанцию. С этой целью он будет мгновенно затормаживаться. Например, быстро движущееся транспортное средство должно остановиться, когда оно приблизится к началу пробки, тем самым резко уменьшив свою скорость от Vmax до 0 за одну итерацию.
Стохастические модели. TКA Нагель-Шрекенберг (STCA) [13].
В STCA Нагеля-Шрекенберга используется минимальный набор правил, который при определенных условиях выдает необходимое микроскопическое поведение.
Длина ячейки задает минимальное расстояние между ближайшими автомобилями в потоке. Это обратная к плотности величина может быть определена как 7,5 м (^ = 133 авт/км). & - время обновления (шага), достаточно произвольно, обычно используется время реакции водителя, которое лежит в промежутке между 0,6 и 1,2 с. Таким образом, и & можно рассматривать как параметр для калибровки. Скорость от 0 до Vmax = 6 кл/&,, что соответствует скорости 162 км / ч для & = 1 с STCA использует пове-
денческую модель, которая приближенно описывает динамику вождения автомобиля: возможно ехать так быстро, как позволяют правила и так как позволяет впереди идущее транспортное средство, чтобы поддерживать безопасную дистанцию.
Исходя из этого, вытекают следующие четыре правила STCA. Обозначая разрыв как количество свободных участков впереди транспортного средства, х - фактическое положение и V - фактическая скорость транспортного средства, получим:
Пр.1 Ускорение. Если Vn < Vmax то скорость п-го автомобиля увеличивается на единицу, если Vn = Vmax , то скорость не изменяется:
Vn ^ тгп(Уп + 1 Уmax■)■
Пр.2 Торможение. Если d<Уn, то скорость п-го автомобиля уменьшается до d п— 1:
уп -^тпш^п, dп-1)■
Пр.3 Случайные возмущения. Если Уп>0, то скорость п-го автомобиля может быть уменьшена на единицу с вероятностью р; если Уп = 0, то скорость не изменяется:
Уп ^ max(Уn - 1, 0).
Пр.4 Движение. Каждый автомобиль продвигается вперед на количество ячеек, соответствующее его новой скорости, после выполнения шагов 1-3:
п ^ x п + уп .
Первый шаг отражает общее стремление всех водителей ехать как возможно быстрее. Второй гарантирует отсутствие столкновений с впереди идущими автомобилями. Элемент стохастичности, учитывающий случайности в поведении водителей, вводится на третьем шаге.
Исходя из правил, скорости и ускорения/замедления транспортного средства зависят от скорости других транспортных средств в каждый момент времени. Они задаются функцией расстояния до впереди идущего автомобиля. Тем не менее, соотношение ускорения и замедления может принимать бесконечное большое значение, если автомобиль меняет свою скорость в соответствии с настоящими правилами. Несмотря на крайнюю простоту, эта модель показывает множество особенностей, которые согласуются с движением в реальном потоке. С некоторыми модификациями STCA может быть использован для описания систем массового обслуживания, например, пересечения двух городских улиц. В этом случае STCA обеспечивает очень хорошие результаты, сопоставимые с реальными условиями движения.
STCA с контролем скорости (STCA-CC) [18]. Модель STCA порождает много неустойчивых искусственных пробок. Одним из способов исправить это - стабилизировать поток на перегоне до спокойного состоя-
453
ния. Это может быть сделано путем введения случайного изменения ускорений для высокоскоростных автомобилей. С этой целью Нагель и Пак-зуйски вновь рассмотрели правила Пр.1- Пр.3 STCA и дополнили правилом Пр.0.
Пр.0 определение стохастических возмущений:
у ( - 1) = Утах ^ р ) ^ 0,
у ( - 1) < Утах ^ р ) ^ р . р'(^ - случайность, вводимая в STCA, в правило Пр.2. Это новое правило эффективно гасит появление случайных изменений скорости высокоско-ростн7ых транспортных средств.
Использование контроля скорости/ускорения может привести к различным непредвиденным выводам. Транспортная система может быть воспринята, как имеющая основную критическую точку, при которой система переходит к бесконечной пробке. Существование этой точки тесно связано со сложностью самоорганизации модели STCA: отток из бесконечной пробки автоматически самоорганизуется в состояние максимально достижимой равномерности потока [19,20,21,22]. Во время движения будет наблюдаться высокая степень хаотичности, уменьшая тем самым ее предсказуемость [23,24,21].
Стохастические ТКА Фукуи-Ишибаши (SFI-TCA) [17]. Стохастические ТКА Фукуи-Ишибаши модели используются для описания движения транспортных средств на максимально возможной скорости клеток / шаг по времени. Мы можем выявить правила этой модели, рассматривая правила Пр.2 и Пр.3 из STCA, но используя совместно с правилом Пр.1 DFI-TCA для мгновенного ускорения, и, как в предыдущей модели, введя дополнительное правило Пр.0:
Пр.0 правило отключающее случайные изменения скорости
у ( -1) = Утах ^ р ) ^ р, у ( -1) < Утах ^ р) ^ 0 .
Исходя из этого в SFI-TCA модели, водители, которые движутся с максимальной скоростью, не изменяют свою скорость из-за случайных факторов, в то время как водители, еще не достигшие максимальной скорости, могут совершать случайные изменения траектории и скорости своего движения.
TКA Эммерих-Ранга (ER-TCA) [26]. Эммерих и Ранга рассмотрели различия между моделью STCA и реальными данными. С этой целью они предложили увеличить влияние дистанции между транспортными средствами на изменение скорости. Эта модификация STCA была проведена в два этапа: сначала они изменили параллельный процесс обновления состояний на последовательное обновление справа налево и изменили поведение замедляющихся транспортных средств. Это привело к важному результату - транспортные средства в рассматриваемый момент времени состояния могли двигаться непосредственно друг за другом (т.е. с нулевой
454
дистанцией) на высоких скоростях, поэтому дистанции в транспортном потоке использовались более эффективно. Это стало возможно благодаря последовательному обновлению, то есть перемещение последующего автомобиля уже произошло, после чего перед предыдущим автомобилем образовалось большее свободное пространство. В модели ER ТСА скорость автомобиля зависит от переменной безопасного расстояния и его текущей скорости [27]. Каждый автомобиль сначала проверяет, находится ли перед ним транспортное средство в пределах 10 клеток. Если это так, то автомобиль уменьшает скорость в соответствии с таблицей изменения скорости, которая определяется по матрице МТ:
' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3
0 1 2 3 4 4 4 4 4 4 4
, 0 1 2 3 4 4 4 4 4 4 5
Достоинство данной модели состоит в отсутствии сгустков и заторов, автомобили продолжают движение на минимальных скоростях и при большой плотности. Однако, у нее есть некоторые серьезные недостатки: Во-первых, данная схема исключает резкие изменения параметров движения при малых плотностях потока. Во-вторых, из-за последовательного обновления заторы становятся неустойчивыми так же, как и в модели STCA [11]. В-третьих, скорость автомобилей не согласуется с реальными данными, особенно в режимах пробок.
Заключение.
В данной статье были рассмотрены и описаны основные принципы разделения моделей КА, и даны некоторые правила одноклеточных автоматов. В процессе развития правил клеточных автоматов они все более точно описывали различные процессы, происходящие в транспортном потоке. Но как мы видим у каждой модели есть свои недостатки и преимущества. Они обусловлены упрощениями, необходимыми для рассмотрения определенных транспортных ситуаций, так как усложнение моделей ведет к уменьшению скорости вычислений и тем самым уменьшает наглядность результатов. Некоторые из моделей описанных в данной статье были смоделированы в программе описанной в [28].
Список литературы
1. Sven М., Bart M. Cellular automata models of road traffic // Physics Reports, 2005.
2. Wolfram S. Universality and complexity in cellular automata //
Physica. 1984. Р. 1-35.
3. Wolfram S. A New Kindof Science // Wolfram Media, Inc., 2002.
4. Culik K., Yu S. Undecidability of CA classification schemes // Complex Systems. 1988. Р. 177-190.
5. Li W., Packard N. The structure of the elementary cellular automata rule space // Complex Systems, 1990. Р. 281-297.
6. G. Braga [et al] Pattern growth in elementary cellular automata // Theoret. Comput. 1995. Р. 1-26.
7. Wuensche A. Classifying cellular automata automatically // Complexity. 1999. Р. 47-66.
8. Dubacq J.C., Durand B., Formenti E., Kolmogorov. Complexity and cellular automata classification.
9. Fates N., Morvan M., Remila E. Experimental study of elementary cellular automata dynamics using the density parameter // Discrete Mathematics Theoretical Computer Science. 2003. Р. 155-166.
10. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / А.В. Гасников[и др.]М.: МФТИ, 2010.
11. Chowdhury D., Santen L., Schadschneider A. Statistical physics of vehicular traffic and some related systems // Phys. Rep. 2000. Р. 199-329.
12. W. Knospe[et al] An empirical test for cellular automaton models of traffic flow // Phys. Rev. р. 70
13. Nagel K. Particle hopping models and traffic flow theory // Phys. Rev. 1996. Р. 4655-4672.
14. Nagel K., Wagner P., Woesler R. Still flowing: oldandne w approaches for traffic flow modeling // Oper. Res. 2003. Р. 681-710.
15. Schadschneider A. Statistical physics of traffic flow // Physica. 2000. P. 101
16. Schadschneider A. Traffic flow: a statistical physics point of view // Physica. 2002. Р. 153-187.
17. Fukui M., Ishibashi Y. Traffic flow in 1D cellular automaton model including cars moving with high speed // Phys. 1996. Р. 1868-1870.
18. Nagel K., Paczuski M. Emergent traffic jams // Phys. Rev. 1995. Р. 2909-2918.
19. Bak P., Tange C.,Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Phys. Rev. 1988. P. 368.
20. Nagel K., Herrmann H.J. Deterministic models for traffic jams // Physica. 1993. P 254.
21. Nagel K. High-speed microsimulations of traffic flow. Ph.D. // Thesis, Universitat zu Koln. March 1995.
22. Turcotte D.L. Self-organizedcriticalit // Rep. Prog. Phys. 1999. Р. 1377-1429.
23. Nagel K., Rasmussen S. Traffic at the edge of chaos, in: R.A.
Brooks, P. Maes (Eds.), Artificial Life IV: Proceedings of the Fourth International Workshop on the Synthesis and Simulation of Living Systems. 1994. P. 222.
24. Model between the Fukui-Ishibashi and Nagel-Schreckenberg models, Traffic Forum—Statistical Mechanics. February 2001.
25. Fukui-Ishibashi traffic flow models with anticipation of movement of the car ahead // Phys. Soc. K.Lee [et al] Jpn. 71 (7) 2002. Р. 1651-1654
26. Emmerich H., Rank E. An improvedcellular automaton model for traffic flow simulation // Physica A 234. 1997. Р. 676-686.
27. Chowdhury D., Santen L., Schadschneider A., Statistical physics of vehicular traffic and some related systems. Phys. Rep. 329. 2000. Р. 199-329.
28. Кретов А.Ю. Инновационные наукоемкие технологии: теория, эксперимент и практические результаты // Тула: Изд-во ТулГУ, 2010, С. 169 - 171 .
A.U. Kretov
CLASSIFICATION OF MODELS OF CELLULAR AUTOMATA. BASIC RULES
The various classifications of cellular automata, are given brief descriptions of the rules of deterministic and stochastic models used to study traffic flows.
Key words: cellular automaton traffic flow, congestion, microscopic model.
Получено 20.01.12
УДК 519.6: 656.13: 537.8
В.А. Пышный, магистр, 8-953-952-83-69, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАГРУЗКИ ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ
Моделирование загрузки транспортной сети - это сложная комплексная задача, решение которой состоит в моделировании нескольких различных типов моделей. Для более правильного представления сущности моделирования описано историческое развитие моделей, используемых при решении задачи загрузки транспортных сетей. Каждый тип моделей представлен в данной работе одной или несколькими классическими моделями, используемыми при решении данной задачи.
Ключевые слова: математической моделирование, загрузка транспортной сети, расчет коммуникаций, распределение потока, транспортный поток.
Введение. Основы математического моделирования закономерностей дорожного движения были заложены русским ученым проф. Г.Д. Ду-белиром. Первостепенной задачей, послужившей развитию моделирования транспортных потоков, стал анализ пропускной способности магистралей и пересечений [1].
